Aplicações Potencias do Microscópio de Varredura por Sonda ed (1)
Series de potencias (II)
Transcript of Series de potencias (II)
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Series de potencias (II)
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
1 Algebra de series de potencias
2 Teorema de Abel
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion senh(x).
senh(x) =ex − e−x
2=
12(
exp(x)− exp(−x))
senh(x) =12((1+
x1!+
x2
2!+
x3
3!+· · · )−(1− x
1!+
x2
2!−x3
3!+− · · · )
)=
x1!
+x3
3!+
x5
5!+ · · ·
valido para todo x ∈ RDel mismo modo:
cosh(x) = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+ · · · ∀x ∈ R
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion senh(x).
senh(x) =ex − e−x
2=
12(
exp(x)− exp(−x))
senh(x) =12((1+
x1!+
x2
2!+
x3
3!+· · · )−(1− x
1!+
x2
2!−x3
3!+− · · · )
)=
x1!
+x3
3!+
x5
5!+ · · ·
valido para todo x ∈ RDel mismo modo:
cosh(x) = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+ · · · ∀x ∈ R
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion senh(x).
senh(x) =ex − e−x
2=
12(
exp(x)− exp(−x))
senh(x) =12((1+
x1!+
x2
2!+
x3
3!+· · · )−(1− x
1!+
x2
2!−x3
3!+− · · · )
)=
x1!
+x3
3!+
x5
5!+ · · ·
valido para todo x ∈ RDel mismo modo:
cosh(x) = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+ · · · ∀x ∈ R
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
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Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
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Ejemplo (producto de series)Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) =
√1+x1+x2 .
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1 + x)
12 (1 + x2)
−12
(1+x)12 =
(1/20
)+
(1/21
)x+(
1/22
)x2+
(1/23
)x3+
(1/24
)x4+· · · =
1 +x2− 1
8x2 +
116
x3 − 1128
x4 + · · · para todo x ∈ (−1,+1)
(1 + x2)−12 =
(−1/2
0
)+
(−1/2
1
)x2 +
(−1/2
2
)(x2)2 + · · · =
= 1− x2
2+
38
x4 + · · · , ∀ x ∈ (−1,+1)
Multiplicando:
f (x) =√
1 + x1 + x2 = (1+x)
12 (1+x2)
−12 = 1+
12
x+(−1
8−1
2)x2+
(−1
4+
116)x3+· · ·
para todo x ∈ (−1,+1).
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (sustitucion de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +x1!
+x2
2!+
x3
3!+ · · · ∀x ∈ R, entonces
exp(sen(x)) = 1 +sen(x)
1!+
sen2(x)2!
+sen3(x)
3!+ · · ·
Como sen(x) = x − x3
3!+
x5
5!−+ · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
exp(sen(x)) = 1 +11!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)+
12!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)2
+
+13!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)3
+14!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)4
+ · · · =
exp(sen(x)) = 1 + x +12
x2 − 18
x4 + · · ·
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (sustitucion de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +x1!
+x2
2!+
x3
3!+ · · · ∀x ∈ R, entonces
exp(sen(x)) = 1 +sen(x)
1!+
sen2(x)2!
+sen3(x)
3!+ · · ·
Como sen(x) = x − x3
3!+
x5
5!−+ · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
exp(sen(x)) = 1 +11!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)+
12!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)2
+
+13!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)3
+14!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)4
+ · · · =
exp(sen(x)) = 1 + x +12
x2 − 18
x4 + · · ·
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Ejemplo (sustitucion de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +x1!
+x2
2!+
x3
3!+ · · · ∀x ∈ R, entonces
exp(sen(x)) = 1 +sen(x)
1!+
sen2(x)2!
+sen3(x)
3!+ · · ·
Como sen(x) = x − x3
3!+
x5
5!−+ · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
exp(sen(x)) = 1 +11!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)+
12!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)2
+
+13!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)3
+14!
(x − x3
3!+
x5
5!−+ · · ·
)4
+ · · · =
exp(sen(x)) = 1 + x +12
x2 − 18
x4 + · · ·
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
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Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
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Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
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Ejemplo (division de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la funcion f (x) = sec(x) =1
cos(x).
Como sabemos que cos(x) = 1− x2
2!+
x4
4!−+ · · · ∀x ∈ R, llamamos
sec(x) = d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
sec(x) =1
cos(x)⇔ sec(x) cos(x) = 1
(d0 + d1x + d2x2 + d3x3 + d4x4 + · · ·
)(1− x2
2!+
x4
4!−+ · · ·
)= 1
Termino en x0: d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1Termino en x1: d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0Termino en x2: d0 · (−1
2 ) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
Termino en x3: d0 · 0 + d1 · (−12 ) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
Termino en x4: d0 · ( 14! )+d1 · 0+d2 · (−1
2 )+d3 · 0+d4 · 1 = 0 ⇒ d4 = 524
sec(x) = 1 +12
x2 +5
24x4 + · · ·
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
1 Algebra de series de potencias
2 Teorema de Abel
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
El Teorema de Abel
Teorema de AbelSea f : [0,R] −→ R una funcion continua tal quef (x) =
∑n≥0 anxn para todo x ∈ [0,R). Si la serie
∑anRn es
convergente entonces∑
anRn = f (R). Lo mismo ocurre con elintervalo [−R,0].
Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonicaalternadaEjemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (seriede Gregory)Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica
Algebra de series de potencias Teorema de Abel
El Teorema de Abel
Teorema de AbelSea f : [0,R] −→ R una funcion continua tal quef (x) =
∑n≥0 anxn para todo x ∈ [0,R). Si la serie
∑anRn es
convergente entonces∑
anRn = f (R). Lo mismo ocurre con elintervalo [−R,0].
Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonicaalternadaEjemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (seriede Gregory)Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica
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El Teorema de Abel
Teorema de AbelSea f : [0,R] −→ R una funcion continua tal quef (x) =
∑n≥0 anxn para todo x ∈ [0,R). Si la serie
∑anRn es
convergente entonces∑
anRn = f (R). Lo mismo ocurre con elintervalo [−R,0].
Ejemplo: log(1 + x) y calculo de la suma de la serie armonicaalternadaEjemplo: arctg(x) y calculo de una serie que sume π/4 (seriede Gregory)Ejemplo: calculo de la suma de la serie subarmonica