Simulação Numérica de Sistemas de N-Corpos com Atracção Gravítica Mestrado em Física...
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Simulação Numérica de Sistemasde N-Corpos com Atracção Gravítica
Mestrado em FísicaFaculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Nuno S. A. Pereira
2001
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Sumário (I)
• Parte I– Regularização Binária.
– Precisão das Soluções Numéricas / Métricas de Avaliação.
– Caso de Estudo: resolução numérica de um problema de 2-corpos.
• Parte II– O Problema do N-Corpos: modelo matemático, aplicações,
resultados teóricos: integrabilidade e singularidades.
– Resolução Numérica: abordagens, métodos e algoritmos.
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Sumário (II)
• Parte III– O Problema da Instabilidade Exponencial.
– Métricas de Avaliação: equações variacionais e expoentes de Lyapunov.
– Caso de Estudo: simulação de sistemas com N=4,8,16.
– Simulações Numéricas: sim ou não, que futuro?
• Parte IV– O Pacote NNEWTON.
– Conclusões.
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Parte I
• Regularização Binária.
• Precisão das Soluções Numéricas / Métricas de Avaliação.
• Caso de Estudo: resolução numérica de um problema de 2-corpos.
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Regularização Binária
• Onde: Problema dos 2-corpos / Problema de Kepler.
• Quando: Colisões / Encontros próximos (órbitas muito excêntricas).
• Porquê: Singularidade das equações do movimento na origem.
rr
Gdt
Fd3
0r,||F||
Como: Técnicas analíticas para remover a singularidade.Como: Técnicas analíticas para remover a singularidade.
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Regularização Binária
• Estabelecer a existência de soluções para condições iniciais arbitrárias.
• Acompanhar analiticamente as soluções que atravessam singularidades.
• Tratar com precisão os encontros próximos.
Importante para as simulações
numéricas
Importante para as simulações
numéricas
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Técnicas de Regularização de Encontros Binários
Equação do movimentoem coordenadas físicas
singular
Equação do movimento em coordenadas regularizadas
não-singular
Equação do movimento em coordenadas regularizadas
não-singular
Transformaçãode coordenadas
Transformaçãode coordenadas
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Técnicas de Regularização (I)Levi-Civitta (1903) - 2D
• Mudança na escala de tempo (Euler, 1765):
• Introdução do tempo fictício s.
• Identificação do plano do movimento com o plano complexo:
• Introdução da Matrix de Levi-Civitta/Transformação LC
dt
dr
ds
drdsdt .'def
22121 )iuu(ixxr
12
21
uu
uu)u(L
u)u(Lr
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Técnicas de Regularização (II)Kustaanheimo-Stiefel (1965) - 3D
• Mudança na escala de tempo (Euler, 1765):
• Introdução do tempo fictício s.
• Transformação num espaço 4D.
• Introdução da Matrix de Kustaanheimo-Stiefel/Transformação KS
dt
dr
ds
drdsdt .'def
1234
2143
3412
4321
uuuu
uuuu
uuuu
uuuu
)u(L u)u(Lr
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Regularização LC/KS
• Equação do movimento em coordenadas físicas
• Equação do movimento em coordenadas regularizadas
0rr
r3
0u2
h''u
)u.u(
)u.u(2h
Oscilador/repulsor harmónicoOscilador/repulsor harmónico
Equação RegularEquação Regular
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Técnicas de Regularização (III)Método InOut - 2D/3D
• Definimos uma bola de regularização de raio R.
• Condições iniciais
• Condições finais
.0,0)v,r( oo
of r10
01r
of v10
01v
InIn
OutOutSimó, C. , Lacomba, E. A. (1992)Simó, C. , Lacomba, E. A. (1992)
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Regularização de um Encontro BinárioExemplo numérico
• Condições iniciais– h=-2
– v=1
– m1=m2=1
– x1=y1=vx1=vy1=0
– P=/2 1.57
– e=0.9, 0.99, 0.999, 0.9999
• Definição das coordenadas– y=(1-e2)1/2
– x2 + y2=(4/5)2
• Parâmetros da simulação– ho=hmax= 10-3
– hmin=10-5
=10-15
reg=1
– t=15.71 (10P)
NNEWTONNNEWTON
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Regularização IO de um Encontro BinárioResultados Numéricos
Sem regularizaçãoSem regularização Com regularizaçãoCom regularização
NNEWTONNNEWTON
e=0.9e=0.9SOLEXACT2
SOLEXACT2
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Regularização IO de um Encontro BinárioResultados Numéricos
Sem regularizaçãoSem regularização Com regularizaçãoCom regularização
NNEWTONNNEWTON
e=0.99e=0.99SOLEXACT2
SOLEXACT2
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Regularização IO de um Encontro BinárioResultados Numéricos
Sem regularizaçãoSem regularização Com regularizaçãoCom regularização
NNEWTONNNEWTON
e=0.999e=0.999SOLEXACT2
SOLEXACT2
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Regularização IO de um Encontro BinárioResultados Numéricos
Sem regularizaçãoSem regularização Com regularizaçãoCom regularização
NNEWTONNNEWTON
e=0.9999e=0.9999SOLEXACT2
SOLEXACT2
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Precisão das Soluções NuméricasMétricas de Avaliação
• Distância entre a solução numérica e a solução exacta
• Distância entre as partículas (numérica)
• Erros relativos
• Factores de Qualidade
2exacnum
2exacnum )yy()xx()exac,num(d
221
22112 )yy()xx(d
12rel d
)exac,num(d|E|
|EE|
o
fot,E
|L|
|LL|
o
fot,L
p,rela,relQ t,Lt,E*Q
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Precisão das Soluções NuméricasExemplo Numérico - Factor de Qualidade Q*
NN-ELTNN-ELT
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
log(Q*)
Não reg. -6,77 -5,59 3,61 4,35
Reg. IO -6,77 -5,76 -5,52 -5,44
0,9000 0,9900 0,9990 0,9999
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Parte II
• O Problema do N-Corpos: modelo matemático, aplicações, resultados teóricos: integrabilidade e singularidades.
• Resolução Numérica: abordagens, métodos e algoritmos
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O Problema dos N-CorposEnunciado
• Consideremos um sistema com N massas pontuais com posições e velocidades conhecidas num certo instante to.
Quais são as posições e as velocidades de cada massa num instante arbitrário t ?
Quais são as posições e as velocidades de cada massa num instante arbitrário t ?
• A massas interagem de acordo com a Lei de Newton.
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O Problema dos N-CorposSistemas (Astro)físicos
• Mecânica Celeste (N<10) • Dinâmica Estelar (N>10)
M15 - Enxame Globularhttp://www.seds.org
M15 - Enxame Globularhttp://www.seds.org“Desenho” de trajectórias“Desenho” de trajectórias
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O Problema dos N-CorposFormulação Matemática
• Sistema de 3N equações diferenciais de 2ª ordem
• Sistema de 6N equações diferenciais de 1ª ordem
N,,1i,)rr(||rr||
mGmrm
N
ij,1jij3
ij
jii
N,,1i,)rr(||rr||
mGmv,vr
N
ij,1jij3
ij
jiiii
Aproximações:
• Massas pontuais • Dinâmica de Newton
Aproximações:
• Massas pontuais • Dinâmica de Newton
Lei de Newton da Gravitação para um Sistemas de PartículasLei de Newton da Gravitação para um Sistemas de Partículas
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O Problema dos N-CorposIntegrabilidade & Singularidades
Reso lu ção An alítica
N=2Prob lem a d e Kep ler
Integrável
Reso lu ção Nu m érica
N>2Prob lem a g eralNão integrável
In teg rab ilid ad e6N-12 in teg rais p rim ários
T eo rem a d e Existên ciae Un icid ad e
Solu ção ú n ica
Eq u açõ es Reg u lares
Reg u larização B in ária
N=3tod as as sin g u larid ad es
são colisões(Painlevé)
Co lisio n aisp elo m en os d ois vectores
ten d em p ara o m esm olim ite
Xia, N=5 (1987)
N>3existem sin g u larid ad es
n ão colis ion ais(conj.,Painlevé)
Não Co lisio n aism ovim en to il im itad o
em tem p o fin ito(von Z eipel)
Sin g u larid ad es
Eq u açõ es Não Reg u lares
Co n d içõ es In iciaisN vectores d e p osição
e d e velocid ad e
Sistem a d e N-Co rp o s6N Eq . D iferen ciais
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O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Sistemas (Astro)Físicos
• Número de partículas do sistema– esforço computacional
– estrutura de dados
• Dinâmica que se pretende reproduzir– resolução espacial
– relevância das colisões
• Processos/características a considerar:– perda de massa por evolução estelar
– espectro de massa
– formação de binários
– campo externo
– etc...
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O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Abordagens
• Sistemas colisionais • Sistemas não-colisionais
M8 Enxame Aberto NGC6530 http://www.seds.org
M8 Enxame Aberto NGC6530 http://www.seds.org
M31 Andrómeda (M32 M110)
http://www.seds.org
M31 Andrómeda (M32 M110)
http://www.seds.org
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O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Métodos/Modelos
F u n çã o d is trib u içã oE q u açã o d e B o ltzm an
(com ou sem te rm oco lis ion a l)
A b ord ag emE s ta tís t ica
F okker-P lan k
E q u açã o d e flu xod e ca lo r +
te rm o co lis ion a l loca ld e F okker-P lan k
A b ord ag em"Term od in â m ica"
C on d u çã o G asosa
L e i d e N ew ton P P / P M / P 3 M
M é tod os h ie rá rq u icos
In te racçã o"tod os -com -tod os "
P artícu las
R eso lu çã o N u m é rica
S is tem a d e N -C orp os
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O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Método PP
• Resolução Espacial: – não se introduz qualquer discretização do espaço (e.g. métodos
partícula-malha: PM)
• Precisão Numérica:– interacção “todos-com-todos”
– não se introduzem aproximações no cálculo da força sobre cada partícula (e.g. métodos PM, P3M e hierárquicos)
• Hipóteses de Trabalho:– Nenhumas ! (e.g. isotropia, simetria)
• Inclusão de Processos Físicos– Sem dificuldade: (e. g. termos adicionais nas equações do
movimento)
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O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Algoritmos
• Integrador baseado no método PP– Rotina RK78, C. Simó.
• Definição de binários num sistema de N-corpos
• Regularização (IO, LC, KS)
• Regularização “Múltipla”– heurística baseada em regularizações binárias encadeadas.
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O Problema dos N-CorposResolução Numérica: Programa NNEWTON
• Problema:– Esforço computacional !!
– Proporcional a N2.
• Consequência– Limita as dimensões dos
sistemas simulados e/ou o tempo de simulação.
Simulação N-corposPNNEWTON - 1 nó Alpha 150MHz
Cray T3D - EPCC (1997)
1
10
100
1000
10 100 1000
N
TN/T
32
32
64
128
256
512
TN/T32 N2.09 (=0.999)TN/T32 N2.09 (=0.999)
ComputaçãoDistribuida
ComputaçãoDistribuida
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Parte III
• O Problema da Instabilidade Exponencial
• Métricas de Avaliação: equações variacionais e expoentes de Lyapunov.
• Caso de Estudo: simulação de sistemas com N=4,8,16
• Simulações Numéricas: sim ou não, que futuro?
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O Problema da Instabilidade Exponencial
• Sistemas s e S=s+ (perturbado).
• Trajectórias no espaço de fases com divergência exponencial.
• Miller (1964), N 32.
• Duas questões importantes:
Mecanismo físico: cooperativo, encontros binários, ambos?
Qual a dependência da escala de tempo te com N e com tcr
Mecanismo físico: cooperativo, encontros binários, ambos?
Qual a dependência da escala de tempo te com N e com tcr
et
t
'e
elog
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Métricas de AvaliaçãoEquações Variacionais
• Equações variacionais (1ª ordem):
• Variações (para cada partícula)
• Variação média (em cada iteração)
N
ij 3ji
j2
ji
jijijijii
||rr||
m
||rr||
rr)rr).(rr(3rrGr
)N,,1i(
|v||v||v|v,|z||y||x|r iziyixiiiii
N
1iia r
N
1r
N
1iia v
N
1v
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Métricas de AvaliaçãoExpoentes de Lyapunov
• Crescimento exponencial:
• Expoente característico de Lyapunov:
• Indicador Característico de Liapunov: (t: tempo de simulação)
• Escala de tempo:
te|)o(q||)t(q|
t
|)t(q|loglimt
|)o(q|
|)t(q|log
t
1c
Medição da escala de tempo te que caracteriza a divergência de trajectóriasMedição da escala de tempo te que caracteriza a divergência de trajectórias
ce
1t
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Caso de EstudoSimulação Sistemas de 4/8/16-Corpos
• Condições iniciais:– massas unitárias
– equilibrio virial (q=1)
– energia total E=-1 x1=10-6
• Parâmetros de simulação– ho=10-3
– hmax=10-2
– hmin=10-6
=10-6
– t=100
NNEWTONNNEWTON
NN-VIRIALNN-VIRIAL
N=4N=4
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Caso de EstudoVariações (N=4)
PROCVARPROCVAR
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 20 40 60 80 100
t
log
(dra
)
-30
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Média Aritmética das VariaçõesMédia Aritmética das Variações
![Page 36: Simulação Numérica de Sistemas de N-Corpos com Atracção Gravítica Mestrado em Física Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Nuno S. A. Pereira.](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070310/552fc0fc497959413d8ba278/html5/thumbnails/36.jpg)
Caso de EstudoEstimativa da escala de tempo te
• Relacionar os três parâmetros
• Supondo que existe uma relação do tipo
• “Ajuste” aos dados experimentais:
Ntt cre
53.0cre Ntt
N tcr te
4 6.6 2.88 60 2616 390 80
A menor escala de tempo que uma perturbação pode apresentar será = -1/2 (Miller, 1988).
A menor escala de tempo que uma perturbação pode apresentar será = -1/2 (Miller, 1988).
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Simulações NuméricasSim ou Não, que Futuro?
• “Os resultados numéricos dão resultados consistentes porque são todos igualmente imprecisos”, Heggie (1991).
• Os resultados detalhados não têm significado.
• Abordagem estatística (um acto de “fé”):
Várias simulações do mesmo sistema com parâmetros iniciais idênticos
Várias simulações do mesmo sistema com parâmetros iniciais idênticos
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Parte IV
• O Pacote NNEWTON
• Conclusões
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O Pacote NNEWTONResolução numérica do problema de N-corpos
• Integradores– Sem regularização: NNEWTON1
– Com regularização: NNEWTON31/2/3
– Com regularização “múltipla”: NNEWTON51/2
– Com equações variacionais: NNEWTON2
– Com equações variacionais e regularização binária: NNEWTON41/2
• Condições Iniciais– NN-VIRIAL
• Ferramentas de Análise– Determinação de soluções exactas (N=2): SOLEXACT2
– Cálculo da energia e momento: NN-ELT
– Processamento de variacionais: PROCVAR
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Conclusões
• Técnicas analíticas de regularização:– Regularização LC e KS (“standard”).– Regularização InOut.
• Integradores:– de N-Corpos: novo algoritmo; versões com regularização.– para as Equações Variacionais.
• Resultados Numéricos:– Encontros binários tratados com eficiência e “qualidade”.– Possibilidade de simular sistemas de N-corpos onde ocorram encontros
próximos (binários e múltiplos).– Estimativas das escalas de tempo de crescimento da instabilidade exponencial.
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Fim