1

MA 311 – Cálculo III Lista de Exercícios - SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Parte I: Seqüências Infinitas A) Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.

1) 2 1

nn

� �� �+� �

2) 2 1

3n

n−� �

� �+� � 3) 2

42

nn

−� �� �+� �

4) 2 1

3 ( 2)n

n n� �+� �+� �

5) 2

11 n� �� �+� �

6) 1ne

� �� �� �

7) { }5 8) 2

( 1)( 1)2 2 2n nn n− +� �

� �+ +� �

9) 20

1nn

� �� �

+� � 10)

32

2

6( 1)

nn

� �−� �� �

+� �� �

11) 3 ( 1)

2

n nn

� �+ −� �� �+� �� �

12) { }( 1) ( )n sen n−

13) 1

1n

� �� �+� �� �� �

14) ( 1)

12

n

n

� �−+� �� �

15) 2

1cos

nn

� �−� � � �

� � � 16)

1nn+� �

� �� �

17) 3

2

32

2

2

n

n

� �+� �� �� �� �

18) n n

n n

e ee e

−

−

� �−� �+� �

19) 1 1

1n n� �−� �+� �

20) 2

25

n

n+

� �� �� �

21) { }1n n+ − 22) 2cos n

n� �� �� �

23) 2 1n

n

� �+� �� �� �� �

24) 2

arctg2

n� �+� � � �

� � �

25) 2

nsenn

π� �� �� �

26) 2 1

ln( 2)( 3)

nn n

� �+� �+ +� �

27) 1

1n

n

� �� �� +� � �� � �� �

28) 1

1n

n

� �� �� −� � �� � �� �

B) Use a definição de limite para provar que l im nn

a L→ ∞

= nos casos abaixo:

1) 3

; 0na Ln

= = 2) 1

; 02 1na L

n= =

+

3) 1

; 3 1 3n

na L

n= =

+ 4) 3 1

; 31n

na L

n−= =

+

C) Determine os limites das seguintes seqüências:

1) 2

limn

nsenn→∞

� ��

2) 3

limn

sen nn→∞

3) lim 4n

nn

→∞ 4)

ln( )limn

nn→∞

2

5) lim( 1) n

nn e−

→∞+ 6) lim nn

ne→∞

7) lim!

n

n

nn→∞

8) 3

lim n

nn

→ ∞

9) 1

lim ( ) n

nn π

→ ∞+ 10)

3lim 1

n

n n→∞

� − ��

11) 3

lim( 3)!

n

n n→∞ + 12) lim ln

n

e en n→∞

� ��

13) 2 ln( )

lim2nn

n n→∞

14) ( )lim nsen

nn

π

→ ∞ 15) 3

limn

n

nn→∞

+� ��

16) 2

1lim 1

n

n n→∞

� + ��

17) 3lim n

nn

→∞ 18) limcosn

n sennn n→∞

−+

Parte II: Séries Infinitas D) Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:

1)1

cos( )2k

k

kπ∞

=� 2)

1

cos( )1k

k kk

π∞

= +� 3) 1

2 13 2

k

kk

∞

=

++�

4) 0

tan3k

kπ∞

=

� ��

� 5) 1

ln1k

kk

∞

=

� �+�

� 6) 1

k

k

k∞

=�

E ) Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.

1) 0

17k

k

∞

=� 2)

1

13k

k

∞

=� 3)

0

4k

k

∞

=� 4)

1

7 35

k k

kk

∞

=

+�

5)

2

30

23

k

kk

∞

=� 6)

2

13k

k

∞

=

−� 7)

2

1( 1)k k k

∞

= +� 8) 1

1 12 1k k k

∞

=

� �−� �+ +� ��

9) 1

2

2 2.79

k k

kk

+∞

=

+� 10)

1

cos( )k

kπ∞

=� 11) 2

2

11k k

∞

= −� 12) 21

15 6k k k

∞

= + +�

13) 24

19k k

∞

= −� 14) 1

ln1k

kk

∞

=

� �+�

� 15)

2 1

1

2 35

k k

kk

− +∞

=

+�

16)

2

0

23

k

kk

∞

=� 17) 2

1

33

k

k

k

∞

=�

3

F) Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros: 1) 0,3333 ... 2) 0,777 7 ... 3) 0,929292 ... 4) 0,32151515 ... 5) 0,412412 412 ... 6) 0,21343434 ... G) Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:

1) 1

2 1k +� 2) 2

1(3 1)k +� 3)

1lnk k�

4) 2

1(ln )k k� 5) 2

11 k+� 6)

32 kk e−�

H) Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:

1) 2

11 k+� 2) 31

2 2

1

k k+� 3) 31

kk+�

4) 1

kk+� 5)

32k +� 6) ( 1) kk e−−�

I) Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:

1) 2

32 1kk

++� 2)

2

3

45

kk k

−+ +� 3) 3

k kk k++� 4)

3

2 2

2

k

k

++

�

J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

1) 11k +� 2) 2

cos( )kk

π� 3)

1kk+

� 4) 2

( 1)( 2)( 1)

k kk k

++ +�

5) 32 kk e −� 6) cos

4kπ�

��

� 7) 2

4

2 2 16 10

k kk k

+ −− +� 8)

( )sen kk

π�

9) 23 1

k

k +� 10) 2

arctg1

kk+� 11)

2

1

1 k+� 12)

2

2

22

kk

−+�

13) 1

4 ( 1)k k +� 14) 3

2 2

2

k

k

++

� 15) 3 2

1

2k k+� 16)

12lnk

k+

�

17) ln kk� 18) 2

arctgkk� 19)

32

1

1

k

k

+

+� 20)

ln1 ln

kk+�

21) ln( 1)

2k

k+

+� 22) 21kk+� 23)

2

3 1n

n +� 24) 2

4

32 6

nn n

++ −�

4

25) 3

ln nn� 26)

37

k

k +� 27) 2

3

2

5

k

k +� 28)

3( 2)2k

kk

++�

29) 2cos(2 6)k

k k− +� 30) 2

arctg6

kkπ +� 31)

22

k

k +� 32) 3

( 1)!

kkk +�

33) 10 kk e−� 34) 2

!2k

k+� 35)

lnk

ke� 36) 3

(3 )!( !)

kk�

37) 3

21k

k+

+� 38) 2 1

kk

k� �+�

� 39) 1

(ln )kk� 40) !k

kk�

41) 2

1k

k� + ��

� 42) 1

kk

k� �+�

� 43) 3 2

32

k

kk +� 44) 3 3

2

22

k

k

k +

�

45) 2( !)

(3 )!kk� 46) 31

kkk

� �+�

� 47) ( 2)!4! !2k

kk+

� 48) 1(1 )!k+�

49) 3

!k

ke� 50)

1lnk k

�

K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

1) 31

( 1)k

k k

∞

=

−� 2)

1

( 1)2 1

k

k k

∞

=

−+� 3)

1 2

1

( 1)( 2)!

k

k

kk

+∞

=

−+� 4) 1

2

( 1)ln

k

k

kk

∞+

=−�

5) 1

!( 1)

(2 1)!k

k

kk

∞

=−

+� 6) 3

1

( )3k

k

k∞

=

−� 7)

1

( 1)1

k

k k

∞

=

−+� 8)

1

cos( )

k

kk

π∞

=�

9) 1

2

k

ksen

k

π∞

=

� �� � 10)

1

( 1)( 2)

k

k k k

∞

=

−+� 11)

3

21

( 1)2

k

kk

k∞

+=

−� 12)

2 1

2

( 1)ln

k

k

kk

+∞

=

−�

14) 1

(2 1)( 1)6 2

k

k

kk

∞

=

+ −+� 15)

1

( 1)1

k

k

kk

∞

=

−+� 16)

1

3 21

( 1) 23

k k

kk k

+∞

+=

−� 17) 2

2

( 1)ln

k

k k k

∞

=

−�

18) 1

1

( 1) !6

k

kk

k+∞

=

−� 19) 2

1

( 1)1

k

k k

∞

=

−+� 20)

1 4k

ksen

π∞

=

� ��

� 21) 2

( 1)ln

k

k

kk

∞

=

−�

22) 2

1

( 1)(2 1)( 3)

k

k

kk k

∞

=

−+ +� 23) 2

1

( 1)3

k

kk

senhke

∞

=

−� 24)

1

( 1) arctgk

k

kk

∞

=

−� 25)

1

cos( )2k

kk

π∞

= +�

5

26) 2

( 1)ln

k

kk k

∞

=

−� 27)

2

(2 1)2

1 kk

kksen

e

π∞

=

+� ��

+� 28)

32

52 22

( 1) ( 3 )

7 2

k

k

k k

k k

∞

=

− +

− +� 29)

1

senh cosh

k

k kk

∞

=

−�

30) 1

( 1) cosh 2k

kk

kke

∞

=

−�

Parte III: Séries de Potências L) Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:

1) 0

1( 1) se 1

1k k

k

x xx

∞

=

− = <+� 2) 2

20

1 se 1

1k

k

x xx

∞

=

= <−�

3) 0

se k

kk

x yx y

y y x

∞

=

= <−� 4)

0

se 11

k

k

xx x

x

∞

=

= <−�

M) Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x >0 para os quais a série converge:

1) 2 3

0

1 ... (0! 1)2! 3! !

k

k

x x xx

k

∞

=

+ + + + = =� 2) 2 4 2

0

1 ... k

k

x x x∞

=

+ + + =�

3) 2 4 2

1

1 ... 12 4 2

k

k

x x xk

∞

=+ + + = +� 4)

2 4 2

0

1 ...2 3 1

k

k

x x xk

∞

=+ + + =

+�

N) Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:

1)2

0

1 ...! 2!

k

k

x xx

k

∞

=

= + + +� 2) 2

0

1 ...2 1 3 5

k

k

x x xk

∞

=

= + ++�

3) 2 1 3 5 7

0

( 1) ...(2 1)! 3! 5! 7!

kk

k

x x x xx

k

+∞

=

− = − + − ++� 4)

2 2 4 6

0

( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!

kk

k

x x x xk

∞

=

− = − + − +�

O) Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:

1)0 2

k

k

xk

∞

= +� 2) 1 2

k

k

xk

∞

=� 3)

1

0

( 1)!

kk

k

xk

+∞

=

−� 4)

0

2( 1)!

k k

k

xk

∞

= +�

5) 2

1

( 1)!

k

k

kx

k

∞

=

+� 6)

0 2

k

kk

kx∞

=� 7)

2 ln

k

k

xk

∞

=� 8) 2

1

( 1)k kk

k

ex

k

∞

=

−�

9) 1

cos( )1

k

k

kx

kπ∞

= +� 10) 2

1

(2 1)!2 !

k

k

kx

k

∞

=

+� 11)

1

( 1)( 1)

kk

k

xk k

∞

=

−+� 12) 2

1

k k

k

k c x∞

=�

6

13) 1

( 1)( 3)

!

kk

k

xk

∞

=

− −� 14) 1

( )3

kk

k

kx π

∞

=

−� 15) 0

!( 1)k

k

k x∞

=

−� 16) 21

3(2 1)

kk

k

xk

∞

=−�

17) 2

( 1)(3 2)

ln

kk

k

xk

∞

=

− −� 18) 2

1( 1)

(ln )k

kk

xk

∞

=−� 19) 2 1

1

12

k

k

xk

∞+

= +� 20) 1

( 2)( 1)3

k

kk

xk

∞

=

++�

21) 1

( 3)( 1)

k

k

xk k

∞

=

−+� 22)

2 1

0

k

kk

xπ

+∞

=� 23)

1

( 2)k

kk

k xe

∞

=

−� 24)

0

(2 5)2 8

k

k

xk

∞

=

++�

25) 2

(7 1)2

k

kk

k x∞

=

+� 26) 2

1

( 2)3

k

kk

xk

∞

=

−� 27)

3

k

k

kx∞

=� 28)

0 ln( 1)

k

k

xk

∞

= +�

29) 1

( 1)3 1

k

kk

xk

∞

=

−+� 30)

0

(2 1)5

k

kk

x∞

=

−� 31)

1

( 4)( 1)( 2)

k

kk

k xk k e

∞

=

++ +� 32)

3

0

( 2)3

k

kk

k x∞

=

−�

33) 2 1

0

( 1)2( 1)!

k k

k

xk

+∞

=

−+� 34)

2

0

( 1)(2 )!

k k

k

xk

∞

=

−� 35)

1 ( 1)

k

k

xk k

∞

= +�

P) Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções.Determine o raio de convergência.

1) 11 2x−

2) 2

1x

x− 3) 2

11 4x+

4) 2

11 9x−

5) 21xx+

6) 21xx−

7) 11

xx

−+

8) 2

11x

x−

−

9) 4

11 x−

10) 24xx−

Q) Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Determine o raio de convergência.

1) 2

2 1( ) Dica: ( ) 2

(1 ) 1d

f x f xx dx x

� � = = − � �+ +� � 2)

2

3 2

2 1( ) Dica: ( )

(1 ) 1d

f x f xx dx x

� � = = � �− −� �

3) 2 2( )(1 )

xf x

x=

+ 4)

2

2 2

1( )

(1 )x

f xx

+=−

5) 2

1( )

(1 4 )f x

x=

+

7) 2

2 2 2

1( ) Dica: ( )

(1 ) 1x d x

f x f xx dx x

� − � = = � �+ +� � 8) 2 2

8( )

(1 4 )x

f xx

=+

9) 2

2 2

1 2( )

(1 )x x

f xx

+ −=+

10) 2

2( )

( 1)f x

x=

+

7

R) Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre a integração de séries de potências.Determine o raio de convergência. 1) ( ) ln(1 )f x x= + 2) ( ) ln(1 )f x x= − 3) ( ) ln(1 )f x x x= + 4) ( ) arctg2f x x= 5) arctgx x 6) ln(4 )x+

7) 41dx

x+� 8) 2ln(1 )x+

S) Utilize os resultados dos itens (1) e (2) do exercício R para mostra que:

3 51

ln 2 ... 11 3 5

x x xx x

x� +� = + + + < � �−� �

T) Para a série de potências2 2 4 6

0

( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!

kk

k

x x x xk

∞

=− = − + − +� , faça o que se pede nos itens abaixo:

1)Use o teste da razão para mostrar que a série converge absolutamente para todo x.

2)Utilize o teorema da diferenciação de séries de potências para mostrar que a função 2

0

( ) ( 1)(2 )!

kk

k

xf x

k

∞

=

= −�

satisfaz ( ) ( )f x f x′′ = − . 3)Mostre que ( 0 ) 1f = 4) Qual a função que já foi vista que satisfaz os itens (2) e (3)? U) Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções.Determine os valores de x para os quais a série converge. 1) 2( ) 0xf x e c= = 2) ( ) sen 0f x x c= =

3) ( ) cos 4

f x x cπ= = 4) ( ) sen

6f x x c

π= =

5) 2( ) 1 2f x x c= + = 6) 1

( ) 01

f x cx

= =+

7) ( ) ln(3 ) 0f x x c= + = 8) ( ) sen2 0f x x x c= =

9) ( ) 2 0xf x c= = 10) 1

( ) 2f x cx

= =

11) sen

( ) 0x

f x cx

= = 12) 2( ) 0xf x x e c−= =

13) ( ) sen 4

f x x x cπ= = 14) 2( ) ln(1 ) 0f x x x c= + =