Simulação de Sistemas Industriais - Guia Do Formando

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COMUNIDADE EUROPEIAFundo Social Europeu

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Simulao de Sistemas Industriais



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Guia do FormandoSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas Industriais

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SAF - Sistemas Avanados de Formao, SA

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Portugal, Lisboa, Outubro de 1999

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Simulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas Industriais IG . 1IG . 1IG . 1IG . 1IG . 1

ndice Geral

NDICE GERAL

I - CONCEITOS BSICOS EM SIMULAO

Conceito de sistema I.2 Tipos de modelos I.3 Caractersticas dos modelos matemticos I.4 Conceitos bsicos e terminologia I.10 Equaes em modelos de simulao I.12 Simulaes discretas, contnuas e combinadas I.14 Vantagens e desvantagens da simulao I.17 O ciclo de vida de um modelo de simulao I.18 Resumo I.20 Actividades / Avaliao I.21

II - SIMULAO DE MONTE-CARLO

Mtodo de amostragem de Monte-Carlo II.2 Amostragem de distribuies tericas II.8 Caso em gesto de stocks II.11 Caso de uma fila de espera II.17 Optimizao em simulao II.20 Resumo II.27 Actividades / Avaliao II.28

III - DISTRIBUIES DE PROBABILIDADES TERICAS

Introduo III.2 Amostragem a partir de distribuies de probabilidade empricas

discretas e contnuas III.2

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IG . 2IG . 2IG . 2IG . 2IG . 2

ndice Geral

Amostragem a partir de distribuies de probabilidade tericas III.4 Testes de aderncia (ou de ajustamento) III.19 Resumo III.25 Actividades / Avaliao III.26

IV - COMPLEMENTOS DAS TCNICAS DE SIMULAO

Gerao de nmeros aleatrios IV.2 Desenho experimental IV.4 Mtodos de avano do tempo IV.5 Horizonte temporal da simulao IV.7 Validao IV.13 Anlise estatstica das sadas IV.13 Sistemas periciais IV.17 Resumo IV.24 Actividades / Avaliao IV.26

V - CONCEPO DE MODELOS DE SIMULAO

Identificar o problema e definir objectivos V.2 Ponderar potenciais custos e benefcios V.3 Colher dados e desenvolver o modelo V.3 Validar um modelo V.4 Implementar os resultados V.4 Resumo V.6 Actividades / Avaliao V.7

VI - SIMULAO DE OPERAES FABRIS - O EXTEND

O Extend VI.2 A descrio da fbrica VI.23

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Simulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas Industriais IG . 3IG . 3IG . 3IG . 3IG . 3

ndice Geral

Construo do modelo VI.23 Resumo VI.37 Actividades / Avaliao VI.38

ANEXO I - TABELA DE NMEROS ALEATRIOS A I.1

ANEXO II - TABELAS DE DISTRIBUIES DEPROBABILIDADES TERICAS

Tabela da Normal Padronizada A II.1 Tabela da Binomial A II.2 Tabela de Poisson A II.4 Tabela de Kolmogorov-Smirnov A II.6 Distribuio t de Student A II.7

ANEXO III - LINGUAGENS DE SIMULAO

Vantagens das linguagens de simulao A III.1 Desvantagens das linguagens de simulao A III.3 Como seleccionar uma linguagem de simulao A III.4 Linguagens mais populares A III.5

ANEXO IV - TABELAS DE DADOS A IV.1

BIBLIOGRAFIA B.1

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Conceitos Bsicos em Simulao

Conceitos Bsicos em SimulaoConceitos Bsicos em SimulaoConceitos Bsicos em SimulaoConceitos Bsicos em SimulaoConceitos Bsicos em Simulao

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1IEFP IEFP IEFP IEFP IEFP ISQ ISQ ISQ ISQ ISQ

Simulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas Industriais IIIII ..... 11111


OBJECTIVOS

No final desta Unidade Temtica, o formando dever estar apto a:

Identificar os principais conceitos e tcnicas de construo de um modelode simulao;

Explicar a forma como a simulao de um modelo representativo de umsistema pode prever o seu comportamento, evitando graves consequnciascom a sua experimentao real (por irrealista em termos prticos eeconmicos).

TEMAS

Conceito de sistema Tipos de modelos Caractersticas dos modelos matemticos Conceitos bsicos e terminologia Equaes em modelos de simulao Simulaes discretas, contnuas e combinadas Vantagens e desvantagens da simulao O ciclo de vida de um modelo de simulao Resumo Actividades / Avaliao

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Componente Cientfico-TecnolgicaIIIII ..... 22222


Um sistema pode ser descrito como um conjunto de elementos interligadosque interagem entre si e que funcionam de forma coordenada e deliberada.

So inmeros os exemplos de sistemas, desde um sistema de produoindustrial at um sistema de processamento de dados para apoio deciso.Embora os sistemas possam variar consideravelmente podem, contudo, serrepresentados graficamente de uma forma comum (ver figura I.1).

Essencialmente um sistema pode ser visto como uma forma de transformarentradas (inputs) em sadas (outputs) com retorno (feedback), isto , a medidadas sadas pode influenciar as entradas. Por exemplo, um sistema de produode uma empresa industrial apresenta materiais, mo-de-obra, energia, meiosde gesto e recursos financeiros, como entradas. Estas entradas soprocessadas ou transformadas em produtos (sadas), que so vendidos pelaempresa no mercado.

O sistema concebido de forma a atingir os objectivos da organizao. Osobjectivos so, neste exemplo, capacidade de produo, eficincia e qualidadedos produtos.

Os sistemas bem concedidos contm ligaes de retorno (ou retroaco). Oretorno envolve a monitorizao (medio) do comportamento real de um sistemae a comparao com padres (standards).

Quando se verifica um desvio de qualquer dos padres, esta informao transmitida a um ponto apropriado do sistema, a fim de provocar uma acocorrectiva. Por exemplo, num sistema de produo, o controlo de qualidade doproduto final pode revelar uma no-conformidade da matria-prima com asespecificaes (padres), originando a paragem do sistema, a fim de que aaco correctiva (substituio da matria-prima) se processe.

Na prtica, um sistema de produo possui vrias ligaes de retorno antes da

Retorno ou feedback

CONCEITO DE SISTEMA

Figura I.1 - Sistema e o seu meio envolvente

Entradas SadasProcesso

Meio Envolvente

Fronteira

Retorno

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Simulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisComponente Cientfico-Tecnolgica IIIII ..... 33333


sada (produto acabado), de forma a que os desvios aos padres sejamdetectados mais cedo.

Um sistema no funciona de forma isolada, mas sim envolvido num meio queafecta o seu comportamento. Por exemplo, a receptividade de um produto nomercado influencia o nvel de vendas e, logo, o sistema de produo da empresa.Por outro lado, a qualidade de um produto influencia a receptividade dessemercado. Isto quer dizer que, muitas vezes, existem interaces em ambos ossentidos entre um sistema e o seu meio envolvente.

muitas vezes tarefa difcil tentar estabelecer as fronteiras do sistema, pois adeciso de quais os elementos que o compem ou no pode no ser evidente.Existem vrias razes para esta dificuldade:

Primeira, muitos sistemas so compostos por vrios subsistemas. Por exemplo,um sistema de produo composto pelos subsistemas: gesto de materiais,movimentao de materiais, transformao de materiais, manuteno deequipamentos e controlo de qualidade.

Segunda, muitos sistemas so subsistemas de sistemas maiores. Por exemplo,um sistema de produo apenas um subsistema do sistema organizacionaltotal da empresa onde se insere. Conceptualizar sistemas num quadro muitoestreito pode resultar em problemas de suboptimizao. A suboptimizaorefere-se a decises que optimizam o comportamento de um subsistema, masque deixam o sistema como um todo aqum do ptimo. Por exemplo, produziros produtos em lotes econmicos pode maximizar a eficincia da produo,podendo contudo, ser inapropriado sob o ponto de vista do servio ao cliente.

O analista tem de ter cuidado ao definir um sistema para efeitos de anlise demodo a evitar a possibilidade de suboptimizao.

Terceira, os sistemas interagem e sobrepem-se a outros sistemas. Por exemplo,o sistema de Marketing interage com o sistema de Produo. Os sistemas dePessoal e de Contabilidade sobrepem-se ao sistema de Produo.Consequentemente, para o analista muitas vezes difcil isolar um nico sistemapara anlise.

Quarta, mesmo quando as fronteiras do sistema se encontram definidas necessrio criar ligaes com o meio envolvente, pois a maioria dos sistemasso afectados por ele. Por exemplo: o estado da economia; a existncia ou node mo-de-obra especializada numa certa regio; aces desencadeadas pelaconcorrncia. Em muitos casos os factores que mais influenciam um sistematm origem no meio exterior.

Existem outros tipos de modelos de simulao para alm dos matemticos- que so aqueles que nos interessam no mbito deste curso. Antes de osaprofundarmos, vejamos rapidamente outros modelos.

Subsistemas

Suboptimizao

Interaces

TIPOS DE MODELOS

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A classificao que se mostra na figura I.2 estabelece uma primeira diferenaentre modelos fsicos e simblicos. Conforme o nome sugere, os modelos fsicosso representaes fsicas da realidade, enquanto os modelos simblicos sosmbolos de representao da realidade.

Os modelos fsicos dividem-se em icnicos e analgicos. Um filme de desenhosanimados mostrando a colocao em rbita de um satlite constitui um exemplodos primeiros. Um tnel de vento para ensaio do perfil aerodinmico de umautomvel constitui um exemplo dos segundos.

Os modelos simblicos dividem-se em verbais e matemticos. Os primeirosusam palavras para representar a realidade e os segundos usam smbolosmatemticos.

Os modelos matemticos possuem diferentes caractersticas em funo doseu objectivo, modo de anlise, aleatoriedade e generalidade de aplicao (verfigura I.3).

Objectivo

O objectivo de um modelo matemtico pode ser a optimizao ou a descrio.

Um modelo de optimizao procura identificar pontos de maximizao ou deminimizao. Por exemplo, frequentemente um gestor pretende saber quais asaces que deve empreender de forma a minimizar os custos ou a maximizaros resultados.

Modelos fsicos

Modelos simblicos

CARACTERSTICAS DOS MODELOS MATEMTICOS

Figura I.2 - Tipos de modelos de simulao

Icnicos Analgicos Verbais Matemticos

Fsicos Simblicos

Modelos deSimulao

Optimizao

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Um modelo descritivo descreve apenas o comportamento do sistema ao longodo tempo. Este modelo usado para se conhecer o comportamento do sistemaem determinadas condies.

Atravs de uma investigao sistemtica de diferentes hipteses, podedescobrir-se sob que condies o sistema apresenta melhor desempenho. Umexemplo do uso indirecto de um modelo com o objectivo de optimizao consisteem colocar questes do tipo: O que que acontece se ...? (What if ...?). Ogestor de Marketing pode colocar a questo: Qual ser o efeito nos resultadosse as despesas em publicidade forem aumentadas 10%?

Outra possibilidade consiste em usar um modelo descritivo para explorar assolues fornecidas por um modelo de optimizao. conveniente poder explorara regio quase-ptima, pois acontece que, frequentemente, o ptimo no praticvel. Por exemplo, a quantidade econmica de encomenda de um produto 65 kg, contudo, a quantidade mnima da embalagem 100 Kg.

Modo de anlise

O modo de anlise de um modelo matemtico pode ser analtico ou numrico.

O modo analtico usa as tcnicas tradicionais da matemtica e da estatsticapara executar a anlise e obter informao exacta do sistema modelisado.

O modo numrico de anlise prescinde daquelas operaes complexas de clculoe utiliza em seu lugar um elevado nmero de clculos simples. Como resultado,obtm-se apenas uma estimativa das caractersticas de interesse do modelodo sistema. Contudo, dependendo do problema e do mtodo numrico utilizado,pode obter-se informao exacta.

Para se compreender melhor a diferena entre os modos analtico e numrico,vejamos um exemplo.

What if?...

Modo analtico

Modo numrico

Figura I.3 - Caractersticas dos modelos matemticos

Optimizao

Descrio

Analtico

Numrico

Determinstico

Probabilstico

Pronto aUsar

Medida

Objectivo Modo de Anlise Aleatoriedade Generalidade deAplicao

ModelosMatemticos

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Simulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisComponente Prtica IIIII ..... 77777


Suponhamos o comportamento de um sistema descrito pela seguinte funo:

Caso de Estudo I. 1

( ) x2xxf 2 =

( ) 1x02-x2dx

xdf ===

O analista pretende saber qual o valor de x que minimiza esta funo.

Aplicando clculo diferencial, que um modo de clculo analtico, fcil resolvera questo. Calcula-se a primeira derivada, iguala-se a 0 e resolve-se a equao,

obtendo-se x = 1.

Suponhamos agora que o analista no sabe clculo diferencial. Como poderiaele resolver este problema? Embora leve algum tempo, ele pode testar sucessivosvalores de x na funo, at encontrar aquele que melhor se adeque.

Neste mtodo numrico de anlise, comea-se por ensaiar um qualquer valorde x, substituindo-o na funo f(x). Incrementa-se o valor de x e ensaia-senovamente. Se o valor da funo f(x) para este novo valor de x for inferior ao valorda funo para o valor anterior de x, ento incrementa-se x novamente e repete-se o ciclo. Se for superior pra-se. Teremos encontrado o valor de x que minimizaa funo f(x).

Depois de algumas tentativas, obteremos para x = 1 o valor da funof(x) = -1, o qual constitui de facto um mnimo.

Quadro I.1 - Valor mnimo da funo, determinado por tentativas

x )x(f

. .

. .

2- 8+

1- 3+

0 0

1+ 1- ).nm(2+ 0

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Componente PrticaIIIII ..... 88888


Evidentemente que o resultado obtido por este modo se aproxima tanto maisdo resultado exacto - fornecido pelo modo analtico -, quanto menor for o valordo incremento. No exemplo, basta a aproximao s unidades.

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Trata-se, pois de um mtodo iterativo em que a soluo exacta pode serencontrada por aproximaes sucessivas, fazendo variar o valor de x de umincremento.

Esta anlise pode ser facilmente executada de forma automtica, atravs deum pequeno programa em computador com um lao (loop) que assegure arealimentao interna de novos valores de x.

O modo analtico de anlise normalmente preferido, pois mais preciso eeficiente que o modo numrico. Contudo, em alguns sistemas, pode revelar-seextraordinariamente complexo ou moroso. Nestes casos, prefervel o recursoa um mtodo numrico. Em geral, quanto mais complexo e detalhado ummodelo, maior a adequabilidade de um modo numrico de anlise.

Aleatoriedade

No mundo real quase todos os sistemas so probabilsticos. Um sistema diz-seprobabilstico quando o seu comportamento no pode ser previsto com certezadevido presena de um certo grau de aleatoriedade. Um modelo probabilsticocapta a natureza probabilstica de um sistema, tratando dados probabilsticose gerando resultados probabilsticos.

Embora a maioria dos sistemas sejam probabilsticos, grande parte dos modelosmatemticos so determinsticos.

Os modelos determinsticos usam valores nicos como dados de entrada(variveis do modelo) e geram valores nicos de sada. Os modelosdeterminsticos so mais populares que os probabilsticos, pois so mais simplese menos dispendiosos em termos de custo e de tempo. Compete ao analistaponderar a escolha face complexidade do sistema.

Ao longo deste mdulo veremos vrios exemplos de modelos probabilsticos.

Generalidade de aplicao

Um modelo pode ser desenvolvido para ser usado na anlise de um nico sistemaou na anlise de muitos sistemas. Os primeiros designam-se comummente medida enquanto que os segundos designam-se pronto a usar.

Em geral, os modelos construdos medida descrevem melhor um sistemaparticular que os modelos prontos a usar, contudo, so mais caros e no seencontram imediatamente disponveis.

Mtodo iterativo

medida e pronto-a-usar

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Os modelos matemticos envolvem o uso de smbolos matemticos e deoperadores para representar as grandezas de interesse, bem como a naturezadas relaes entre as grandezas. Por exemplo, um modelo de contabilidadedescreve a forma como os custos se acumulam, especificando que os custostotais (CT) so funo dos custos fixos (CF), dos custos unitrios variveis (cv)e do volume de output (Q).

Se usarmos notao simblica em lugar daquela relao funcional, obtemos oseguinte modelo matemtico:

Atribuindo valores a CF, cv e Q, pode-se calcular CT. Estas so as variveisusadas no modelo de contabilidade.

Vejamos agora alguns termos atribudos s variveis em simulao.

As variveis podem ser classificadas como:

Variveis de sada; Variveis de sada intermdia; Variveis externas; Variveis polticas; Variveis aleatrias; Variveis determinsticas.

A figura I.4 ilustra o papel desempenhado por cada varivel num modelo desimulao.

CONCEITOS BSICOS E TERMINOLOGIA

( )Qcv,CF,fCT =

QcvCFCT +=

VariveisExternas

Variveis dePoltica Interna

VariveisAleatrias

VariveisDeterminsticas

MODELO

Variveis deSada Intermdia

Variveisde Sada

Figura I.4 - Tipos de variveis num modelo de simulao

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Variveis de sada

As variveis de sada podem referir-se, quer a resultados intermdios, quer aresultados finais. Por exemplo, um modelo de produo pode ter variveis desada para o custo dos produtos acabados, mas tambm para o custo do materialem curso de fabrico. Um modelo de marketing pode ter como variveis de sadao valor das vendas ou a quota de mercado.

Variveis de sada intermdias

Conforme se disse atrs, um modelo de simulao dinmico e descreve ocomportamento do sistema que representa ao longo do tempo.Consequentemente, o estado do sistema ao fim de um certo perodo podeconstituir um dado de entrada no perodo seguinte.

Por exemplo, o inventrio de matrias-primas no fim de um ms, constitui umaentrada no ms seguinte. As despesas de promoo e publicidade influenciamas vendas futuras. A quota de mercado do prximo perodo depende da quotaverificada no ltimo perodo. Os resultados acumulados dependem do resultadodo ltimo perodo, etc.

Variveis externas

Os factores que afectam o comportamento do sistema e que por sua vez, poucoou nada so afectados pelo sistema, so designados por variveis externas.Estas so tambm conhecidas por exgenas, ambientais ou variveisincontrolveis.

Por exemplo, num modelo de produo, greves e falhas de entrega de matria--prima, constituem variveis externas. Um modelo financeiro pode incluir o estadoda economia e a poltica de impostos. Em geral, quanto mais um modelo interagecom o meio envolvente maior a necessidade de incorporar variveis externas.

Variveis polticas

Muitos sistemas contm factores sobre os quais os gestores exercem controlo.Por exemplo, num ambiente de produo, o gestor pode decidir qual a mquinaa utilizar ou sob que condies autoriza a realizao de tempo extraordinrio.Os gestores de Marketing decidem preos e desenvolvem planos promocionais.Os gestores financeiros fixam mtodos de depreciao e estabelecem polticasde dividendos. Tais factores constituem exemplos de variveis polticas emmodelos de simulao.

As variveis polticas so tambm designadas por variveis de deciso ouvariveis controlveis. Em muitos modelos de simulao, procura-se saberqual o conjunto de polticas que resulta no comportamento mais eficiente dosistema.

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Variveis aleatrias

De forma a descrever com realismo o comportamento de um sistema, precisocaptar a sua natureza aleatria ou probabilstica. As variveis aleatriasdesempenham este papel. Por exemplo, num modelo de produo o tempoentre avarias de natureza aleatria, sendo especificado probabilisticamente.O mesmo sucede com volumes de venda, prazos de entrega de fornecedores,ou com custos de mo-de-obra.

Variveis determinsticas

Embora um modelo seja probabilstico, podem existir variveis cuja variaoseja de tal forma reduzida, que o analista pode julgar razovel consider-lascomo determinsticas. Por exemplo, num modelo de produo, a vida til deuma mquina ou a taxa de rejeies podem ser especificadas comodeterminsticas (com um nico valor). Um modelo financeiro pode considerar oscustos de matria-prima e os custos de estrutura fabril como determinsticos.

As classificaes que acabmos de ver no so mutuamente exclusivas, isto, uma varivel pode ser descrita de diversas formas. Por exemplo, o produtonacional bruto (PNB) simultaneamente uma varivel externa e determinstica.

Alm disso as classificaes de uma varivel dependem da opinio do analistasobre o que representa o sistema e o meio envolvente. Por exemplo, enquantoo ritmo de produo, num modelo de marketing, pode constituir uma varivelexterna, num modelo de produo constituir, muito provavelmente, uma varivelpoltica.

O quadro I.2 mostra algumas designaes sinnimas das variveis que acabmosde ver, bem como alguns exemplos da sua aplicao.

Os modelos de simulao incorporam muitas equaes. Basicamentedistinguimos dois tipos de equaes: definidas e empricas.

As equaes definidas exprimem normalmente relaes financeiras. Porexemplo, a equao :

Esta equao indica que o custo de produo (CP) igual soma do custo demo-de-obra directa (MOD), matria-prima (MP) e custo de estrutura (CE) -assim definido pelos contabilistas.

Equaes definidas

EQUAES EM MODELOS DE SIMULAO

CEMPMODCP ++=

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As equaes empricas incorporam dados histricos e relaes entre os factoresque afectam o comportamento do sistema. Por exemplo, a equao

indica que as vendas de um certo produto dependem do seu preo unitrio devenda (P), das despesas de promoo (DP), do produto nacional bruto (PNB),das despesas de investigao e desenvolvimento (ID), do preo de venda doconcorrente mais importante (Pc) e de um termo (erro) aleatrio (u).

A equao das vendas pode ser obtida atravs da tcnica de correlao mltiplaa partir de dados histricos. O gestor pode agora manipular as variveis polticas:P, DP e ID, de forma a elaborar um plano de vendas eficaz.

Embora o nmero de equaes empricas num modelo seja normalmentepequeno, elas so importantes, especialmente na ligao do sistema ao seumeio envolvente.

Equaes empricas

uPcfIDePNBdDPcPbaVendas ++++++=

Quadro I.2 - Variveis usadas em modelos de simulao

edsopiTleviraV semoNsortuO

mesolpmexEoudorP

mesolpmexEgnitekraM

mesolpmexEsananiF

. adaS. etnednepeD. atsopseR. anegdnE

. sodotsuCsotudorpsodidnev

. skcotS meocirbafedosruc

. sedadinUsadidnev

. edatouQodacrem

. sodatluseRsodiuqli

. soditersorcuL

. adaSaidmretni

. adanoicalerroC

. etnednepednI

. adartnE

. kcotS sotudorproiretnaodorep

. .F.Osamitlsadanal

. asepseDoomorp

roiretnaodorep. odacrematouQ

roiretnaodorep

. hsaC odoreproiretna

. sodatluseRodorepsodiuqli

roiretna

. anretxE

. anegxE

. latneibmA

. levlortnocnI

. etnednepednI

. adartnE

. severG

. edsarutoRamirpairtam

. odairmeModacrem

. adsoerPaicnrrocnoc

. adodatsEaimonoce

. oaorujedsaxaTotnemitsevni

. acitloP. osiceD. levlortnoC. etnednepednI. adartnE

. edoceleSsotnemapiuqe

. saroHsairnidroartxe

. soerpedlevN

. edsecAoomorp

. edsodotMoaicerped

. edacitloPsodnedivid

. airtaelA. acitslibaborP. acitscotsE. etnednepednI. adartnE

. odsairavAotnemapiuqe

. edsaxaTsogartse

. edemuloVsadnev

. edadilibatneRsadneved

. -omedotsuCarbo-ed-

. edotsuCsadnev

. acitsnimreteD . etnednepednI. adartnE

. sodadiVsotnemapiuqe

. edsaxaToavitcased

. edsozarPagertne

. sadnemocnEarietracme

. edotsuCsamirpsairtam

. edsotsuCadaruturtse

aserpme

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Dependente da natureza do sistema e das caractersticas de interesse para oanalista, o modelo de simulao pode ser discreto, contnuo ou combinado.

Uma simulao discreta usada quando os acontecimentos de interesse ocorremem momentos especficos no tempo. Por exemplo, consideremos o caso decamies que chegam e descarregam num cais. Cada camio, quando chega,talvez tenha de esperar em fila at descarregar o seu contedo. Osacontecimentos so, neste caso: chegada do camio, incio da descarga e fimda descarga. Anotando os momentos especficos no tempo de todos osacontecimentos, possvel estimar as caractersticas do sistema, tais como: aprobabilidade de um camio ter de esperar em fila, o tempo mdio de esperaem fila e a percentagem de utilizao do cais. Aquilo que se passa entre estesacontecimentos no tem interesse para o analista.

Suponhamos agora que o contedo do camio bombeado para um depsitoque possui uma vlvula de entrada e outra de sada (consumo). Para conhecercomo evolui o nvel do tanque necessrio utilizar um modelo de simulaocontnua. O nvel do tanque, que constitui a varivel de interesse, continuamentemonitorizado de forma a mant-lo entre um valor mximo e um valor mnimo,atravs da regulao das vlvulas de entrada e de sada. Neste caso, um modelode simulao contnuo permite fornecer a informao pertinente e satisfazer oobjectivo.

Na realidade, o caudal de entrada no tanque depende no s da regulao davlvula de entrada, mas tambm da chegada dos camies. Isto , o sistemapossui componentes discretos e contnuos. Para descrever adequadamente ocomportamento deste sistema, torna-se ento necessrio utilizar um modelode simulao combinada incorporando componentes discretos e contnuos.

De forma a ilustrar os conceitos e terminologia vistos at aqui, consideremosum modelo muito simples de simulao (ver caso de estudo I.2).

SIMULAES DISCRETAS, CONTNUAS E COMBINADAS

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Consideremos o caso de uma autarquia que pretende saber como evoluir apopulao do seu concelho dentro dos prximos 10 anos.

O primeiro passo a dar ser definir as fronteiras do sistema de interesse, asentradas e as sadas e as relaes entre os elementos do sistema. Os limitesdo concelho esto definidos por lei. As pessoas entram e saem. As pessoasnascem e morrem. Ento, em qualquer momento (t), a populao do concelhopode ser calculada como sendo aquela que existia no perodo anterior (t-1),mais os nascimentos, menos as mortes, mais a migrao(imigrao - emigrao), ocorridos entretanto.

Estas relaes so facilmente expressas por um modelo matemtico:

Populao(t) = Populao(t-1) + Nascimentos - Mortes + Migrao

A populao uma varivel de sada porque est no lado esquerdo da equao. tambm uma varivel de sada intermdia porque est no lado direito daequao. A populao, os nascimentos, as mortes e a migrao,consideremo-las neste exemplo como variveis determinsticas.

Precisamos de conhecer a populao actual existente e as previses denascimentos, mortes e migrao para os prximos 10 anos. Para tal, podemosrecorrer s tcnicas de previso, combinando mtodos quantitativos e qualitativos.

Suponhamos que obtemos os dados que figuram no quadro I.3.

Caso de Estudo I. 2

Quadro I.3 - Projeces demogrficas

onA sotnemicsaN setroM oargiM oalupoP

3991499159916991799189919991000210022002

-

0101210131016692796001120104016901

-

294594294184874394384184394

-

196296886427517469121165216521

67305

A simulao ser discreta e no contnua. O estado do sistema ser descritoem momentos bem definidos no tempo (no final de cada ano) e no pela formacomo as variveis evoluem continuamente ao longo do tempo.

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Como o modelo de simulao muito simples, podemos calcul-lo mo. Oquadro I.4 mostra os resultados. Por exemplo, a populao no final de 1994ser:

50 376 + 1 010 - 492 + 691 = 51 585.

Este modelo de simulao descritivo, analtico, determinstico e pronto-a-usar. descritivo porque o seu objectivo consiste apenas em evidenciar as alteraesda populao. Analtico porque fornece uma estimativa exacta. determinsticoporque a cada varivel atribudo um nico valor. pronto a usar porque estemesmo modelo matemtico poderia ser usado por qualquer outra autarquia,alterando apenas os dados de entrada.

Quadro I.4 - Projeces demogrficas

onA sotnemicsaN setroM oargiM oalupoP

3991499159916991799189919991000210022002

-

0101210131016692796001120104016901

-

294594294184874394384184394

-

196296886427517469121165216521

67305585154972530045212551246589875755952731613236

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A simulao uma tcnica de anlise de sistemas que praticamente nasceucom os computadores e que se torna cada dia mais popular.

Repare-se nas alternativas simulao:

Uso de outro tipo de modelos matemticos; Realizao de experincias com o sistema real ou com um seu prottipo; Experincia e intuio pessoais.

Na maior parte dos casos, e tendo em conta as desvantagens que apresenta(descritas mais adiante), a simulao s usada quando a modelizaomatemtica se torna extremamente difcil ou mesmo impossvel. Por exemplo,no caso de sistemas simples como automobilistas chegando a uma portagem,o comportamento do sistema (comprimento e tempo na fila de espera) pode serexplicado (ou previsto) usando modelos matemticos e estatsticos (modoanaltico de anlise). Contudo, em presena de problemas mais complexos, talcomo o fluxo de produtos ao longo de um processo de produo (sistema defilas de espera), a simulao constitui a nica forma de descrever ocomportamento do sistema.

Outra vantagem da simulao consiste na possibilidade de experimentaralteraes ao estado do sistema, sem expor a organizao a consequnciasindesejveis, e aprender como melhorar o seu comportamento.

Num modelo de simulao possvel comprimir longos perodos de tempo parapoucos segundos. Por exemplo, a vida de um novo produto pode ser descritarapidamente por um modelo de simulao, ao longo das fases de lanamento,crescimento, maturidade e declnio.

Muitas vezes a simulao usada para testar o desenho de um sistema queainda no existe, permitindo evitar futuros problemas e optimizar o seucomportamento.

A experincia e a intuio tm sido e continuaro a ser ingredientes vitais dagesto de sucesso. Como os sistemas crescem progressivamente emcomplexidade, os gestores encontram na simulao uma ajuda para ampliar asua experincia e intuio com procedimentos de anlise sistemtica.

Existem, contudo, algumas desvantagens no recurso simulao:

O desenvolvimento do modelo pode ser muito caro e moroso para aempresa;

O tempo de clculo para grandes modelos de simulao pode ser muitogrande;

Os modelos de simulao de sistemas probabilsticos esto sujeitos aerros, enquanto os modelos analticos no.

A simulao um mtodo til e poderoso de anlise, contudo, s deve serusado depois de terem sido consideradas outras alternativas de anlise.

Alternativas simulao

Vantagens da simulao

Compresso do tempo

Experincia e intuio

Desvantagens da simulao

VANTAGENS E DESVANTAGENS DA SIMULAO

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O desenvolvimento e o uso de um modelo de simulao desenrola-se em trsfases:

Identificao do problema; Desenvolvimento do modelo; Apoio deciso.

Os componentes e as relaes entre as fases encontram-se descritos nafigura I.5.

Na fase de identificao do problema, o gestor descreve-o ao analista, o qual,por sua vez, o formula, baseado na sua formao e experincia. O analistaconsidera vrias tcnicas de soluo e selecciona uma (a simulao, porexemplo).

Na fase de desenvolvimento do modelo, o analista define o sistema e osobjectivos do modelo. Conceptualiza os elementos do sistema e as suasinter-relaes. Colhe dados, constri o modelo e valida-o. Pode acontecer quetenha de repetir o processo vrias vezes at conseguir criar um modelosatisfatrio. Realiza, depois, vrias experincias com o modelo, baseado numdesenho experimental. Por exemplo, pode experimentar vrias regras deprioridade de sequenciamento numa oficina, de modo a determinar qual delaspermite atingir melhor os objectivos de produo.

Os resultados da anlise so depois discutidos com o gestor para verificar se omodelo foi construdo correctamente e se todos os dados julgados pertinentesforam considerados. Se no, h que redefinir o problema e repetir a fase dedesenvolvimento.

Na fase de deciso, os resultados da simulao so apresentados ao gestor.

O modelo de simulao pode ser integrado com a base de dados da empresa,de forma a proporcionar apoio deciso de modo permanente.

Fases da vida de um modelode simulao

Fase de identificao

Fase de desenvolvimento

Fase de apoio deciso

O CICLO DE VIDA DE UM MODELO DE SIMULAO

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Figura I.5 - Fases da vida de um modelo de simulao

Fase de Apoio Deciso

Fase de Definio doProblema

Fase de Desenvolvimentodo Modelo

Integrao do Apoio Deciso

Decisores

Resultados do Modelo

Modelo Experimental

Experincias

ModeloComunicativo

Modelo Conceptual

Modelo Progamado

Experinciado Desenho Programao

Representaodo Modelo

Definio do Sistema e dos Objectivos

Propr uma Soluo(Modelizao)

Formular o Problema

Descrever oProblema

Formulao doModelo

Apresentao dosResultados do

Modelo Redefinio

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Nesta Unidade Temtica verificmos que, uma simulao um modelomatemtico que descreve o comportamento de um sistema ao longo do tempo.

Um modelo considera os elementos existentes no mundo real inter-relacionadose funcionando com objectivos. O construtor do modelo deve focar a sua atenoapenas nos elementos mais importantes e na natureza das suas inter-relaes,com o objectivo ltimo de conseguir melhorar o desenho e o funcionamento dosistema representado pelo modelo.

Existem muitos tipos de modelos. Uns so fsicos, outros simblicos. Osprimeiros compreendem os modelos icnicos e analgicos. Os segundoscompreendem os modelos verbais e matemticos.

Os modelos matemticos - os nicos que nos interessam neste curso - possuemvrias caractersticas. Podem diferir nos objectivos (descrio versusoptimizao), modo de anlise (analtico versus numrico), aleatoriedade(determinstico versus probabilstico) e generalidade de aplicao ( medidaversus pronto-a-usar).

Os modelos de simulao contm equaes que expressam relaes entrevariveis de interesse.

As variveis de um modelo de simulao podem classificar-se como de sada,sada intermdia, externas, polticas, aleatrias ou determinsticas.

Dependendo da natureza do sistema e das caractersticas de interesse, podeusar-se um modelo de simulao discreto, contnuo ou combinado. Os modelosdiscretos so os mais populares.

A simulao um dos mtodos mais usados na cincia da gesto. As empresasque a usam declaram-se satisfeitas com os resultados.

igualmente um mtodo muito potente de anlise que, devido ao tempo ecusto necessrios, s deve ser usado depois de esgotadas as alternativas.

O ciclo de vida de um modelo de simulao compreende trs fases. Na fase dedefinio, o problema transmitido ao analista que o conceptualiza, construindouma soluo tcnica. Na fase de desenvolvimento, constri-se o modelo, valida-se e coloca-se em utilizao. Na fase de apoio deciso, o gestor manipula omodelo e decide colocando questes do tipo O que que acontece se...?(what-if...?).

Por ltimo observou-se que, muitas vezes os modelos de simulao socomponentes de sistemas de informao para gesto e de sistemas de apoio deciso, compartilhando as mesmas bases de dados.

RESUMO

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1. O quadro seguinte, parcialmente preenchido, indica as entradas, oscomponentes, as funes e as sadas de vrios sistemas. Preencha oscampos em branco.

2. Uma clnica pretende crescer para comportar 3 mdicos, o que implicamudar para novas instalaes. Estas devero ter uma sala de espera dedimenso tal que nenhum cliente tenha de esperar em p.

a) Descreva o consultrio como um sistema.b) Que tipo de modelo matemtico poderia ser usado para seleccionar o

novo consultrio? Quais devero ser as variveis de entrada e de sadado modelo?

3. O que que significa suboptimizao? Suponha que os Servios Comerciaisde uma empresa estabelecem como objectivo a maximizao do nmerode unidades vendidas. Constituir este objectivo um exemplo desuboptimizao? Porqu?

4. Os modelos podem ser classificados como icnicos, analgicos, verbais ematemticos. Classifique os seguintes modelos de acordo com estascategorias.

a) W = F . e;b) Uma boneca;c) Um desenho animado do pato DONALD;d) O jogo do monoplio;e) A descrio de um acidente.

ACTIVIDADES / AVALIAO

ametsiS sadartnE setnenopmoC senuF sadaS

etnaruatseR setneilC,adimocaoB

,sodairc,oriehnizocsealatsni

mob,adimocaoBetneibma,oivres

levdargasotiefsitassetneilC

alocsE _______ ,sorvil,serosseforPaluaedsalas

,sotnemicehnoCsedadicapac _______

amenicedalaS setneilC _______ _______ _______

airicnetineP _______ _______ _______ _______

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5. Os modelos matemticos podem variar em termos de objectivos, modo deanlise, aleatoriedade e generalidade de aplicao. Identifique ascaractersticas dos seguintes modelos matemticos:

a) Anlise de ponto de equilbrio (crtico ou break-even);b) Programao linear;c) PERT;d) Anlise de regresso.

6. O custo mdio (c) de um produto funo do nmero de unidades produzidas(x) e expresso pela seguinte equao:

a) Usando clculo diferencial, calcule o valor de x que maximiza c(x). Omtodo de clculo usado um exemplo de modo analtico ounumrico?

b) Suponha que no sabe clculo diferencial. Como resolveria o problema?Descreva o modo de anlise empregue.

7. Comente as condies em que se devem ou no usar tcnicas de simulaona anlise de um sistema.

2x0,002-x0,4-50c =

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Simulao de Monte-Carlo

Simulao de Monte-CarloSimulao de Monte-CarloSimulao de Monte-CarloSimulao de Monte-CarloSimulao de Monte-Carlo

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Simulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas Industriais IIIIIIIIII ..... 11111


OBJECTIVOS

No final desta Unidade Temtica, o formando dever estar apto a:

Construir modelos simples de simulao com o recurso da tcnica deMonte-Carlo.

TEMAS

Mtodo de amostragem de Monte-Carlo Amostragem de distribuies tericas Caso em gesto de stocks Caso de uma fila de espera Optimizao em simulao Resumo Actividades / Avaliao

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Componente Cientfico-TecnolgicaIIIIIIIIII ..... 22222


Quando uma varivel de um modelo de simulao aleatria, deve ser descritapor uma distribuio em probabilidade dos valores que pode assumir. Estadistribuio pode resultar de uma anlise em frequncia dos dados histricos,se se considerar que a varivel se comportar no futuro de forma igual dopassado. Se no, ter-se- de prever de algum modo a sua distribuio deprobabilidades.

O mtodo de obteno de valores de forma aleatria a partir de uma distribuiode probabilidades designa-se por Monte-Carlo, devido sua semelhana como jogo da roleta.

Na prtica, o mtodo de Monte-Carlo usado em computadores, pois sem asua velocidade tornar-se-ia extremamente moroso e fastidioso.

A descrio do mtodo mais simples atravs de exemplos. Vejamos algunscasos de estudo:

MTODO DE AMOSTRAGEM DE MONTE-CARLO

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Simulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisComponente Prtica IIIIIIIIII ..... 33333


Suponhamos que as vendas de um dado artigo so expressas pela distribuio(emprica) de frequncias que se observa na figura II.1 e que se deseja simularum padro de vendas durante 10 dias.

Repare-se que as vendas so expressas em unidades e, logo, por nmerosinteiros. No tem de ser assim para efeitos de simulao. Se as condiesfsicas o permitirem podem considerar-se nmeros decimais - seria o caso de,por exemplo, Kg/dia.

Repare-se tambm que as vendas constituem exemplo de uma distribuiocontnua (a varivel aleatria pode assumir um nmero infinito de valores). Nestecaso, aproximmo-la por uma distribuio discreta, considerando intervalos(sobre este assunto ver o ponto Amostragem a partir de Distribuies deProbabilidade Tericas, na Unidade Temtica III).

Quando se julgar que certos valores numa sequncia no se verificaro(probabilidade = 0), eles devem ser omitidos.

O primeiro passo consiste em estabelecer a funo da distribuio acumulada,que se pode ver no lado direito da figura II.1.

O segundo passo consiste em construir o quadro II.1.

Neste quadro, a cada valor possvel de venda diria, associa-se-lhe o intervalode probabilidades respectivo, multiplicado por 10n, em que n o nmero decasas decimais usado na definio das probabilidades. Ao resultado d-se onome de intervalo de referncia.

Caso de Estudo II. 1

0.050.10

0.15

0.300.25

0.15

0 1 2 3 4 5unid/dia

fi(%

) Pro

babi

lidad

es s

impl

es

0.050.15

0.30

0.60

0.85

1.00

0 1 2 3 4 5unid/dia

Fi(%

) Pro

babi

lidad

es

acum

ulad

as

Figura II.1 - Distribuio em probabilidade das vendas - relativas simples e acumulada

1 passo

2 passo

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Componente PrticaIIIIIIIIII ..... 44444


Neste quadro existem duas alternativas. Na Alt.I, o 1. valor 00 e o ltimo 99.Poderamos ter comeado com 01 e terminado com 00, conforme se mostra naAlt.II. Trata-se apenas de uma questo de preferncia pessoal.

O terceiro passo consiste em seleccionar nmeros ao acaso de uma tabela denmeros aleatrios (anexo I) ou ger-los em computador. Quando se usa umatabela, podemos iniciar a leitura em qualquer ponto e caminhar depois emqualquer sentido. O importante no escolher os nmeros aleatrios. Podetambm seleccionar-se de cada nmero os primeiros ou os ltimos dgitos. Onmero de dgitos seleccionados deve ser igual ao nmero de dgitos dosintervalos de referncia. Neste caso de estudo, sero 2 dgitos.

Suponhamos que da tabela de nmeros aleatrios se colheram os seguintes10 nmeros:

14, 74, 24, 87, 07, 45, 26, 66, 26 e 94

O quarto passo consiste em verificar no quadro II.1 (escolhamos, por exemplo,a Alt.I), em que intervalo de referncia cabe cada nmero aleatrio e ler qual ovalor das vendas que lhe corresponde na 1. coluna. Obteremos ento:

Se em vez de 10 dias, simulssemos 10 000 dias obteramos 10 000 nmerosaleatrios. Se os tratssemos em frequncia, obteramos, com certeza, oseguinte resultado:

3 passo

4 passo

Quadro II.1 - Dados de vendas tratados em frequncia

sadneV)aid/dinu(

I.tlAaicnreferedsolavretnI

II.tlAaicnreferedsolavretnI

012345

40-0041-5092-5195-0348-0699-58

50-1051-6003-6106-1358-1600-68

sadneV aicnuqerF

012345

00500010051000300520051

saiD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 01

sadneV 1 4 2 5 1 3 2 4 2 5

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Suponhamos que a funo eficincia de um sistema representada pela seguinteexpresso:


zy2x5w ++=

Figura II.2 - Distribuies de probabilidade das variveis x, y, z

0.10

0.200.25 0.25

0.15

0.05

0 1 2 3 4 5 x

0.250.30

0.250.20

2 3 4 5 y

0.30

0.50

0.20

4 5 6 z

Em que as variveis x, y e z so descritas pelas distribuies em probabilidadeque se mostram na figura II.2

Determine por simulao a distribuio em frequncia da funo eficincia.

Construindo as distribuies acumuladas de cada varivel e atribuindo intervalosde referncia, obtemos o quadro II.2.

Quadro II.2 - Intervalos de referncia das variveis x, y e z

serolaVxed

solavretnIed

aicnreferserolaV

yedsolavretnI

edaicnrefer

serolaVzed

solavretnIed

aicnrefer

012345

90-0092-0145-0397-5549-0899-59

2345

42-0045-5297-5599-08

456

2-07-39-8

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O prximo passo consiste em construir o quadro II.3, no qual cada valor de w calculado pela expresso no topo da pgina usando os valores x, y e z obtidospor amostragem do quadro II.2.

Descrevemos seguidamente 8 ensaios:

Figura II.3 - Distribuio em probabilidades da funo w

0.10

0.300.40

0.20

10 20 30 40 w

0.10

0.40

0.80

1.00

10 20 30 40 w

Correlao e independnciade variveis

Depois de realizados muitos mais ensaios (o seu nmero ser discutido maisadiante), pode-se analisar estatisticamente os resultados de w e construir umgrfico com a sua distribuio em probabilidades (ver figura II.3)

agora possvel realizar anlises de probabilidade. Por exemplo, qual aprobabilidade de a eficincia do sistema ser igual ou inferior a 20%? A respostaser 40% (segundo o histograma de probabilidades acumuladas). Este tipo deanlise muito til para apoio deciso.

Nunca se devem usar os mesmos nmeros aleatrios para as vrias variveis,pois elas devem ser independentes entre si. Se se usasse o mesmo conjunto

Quadro II.3 - Valores simulados das variveis x, y e z

oiasnE.N

oirtaelaxarap

x.N

oirtaelayarap

y.N

oirtaelazarap

zedrolaV

z+y2+x5=w

12345678.

.

n

3469753541303304.

.

.

25321022.

.

.

2205316319855434.

.

.

23235433.

.

.

18027613.

.

.

46445545.

.

.

8173320202310212.

.

.

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de nmeros aleatrios para cada varivel, ocorreria um certo grau de correlao,o que contraria o pressuposto da sua independncia.

At agora considermos que as variveis do modelo de simulao eramindependentes entre si. Vejamos seguidamente um exemplo em que se verificauma relao de dependncia entre duas variveis.

Relaes de dependnciaentre variveis


Normalmente os preos de venda influenciam as quantidades vendidas. A suarelao designada por elasticidade de preos. Em geral, quando o preo baixo a quantidade vendida aumenta. Esta dependncia pode ser introduzidanum modelo de simulao. Para tal, descrevemos primeiro o preo de venda,conforme a distribuio que se mostra no quadro II.4, e depois, a distribuiode probabilidade de vendas para cada nvel de preo de venda, conforme semostra no quadro II.5.

Quadro II.4 - Preos de venda

adnevedoerP)dinu/$( %

%adalumuca

001051002052

01030402

010408001

Quadro II.5 - Quantidades de venda em funo dos preos

adnevedoerP)dinu/$(

sedaditnauQ01( 3 )sedadinu %

%adalumuca

001

051

002

052

081091002

051061071081

031041051

011021031

030502

52045201

030601

520552

0308001

525609001

0309001

5257001

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O processo de simulao desenvolve-se para cada ensaio, em dois passos.

O primeiro passo consiste em gerar um nmero aleatrio para determinar opreo de venda. Este, por sua vez, determina qual das quatro distribuies dequantidades de venda dever ser seleccionada. O segundo passo consiste emgerar outro nmero aleatrio, desta vez para determinar a quantidade de vendas.Os dois valores, multiplicados entre si, fornecem o valor de venda. Por exemplo,suponhamos que o primeiro nmero aleatrio 22; isto indica que o preo devenda 150$00/unidade. Suponhamos que o segundo nmero aleatrio 73;isto indica que a quantidade de vendas 170 000 unidades. O valor bruto devenda ser ento:

150$00 x 170 000 = 25 500 c

Este procedimento ser repetido na simulao sempre que for necessrio obterum valor de venda.

Neste exemplo considerou-se uma certa sobreposio das distribuies. Asua correco ou incorreco depende de cada problema em particular.

Outra forma de considerar a dependncia entre variveis usar uma relaomatemtica, conforme se mostrou no Caso de estudo II.2.

No caso de estudo II.3, poder-se-ia utilizar uma expresso da forma:

Vendas anuais = Preo x QuantidadeQuantidade = f (preo)

Nos casos vistos at agora, as variveis eram descritas por distribuies discretasempricas. Este tipo de distribuies no constitui um requisito da simulaode Monte-Carlo. Qualquer varivel pode ser representada por uma distribuioterica (Unidade Temtica III) desde que, evidentemente, esta distribuiodescreva adequadamente a varivel.

De facto, possvel a coexistncia no mesmo modelo de simulao de variveisdescritas por distribuies empricas e por distribuies tericas.

AMOSTRAGEM DE DISTRIBUIES TERICAS

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Os prazos de entrega do fornecedor de um certo artigo seguem uma distribuioexponencial negativa (Unidade Temtica III) com uma mdia de uma semana.

essencial construir um quadro de intervalos de referncia para o processo desimulao de Monte-Carlo.

A distribuio exponencial negativa uma distribuio contnua largamenteusada em problemas de simulao. Normalmente, expressa o tempo que medeiaentre duas chegadas a uma fila de espera.

Conforme veremos na Unidade Temtica III, o valor de t (prazo de entrega dofornecedor = intervalo de tempo entre a colocao e a recepo de umaencomenda) dado pela seguinte funo contnua:

t = -T . ln r (II.1)

Em que: T - tempo mdior - nmero aleatrio entre 0 e 1

A equao (II.1) pode ser usada para gerar automaticamente valores contnuosde t. Contudo, na prtica, um prazo de entrega de mercadorias normalmenteexpresso em perodos inteiros (dias, semanas, etc.). A estes valores d-se onome de discretos.

Para gerar aleatoriamente valores discretos de t, segundo uma exponencialnegativa, podemos seguir um de dois caminhos:

Utilizar a expresso (II.1), ensaiando valores de r (aleatrios) entre 0 e 1e aproximar o resultado para o inteiro mais prximo.

Utilizar a funo distribuio acumulada de t para definir intervalos dereferncia e usar o mtodo de amostragem de Monte-Carlo.

F (t) = 1 - e-t / T (II.2)

No 2. caso, obteremos os valores do quadro II.6.

Os intervalos de referncia do quadro II.6 poderiam ser agora utilizados para oprocesso de amostragem de Monte-Carlo.


Distribuio exponencialnegativa

Valores discretos

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Quadro II.6 - Clculo dos intervalos de referncia

edozarPagertne

t

etimiLroirefni

't

etimiLroirepus

''t

edadilibaborPadalumuca

e-1=)t(F T/''t-solavretnI

edaicnrefer

12345

5,05,15,25,35,4

5,15,25,35,45,5

87,029,079,099,000,1

77-0019-8769-2989-79

99

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Simulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisSimulao de Sistemas IndustriaisComponente Cientfico-Tecnolgica IIIIIIIIII ..... 1111111111


Este caso permite-nos ganhar uma boa ideia sobre a tcnica de simulao- especialmente a de Monte-Carlo - e a sua utilidade.

Conforme vimos no mdulo Gesto de Materiais, os modelos de reposiocontnua e peridica so comummente usados pelas empresas para gerir osartigos de necessidade independente. As decises so tomadas com base emmtodos analticos tradicionais de clculo. Estes mtodos foram desenvolvidosna base de pressupostos simplificadores, os quais, muitas vezes, no satisfazemface complexidade do mundo real. Este um problema comum aos modelosanalticos, pois a matemtica e a estatstica necessrias podem tornar-serapidamente proibitivas. Em algumas situaes, os pressupostoscuidadosamente seleccionados no distorcem seriamente o modelo e soaceitveis. Noutras situaes, contudo, importante captar no modelo acomplexidade existente no mundo real.

Consequentemente, sempre que uma maior complexidade do modelo o justifique,o analista deve substituir o modo analtico pelo modo numrico de anlise. Estecaso em gesto de stocks constitui um exemplo de aplicao do modo numricode anlise.

No caso de muitos artigos, os valores das quantidades necessrias (procura)bem como dos prazos de entrega no so fixos, isto , no so conhecidoscom certeza. A natureza destas duas variveis essencialmente aleatria,pelo que devem ser expressas probabilisticamente. Para tal, associamos acada valor possvel uma certa probabilidade. Quando se adopta este mtodo, necessrio considerar a existncia de um certo stock inicial. Simula-se umvalor da procura e esta quantidade ento subtrada do stock existente.

Duas situaes podem agora ocorrer conforme adoptemos o modelo de revisocontnua ou o modelo de reviso peridica.

No caso do modelo de reviso contnua, o saldo comparado com o pontode encomenda. Se aquele for igual ou inferior a este, coloca-se umaencomenda da quantidade desejada. Se no, aguarda-se.

No caso do modelo de reviso peridica, a data actual comparada com aprxima data de encomenda. Se as duas coincidirem, coloca-se umaencomenda de quantidade igual diferena entre o stock objectivo e o saldoactual. Se no, aguarda-se.

Em ambos os casos, se a deciso for colocar uma encomenda, simula-se oprazo de entrega.

Depois de cada perodo simulado, calculam-se as variveis de sada: stockmdio e taxa de roturas.

A simulao continua durante um nmero de perodos suficientemente grande,de forma a conseguir-se uma boa estimativa (significncia estatstica) dasvariveis de sada.

Modelos de reposio parastock

A procura e o prazo deentrega so aleatrios

Reviso contnua

Reviso peridica

CASO EM GESTO DE STOCKS

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O processo de simulao requer mais clculos que o processo analtico, mas,em contrapartida, so muito mais fceis de compreender e executar, comoveremos seguidamente.

Consideremos o seguinte caso de estudo:

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Os dados histricos de vendas de um artigo, depois de tratados, forneceram asseguintes distribuies de frequncia:

O artigo tem sido gerido usando os seguintes valores das variveis de deciso:

Quantidade por encomenda: 600 unidades. Ponto de encomenda: 200 unidades.

A quantidade existente em stock de 600 unidades. As roturas no podem sersatisfeitas mais tarde.

Supondo que o futuro prximo se comportar como o passado, determine, atravsde simulao, quais os valores de:

Stock mdio? Stock mximo? Nvel de servio? (100 - % roturas)

Este caso constitui um exemplo da impossibilidade de aplicao de um mtodoanaltico. S a simulao permite encontrar uma resposta.

Aplicando o mtodo de Monte-Carlo simulamos um perodo de 15 dias,naturalmente insuficiente para efeitos estatsticos, mas ilustrativo quanto aosresultados. Os resultados da simulao podem ser vistos no quadro II.8 napgina seguinte.


Quadro II.7 - Dados histricos de vendas de um artigo

omusnoC agertneedozarP

aid/dinu % %adalumuca

olavretnIaicnrefer saiD %

%adalumuca

olavretnIaicnrefer

05001051002052003053

6,01,62,423,831,421,66,0

6,07,69,032,963,394,990,001

500-000660-600803-760196-903239-296399-339999-499

12345

8741521

87297999001

77-0019-8769-2989-79

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Qua

dro

II.8

- R

esul

tado

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sim

ula

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us

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utiS odkc

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oc

ne

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edadit

na

uQadib

ec

er

)11(

sar

uto

R

)21(1 2 3 4 5 6 7 8 9 01 11 21 31 41 51

00605400200605400305 0 0060540520 0 0 006

10256784669139050701002094189356857847157996 2

051052002051051052001001051002052052051003051

0540020 05400305 0 0 0540520 0 0 0 054

0 0 0060 0 0 0060060 0 0 0060060060

05400200605400305 0060060540520 006006006054

25 28 59

1 2 3

0 0060 0 0 0060 0 0 0 0060 0 0 0

0 0 0 0060 0 0 0 0060 0 0 0 0 006

0 0 0 0 0 0 05 0010 0 0 0520510030

006=

Q;002

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n)2(1

-n)11(

+n

)4(-)2(

=)5(;0>])4(

-)2([eS

0=)5(;0

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Se realizssemos uma corrida cobrindo um horizonte de algumas centenas dedias, obteramos aproximadamente:

Stock mdio = 250 unidades Stock mximo = 700 unidades Nvel de servio = 80%

Podemos concluir que o resultado mau, pois o nvel de servio demasiadobaixo. Os valores aceitveis na prtica situam-se entre 90 e 100%.

Repare-se que os valores simulados do consumo so mltiplos de 50, conformequadro II.7, o que constitui uma aproximao se o consumo se realizar emmltiplos de 1 ou mesmo de 10. Nestes casos, o nmero de intervalos dereferncia aumenta podendo tornar-se impraticvel.

A aproximao feita pode ser, contudo, aceitvel em muitos casos, diminuindosignificativamente o volume de clculos.

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Suponhamos que uma empresa de confeces possui 30 mquinas de costurae pretendemos saber qual o nvel de servio que pode ser garantido por umnico mecnico de manuteno.

Trata-se de uma situao tpica de fila de espera em que as mquinas, avariando,representam os clientes chegando aleatoriamente fila e o mecnico representao atendedor, que repara cada mquina num intervalo de tempo tambm aleatrio.

As distribuies em frequncia do tempo entre avarias (TBF-Time BetweenFailures) e o tempo de reparao (TTR - Time To Repair) obtiveram-se portratamento estatstico do histrico da empresa a partir de 73 acontecimentos emostram-se no quadro II.9.

A estrutura da simulao das operaes de reparao ser conforme o fluxogramaque se v na figura II.4.

Como se pode observar, comea-se por seleccionar um tempo entre avarias(TBF) e verificar se o mecnico se encontra disponvel. Se o mecnico no estdisponvel, a mquina tem de aguardar e calcula-se o tempo ocioso da mquina.Se o mecnico est disponvel, h que saber se ele se encontrava espera. Seassim for, calcula-se o tempo ocioso do mecnico. Se no se encontrava espera selecciona-se um tempo de reparao TTR, e prossegue-se de acordocom o fluxograma. Este procedimento repete-se tantas vezes quantas aspretendidas.

O quadro II.10, que se pode ver na pgina II.19, mostra a simulao para 20avarias seguidas de reparao, utilizando o mtodo de Monte-Carlo. Supe-seque a escala do tempo se inicia com a 1. avaria.

CASO DE UMA FILA DE ESPERA

Quadro II.9 - Dados histricos retirados do cadastro do equipamento

FBT RTT

saroH % %adalumuca

olavretnIaicnrefer saroH %

%adalumuca

olavretnIaicnrefer

01112131415161718191

54191227185541

59183067758095999001

40-0081-5073-9195-8367-0648-7798-5849-0989-59

99

89011121314151617181

3411229161117421

378104955768397999001

20-0060-3071-7093-8185-0447-9558-5729-6869-3989-79

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O primeiro TBF simulado foi 15 horas. Como este foi o primeiro acontecimentoregistado, nem a mquina nem o mecnico tiveram de esperar. A reparaoleva 15 horas. A segunda avaria ocorre 18 horas depois da primeira. Como omecnico ficou livre na hora 15, teve de aguardar 3 horas at voltar a intervir (2.avaria).

Prosseguimos desta forma durante 20 avarias e obtemos os resultados que semostram no quadro II.10.

Figura II.4 - Estrutura da simulao do caso de operaes de reparao

Seleccionar umn. aleatrio

Calcular omomento de fim

de reparao

Determinar o TTRdo Q.II.9

Seleccionar umn. aleatrio

Calcular o tempode espera do

mecnico

Calcular o tempode espera da

mquina

Calcular omomento de nicio

da reparao

Calcular omomento da

avaria

Determinar o TBFdo Q. II.9

O mecnicoest

disponvel?

O mecnicoesteve

aguardando?

SimNo

SimNo

Repetir n vezes

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Qua

dro

II.10

- R

esul

tado

s da

sim

ula

o d

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ncio

nam

ento

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mod

elo

para

20

avar

ias

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avA

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FBT

)9.II

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RTT)9

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aper

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opm

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opm

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cin

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mod

arap

)01(1 2 3 4 5 6 7 8 9 01 11 21 31 41 51 61 71 81 91 02

38 79 88 21 22 61 42 46 73 26 25 9 46 47 51 74 68 97 34 53

51 81 61 11 21 11 21 41 21 41 31 11 41 41 11 31 61 51 31 21

0 81 43 54 75 86 08 49 601021331441851271381691212722042252

51 81 43 74 75 86 08 59 601021331441851471781791212722042352

19 4 27 21 03 23 19 92 33 8 52 47 79 07 51 34 24 52 17 41

51 9 31 01 11 11 51 11 11 01 11 31 61 31 01 21 21 11 31 01

51 72 74 75 86 97 59 601711031441751471781791902422832352362

0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 4 1 0 0 0 1

0 3 7 0 0 0 1 0 0 3 3 0 1 0 0 0 3 3 2 0

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)3()4([

xm

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)8(;1

-n]

)7(+)5(

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n)8(

-

1-n

=LATOT

1162

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Durante 263 horas, durante as quais ocorreram 20 avarias, o tempo total demquinas paradas foi 11 horas e o tempo do mecnico a aguardar foi 26 horas,ou seja, respectivamente:

11/263 x 100 = 4,2 %26/263 x 100 = 9,9 %

Para obter significncia estatstica teramos de usar uma amostra muito superior(com muitos mais acontecimentos).

O resultado desta simulao pode servir de base para ponderar o custo deoportunidade das mquinas paradas face ao custo do salrio do mecnico e,eventualmente, se o primeiro for superior ao segundo, decidir a contratao demais um mecnico.

Repare-se que, no modelo que acabmos de ver, as variveis consideradasforam as seguintes (figura II.5):

Existe uma diferena fundamental entre optimizar um modelo matemtico bemdefinido e um modelo de simulao:

Num modelo matemtico, o problema de optimizao pode ser expresso deforma explcita em funo das variveis de deciso, e a sua soluo consisteem calcular os valores destas, de forma a optimizar (maximizar ou minimizar)a funo objectivo do modelo.

Figura II.5 - Variveis do modelo de manuteno de mquinas

Variveis de deciso(n. de mecnicos)

Variveis de sada(tempo ocioso dosmecnicos +tempo de mquinasparadas)

Variveis independentes(TBF e TTR)Restriesum mecnico repara umamquina de cada vez

MODELO

Optimizao

OPTIMIZAO EM SIMULAO

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Um modelo de simulao permite apenas medir a resposta do sistema(variveis de sada) a valores pr-definidos das variveis de deciso. Istoquer dizer que os valores das variveis de deciso so parte das variveis deentrada.

Quando o modelo possui uma nica varivel de deciso, procede-se a umabusca sistemtica, fazendo variar discretamente o seu valor, at localizar osvalores optimos das variveis de deciso.

Quando o nmero de variveis de deciso superior a um, o problema deoptimizao torna-se muito mais complexo e complica-se ainda mais, devidoaos erros de amostragem gerados em cada corrida. As variaes das variveisde sada podem, por vezes, dever-se mais aos erros de amostragem do que amudanas das variveis de deciso.

Embora no seja possvel eliminar os erros de amostragem, o seu efeito podeser muito reduzido atravs da prtica de repetio. Assim, dever-se- procederda seguinte forma:

Correr o modelo (n) vezes (correspondentes a outras tantas observaes),cada qual combinando diferentes valores das variveis de deciso;

Calcular a mdia das (n) observaes de cada varivel de sada.

Veremos, assim, o erro de amostragem substancialmente reduzido (de ummltiplo de ).

Contudo, o julgamento das variveis de sada dever sempre apoiar-se em testesde inferncia estatstica.

Vejamos um exemplo em gesto de stocks.

Repetio

Erro de amostragem

Resposta do sistema

n1

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Consideremos o caso de um modelo de Reviso Contnua com Procura D ePrazo de Aprovisionamento L probabilsticos.

A optimizao consiste, ento, em determinar os valores optimais: Quantidadepor Encomenda Q e Ponto de Encomenda Pe, de forma a minimizar o CustoVarivel Total CVT, mantendo simultaneamente a taxa de rotura abaixo de umvalor pr-definido.

Para conseguir a optimizao, fixamos um primeiro valor de Pe e corremosuma simulao para cada valor de Q.

Repetimos depois o procedimento, fixando, de cada vez, diferentes valores dePe.

A figura seguinte mostra, esquematicamente, os resultados obtidos.


Q

CVT

Pe1 > Pe2 > Pe3 > Pe4 > Pe5

Pe1

Pe2

Pe3

Pe4

Pe5

Figura II.6 - Mtodo numrico de simulao (um ponto uma corrida)

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Cada ponto das curvas representa uma nica corrida (observao). Pode assimobservar-se o efeito dos erros de amostragem: os valores de CVT,correspondentes a pontos sucessivos e prximos, ao longo de uma curva dePe constante, apresentam oscilaes sensveis.

Pode tambm observar-se que cada curva Pe constante apresenta uma formaconvexa, o que significa que existe um valor de Q que permite minimizar CVT.

Se agora, para cada par de valores Pe e Q, aumentarmos o nmero de corridas(observaes), e se calcularmos o CVT mdio das vrias corridas, verificamosque o seu valor se torna menos errtico e a curva Pe se alisa.

Depois de um nmero suficientemente grande de corridas (observaes), ascurvas Pe constante apresentam-se conforme o grfico da figura seguinte.

Se juntarmos os vrios pontos mnimos de cada curva Pe constante, obtemosoutra curva (lugar geomtrico dos mnimos), que apresenta, por sua vez, ummnimo Mm (mnimo dos mnimos).

A este ponto corresponde um par de valores Pe e Q optimais.

CVT

CVTmin

QQptimo

Mm

Pe1

Pe2

Pe5

Pe3

Pe4

Pe1 > Pe2 > Pe3 > Pe4 > Pe5

Lugar geomtrico dos mnimos

Figura II.7 - Mtodo numrico de simulao (um ponto vrias corridas)

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No ponto Caso de uma Fila de Espera, a optimizao consegue-se fazendovariar o nmero de mecnicos e calculando de cada vez a soma do custo deoportunidade das mquinas e dos salrios dos mecnicos.

Esta soma apresenta um mnimo que pode ser encontrado por tentativas (verfigura II.8).

Figura II.8 - Custos anuais em funo do n. de mecnicos

CustoVarivelAnual

N de mecnicosN ptimo

Customnimo

Custo Total

Custo de salrios

Custo de mquinasparadas

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Nesta Unidade Temtica verificmos que um modelo de simulao podeproporcionar uma representao bastante fiel do mundo real. Esta representaono possvel, grande parte das vezes, com modelos analticos.

A simulao de processos probabilsticos requer o uso do mtodo deMonte-Carlo.

No caso de variveis discretas, se existirem dados histricos cujo padro possarepetir-se no futuro, analisam-se os dados em frequncia. Se no existirem,estimam-se em probabilidade. Calculam-se, assim, as distribuies emprobabilidade simples e acumulada de cada varivel. Seguidamente, atribui-sea cada valor possvel da varivel um intervalo de nmeros aleatrios proporcional probabilidade da sua ocorrncia. Produz-se ento uma amostra de valores davarivel, gerando nmeros aleatrios e seleccionando os valores da varivel quelhe esto associados.

O nmero de repeties do processo depende da preciso estatstica desejada.

Um modelo de simulao de Monte-Carlo pode prever o comportamento de umsistema de gesto do stock de um artigo, fornecendo como variveis de sada:os nveis mdio e mximo de stock e os custos de posse, de encomendas e deroturas. Estes valores dependem do conjunto de variveis de deciso: ponto deencomenda e quantidade por encomenda ou periodicidade de encomenda envel de stock objectivo - conforme se use o modelo de reviso contnua ou dereviso peridica, respectivamente.

Um modelo de simulao de uma fila de espera permite obter como variveis desada: os tempos de espera dos clientes e o comprimento da fila, bem como,os tempos de ociosidade dos atendedores. Estes valores dependem do tempoentre chegadas e dos tempos de atendimento (variveis independentes) e donmero de atendedores (varivel de deciso).

A optimizao por simulao consegue-se por aproximaes sucessivas zonaptima, fazendo variar o conjunto de todas as variveis de deciso.

Concluu-se, pois que na prtica, o mtodo de Monte-Carlo necessita decomputador, pois, sem a sua velocidade e capacidade de clculo, o mtodotornar-se-ia extremamente moroso e fastidioso.

RESUMO

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1. Considere o ponto Caso em Gesto de Stocks, da Unidade Temtica II.Simule o mesmo modelo de reviso contnua para um perodo de 20 dias,na situao em que, ocorrendo uma rotura, ela pode ser satisfeita logo quehaja stock.

2. Considere o caso do ponto II.3. Simule o modelo de reviso peridica paraum perodo de 20 dias, na situao em que, ocorrendo uma rotura, ela nopode ser satisfeita mais tarde e fazendo:

Periodicidade de reviso: 3 diasNvel objectivo: 800 unidadesConsiderar o dia 1 como o 1. dia de reviso.

3. Considere 2 postos de trabalho em sequncia: um posto manual e umamquina automtica. O tempo de ciclo do operador aleatrio e descritopela seguinte distribuio em frequncia:

ACTIVIDADES / AVALIAO

A mdia da distribuio igual a 46 segundos/pea. O tempo de ciclo damquina constante e igual a 47 segundos/pea. Existe um parque volanteentre os dois postos.

Simule a fabricao das 20 primeiras peas considerando duas situaes:

I - O posto manual entrega peas mquinaII - A mquina entrega peas ao posto manual

E verifique quais os valores de:

a) Tempo mdio de ciclo do conjunto dos 2 postos de trabalho.b) Produo mdia do conjunto dos 2 postos de trabalho.c) Stock mximo atingido no caso da alnea a).

Quadro II.11 - Distribuio em frequncia do tempo de ciclo do operador

opmeT)aep/ges( %

0102030405060708

460102041154

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4. Pretende-se saber se mais econmico dispor de 1 ou de 2 mecnicospara manter a frota de camies de uma empresa. Todas as intervenes demanuteno podem ser realizadas por 1 nico mecnico, mas o tempo deinterveno pode ser menor, quando realizada por uma equipa de 2mecnicos.

As distribuies em frequncia so as seguintes:

Cada mecnico custa 0,9 c/h e os encargos gerais so 0,2 c/h.

5. Um conjun

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