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Apostila ITA

I 01 Sequncia Numrica Definio 4.1.: Uma sequncia de nmeros reais uma funo x : denotamos o valor de x em n por xn em vez de x ( n ) . Geralmente usamos a notao

para a qual

( xn )n

para representar uma sequncia

x:

. s vezes a notaremos tambm por

( x1 , x2 ..., xn ,...) .

Dizemos que xn o

termo de ordem n ou que xn o n - simo termo da sequncia. Quando quisermos explicitar que a imagem da sequncia em A escreveremos ( xn )n A .

( xn )n

est contida

Como sequncias so funes, as definies de funo limitada, crescente, decrescente, montona, etc., tambm fazem sentido para sequncias. Exemplo 4.2.: Seja a e tomemos xn = a para todo n limitada. constante. imediato que ( xn )n . A sequncia ( xn )n

Exemplo 4.3.: A sequncia (1, 0,1, 0,1, 0,...) limitada mas no montona. Exemplo 4.4.: Sejam a , r geral, xn = a + ( n 1) r . A sequncia ( xn )n termo a e razo r . Se r = 0 , ento . Considere x1 = a , x2 = a + r , x3 = a + 2r , de maneira uma Progresso Aritmtica de primeiro constante e, portanto, limitada. Se

r > 0 , entosuperiormente.

Finalmente, se r < 0 , ento ( xn ) n Definio 4.5.: Dizemos que sequncia ( nk )k

( xn )n

( xn )n

estritamente crescente e, portanto, limitada inferiormente. estritamente decrescente e, portanto, limitada uma subseqncia de

( yk ) k

( xn )n

se existe uma .

estritamente crescente tal que yk = xnk para todo k

Exemplo 4.6.: Seja ( xn )n Progresso Aritmtica

a Progresso Aritmtica de termo inicial a e razo r . A de termo inicial a e razo 2r uma subseqncia de

( xn )n

( yk ) k

. De fato, tomando nk = 2k 1( k

)

obtemos

xnk = a + ( nk 1) r = a + ( 2k 2 ) r = a + ( k 1)( 2r ) = yk .

Matemtica

4.2.: Sequncias convergentes Intuitivamente, uma sequncia

( xn )n

convergente para x se seus termos se

aproximam de x quando n cresce. Esta ideia no est errada. Porm, ela pode induzir a uma ideia equivocada de convergncia. Somos tentados a dizer que ( xn )n seja, a funo f ( n ) = xn x decrescente. No bem assim. Veja a figura 1. Ela converge para x quando a distncia entre xn e x diminui medida que n cresce, ou

foge um pouco do assunto sequncias em de nmeros reais mas ilustra bem o que queremos dizer por se aproximar. Imagine que, partindo do ponto A , percorremos no sentido anti-horrio o caminho desenhado como indicado pelas setas. Ningum duvida, e com razo, de que estaremos assim nos aproximando do ponto O . Porm, a ideia de que a nossa distncia ao ponto O decresce com o tempo mostra-se errada. Convena-se disto percebendo que passamos primeiro por B antes de chegar a C e, entretanto, o segmento BO menor que o segmento CO . De fato, a distncia a O cresce quando percorremos o segmento BC . Podemos perceber que existem muitos trechos do caminho sobre os quais a distncia a O crescente com o tempo, de modo que no existe nenhum ponto a partir do qual a distncia a O passe a ser decrescente com o tempo.

Figura 1 Espiral da convergncia

Continuemos analisando a figura 1 em busca da boa definio de convergncia. Observamos que nossa distncia a O fica to pequena quanto quisermos, bastando para isto que continuemos andando por um tempo suficiente longo. Por exemplo, nossa distncia a O ser menor que 1 depois que passarmos pelo ponto D . Ou seja, em certo instante entramos na bola de raio 1 centrada em O e dela no samos mais. Da mesma forma, a partir de outro instante (futuro) entramos na bola de raio 1 / 2 , centrada em O , e a ficamos. De modo geral, dado qualquer nmero positivo , existe um instante a partir do qual nossa distncia a O ser menor que . A est a definio. Para sequncias de nmeros reais ela expressa da seguinte maneira. 2

Apostila ITA

Definio 4.7.: Uma sequncia que

( xn )n

dita convergente se existe x

de modo

> 0 , N

tal que n N xn x < .

ou que xn converge para (ou tende a) x quando n tende a mais infinito ( n + ) . Se ( xn )n no convergente, ento dizemos que ela divergente. e considere a sequncia dada por xn = x para todo n . Portanto, podemos escrever .

Neste caso, escrevemos xn x e dizemos que x limite da sequncia ( xn )n

Exemplo 4.8.: Seja x

Temos que xn x . De fato, xn x = 0 para todo n

> 0 , n 1 xn x < Exemplo 4.9.: Considere a sequncia xn = 1/ n para todo n . Vamos mostrar que xn 0 . Dado > 0 , tomemos N tal que N > 1 / . Temos ento 0 < 1 / N < . Mas se n e n N , ento xn = 1/ n 1/ N = xN . Logo, podemos escrever

> 0 , N

tal que n N xn 0 < .

O leitor talvez conhea a notao lim n+ xn = x para xn x . Vamos refletir sobre ela. Por enquanto, faamos de conta que no conhecemos a definio de limite. Suponhamos que ao abrir um livro de Anlise, pela primeira vez, encontremos as seguintes inscries:

xn 0 e xn 1 .No ficaramos chocados. Porm, se estivesse escriton +

lim xn = 0 e lim xn = 1n +

Seramos levados a concluir que 0 = 1 . Ora, o sinal de igual " = " que nos leva a esta concluso. Se no tivermos a unicidade do limite, ento a notao lim n + xn = x fortemente enganosa. Apenas para constar, informo ao leitor interessado a definio de convergncia num contexto mais geral (de espaos topolgicos), do qual a nossa um caso particular, permite a no unicidade do limite (isto ocorre em espaos que no so de Hausdorff1). Entretanto, a prxima proposio nos dar direito ao uso da notao lim n+ xn = x . Proposio 4.10.: Sejam

( xn )n

uma sequncia e x, y

tais que xn x e 3

xn y . Ento x = y .

Matemtica

Demonstrao. Suponhamos, por absurdo, que x y . Seja = x y / 2 > 0 . Como

xn x , existe N

tal quen N xn x < .

Seja n o maior dos nmeros N e N ' . Para tal n as duas concluses anteriores so vlidas. Temos entox y x xn + x n y < + = 2 = x y .

Conclumos que x y < x y , o que absurdo. Proposio 4.11.: Uma sequncia subsequncia de ( xn )n tende a x . tal que xn x . Seja

( xn )n

tende a x se, e somente se, toda

Demonstrao. Suponhamos que exista x substncia de

( xn )n

, i.e. , yk = xnk ( k

)

para alguma

( yk ) k sequncia ( nk )k

uma

estritamente crescente. Mostremos que yk x . Seja > 0 . Como xn x , existe

N

tal que se n N , ento

xn x < . Como

( nk )k

restritamente

crescente, existe K

tal que se k K , ento nk N . Segue quek K yk x < .

Portanto

( xn )n

( yk ) k

converge para x . A recproca imediata (basta observar que

subsequncia de si mesma).

Exemplo 4.12: A sequncia

(1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

divergente. De fato, se ela fosse

convergente, ento pela proposio anterior todas as suas subseqncias seriam convergentes para o mesmo limite. Porm, (1, 1, 1, ...) e ( 0, 0, 0, ...) so duas de suas subseqncias sendo que a primeira converge para 1 enquanto que a segunda converge para 0 . Como corolrio da proposio anterior, obtemos que se xn tende a x , ento xn + 2006 tende a x . No h nada de especial com o nmero 2006 . Mais geralmente, fixado p , temos que se xn tende a x , ento xn / p tende a x . fcil perceber que a recproca tambm verdadeira, ou seja, se para algum p temos que xn + p

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tende a x , ento porque xn tende a x . Verifique! A importncia deste fato a seguinte. Se conhecermos alguma propriedade que garanta a convergncia de uma sequncia e soubermos que tal propriedade s valida a partir do seu p - simo termo ento, ainda sim, podemos concluir que a sequncia convergente. Vejamos um exemplo esclarecerdor. Exemplo 4.13: Sabemos que sequncia constantes so convergentes. Considere a sequncia (no constante) dada por xn = 1000 / n , sendo x a funo Parte Inteira de x , definida abaixo: x = m se m

e m x < m +1. constante a partir

fcil ver que xn = 0 para todo n > 1000 . Ou seja, ( xn )n

do seu milsimo-primeiro termo. Conclumos que ela convergente. Teorema 4.14.: Toda sequncia convergente limitada. Demonstrao. Seja ( xn )n uma sequncia convergente para x . Tomando 1 na tal que se n N ,

definio de sequncia convergente, conclumos que existe N ento xn x < 1 , i.e. , xn ( x 1, x + 1) . Tomando

a = min { x1 , ..., x N , x 1} e b = max { x1 , ..., x N , x + 1}

temos imediatamente que xn [ a, b ] para todo n

. Portanto ( xn )n

limitada.

4.3.: Sequncias montonas e sequncias limitadas. A recproca do Teorema 4.14 falsa como mostra o Exemplo 4.12. Porm, existem algumas recprocas parciais que veremos nesta seo. Muitos dos resultados aqui apresentados utilizam, em sua demonstrao, a caracterizao, do supremo vista no Exerccio 5 do captulo 3. Proposio 4.15.: Sexn sup { xn ; n

( xn )n

crescente e limitada superiormente, ento

}.

Da mesma forma, se

inferiormente, ento xn inf { xn ; n

}.

( xn )n

decrescente e limitada

Demonstrao. Vamos provar apenas a primeira parte da proposio j que a segunda se

5

Matemtica

demonstrao de modo anlogo. Seja s = sup { xn ; n que xn s < .

} . Dado > 0 , tome N

tal que x 3 < xn s . Logo, para n N , temos x < xN xn s . Conclumos da

Teorema 4.16. (Bolzano1 Weierstrass2) Toda sequncia limitada possui subsequncia convergente. Demonstrao. Sejam conjunto:

( xn )n

uma sequncia limitada. Considere o seguinte; xn > xm , m > n} .

N = {n

Existem duas possibilidades: N infinito ou N finito. 1 caso: N infinito. Escrevamos N = {n1 , n2 , n3 , ...} com n1 < n2 < n3 < ... . Assim, se i < j ento

( xn )kk

ni < n j e, como ni N , obtemos que xni > xn j . Conclumos que a subsequncia

decrescente. Sendo ela limitada obtemos, finalmente, que ela

convergente. 2 caso: N finito. Como N finito, existe N1 / N cota superior de N . Ora, n1 N logo, existe n2 > n1 (e portanto n2 N ) tal que xn1 xn2 . Mas de n2 N seque que existe n3 > n2 (e portanto n3 N ) tal que xn2 xn3 . Por induo, definimos uma subsequncia

( xn )kk

que crescente e, portanto, convergente (pois ela limitada).

4.4 Sequncias de Cauchy. Definio 4.17. Uma sequncia ( xn )n dita Cauchy1 se

> 0 , N

tal que n, m N xn xm <

Uma sequncia de Cauchy se seus termos se aproximam uns dos outros. Repare que no apenas termos consecutivos mas sim todos eles. natural acreditar que

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Apostila ITA

qualquer sequncia convergente de Cauchy e vice-versa. Vamos admitir, por hora, que sequncias convergentes so de Cauchy (este fato ser demonstrado a seguir). Faamos alguns comentrios sobre a recproca. Considere uma sequncia ( xn )n de nmeros racionais convergentes para, por exemplo, 2 (existe tal sequncia?). Sendo convergente ela de Cauchy. Como a definio de sequncia de Cauchy no faz meno ao limite, mesmo se s conhecssemos nmeros racionais ainda estaramos de acordo que ( xn )n de Cauchy. Porm, neste caso, no seramos capazes de mostrar a existncia do limite. Ou seja, se considerssemos apenas nmeros racionais, no seria possvel mostrar que toda sequncia de Cauchy convergente. mas no em , isto deve J que sequncias de Cauchy so convergentes em estar relacionado completeza. De fato, alguns autores usam sequncias de Cauchy de nmeros racionais para construir . A vantagem desta construo que ela pode ser empregada para completar outros conjuntos (ou melhor, espaos mtricos) que no sejam corpos ordenados. Teorema 4.18. Uma sequncia convergente se, e somente se, ela de Cauchy. Demonstrao. Seja ( xn )n uma sequncia convergente para o limite x . Dado > 0 existe

N

tal que se n N , ento xn x < / 2 . Portanto, se m, n > N temos

xn xm xn x + x xm 0 . Como

( xn )n(4.1)

( xn )nk

convergente de Cauchy,

n, m N xn xm M equivalente a xn < M , temos que xn + se, e somente se, xn . Portanto toda afirmao sobre limite mais infinito tem uma anloga para limite menos infinito. 4.6 Operaes com limites. Temos a seguir algumas propriedades aritmticas de limites finitos. Proposio 4.22. Sejam respectivamente, e c 8

( xn )n

e

( yn )n

convergentes para

x

e

y,

. Temos:

Apostila ITA

I. II. III.

xn + yn x + y ; xn yn x y ; c xn cx ;

IV. se y 0 , ento yn 1 y 1 .

Demonstrao. (I) Seja > 0 . Graas s convergncias de

( xn )n

e

( yn )n

, existem N ' e

N '' tais que, se n N ' , ento xn x < / 2 , e se n N '' , ento yn y < / 2 . SejaN = max { N ', N ''} . Assim, se n N , ento n N ' e n N '' e, da,

( xn + yn ) ( x + y )

= ( xn x ) + ( yn y ) xn x + yn y 0 . Como ( xn )n tal que xn < C para todo n Desta forma, para n N , temosxn yn x y xn yn xn y + xn y x y = xn yn y + y xn x

convergente, ela limitada. Logo, existe C > 0 tal que se n N , ento xn x < e yn y < .

C yn y + y xn x < ( C + y ) .Isto mostra que xn yn converge para x y . (III) consequncia do item anterior, tomando yn = c para todo n (IV) Seja > 0 e N ' 1

.

tal que, se n N ' , ento yn y < . Temos ainda que

y 0 , consequntemente, existe yn y / 2 ,

i.e. ,

, quando n N '' . Tornando N = max { N ', N ''} , para todoy yn 1 1 2 = < 2 . yn y yn y y

n N , temos que

Isto conclui a demonstrao.

9

Matemtica

Exemplo 4.23. Seja r razo r . Se

. A sequncia

(r )n

n

uma Progresso Geomtrica de

r < 1 , ento multiplicando por

r n 0 , obtemos 0 r n +1 r n . Logo,

(r )n

n

decrescente, limitada inferiormente e portanto, convergente para, digamos,

l . Ora, r n +1 = r r n , ento, passando o limite, obtemos l = r l . Como r 1 , temos l = 0 . Segue, finalmente, que r n

( )

n

converge para 0 (Exerccio (2.a)). comh > 0 . Pela desigualdade de Bernoulli,

Sen

r > 1 , ento

r = 1+ h

r n = r 1 + nh e, portanto,

r n + . Em particular,

(r )n

n

divergente

(Exerccio (2.b)). Deixamos para o leitor o estudo dos casos r = 1 e r = 1 . Vejamos agora as propriedades aritmticas de limites infinitos Proposio 4.24. Sejam que xn + . Temos: I. II. III. IV.

( xn )n

e

( yn )n

duas sequncias e c > 0 . Suponhamos

se ( yn )n limitada inferiormente, ento xn + yn + ; , ento xn yn + ;

se yn > c para todo n

c xn + ; xn 1 0 .

Demonstrao. (I) Seja a

tal que a yn para todo n . Dado M , como xn + , tal que se n N , ento xn > M a . Segue que se n N , existe N ento xn + yn xn + a > M . Conclumos que xn + yn + . , podemos tomar N se tal que se n N , ento xn > M / c .xn y n xn c > M M .

(II) Dado M Desta

forma,

nN ,

ento

Portanto .

xn yn + . (III) consequncia do item anterior, tomando yn = c para todo n (IV) Dado > 0 , tomemos N se n N , ento xn 11

tal que se n N , ento xn > . Segue que < . Conclumos que xn 1 0 .

0 =

xn 1

10

Apostila ITA

4.7 Limite superior e limite inferior. No estudo de limites de subsequncias conveniente fazer a seguinte definio. Definio 4.25. Dizemos que x subsequncia de ( xn )n valor de aderncia de

( xn )n

se existe

convergente para x .

O Teorema de Bolzano-Weierstrass diz ento que toda sequncia limitada possui valor de aderncia. Observe que se ( xn )n limitada superiormente, ento o conjunto dos seus valores de aderncia tambm limitado superiormente (veja Exerccio (4.c)). Analogamente, se ( xn )n limitada inferiormente, ento o conjunto de seus valores de aderncia tambm . Definio 4.26. Seja A o conjunto dos valores de aderncia de superior de ( xn )n definido por

( xn )n

. O limite

+ se ( xn ) ilimitada superiormente; n lim sup xn = sup A se ( xn )n limitada superiormente e A ; n + se ( xn )n limitada superiormente e A = . O limite inferior de ( xn )n definido por

se ( xn ) ilimitada inferiormente; n lim inf xn = sup A se ( xn )n limitada inferiormente e A ; n + + se ( xn )n limitada inferiormente e A = . Essencialmente, o limite superior de uma sequncia o seu valor de aderncia, enquanto que o limite inferior seu menor valor de aderncia. A Proposio 4.11 diz que ( xn )n converge para x se, e somente se, x o nico valor de aderncia de ( xn )n . Isto tambm pode ser expresso dizendon+

lim xn = x lim inf xn = lim sup xn = x .n+ n+

Pode parecer estranho tomar como definio de limite superior de uma sequncia limitada superiormente e sem valor de aderncia. A razo que, nestas condies, a sequncia tende a (veja Exerccio 8). Desta forma, o resultado do pargrafo anterior tambm vlido para limites infinitos. 11

Matemtica

Proposio 4.27. Existe subsequncia xnkk +

( )n

de ( xn )nn +

tal que

lim xnk = lim sup xn ., ento este o maior valor de aderncia de

Em particular, se lim sup n +

( xn )n

.

Suponhamos inicialmente que ( xn )n

Demonstrao. Seja A o conjunto dos valores de aderncia de xn . seja ilimitada superiormente e, portanto,

lim sup xn = + n +

Neste caso, imediato que ( xn )n Suponhamos, agora, que ( xn )n

tem subsequncia que tende a + . seja limitada superiormente e A = . Portanto,

lim sup xn = .n +

Se

( xn )n

for limitada inferiormente, ento

( xn )n

ser limitada e, pelo

Teorema de Bolzano-Weierstrass, teremos Finalmente, suponhamos que

A . Logo,

( xn )n

limitada

inferiormente e, portanto, tem subsequncia tendendo a .

( xn )n

seja limitada superiormente a A .

Como j observado antes, A limitado superiormente e, portanto, seu supremo s finito. Vamos mostrar que s A . Aplicando sucessivamente o resultado do Exerccio 5 do Captulo 3 obtemos: a1 A tal que s a1 > s 1 ;

a2 A tal que s a2 > s 1/ 2 ; a2 A tal que s a3 > s 1/ 3 ;Como a1 valor de aderncia de ( xn )ns + 1 > xn1 > s 1 .

e s + 1 > a1 > s 1 , existe n1 logo, existe

tal que tal que

Tambm

temos

a2 A ,

n2 > n1

( xn )kk

s + 1 / 2 > xn2 > s 1 / 2 . Prosseguindo desta forma, construmos uma subsequncia

convergente para s . Segue que s A .

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Apostila ITA

I 02 Exerccios 01. Seja ( nk )k a) b) se uma sequncia crescente. Mostre que limitada superiormente, ento ela constante a partir de um . Conclua

( nk )k

certo termo; se ( nk )k estritamente crescente, ento nk k para todo k que ( nk )k no limitada superiormente.

02. Seja ( xn )n a)

uma sequncia. Mostre que: b) se xn x , ento xn x ;

se xn 0 , ento xn 0 ;

03. Mostre que a recproca do Exerccio (2.b) falsa. 04. Sejam y a) b) c) d) e) e ( xn )n uma sequncia convergente para x . Mostre que se y < x , ento existe N tal que y < xn para todo n N . Mostre que se x < y , ento existe N tal que xn < y para todo n N . Mostre que se xn y para todo n , ento x y . Mostre que se xn y para todo n , ento x y . Se y < xn , para todo n , ento podemos afirmar que y < x ?x

05. Sejam

( xn )n

sequncias convergentes para

e

y , respectivamente.

Suponhamos que xn yn para todo n a) x y ; b) (Teorema do Sanduche) se ( zn )n

. Mostre que tal que xn zn yn e se x = y , ento

zn x .06. Sejam

{nk ; k

estritamente ( nk )k , ( mk )k } {mk ; k } = . Mostre que ( xn )n

crescente

e

tais

que

converge para x se, e

somente se, as subsequncias xnk 07. Sejam ( xn )n a) b) c)

( ) k

e xmk

( ) k

convergem para x .

e ( yn )n convergentes para x e y , respectivamente. Mostre que

xn yn x y ; se y 0 , ento xn / yn x / y ;m xn x m qualquer que seja m

.

13

Matemtica

08. Seja

( xn )n ( xn )n ( xn )n ( xn )n

uma sequncia limitada superiormente e que no tem valor de

aderncia. Mostre que xn . 09. Seja a) b) c) a sequncia . Mostre que: definida indutivamente por

x1 = 0

e

xn +1 = 2 + xn n xn 2 n ;

crescente; convergente.n+

Determine lim xn . 10. O objetivo deste exerccio mostrar o seguinte resultado: para todo m e a com m 2 e a 0 , existe um nico x tal que x 0 e x m = a . Tal x dito raiz m - sima de a e denotado m a (ou simplesmente a no caso m = 2 ). Para isto considere a sequncia ( xn )n definida indutivamente por x1 = 1

xn +1 = xn Mostre que: a) a funo b) c) d) e) f)

m mxn 1

m xn a

n

f:

dada por

f ( x ) = x m estritamente crescente emm - sima de a ;

[0, + ) . Conclua a unicidade da raiz y m x m + mx m 1 ( y x ) x, y 0 ;xn > 0 n m xn +1

;

a n ; xn + 2 xn +1 n ;

( xn )n

converge e o seu limite x verifica x 0 e x m = a .

Sugesto: Em (10.b) use (10.a) e considere separadamente os casos x < y , x > y e x = y . Use ainda a seguinte igualdade:y m xm = y m 1 + y m 2 x + ... + yx m 2 + x m 1 yx

Em (10.c) proceda por induo. Em (10.d) use (10.b) e em (10.e) use (10.d). Finalmente use a Proposio 4.15 em (10.f).

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Apostila ITA

I 03 4.8 Sries. Definio 4.28. Considere uma sequncia ( xn )n . Para cada n Sn =

definimos

xi =1

n

i

= x1 + ... + xn .

A sequncia ( Sn )n dita das somas parciais da srie termo ou termo geral da srie. Escrevemos

x

n

e xn o n - simo

xn =1

+

n

= lim Snn +

quando o limite acima existe e, neste caso, ele dito limite da srie. Dizemos que xn convergente ou divergente se ( Sn )n convergente ou divergente,

respectivamente. Finalmente, dizemos que convergente.

x

n

absolutamente se a srie

x

n

Exemplo 4.29. Considere a Srie Geomtrica de termo geral xn = r (S n = 1 + r + r + ... + r2

n 1)

. Temos

n2

+r

n 1

x

Se r = 1 , ento imediato que S n = n . Segue que ( Sn )nn

diverge, e portanto,

diverge. Suponhamos r 1 . Multiplicando por Sn por r obtemosrSn = r + r 2 + r 3 + ... + r n 1 + r n = 1 + r + r 2 + r 3 + ... + r n 1 + r n 1 = Sn + r n 1.

Portanto, S n = r n 1 / ( r 1) . Assim, neste caso,

(

)

x=

n

converge se, e somente se, r < 1 e,

xn =1

+

n

1 . 1 r

A prxima proposio uma verso da Proposio 44.2 para sries. Proposio 4.30. Sejam que

x

n

e

y

n

duas sries convergentes e c

. Temos

15

Matemtica

I. II.

( x + y ) convergente para x + y ( c x ) convergente para c x .n n n n n

n

;

Demonstrao. A demonstrao trivial: basta aplicar a Proposio 4.22 para as xn e de yn . sequncias das somas parciais de Observamos que, em geral,+n =1

( xn yn ) xn yn .n =1 n =1

+

+

Passamos ao estudo da natureza de sries, i.e. , estamos interessados em critrios que determinem se uma srie convergente ou divergente. Teorema 4.31. I.

xSe

n

converge se, e somente se,

> 0 , N II.

tal que n m N

xi=m

n

i

S2 + = 1 + 2 , 3 4 4 2 1 1 1 1 1 4 1 S8 = S 4 + + + + > 1 + 2 + = 1 + 3 5 6 7 8 2 8 2

S2 = 1 +

Portanto, S2 n > 1 + n / 2 . Da, segue que lim n + S2n = + . Conclumos que a srie diverge. Vamos tratar agora de alguns critrios de convergncia para sries de termos positivos. Claramente, todos os critrios aqui expostos podem ser adaptados para sries de termos negativos. De fato, se xn uma srie de termos negativos, ento

(x )n

uma srie de termos positivos e, alm disto, a primeira converge se, e

somente se, a segunda converge. Eventualmente, podemos usar tambm critrios sobre sries de termos positivos para uma srie xn que tenha termos de sinais variveis. Ora, se ao aplicarmos algum destes critrios para a srie

x

n

concluirmos que ela convergente, ento,

como toda srie absolutamente convergente convergente, concluiremos que

x

n

converge. Por outro lado, se o critrio nada disser, ou mesmo se ele nos informar que xn divergente, em geral, nada poderemos afirmar sobre a convergncia da srie

x

n

.

Observamos tambm o seguinte fato, j mencionado no caso de sequncias. Os primeiros termos de uma srie nada influem na sua natureza. De fato, a srie xn converge se, e somente se, a sriep

a srie

Desta forma, todos os critrios que determinam a natureza de uma srie atravs de alguma propriedade verificada por todos os seus termos continuam vlidos se a tal propriedade verificada partir de algum termo (por exemplo, 2006 ). Por outro lado, no podemos desprezar nenhum termo de uma srie convergente quando estamos interessados em determinar o valor do seu limite.

x

x

n + 2006

converge. De maneira geral, fixado

n

convergente se, e somente se, a srie

x

n+ p

convergente.

17

Matemtica

Proposio 4.33. Uma srie de termos positivos convergente se, e somente se, a sequncia de suas somas parciais limitada superiormente. Demonstrao. Por definio, parciais

crescente. Logo, ( Sn )n convergente se, e somente se, ela limitada superiormente (ver proposies 4.14 e 4.15)

( Sn )n

x

n

convergente se, e somente se, a sequncia de suas somas

convergente. Como xn 0 , temos imediatamente que ( Sn )n

Teorema 4.34. (Critrio da Comparao) Sejam

( xn )n

e

( yn )n

tais que

0 xn yn para todo n I. II.

.n

y Se xSe

n

n

x converge. diverge, ento y diverge.converge, enton

Demonstrao. Sejam ( Sn )n Assim, se ( Sn )n

e (Tn )n

as sequncias de somas parciais de

respectivamente. De xn yn segue imediatamente que Sn Tn para todo n se (Tn )n limitada superiormente, ento ( Sn )n limitada superiormente, ento (Tn )n

x

n

e

y

n

, .

tambm . Por outro lado,

tambm . Conclumos graas

Proposio 4.33.

Exemplo 4.35. Vamos estudar a natureza da srie

claro que se p 0 , ento ela diverge pois neste caso lim n + xn 0 . Suponhamos 0 p 1 . Temos 1/ n 1/ n p para todo n . Portanto, por comparao com a Srie Harmnica, conclumos que a srie diverge. Finalmente, consideremos os casos p > 1 . Mostraremos que a srie converge. Seja

1/ n

p

segundo os valores de p .

( Sn )n

a sequncia das somas parciais. Para todo n

, temos:

18

Apostila ITA

Sn = 1 + 1+

1 2 1 2p

+ +

1 3 1 3p

+ ... + + ... +

1 np 1 np

p

p

+ ... +

1

( 2 1)n

p

1 1 1 1 1 1 1 = 1 + p + p + p + p + p + p + ... + 3 4 5 6 7 2 2n 1

(

)

p

+ ... + n 2 1 p

(

1

)

1+

2 2p

+

4 4p

+ ... +

2n 1

(2 )

n 1 p

=

(2 )1 p i =1

n

( i 1)

Como P > 1 temos 21 p < 1 e, portanto, a Srie Geomtrica de razo 21 p 1/ n p converge. Segue que ( Sn )n limitada superiormente e portanto convergente. Teorema 4.36. (Teste da Razo, ou de dAlembert1) Seja nmeros estritamente positivos. I. Se lim n + xn +1 / xn < 1 , ento II. Se lim n + xn +1 / xn

( xn )n

uma sequncia de

x > 1 , ento x

n n

convergente. divergente.

Demonstrao. (I) Tomemos r

tal que lim n + xn +1 / xn < r < 1 . O resultado do Exerccio tal que xn +1 / xn < r para todo n N . Temos ento xN +1 < rxN ;x N + 2 < rx N +1 < r 2 x N ; x N + 3 < rx N + 2 < r 3 x N ;

(4.a) garante que existe N

De maneira geral, xn < r n N x N , para todo n N . Tomando yn = r n N x N (para todo n ) temos que xn yn para todo n N . Como Geomtrica de razo r ( 0, 1) , ela convergente. O resultado segue do Critrio de Comparao. tal que (II) Usando o resultado do Exerccio (4.b) conclumos que existe N xn +1 / xn 1 para todo n . Portanto, xn +1 xn para todo n N . Segue que a sequncia dos termos gerais da srie crescente a partir do N - simo termo e, portanto, no converge para zero. Logo, a srie divergente. 19

y

n

uma srie

Matemtica

Exemplo 4.37. A srie

1/ n! convergente pois1 / ( n + 1) ! 1 / n! = lim n! 1 = lim =0 n + ( n + 1) ! n + n + 1

n+

lim

Quando lim n + xn +1 / xn = 1 , o Teste de Razo nada permite concluir (nem convergncia nem divergncia). Existem vrias verses do Teste da Razo. A verso vista aqui no a mais geral delas. Por exemplo, podemos substituir o smbolo de limite em (I) pelo smbolo de limite superior. A concluso de (II) tambm vlida se substituirmos o smbolo de limite pelo de limite inferior. Exemplo 4.38. Vejamos exemplos para os quais o Teste da Razo no conclusivo. 1/ n e 1/ n2 . J vimos que a primeira divergente enquanto Considere as sries que a segunda convergente. Porm, para ambas temos que lim n + xn +1 / xn 1 . De fato,n +

lim

1 / ( n + 1) 1/ n

= lim

n =1 n+ n +1

e

n +

lim

1/ ( n + 1) 1/ n 2

2

= lim

n2

n +

( n + 1)2

= 1.

Teorema 4.39. (Teste da Raiz, ou de Cauchy) Seja ( xn )n positivos. I. II. Se lim n + n xn < 1 , ento Se lim n + n xn

uma sequncia de nmeros

x > 1 , ento xtal quen

n n

convergente. divergente.

Demonstrao. (I) Seja r

tal que lim n + n xn < r < 1 . Do resultado do Exerccio (4.a)

obtemos que existe N

xn < r , ou seja, xn < r n para todo n N . O

resultado segue por comparao com a Srie Geomtrica (II) Anlogo ao item anterior. Quando

r

n

.

lim n + n xn = 1 , o Teste da Raiz nada permite concluir (nem

convergncia nem divergncia). Tambm existem outras verses do Teste da Raiz. A verso aqui apresentada no a mais geral delas. Por exemplo, podemos substituir o smbolo de limite em (I) pelo smbolo de limite superior. A concluso de (II) tambm vlida se substituirmos o smbolo de limite pelo limite inferior. 20

Apostila ITA

4.9 A srie dos inversos dos primos. Terminamos o captulo com um interessante resultado sobre a srie dos inversos dos primos. O primeiro a demonstr-lo foi Euler1 [ 7 ] . A demonstrao que apresentaremos aqui mais uma das preciosidades de Erds2 [ 6 ] . O argumento do tipo combinatrio. Antes de apresent-lo faamos uma definio. Definio 4.40. A funo Parte Inteira definida, para todo x , por e n x < n +1 . x n se n Exemplo 4.41. Temos 1 = 1 , 1.4 = 1 e 1.5 = 2 . Proposio 4.42. Seja

( pn )n

a sequncia estritamente crescentes dos nmeros

primos ( p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...) . A srie Demonstrao. Suponhamos por absurdo que

1/ pn

n

diverge.

1/ p 1 p+ n=

converge. Portanto existe N < 1 . 2

tal que:

n

Seja M = 22 N . Temos que M = # A + # B , sendo

A = {m {1, ..., M } ; m mltiplo de algum dos primos p N , p N +1 ,...} , B = {m {1, ..., M } ; m no mltiplo de algum dos primos p N , p N +1 ,...}Vamos mostrar que # A < M / 2 e # B M / 2 chegando assim a uma contradio. O nmero de mltiplos do primo p que so menores que M M / p . Segue que #A M M M . < p p 2 n= N n n= N n

+

+

Tambm fcil ver que todo m B pode ser escrito como m = a b 2 sendo a um produto de primos distintos, todos menores que pN , e b 2 um produto de quadrados de primos, tambm menores que PN . Existem exatamente 2 N 1 nmeros nas condies de a . Temos ainda que b 2 m M e portanto b M = 2 N . Segue que 2N existem, no mximo, nmeros nas condies de b . Portanto

# B 2 N 1 2 N = 22 N 1 = M / 2 . 21

Matemtica

I 04 Exerccios 01. Determine se convergente ou divergente cada uma das sries abaixo. n a) ; 2n n+2 ; b) n ( n + 1)

02. Seja a) b)

x uma srie convergente de termos positivos. Mostre que ( x ) convergente; > 0 , ento ( x / y ) convergente. se lim infn

2 n

n+

n

n

03. Use o resultado do Exerccio 2 do Captulo 2 para mostrar que a srie harmnica diverge.

04. Mostre que se

(x

n

yn ) absolutamente convergente.

x

n

absolutamente convergente e

( yn )n

limitada, ento

05. Mostre que

( sen n / n )2

convergente. Voc consegue generalizar este

resultado para sries do tipo

( f ( n ) / n ) , sob que hiptese sobre2

f:

?

06. Sejam ( xn )n

e ( yn )n duas sequncias positivas tais que

xn = c n + yn limMostre que

/ {0} .

x

n

converge se, e somente se,

y

n

converge.

22

Apostila ITA

07. O objetivo deste exerccio mostrar o Critrio de Leibniz1 que diz: se srie

( xn )n

uma sequncia decrescente de nmeros positivos convergente para 0 , ento a

( Sn )n da srie ( 1)n+1 xn . Mostre que a) ( Sn )n limitada; b) ( S2n 1 )n e ( S2n )n so montonas.convergentes para o mesmo limite s ; c)

( 1)

n +1

xn convergente. Considere a sequncia de somas parciais

Conclua que estas sequncias so

( 1)

n +1

xn convergente.

08. Use o critrio de Leibniz para dar um exemplo de uma srie que convergente mas no absolutamente convergente.

09. Determine, segundo o valor do parmetro a > 0 , a natureza da srie:

( n!)2 n ( 2n )!a .

23

Matemtica

24

IME ITA