Sequências-Primeira Lista e Respostas

7/25/2019 Sequncias-Primeira Lista e Respostas

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S R I E S E E Q U A E S D I F E R E N C I A I S O R D I N R I A S 1 a L i s t a d e E x e r c c i o s

R E S P O S T A S , S U G E S T E S E S O L U E S

Exerccio 01. No dif ci l concluir que

|

|

< , se

>

1.

Exerccio 02. Dado 0.001, ento, a f im de que < , deve-se considerar 3 2.Portanto, a desigualdade proposta ser verdadeira a par t i r do t r igsimo segundotermo da sequncia. (Se esse valor de m for comparado com o ob tido em exemploapresentado em aula, pode- se chegar a alguma concluso acerca da veloc idadede con ver gnci a das sequncias envolvidas nos dois casos ?)

Exerccio 03. Lembre-se de que |||||||| yxyx , , . Para concluir algo sobre arecproca do resul tado, considere, por exemplo, a sequncia 1e 1.

Exerccio 04. A sequncia converge para 0.


Exerccio 06. A sequncia converge para 1/5.


Exerccio 08. A sequncia diverge.



Exerccio 11. A sequncia converge para 2.Exerccio 12. A sequncia diverge.

Exerccio 13. A sequncia converge para 1.Exerccio 14. A sequncia converge para 0.












Exerccio 26. A sequncia converge para 1/e .Exerccio 27. A sequncia converge para 1/2.

Exerccio 28. A sequncia montona est r i tamente crescente, l imitada e , consequentemente,convergente. imediato ver que 3/5 cota infer ior . Alm disso, voc poderveri f icar , sem dif iculdades, que 1 cota sup erior e que o l imite da seq uncia 2/3.

Exerccio 29. A sequncia constante, logo montona, l imitada e convergente.

Exerccio 30. A sequncia montona est r i tamente decrescente, l imitada e , consequentemente,convergente. O nmero 2 1pode ser tomado como cota superior . O l imite dasequncia 0, valor que tambm pode ser considerado como cota infer ior .


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Exerccio 31. A sequncia montona est r i tamente crescente e l imitada apenas infer iormente: 1 pode ser tomado como cota infer ior . Para concluir que a sequnciadiverge, note que, se 1n , ento 1

!

n

nn , se 2n , ento 2!

n

nn , e , se 3n ,

n

n

nnnn

nn

nnnn

n

n n

)

132

(

).1.(....2.1

...............

!

.

Assim, ...,3,2,1,!

nnn

n n , e , como lim , tem-se lim

.Exerccio 32. A sequncia no montona, sendo, porm, l imitada. O s nmeros 1 e 1 podem

ser tomados, respect ivamente, como cotas infer ior e superior . A sequnciadiverge, j que no existe o l imite do seu termo geral .

Exerccio 33. A sequncia no montona, mas l imitada. Os nmeros 1/6 e 2/2podem sertomados, respect ivamente, como cotas infer ior e superior . A sequncia converge

para 0.

Exerccio 34. Como 0 0 e 1 / , busque o aux l io do Teorema de LHpitalpara concluir o resultado.

Exerccio 35. Pr imeiramente, note que uma sequncia est r i tamente crescente, j que+ 1!

+

= 1!

= 1 1!

1 1! +

1 1! > 0,

ou seja , < +, . Agora, ut i l izando-se a desigualdade fornecida e a frmula do soma dos termosde uma progresso geomtr ica, consegue-se ver i f icar que a sequncia l imitadasuperiormente, pois

1!

= 1 1!

= 1 1

2

= 1

1 12

1 12 1 2 1 (12)

< 3,

j que 1 2 1 1 2 2

3 2e 2 >0,.Exerccio 36. O fato de f ser cont nua no ponto a s ignif ica que dado 0 , exis te 0 ,

ta l que |)()(||| afxfax . Como aan )( , exis te m , ta l que

|| aamn n , para qualquer nmero 0 . Em part icular ,

tomando-se , segue que || aamn n , e , consequentemente,

|)()(| afaf n , como desejado.

Exerccio 37. Basta observar que o resul tado do exerccio anter ior nos permite concluir que

se )( na converge, ento

(f nn

alim

) n

lim )( naf .

(Mesmo sem perceber, voc ut i l i zou este resu l tado em exerc c io anterior? )

Exerccio 38. Como + ++ e ++ < 1, segue que est r i tamente decrescente,logo montona. J que > 0 , , a sequncia, evidentemente, converge.


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Exerccio 39. ( i ) Se 1, ento 1 2 1.( i i ) Se, por hiptese, 2 1, ento, como, + 2 1, v-se que

+ 2 2 1 1 2+ 1. A sequncia diverge, pois lim2 1 .

Exerccio 40. Note quen

naaa 2/14/12/14/12/14/12/1

22/1

1 2,,22.2,2

. Assim,

usando a frmula ( * ) , que fornece a soma de um nmero f ini to de termos emprogresso geomtrica, conclui -se que a sequncia dada converge para 2.

Obser vaoSe , , , so termos em progresso geomtr ica de razo , ento a somadesses termos vale

(*) .Exerccio 41. Uti l izando-se o mtodo de induo, consegue -se ver i f icar que a sequncia dada

montona est r i tamente crescente e l imitada superiormente.

De fato, tem-se 1 < 2 . Supondo-se, ento, < +, segue que < + , e , por tanto, que 1 < 1 +, ou seja , + < + .Alm disso, 1 < 3, e, sendo + < 3, v-se que

+ 1 + < 1 3 < 3.Por f im, j que se tem a garant ia da convergncia da sequncia , chamandode o valor do seu l imite , tem-se + , e , dessa forma, aequao nn aa 11 leva concluso de que + .

Exerccio 42. Note quenn nn nnn nnn n 233.2333233 . Agora, para

concluir o resul tado, basta apl icar um dos Lemas apresentados em sala.

Exerccio 43. Tem-se 4 > 1. Se 1, ento 1, e , por conseguinte,+

56

1 56 1.

Alm disso, 4 < 5, e , analogamente, se 5, ento 5, e ,tambm, + + + < 5. Logo, l imitada.Por outro lado, 4

> 3.5 . Supondo-se, ento, + < , segue que

+ < , e , consequentemente, que + 5 < 5, e , a inda,que

12 5 <

2 5 , ou seja , que + < +, o que mostra que a sequncia

montona.

Por um procedimento anlogo ao apl icado no Exerccio 41. , conclui-se que a

sequncia converge para 1.


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Exerccio 44. Se 2, ento , de onde, sem dif iculdade,conclui-se o resul tado desejado.

Exerccio 45. a) 3/2 = 1 ,5, 17/12 = 1 ,416666 . . . , 577/408 = 1 ,414215 . . . ,

665.857/470.832 = 1 ,414213 . . . .

b) Sim, para 2 .c) Aqui no se tem a mesma garantia de convergncia a que se fez referncia

no Exerccio 41. Contudo, admit indo -se tal convergncia, ar t i f cio idnt ico

ao ut i l izado naquele exerccio leva co ncluso de que, realmente, 2.Exerccio 46. a) (0, 1), (4/10, 6/10), (0, 2/10), (4/50, 6/50) = (4/10, 6/10) .

b)

c) 0, 0 o ponto de mnimo de .Exerccio 47. a) 2, , 89 , 7 , 8 ,

b) Sim, bastando observar que, pelo it em anter ior , 2

.

c) imediato ver i f icar que

> 1, de onde se conclui que > +, ou

seja, que a sequncia montona est r i tamente decrescente.

Como | | < 1,

0 2

, e a sequncia,

portanto , converge a zero.

Uma vez convergente, a sequncia , evidentemente, l imitada.

Exerccio 48. A ver i f icao da l inear idade de T deixada como exerccio.

Agora, sendo autovetor de Tassociado a um autovalor , ento , ouseja, , para cada n , e , por consequncia, 1 .


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Dessa forma,

1 1 0. Tem-se, portanto, as possibi l idades 0 e 0. Se 0, ento 0, e ,

por tanto ,

0, de onde se conclui que

.

Se, por outro lado, 0, ento , o que implica 1.Logo, os autovalores de T so 0 e 1, e , a lm disso, os autovetoresassociados ao autovalor 0so as sequncias constantes no-nulas, enquantoos associados ao autovalor 1 so as sequncias no-constantes queconvergem a zero.

Exerccio 49. Se considerarmos a sequncia de termo geral

,ento

converge para 0 e , a lm disso, sendo

(1 1 ) ,v-se que converge para .

Exerccio 50. A sequncia converge a zero.

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