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Matemática – 8.º Ano

Semelhanças

Noção de Semelhança

Do ponto de vista matemático, aspalavras “semelhante”, “parecido” ou“idêntico” não são sinónimos.

Em rigor, apenas se define o que seentende por figuras semelhantes e aentende por figuras semelhantes e aideia presente pode chocar com osignificado normalmente atribuído.

Considerem-se as duas figuras abaixo

Embora na linguagem do dia-a-dia se pudesse dizer que os automóveisEmbora na linguagem do dia-a-dia se pudesse dizer que os automóveisrepresentados são parecidos, do ponto de vista matemático nunca se poderiadizer que seriam semelhantes, pois apresentam formas diferentes.

Matematicamente, duas figuras são semelhantes quandoapresentam a mesma forma.

Um bom exemplo para entender a questão daforma e do que é matematicamentesemelhante consiste nas bonecas russasmatrioscas.

Observando a imagem, consegue-se perceber que todas as matrioscas têm oObservando a imagem, consegue-se perceber que todas as matrioscas têm omesmo formato, embora umas sejam mais pequenas, outras sejam maiores.

No fundo, cada matriosca é uma ampliação, redução ou congruente a outra.

Assim sendo…

Duas figuras têm a mesma forma se forem congruentes, ou seuma delas é uma ampliação ou redução da outra.

Duas figuras que tenham a mesma forma dizem-se semelhantes.

Considerem-se as figuras abaixo representadas:

A B C Observando as figuras, conclui-seque A e B não são semelhantes pornão terem a mesma forma. Omesmo acontece com B e C.

Por outro lado, as figuras A e C são semelhantes, pois têm a mesma forma.

Repare-se que a figura C é uma redução, para metade, de A. De igual modo, sepodia dizer que A seria uma ampliação, para o dobro, de C.

Duas figuras são semelhantes se verificam as seguintes condições:os ângulos correspondentes são congruentes;os comprimentos de lados correspondentes são directamente

proporcionais.

Lados correspondentes

Ângulos correspondentes

Exemplos

Observem-se as duas figuras abaixo

Constata-se que, apesar de ambas as figuras têm todos os lados congruentes,elas não são semelhantes, pois nenhum ângulo de [ABCD] é congruente comqualquer ângulo de [EFGH].

Observem-se as duas figuras seguintes

Constata-se que, apesar de ambas as figuras têm todos os ângulos congruentes,Constata-se que, apesar de ambas as figuras têm todos os ângulos congruentes,elas não são semelhantes, pois nenhum os lados não são directamenteproporcionais.

De facto,

12

2= e 5,1

2

3=

Razão de Semelhança

Trata-se da razão entre os comprimentos de ladoscorrespondentes de figuras semelhantes.

Representa-se usualmente por r.

Exemplo

Considerem-se os dois triângulos semelhantes abaixo representados.

I

II

Se se pretender determinar a razão de semelhança de I para II, faz-se

5,05

5,2=

5,04

2=

5,03

5,1=

A razão de semelhança de Ipara II é igual a 0,5

I

II

Se se pretender determinar a razão de semelhança de II para I, faz-se

25,2

5=

5,02

4=

25,1

3=

A razão de semelhança de IIpara I é igual a 2

Se a razão de semelhançaentre duas figuras, A e B for,de A para B:

Superior a 1, r>1

B é ampliação de A

Inferior a 1, r<1

B é redução de AIgual a 1, r=1B é ampliação de A B é redução de AIgual a 1, r=1

A e B são congruentes.

Construção de Ampliações e de Reduções de Figuras

Dada uma figura qualquer existem váriosmétodos geometricamente rigorosos quepermitem a construção de figuras semelhantes auma figura dada.

Esses métodos tanto permitem aEsses métodos tanto permitem aconstrução de ampliações como dereduções.

Os mais usados são o método daquadrícula e o método dahomotetia.

Método da Quadrícula Consiste na utilização de uma grelha,normalmente quadriculada, para obterfiguras semelhantes a uma figura dada.

Considerando a figura ao lado, e pretendendo-seconstruir uma figura semelhante à mesma, haveriaque considerar as medidas (em quadrículas) decada lado e multiplicá-las por uma razão desemelhança.semelhança.

De modo a manter a forma desejada, com a garantia de existência deproporcionalidade entre as quadrículas da figura original e da suatransformada.

Novamente, considerando a figura da páginaanterior e pretendendo-se uma ampliação derazão 3.

Multiplica-se, para cada lado, o número dequadrículas por 3, obtendo-se a figura aoquadrículas por 3, obtendo-se a figura aolado.

Por outro lado, caso se pretendesse umaredução de razão 0,5

Multiplicar-se-ia, para cada lado, o númerode quadrículas por 0,5, obtendo-se a figuraao lado.de quadrículas por 0,5, obtendo-se a figuraao lado.

Outra forma de reduzir ou ampliar figuras com este método é utilizarquadrículas de tamanhos diferentes, como nas figuras abaixo.

Repare-se que, neste caso, a figura dadireita é uma ampliação da figura daesquerda. No entanto, foram asquadrículas a serem ampliadas para odobro.

Método da HomotetiaÉ um método de construção de figurassemelhantes, que usa um ponto auxiliar.

Procedimento:Marcação de um ponto O, designado centro da homotetia;

Traçado de rectas que passam por O e por cada um dos vértices da figura que Traçado de rectas que passam por O e por cada um dos vértices da figura que se pretende transformar;

Medição das distâncias de O a cada um dos vértices da figura;

Multiplicação de cada uma das distâncias obtidas por uma razão desemelhança;

Marcação dos vértices da nova figura, a partir dos valores obtidos no pontoanterior, medindo a partir de O;

União dos pontos resultantes.

Exemplo

Considere-se a figura ao lado, da qual se pretende construiruma ampliação de razão 1,5.

Utilize-se, para tal, o método da homotetia.

1.º Passo – Marcação de um ponto O, designado centro da homotetia

2.º Passo - Traçado de rectas que passam por O e por cada um dos vértices da figura que se pretende transformar.

3.º Passo - Medição das distâncias de O a cada um dos vértices da figura.

cmOA 16,3=

cmOB 16,3=

cmOC 12,4=

cmOD 4=

cmOE 5= cmOF 1,5=

4.º Passo - Multiplicação de cada uma das distâncias obtidas por uma razão de semelhança.

Como, neste caso, a razão de semelhança é igual a 1,5.

cmOAOArOAOA 74,4'5,116,3'' =⇔×=⇔×= cmOAOArOAOA 74,4'5,116,3'' =⇔×=⇔×=

cmOBOBrOBOB 74,4'5,116,3'' =⇔×=⇔×=

cmOCOCrOCOC 18,6'5,112,4'' =⇔×=⇔×=

cmODODrODOD 6'5,14'' =⇔×=⇔×=

cmOEOErOEOE 5,7'5,15'' =⇔×=⇔×=

cmOFOFrOFOF 65,7'5,11,5'' =⇔×=⇔×=

5.º Passo - Marcação dos vértices da nova figura, a partir dos valores obtidos no ponto anterior, medindo a partir de O;

6.º Passo - União dos pontos resultantes.

A homotetia é independente do ponto que consideramos paraseu centro. As figuras resultantes continuam a sergeometricamente iguais, mudando apenas a sua posição emrelação à figura original.

Neste caso, a figura original foireduzida para um quarto do seureduzida para um quarto do seutamanho por duas homotetias decentros diferentes.

Constata-se que as duas figurasresultantes são congruentes.

Polígonos Semelhantes

Tal como acontece com as figuras…

Dois polígonos dizem-se semelhantes se verificam as seguintes condições:

os ângulos correspondentes sãocongruentes;congruentes;

os comprimentos dos ladoscorrespondentes são directamenteproporcionais.

Se dois polígonos são semelhantes então, para determinar arazão de semelhança, basta determinar o quociente entre oscomprimentos de dois lados correspondentes.

Considerando, como exemplo, os dois rectângulos abaixo representados tem-se:

A

BRazão de semelhança

de A para B.

23

6==r

Razão de semelhançade B para A.

2

1

6

3' ==r

Dados dois polígonos semelhantes A e B, tais que, de A para B, arazão semelhança é r, então a razão de semelhança de B para A é r

1

Considerando o exemplo anterior

Razão de semelhança Razão de semelhançaRazão de semelhançade A para B.

2=r

Razão de semelhançade B para A.

2

1'=r

rr

1

2

1' ==

Relação entre Perímetros e Áreas de Polígonos Semelhantes

Na figura seguinte encontram-se representados três rectângulos semelhantes.

Tomando cada quadrícula como unidade,analise-se a relação que existe entre as

Canalise-se a relação que existe entre asvárias medidas das áreas e dos perímetros:

Ampliação

De A para B De A para C De B para C

Razão de Semelhança

Razão entre as Medidasdos Perímetros

Razão entre as Medidas das Áreas

AB

21

2=

26

12=

22

42

8==

22

4=

212

24=

22

48

32==

41

4=

46

24=

42

162

32==

Observando a linha da tabela correspondente àrazão entre a medida dos perímetros conclui-seque é igual à razão da semelhançacorrespondente.

Já a razão entre a medida das áreas é o quadradoda razão de semelhança correspondente.

Estas conclusões são válidas para todos ospolígonos semelhantes.

Se A e B são dois polígonos semelhantes tais que, de A para B,a razão de semelhança é r então:

a razão entre a medida dos perímetros dos dois polígonos ér, ou seja,

rPP AB×=

PP

A

Br =

a razão entre a medida das áreas é r2, ou seja,a razão entre a medida das áreas é r2, ou seja,

rAA AB

2×=

AA

A

Br =

Exemplo 1

Considerem-se P e Q polígonos semelhantes abaixo representados:

P

Q

Sabendo que o perímetro de P é igual a 10,48cm e que o perímetro de Q éigual a 20,96cm, qual é a razão de semelhança de P para Q?

Tem-se que

248,10

96,20=⇔=⇔= rrr

P

P

P

Q

Logo, a razão de semelhança de P para Q é igual a 2.

Exemplo 2

Considerem-se P e Q polígonos semelhantes abaixo representados:

P

Q

Sabendo que a área de P é igual a 3cm2 e quea área de Q é igual a 13,23cm2, qual é a razãode semelhança de P para Q?

P

Tem-se que

1,241,43

23,13=⇔=⇔=⇔= rrrr

A

A

P

Q

Logo, a razão de semelhança de P para Q é igual a 2,1.

Exemplo 3

Considerem-se P e Q polígonos semelhantes abaixo representados:

P

Q

Sabendo que a área de P é igual a1,5cm2, que a área de Q é igual a9,375cm2 e que o perímetro de P é iguala 5,4cm, qual é o perímetro de Q?

Uma vez que:Uma vez que:

rPP PQ×=

Há que descobrir qual a razão de semelhança em causa, pois só se conhece ovalor do perímetro de P. Como

A

A

P

Qr =

Tem-se, pelos dados do enunciado

5,225,65,1

375,9=⇔=⇔= rrr Logo, a razão de semelhança é igual a 2,5

P

QAgora que é conhecido o valor da razão desemelhança, é possível determinar o valordo perímetro de Q. Tem-se

cmr PPPP QQPQ5,135,24,5 =⇔×=⇔×=

Logo, o perímetro de Q é igual a 13,5cm

Exemplo 4

Considerem-se P e Q polígonos semelhantes abaixo representados:

PQ

Sabendo que o perímetro de P é igual a 8,8cm, que o perímetro de Q é igual a20,24 e que a área de P é igual a 3cm2, qual é a área de Q?20,24 e que a área de P é igual a 3cm , qual é a área de Q?

Uma vez que:rAA AB

2×=

Há que descobrir qual a razão de semelhança em causa, pois só se conhece ovalor da área de P. Como

PP

A

Br =

Tem-se, pelos dados do enunciado

3,28,8

24,20=⇔= rr

Agora que é conhecido o valor da razão de semelhança, é possível determinar ovalor da área de Q. Tem-se

22287,1529,533,23 cmAAArAA BBBAB

=⇔×=⇔×=⇔×= 87,1529,533,23 cmAAArAA BBBAB=⇔×=⇔×=⇔×=

Logo, a área de Q é igual a 15,87cm2