Índice

1 Somatórios 2

1.1 Somatórios Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 De…nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Somatórios duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Séries 7

2.1 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 De…nição. Convergência e propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Séries onde é possível calcular a soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Séries de termos não negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Séries de termos sem sinal …xo; convergência absoluta . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Séries de Taylor e de Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

1 Somatórios

1.1 Somatórios Simples

1.1.1 De…nição

Com a …nalidade de escrever de uma forma sucinta somas com muitas parcelas, utilizamos o símbolo

de somat¶orioP¡ letra sigma maiúscula do alfabeto grego. Por exemplo, podemos representar a

soma

13 +23 +33 + 43 +53 + 63 + 73 +83 + 93 + 103 + 113 +123

simplesmente por12X

k=1

k3

que se lê: "somatório desde k = 1 até k = 12 de k3". Isto signi…ca que as parcelas da soma são obtidas

substituindo sucessivamente k = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , 12 na expressão k3.

De uma forma geral, se f (k) é uma função de k e m e n são números inteiros com m · n então

nX

k=m

f (k)

representa a soma dos termos que resultam de substituir k, desde m até n, na função f, i.e.,nX

k=m

f (k) = f (m) + f (m +1) + ¢ ¢ ¢ + f (n ¡ 1) + f (n) . (1.1)

À letra k chama-se ¶ındice da soma e aos números m e n, respectivamente, limite inferior e limite

superior do somatório.

Nota 1.1 Se m ¸ 0, f (k) é função real de variável natural, ou seja, uma sucessão de números reais.

Nestes casos é usual representá-la por uk, vk, wk, ak, ¢ ¢ ¢ Assim, no que se segue, representaremos a

soma obtida em (1.1) pornX

k=m

uk = um +um+1 + ¢ ¢ ¢ +un¡1 +un. (1.2)

Nota 1.2 A soma (1.2) tem exactamente n ¡ m +1 parcelas.

Nota 1.3 A variável k (índice da soma) é uma variável muda, i.e., pode ser substituida por outra

letra qualquer poisnX

k=m

uk =nX

i=m

ui =nX

j=m

uj =nX

p=mup = um +um+1 + ¢ ¢ ¢ +un¡1 +un.

Nota 1.4 Sempre que os limites superior e inferior forem iguais a soma apenas tem uma parcela:nP

k=nuk = un.

2

Exemplos 1.1

1.4P

k=1

¡k2 + 1

¢=

¡12 +1

¢+

¡22 + 1

¢+

¡32 + 1

¢+

¡42 +1

¢= 2 + 5 + 10 +17 = 34.

2.3P

k=¡1(3 ¡ 4k) = (3 ¡ 4 ¢ (¡1)) + (3 ¡ 4 ¢ 0) + (3 ¡ 4 ¢ 1) + (3 ¡ 4 ¢ 2) + (3 ¡ 4 ¢ 3) = ¡5.

3.3P

p=0(3p ¡ 2)x3¡p = ¡2x3 +x2 + 4x +7.

Exercício 1.1 Escreva na forma de somatório a soma dos primeiros quarenta e cinco:

1. números pares.

2. números ímpares.

Solução: (1)45P

k=1(2k) ou

44Pk=0

(2k + 2) ou49P

k=5(2k ¡ 8) ou ¢ ¢ ¢ (2)

45Pk=1

(2k ¡ 1) .

Exercício 1.2 Escreva na forma de somatório a forma geral dos polinómio de grau n.

Solução:nP

k=0akxk ou

nPk=0

akxn¡k.

1.1.2 Propriedades

Propriedade 1.1 (Aditiva)nX

k=m

(uk + vk) =nX

k=m

uk +nX

k=m

vk. (1.3)

Demonstração:nX

k=m

(uk + vk) = (um + vm) + (um+1 + vm+1) + ¢ ¢ ¢ +(un + vn)

= (um +um+1 + ¢ ¢ ¢ + un) + (vm + vm+1 + ¢ ¢ ¢ + vn) =nX

k=muk +

nX

k=mvk.¤

Propriedade 1.2 (Homogénea) Para todo α 2 R,nX

k=m

αuk = αnX

k=m

uk (1.4)

Demonstração:nX

k=m

αuk = αum +αum+1 + ¢ ¢ ¢ + αun = α (um +um+1 + ¢ ¢ ¢ +un) = αnX

k=m

uk.¤

Como caso particular da propriedade anterior tem-senX

k=mα = α

nX

k=m1 = α(1 +1 + ¢ ¢ ¢ + 1)| {z }

(n¡m+1) parcelas

= α (n ¡m + 1) (1.5)

o que permite concluir que para calcular o somatório de uma constante basta multiplicar o número de

termos pela constante.

3

Propriedade 1.3nX

k=m

k =m + n

2(n ¡ m +1) . (1.6)

Demonstração:

Uma vez quenX

k=m

k = m +(m + 1) + (m + 2) + ¢ ¢ ¢ +(n ¡ 1) + n.

é a soma1 de n ¡ m + 1 termos de uma progressão aritmética de razão 1, obtém-se o resultado

pretendido.¤

Propriedade 1.4nX

k=mrk =

1 ¡ rn¡m+1

1 ¡ r¢ rm.

Demonstração:

Análoga à anterior, tendo em conta que estamos perante uma progressão geométrica2 de razão r.¤

Propriedade 1.5¡mX

k=¡n

uk =nX

k=m

u¡k. (1.7)

Demonstração:

¡mX

k=¡nuk = u¡n + u¡n+1 + ¢ ¢ ¢ +u¡m¡1 +u¡m = u¡m +u¡(m+1) + ¢ ¢ ¢ + u¡(n¡1) +u¡n =

nX

k=mu¡k.¤

Propriedade 1.6n+rX

k=m+r

uk =nX

k=m

uk+r. (1.8)

Demonstração:

n+rX

k=m+ruk = um+r + um+r+1 + ¢ ¢ ¢ + un+r =

nX

k=muk+r.¤

Propriedade 1.7rX

k=m

uk +nX

k=r+1

uk =nX

k=m

uk. (m · r < n).

Demonstração:rX

k=m

uk +nX

k=r+1

uk = um +um+1 + ¢ ¢ ¢ + ur +ur+1 + ¢ ¢ ¢ + un = um + um+1 + ¢ ¢ ¢ +un =nX

k=m

uk.¤

1 Recorde que, se un é uma progressão aritmética de razão r, então a soma dos p primeiros termos é dada por

S =u1 + up

2¢ p.

2 Recorde que, se un é uma progressão geométrica de razão r, então a soma dos p primeiros termos é dada por

S =1¡ rp

1¡ r¢ u1 .

4

Propriedade 1.8 (Telescópia)

nX

k=m

(uk ¡ uk+1) = um ¡un+1. (1.9)

Demonstração:nX

k=m

(uk ¡ uk+1) =

= um¡ um+1 + um+1| {z }0

¡ um+2 + um+2| {z }0

¡ um+3 + .| {z }0

.. + un¡2| {z }0

¡ un¡1 + un¡1| {z }0

¡ un + un| {z }0

¡ un+1

= um ¡un+1.¤

A propriedade anterior pode-se generalizar para

Propriedade 1.9nX

k=m

(uk ¡ uk+p) = um + um+1 + ¢ ¢ ¢ + um+p¡1| {z }p parcelas

¡ un+p¡1 ¡un+p¡2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ un+p| {z }p parcelas

. (1.10)

Exercícios 1.3

1. Calcule cada um dos somatórios:

(a)7P

k=¡215 (150) (b)

500Pk=5

(1 ¡ 7k) (¡876184) (c)4P

p=¡2100 (p+ 1) (1400)

(d)105P

i=¡3(2i ¡ 5) (10573) (e)

100Pk=2

(3k + 7) (15840) (f)5P

n=¡532+n ¡ 88573

27¢

(g)10P

n=12n¡3 ¡1023

4¢

(h)99P

n=1

¡pn ¡p

n+ 1¢

(¡9)

2. Resolva em ordem a x cada uma das seguintes equações:

(a)124Pk=5

(k + x) = 12000.¡712

¢

(b)200Pk=1

4¡k2 +1

¢= 20x

200Pk=1

¡k2 +1

¢ ¡ 15¢

(c)200P

n=10(n ¡ 1) +

200Pn=10

(2 ¡n) = x (191)

3. Use as propriedades dos somatórios para escrever na forma de um único somatório as expressões:

(a)nP

k=p

¡k2 ¡ 2k

¢+

nPk=p

¡1 +3k ¡k2

¢Ã

nPk=p

(k + 1)

!

(b)6P

k=1(2k + 3) +

6Pk=2

(1 ¡ 4k)+ 35µ

6Pk=2

(¡2k + 12)¶

(c) +8

5

1.2 Somatórios duplos

Do mesmo modo que se utilizam somatórios para representar somas de números, também os podemos

usar para representar somas de somatórios. AssimnX

k=p

uk,r +nX

k=p

uk,r+1 + ¢ ¢ ¢ +nX

k=p

uk,m =nX

k=p

(uk,r +uk,r+1 + ¢ ¢ ¢ + uk,m) =nX

k=p

mX

j=r

uk,j.

Exemplo 1.2

5X

k=1

1X

j=¡2

¡3k + j2

¢=

5X

k=1

(3k + 4 + 3k + 1 + 3k + 3k + 1) =5X

k=1

(12k + 6)

= 125X

k=1

k +5X

k=1

6 = 210.

Exemplo 1.3 Considere os polinómios A(x) = a0x3 + a1x2 + a2x +a3 e B (x) = b0x2 + b1x+ b2.

1. Recorra a somatórios simples para escrever cada um deles.

2. Escreva o produto A(x) ¢ B (x) com um somatório duplo.

Resolução:

1. Tem-se A(x) =3P

i=0aix3¡i e B (x) =

2Pj=0

bjx2¡j .

2. A(x) ¢ B (x) =3P

i=0aix3¡i ¢

2Pj=0

bjx2¡j =3P

i=0

2Pj=0

aibjx3¡i ¢ x2¡j =3P

i=0

2Pj=0

aibjx5¡i¡j

Exercícios 1.4

1. Calcule3P

k=1

3Pr=0

¡k2 ¡ 2r

¢(20) e

2Pk=¡1

5Pr=3

(3r ¡ k) (138) .

2. Mostre quePn

k=pPr

j=1uk,j =Pr

j=1Pn

k=puj,k.

3. Prove quePp

k=1Pq

j=1 (i ¢ j) = (p2+p)(q2+q)4 .

6

2 Séries

2.1 Séries Numéricas

2.1.1 De…nição. Convergência e propriedades gerais

Seja (un) uma sucessão de números reais. Chama-se s¶erie num¶erica de termo geral un à soma dos

in…nitos termos da sucessão, que se pode representar pela expressão

u1 + u2 + ¢ ¢ ¢ +un + ¢ ¢ ¢ =1X

n=1un.

Sendo (un) uma sucessão real, chama-se sucess~ao das somas parciais de un, à sucessão (sn) tal

que

s1 = u1, s2 = u1 + u2, ¢ ¢ ¢ , sn = u1 +u2 + ¢ ¢ ¢ +un, ¢ ¢ ¢

De…nição 2.1 Diz-se que a série1P

n=1un é convergente quando a sucessão (sn) for convergente, ou

seja, quando a sucessão das somas parciais tem limite …nito S. Caso contrário (limsn = §1 ou não

existe) a série diz-se divergente.

Nota 2.1 Na hipótese da série ser convergente escreve-se1X

n=1

un = S

sendo S designado por soma da série.

Exemplo 2.1 Sendo c uma constante, mostre que a série1P

n=1c diverge se c 6= 0, mas converge se c = 0.

Resolução:

Tem-se a sucessão das somas parciais

s1 = c, s2 = c + c, s3 = c + c + c, ¢ ¢ ¢ , sn = nc.

Atendendo a que sn = nc, 8n2N, tem-se que limn!1

sn = limn!1

nc = 1 quando c 6= 0 e portanto a série é

divergente. Caso seja c = 0 tem-se limn!1

sn = limn!1

0 = 0 e a série é convergente com soma S = 0.

Exemplo 2.2 Prove que, sendo a uma constante real diferente de zero, é divergente a série

a¡ a +a ¡ a + ¢ ¢ ¢ +a ¡ a + ¢ ¢ ¢ =1X

n=1(¡1)n+1a.

Resolução:

Atendendo a que sn =

8<:

0 se n é par

a se n é ímpar, tem-se que não existe lim sn , logo a série é diver-

gente.

Teorema 2.1 (Condição necessária de convergência) Se a série1P

n=1un é convergente então limun =

0. Equivalentemente, se limun 6= 0 então a série é divergente.

7

Demonstração:

Sendo sn = sn¡1 +un, tem-se

un = sn ¡ sn¡1.

Supondo que a série é convergente com soma S vem

limun = lim(sn ¡ sn¡1) = lim sn ¡ lim sn¡1 = S ¡S = 0.¤

Exemplo 2.3 Mostre que a série1P

n=1(1 +

2n

)n é divergente.

Resolução:

Como lim(1 +2n

)n = e2 6= 0, tem-se, pela condição necessária de convergência, que a série dada é

divergente.

Nota 2.2 Refere-se que não basta que lim un = 0 para que a série1P

n=1un seja convergente, isto é, o

teorema anterior não nos dá uma condição su…ciente de convergência.

Exemplo 2.4 Prove que a série1P

n=1

1pn

é divergente apesar de lim1pn

= 0.

Resolução:

A série é divergente se a respectiva sucessão das somas parciais divergir. Neste caso tem-se

sn = 1 +1p2

+1p3

+ ¢ ¢ ¢ +1pn

¸ 1pn

+1pn

+1pn

+ ¢ ¢ ¢ + 1pn

= n.1pn

=p

n ¡! +1.

Como a sucessão das somas parciais diverge, a série diverge.

Teorema 2.2 Sejam1P

n=1un e

1Pn=1

vn séries convergentes com somas S e T respectivamente. Então:

1. A série1P

n=1(un § vn) é convergente e tem por soma S §T.

2. Se α 2 R, a série1P

n=1αun é convergente e tem por soma αS.

Demonstração:

1. Designando por (sn) e (tn) as sucessões das somas parciais correspondentes às séries1P

n=1un e

1Pn=1

vn, respectivamente, e por (zn) a soma parcial correspondente à série1P

n=1(un § vn) tem-se

zn = (u1 § v1) + ¢ ¢ ¢ +(un § vn) = (u1 + ¢ ¢ ¢ + un) § (v1 + ¢ ¢ ¢ + vn) = sn § tn.

Logo,

lim zn = lim(sn § tn) = S §T.

8

2. A sucessão das somas parciais da série1P

n=1αun é

αu1 + ¢ ¢ ¢ + αun = α(u1 + ¢ ¢ ¢ +un) = αsn.

Logo,

lim αsn = α limsn = αS.¤

Observação 2.1 Existem poucas séries para as quais é possível determinar uma expressão …nita para

a sucessão das somas parciais e assim poder averiguar a convergência da série, recorrendo à de…nição

de convergência.

2.1.2 Séries onde é possível calcular a soma

Entre as séries em que é possível descobrir a expressão que dá o termo geral da sucessão das somas

parciais encontram-se as séries Geom¶etricas e as séries de Mengoli.

De…nição 2.2 Sejam a, r 2 R. Á série

a + ar + ar2 + ¢ ¢ ¢ + arn + ¢ ¢ ¢ =1X

n=1arn¡1

chama-se série geométrica de primeiro termo a e razão r.

Teorema 2.3 A série geométrica1P

n=1arn¡1 é convergente sse jrj < 1. Na hipótese de convergência a

soma da série é a1 ¡ r

.

Demonstração:

No caso de ser jrj ¸ 1 a série é divergente pela condição necessária de convergência, pois tem-se

limrn¡1 6= 0. Na hipótese de jrj < 1, tem-se limrn = 0 e consequentemente

Sn = a +ar + ¢ ¢ ¢ + arn¡1 = a¡1 + r + ¢ ¢ ¢ + rn¡1¢ = a ¢ 1 ¡ rn

1 ¡ r.

Ora,

lim Sn = lim a ¢ 1 ¡ rn

1 ¡ r=

a1 ¡ r

.¤

Exercício 2.1 Mostre que a série1P

n=1

2n + 3n

6n é convergente e calcule a sua soma.

Resolução:

Trata-se da soma de séries geométricas de razão 13 e 1

2, logo convergentes. A soma é

s =13

1 ¡ 13

+12

1 ¡ 12

=32.

Nota 2.3 Veri…cou-se, no Teorema (2.2), que a soma de duas séries convergentes é uma série con-

vergente. Se tivermos duas séries divergentes, a sua soma tanto pode convergir como divergir. Se uma

das séries for convergente e a outra divergente, a soma será sempre divergente.

9

Exercício 2.2 Estude a natureza da série

1X

n=1

·(¡1)n +

23n+1

52n+1

¸.

Resolução:

É uma série divergente porque é a soma de uma série divergente (condição necessária de convergên-

cia)1X

n=1

(¡1)n

com a série convergente (geométrica de razão 825 < 1)

1X

n=1

23n+1

52n+1 .

De…nição 2.3 Chamam-se séries Telescópicas ou de Mengoli às séries da forma1P

n=k(an ¡ an+1)

Teorema 2.4 A série de Mengoli1P

n=k(an ¡an+1) converge se e só se a sucessão (an) converge. Na

hipótese de convergência a soma da série é dada por

S = a ¡ lim an.

Demonstração:

Seja (sn) a sucessão das somas parciais associada à série1P

n=k(an ¡ an+1).

Tem-se:

sn = (ak ¡ ak+1) + (ak+1 ¡ ak+2)+ (ak+2 ¡ak+3) + ¢ ¢ ¢ +(an ¡an+1) = ak ¡an+1

e portanto

limsn = lim(ak ¡an+1) = lim ak ¡ liman+1.

Assim as sucessões (sn) e (an+1) (ou (an)) serão sempre da mesma natureza, isto é, ambas convergentes

ou ambas divergentes. Logo, a natureza da série é a mesma da sucessão (an) . Na hipótese de ser

convergente

S = lim sn = limak ¡ liman+1 = ak ¡ liman.¤

O teorema anterior pode-se generalizar ao teorema que se segue:

Teorema 2.5 A série1P

n=k(an¡an+p), p 2 N converge se e só se a sucessão (an) converge. Na hipótese

de convergência a sua soma é

S = ak + ¢ ¢ ¢ + ak+p¡1| {z }p parcelas

¡ p liman.

10

Exemplo 2.5 Mostre que1X

n=1

1n2 + n

é uma série de Mengoli e calcule a sua soma.

Resolução:

Tem-se1

n2 + n=

1n(n + 1)

=1n

¡ 1n + 1

= an ¡ an+1

e a série é de Mengoli com an =1n

e p = 1. Sendo liman = lim1n

= 0,a sucessão (an) é convergente e

portanto também a série é convergente. A sua soma é dada por

S = a1 ¡ lim an = 1 ¡ 0 = 1.

Teorema 2.6 A natureza (convergência ou divergência) de uma série não depende dos seus primeiros

termos em número …nito.

Exercício 2.3 Prove que as séries seguintes são convergentes e indique a sua soma.

1.1P

n=1

1(2n¡1)(2n+1) (R : 1

2)

2.1P

n=1

23n¡1 (R : 3)

3. c)1P

n=2

1n2¡1 (R : 3

4)

Observação 2.2 Na sequência da Observação (2.1), torna-se necessário encontrar resultados que nos

permitam descobrir a natureza da maioria das séries, sem que seja possível determinar a sua soma.

2.1.3 Séries de termos não negativos

Uma série1P

n=1un diz-se de termos n~ao negativos (ou abusivamente, de termos positivos) se un ¸

0, 8n 2 N. De seguida enunciam-se alguns critérios que nos permitem estudar a natureza das séries

de termos positivos.

Teorema 2.7 (Critério de comparação I) Suponhamos que para todo o n 2 N se tem 0 · un ·vn. Então

1. Se1P

n=1vn é convergente então

1Pn=1

un também é convergente.

2. Se1P

n=1un é divergente então

1Pn=1

vn também é divergente.

Exemplo 2.6 Determinar a natureza da série1P

n=1

12n(n + 1)

.

11

Resolução:

Como1

2n(n +1)< (

12)n , 8n 2 N, e a série

1Pn=1

(12)n é convergente visto ser uma série geométrica

de razão12

< 1, a série1P

n=1

12n(n +1)

é também convergente, pelo critério de comparação I.

Teorema 2.8 (Comparação com o integral) Seja f uma f. r. v. r. positiva, contínua e decres-

cente em [1, +1[. A série1P

n=1f(n) é convergente se e só se o integral impróprio

R +11 f(x)dx for

convergente.

Exemplo 2.7 Prove que a série1P

n=1

1nk com k 2 R (Série de Dirichlet) é convergente se k > 1 e

divergente se 0 < k · 1 usando o teorema anterior.

Resolução:

Seja f(x) =1xk .Como f é contínua, positiva e decrescente em [1,+1[ estamos nas condições do

teorema anterior. Para k 6= 1 tem-seZ x

1

1xk dx =

11 ¡ k

(1

xk¡1 ¡ 1).

Quando x ! +1 têm-se as seguintes possibilidades:

a) k > 1Z +1

1

1xkdx = lim

x!+1

Z x

1

1xkdx =

11 ¡ k

(0 ¡ 1) =1

k ¡ 1(convergente)

b) k < 1 Z +1

1

1xkdx = 1

1 ¡k(+1¡ 1) = §1 (divergente)

c) k = 1Z +1

1

1xk dx = lim

x!+1

Z x

1

1x

dx = limx!+1

[ln x]x1 = +1 (divergente).

Assim, pelo critério de comparação com um integral, pode-se a…rmar que a série1P

n=1

1nk é conver-

gente se k > 1 e divergente se k · 1.

Observação 2.3 A série1P

n=1

1n

é conhecida por série harmónica.

Teorema 2.9 (Critério de comparação II) Sejam as séries1P

n=1un e

1Pn=1

vn com (un ¸ 0, vn ¸ 0)

tais que

limun

vn= k.

Se k é …nito e não nulo então as séries são da mesma natureza.

Exemplo 2.8 Determine a natureza da série1P

n=2

n(n +1) 3

pn

.

12

Resolução:

Tem-se1X

n=2

n(n +1) 3

pn

=1X

n=2

n23

n +1.

Comparando com a série1P

n=2

1n

13

(Série de Dirichlet com k = 13 < 1, logo divergente), tem-se

limn23

n+11

n13

= limn

n+ 1= 1 6= 0 6= 1.

Pelo critério de comparação II conclui-se que as duas séries têm a mesma natureza e portanto a série

dada é divergente.

Regra 2.1 Qualquer série da forma1P

n=1

αna + ¢ ¢ ¢βnb + ¢ ¢ ¢ onde a é o maior expoente de n do numerador e b

é o maior expoente de n do denomidador deve ser comparada com a série de Dirichlet1P

n=1

1nb¡a .

Teorema 2.10 (Critério de D’Alembert) Seja1P

n=1un uma série de termos não negativos tal que

lim un+1un

= λ. Então:

(i)Se λ < 1 a série1P

n=1un é convergente.

(ii)se λ > 1 a série1P

n=1un é divergente.

(iii)Se λ = 1 nada se pode concluir.

Exemplo 2.9 Determine a natureza da série1P

n=1

n!nn .

Resolução:

Tem-se

limun+1

un= lim(1 ¡ 1

n + 1) =

1e

< 1.

Assim, pelo critério de D’Alembert, a série converge.

Teorema 2.11 (Critério de Cauchy) Seja1P

n=1un uma série de termos não negativos tal que lim npun =

λ. Então:

(i)Se λ < 1 a série1P

n=1un é convergente.

(ii)se λ > 1 a série1P

n=1un é divergente.

(iii)Se λ = 1 nada se pode concluir.

Exemplo 2.10 Estude a natureza da série1P

n=132n(3n¡23n )3n2.

Resolução:

Como limn!1

npun = lim

n!132(

3n ¡ 23n

)3n = 9e¡2 > 1 a série é divergente.

Ao longo desta secção apresentaram-se alguns resultados para o estudo de séries de termos não neg-

ativos. Quando a série que se pretende estudar tem termos positivos e negativos, tornam-se necessários

outros resultados. É disso que trata a secção que se segue.

13

2.1.4 Séries de termos sem sinal …xo; convergência absoluta

De…nição 2.4 Diz-se que uma série é alternada quando dois termos consecutivos quaisquer têm

sinais contrários, isto é, quando é da forma:1X

n=1

(¡1)n+1un = u1 ¡ u2 +u3 ¡u4 + ¢ ¢ ¢ com un > 0, 8n 2 N.

ou1X

n=1

(¡1)nun = ¡u1 +u2 ¡ u3 + u4 ¡¢ ¢ ¢ com un > 0, 8n 2 N.

Teorema 2.12 (Critério de Leibniz) Se (un) é uma sucessão não crescente de limite zero então a

série alternada1P

n=1(¡1)nun é convergente.

Exemplo 2.11 Prove que a série harmónica alternada1P

n=1(¡1)n+1 1

n é convergente.

Resolução:

Como se veri…cam

(i)un =1n

> 0, 8n 2 N

(ii)un+1 ¡ un =1

n + 1¡ 1

n= ¡ 1

n(n + 1)· 0, 8n 2 N

(iii) lim1n

= 0

a série é convergente pelo critério de Leibniz.

Seja agora1P

n=1un uma série de termos quaisquer: positivos, negativos ou nulos. Se a série

1Pn=1

junjdos módulos dos seus termos convergir, diz-se que a série dada é absolutamente convergente. Se a

série1P

n=1un convergir mas

1Pn=1

junj divergir, diz-se que a série1P

n=1un é simplesmente convergente.

Teorema 2.13 Toda a série absolutamente convergente é convergente.

Exemplo 2.12 Indique se a série1P

n=1(¡1)n2n

n!é absolutamente convergente, simplesmente conver-

gente ou divergente.

Resolução:

Considere-se a série dos módulos

11P

n=1

¯¯(¡1)n2n

n!

¯¯ =

P

n=1

2n

n!(série de termos não negativos). Pelo

critério de D’Alembert ,tem-se

limun+1

un= lim

2n + 1

= 0 < 1

Logo a série dos módulos é convergente e, consequentemente, a série dada é absolutamente convergente.

14

2.2 Séries de Funções

2.2.1 Séries de Potências

Chama-se s¶erie inteira ou s¶erie de potencias de x a uma série da forma

1X

n=0anxn = a0 +a1x +a2x2 + ¢ ¢ ¢ +anxn + ¢ ¢ ¢

onde a0, a1, a2, ¢ ¢ ¢ . , an, ¢ ¢ ¢ são constantes reais, ditas coeficientes da série.

Observação 2.4 Qualquer série de potências converge para x = 0. De facto, a série é então igual a

0 + 0 + ¢ ¢ ¢ + 0 + ¢ ¢ ¢ que converge para 0.

Teorema 2.14 (de Abel)

1. Se uma série de potências1P

n=0anxn converge para x = x0 6= 0, então converge absolutamente

para todos os valores de x tais que jxj < jx0j .

2. Se uma série de potências1P

n=0anxn diverge para um valor x = x0 então diverge para todos os

valores de x tais que jxj > jx0j .

Note-se que o ponto 1. do Teorema de Abel garante que se uma série de potências1P

n=0anxn:

1. converge em x0, então converge absolutamente em todos os pontos do intervalo ]¡jx0j , jx0j[ .

2. diverge em x0, então diverge em todos os pontos do intervalo ]¡1,¡jx0j[ [ ]jx0j , +1[.

Denomina-se intervalo de convergencia o intervalo de valores de x onde a série é convergente. Ao

raio do intervalo de convergência chama-se raio de convergencia e representa-se por r.

Existem séries para as quais r = 0 e o intervalo de convergência reduz-se ao ponto 0; há outras

para as quais r = +1 e o intervalo de convergência é R.

O raio de convergência r pode ser determinado aplicando o critério de D’Alembert ou de Cauchy

à série dos módulos1P

n=0janxnj .

Exemplo 2.13 Dada a série1P

n=1

xn

n, determine o raio de convergência e todos os valores de x para

os quais a série é convergente.

Resolução:

Começa-se por escrever a série dos módulos, tendo-se:

1X

n=1

jxjnn

.

15

Ora, para x = 0 tem-se a série nula que converge para zero. Para os valores de x 6= 0, vamos usar o

critério de D´Alembert, tendo-se

lim

jxjn+1

n + 1jxjnn

= jxj lim nn + 1

= jxj .

Veri…ca-se que a série dos módulos é convergente para jxj < 1, divergente para jxj > 1 e nada se pode

concluir para jxj = 1. Assim a série1P

n=1

xn

né absolutamente convergente para jxj < 1, o intervalo de

convergência é ]¡1,1[ e o raio de convergência é r = 1.

Falta estudar a série nas extremidades do intervalo. Tem-se:

Se x = 1,vem1P

n=1

1n

que é divergente (série harmónica).

Se x = ¡1, vem1P

n=1(¡1)n 1

n que é convergente (série harmónica alternada).

Conclusão: Tem-se assim que a série dada é convergente para x 2 [¡1,1[ .

Observação 2.5 Em vez de considerarmos séries de potências de x, isto é,1P

n=0anxn, podemos con-

siderar séries de potências de x¡ a, isto é,1X

n=0

an (x ¡a)n = a0 +a1 (x¡ a) + a2 (x¡ a)2 + ¢ ¢ ¢ +an (x ¡a)n + ¢ ¢ ¢ , com a 2 R

para as quais são válidos todos os resultados apresentados anteriormente.

Exemplo 2.14 Determine os valores de x para os quais a série1P

n=1

n!(x+ 1)n

2n +1é convergente.

Resolução:

Trata-se de uma série de potências de x +1. Considere-se a série dos módulos1X

n=1

n!2n + 1

jx +1jn .

Se x+ 1 = 0 , x = ¡1 temos a série nula que converge para zero. Se x 6= ¡1, aplica-se o critério

de D´Alembert, obtendo-se

lim (n +1)! jx+ 1jn+1 (2n + 1)(2n +3)n! jx +1jn = jx+ 1j lim (n +1)(2n +1)

2n + 3= +1 > 1.

Conclusão: A série dos módulos é sempre divergente excepto para x = ¡1. Logo r = 0.

Exercício 2.4 Determine os valores de x para os quais as séries seguintes são convergentes:

a)1P

n=0

nn +1

xn (]¡1,1[) b)1P

n=0

n5

(n + 1)!xn ( R) c)

1Pn=1

xn

n2 ([¡1, 1])

d)1P

n=1

xn

n!( R) e)

1Pn=1

lnn.xn (]¡1,1[) f)1P

n=2

nxn

n3 ¡ 1([¡1, 1])

g)1P

n=1

(x ¡ 2)n

n2 +n([1, 3]) h)

1Pn=0

4n (x +5)np2n +5

¡£¡214 , 194

£¢

Exercício 2.5 Determine o raio de convergência das seguintes séries:

a)1P

n=1

µn

2n + 1

¶2n¡1xn (4) b)

1Pn=1

xn

nn (1) c)1P

n=1

(n!)2

(2n)!xn (4)

d)1P

n=1

2n¡1x2n¡1

(4n ¡ 3)2³p

22

´e)

1Pn=1

xn

n2¡23¢n

¡23¢

f)1P

n=1

1n

µ2x

a +3

¶n, a > 0

¡a+32

¢

16

2.2.2 Séries de Taylor e de Mac Laurin

De…nição 2.5 Chama-se polinómio de Taylor de grau n gerado por f em torno do ponto a

ao polinómio

Pn(x, a) = f(a) + f0(a)(x¡ a) +f 00(a)

2!(x¡ a)2 + ¢ ¢ ¢ + f (n)(a)

n!(x¡ a)n =

nX

k=0

f(k)(a)k!

(x ¡a)k.

Exemplo 2.15 Determine o polinómio de Taylor de grau n gerado pela função f(x) = ex em torno

do ponto zero.

Resolução:

P(x) = 1 + x+x2

2!+ ¢ ¢ ¢ + xn

n!=

nX

k=0

xk

k!.

Teorema 2.15 Seja f uma função real de variável real de…nida num intervalo aberto contendo a com

derivadas contínuas até à ordem (n + 1) nesse intervalo. Então existe Rn(x; a) tal que:

f(x) = f(a) + f0(a)(x¡ a) +f 00(a)

2!(x ¡a)2 + ¢ ¢ ¢ + f (n)(a)

n!(x ¡a)n + Rn(x;a). (2.1)

À função apresentada no teorema, dá-se o nome de f¶ormula de Taylor para a função f no ponto

a. A Rn(x;a) chama-se resto da fórmula de Taylor. Se a = 0 obtém-se a f¶ormula de Mac Laurin

para f.

Existem várias fórmulas para o resto. Uma delas, resto de Lagrange, é a que se segue

Rn(x;a) =f (n+1)(c)(n + 1)!

(x¡ a)n+1 com c 2 ]a, x[ .

Exemplo 2.16 Escreva a fórmula de Mac Laurin para a função f(x) = ex .

Resolução:

ex = 1 + x+x2

2!+ ¢ ¢ ¢ + xn

n!+

xn+1

(n + 1)!ec para algum c 2 ]0, x[ .

Exercício 2.6 Calcule o polinómio de Taylor do 3o grau gerado pela função f(x) = cosx em torno

do ponto a =π4

e escreva a expressão do resto de Lagrange.

Veri…cou-se atrás que a fórmula de Taylor se pode escrever na forma:

f(x) = Pn(x;a) +Rn(x;a) =nX

k=0

f(k)(a)k!

(x ¡a)k +Rn(x;a).

À série1P

n=0

f (n)(a)n!

(x ¡ a)n chama-se s¶erie de Taylor da função f em torno do ponto a. Se

limRn(x;a) = 0, a série de potências converge e tem por soma f(x) mas se lim Rn(x; a) 6= 0, embora

a série possa ser convergente, a sua soma seria diferente de f(x).

Se a = 0, a série1P

n=0

f (n)(0)n!

xn chama-se s¶erie de Mac Laurin, e diz–se o desenvolvimento de f

em s¶erie de potencias de x.

17

Exemplo 2.17 Escreva o desenvolvimento em série de potências da função f(x) = ex e indique o

intervalo de convergência da série.

Resolução:

Temos que ex = 1 +x +x2

2!+ ¢ ¢ ¢ + xn

n!+ ¢ ¢ ¢ =

1Pn=0

xn

n!.

Para x = 0, a série é convergente. Se x 6= 0, tem-se:

limjxjn+1 n!

(n +1)! jxjn = jxj lim n!(n + 1)n!

= 0 < 1

e, pelo critério de D’Alembert, a série é convergente para qualquer valor de x, ou seja, r = +1 e o

intervalo de convergência é R.

Exercício 2.7

1. Determine a série de Mac Laurin para sinx e indique o intervalo de convergência da série.

2. Determine a série de Taylor para sin x em torno de a = π2

.

Algumas séries de Mac Laurin podem ser obtidas por substituição noutras séries de Mac Laurin:

Teorema 2.16 Sejam f(x) =1P

n=0anxn e g(x) =

1Pn=0

bnxn os desenvolvimentos em série das funções

f e g, válidos nos intervalos I e J, respectivamente.

1. Se α e β são constantes reais, então é válido em I \ J o desenvolvimento

αf(x) + βg(x) =1X

n=0(αan + βbn)xn.

2. Se k é uma constante real então é válido para kxp 2 I o desenvolvimento

f(kxp) =1X

n=0

an(kxp)n.

Exemplo 2.18 Sabendo que ex =1P

n=0

xn

n!é valido em R, determine o desenvolvimento em série de

potências da função coshx =ex + e¡x

2e indique o domínio de validade deste desenvolvimento.

Resolução:

Atendendo a que

ex =1X

n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+ ¢ ¢ ¢ + xn

n!+ ¢ ¢ ¢ válido em R

então

e¡x =1X

n=0(¡1)n

xn

n!= 1 ¡x +

x2

2!+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)nxn

n!+ ¢ ¢ ¢ válido em R.

Assim, fazendo a semi-soma das duas séries obtém-se o desenvolvimento para a função

cosh x =ex + e¡x

2= 1 +

x2

2!+

x4

4!+ ¢ ¢ ¢ +

x2n

(2n)!+ ¢ ¢ ¢ válido em R.

18

Exercício 2.8 Usando o desenvolvimento1

1 ¡ x= 1 + x+ x2 +x3 + ¢ ¢ ¢ válido em ]¡1,1[ , obtenha

o desenvolvimento de1

1 ¡ 2x2 e indique o domínio de validade do desenvolvimento.

Exercício 2.9 Efectue o desenvolvimento em séries de potências, indicando o intervalo de convergên-

cia, das funções

1. f(x) = cos x;

2. f(x) = ln(1 + x).

Exercício 2.10 Desenvolva ln(3 + x) em série de potências de x.

Exercício 2.11 Desenvolva lnx em série de potências de x¡ 2.

Exercício 2.12 Determine todos os valores de x para os quais a série1P

n=1(¡1)n xn

2n ¡ 1converge.

Exercício 2.13 Indique os valores de x para os quais a série de potências1P

n=1

(x¡ 1)n

n.3n converge.

19