Sinais e Sistemas - UFSM · e servomecanismos (notas de aula). ...

Sinais e SistemasUnidade 5 –

Representação em domínio da

frequência para sinais contínuos:Transformada de Laplace

Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]

Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]

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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

•

Introdução•

Definição da Transformada de Laplace

•

Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo

•

Função de Transferência•

Conceito de pólos e zeros

•

Estabilidade de sistemas

•

Sistemas com atraso de transporte•

Análise da resposta transitória

•

Análise da resposta em regime permanente

•

Resposta em frequência e Diagrama de Bode

Conteúdo da unidade

Aulas

01 e 02

Aula 03

Aula 04

Aulas

05 e

06

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Aula 04

•

Sistemas com atraso de transporte–

Definição do atraso de transporte

–

Exemplo de sistemas com atraso de transporte–

Aproximação de Padé

•

Análise da resposta transitória–

Sistemas de primeira ordem

–

Sistemas de segunda ordem–

Resposta ao impulso, degrau e rampa

•

Análise da resposta em regime permanente

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Sistemas com atraso de transporte

Atraso de transporteAtraso de transporte: : éé

o tempo decorrente para que uma o tempo decorrente para que uma variavariaçção no sinal de entrada (excitaão no sinal de entrada (excitaçção) seja efetivamente ão) seja efetivamente ““percebidapercebida””

pela varipela variáável de savel de saíída (resposta)da (resposta)

y(t)

Ta

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•

Exemplos–

Sistemas térmicos

–

Sistemas hidráulicos–

Sistemas pneumáticos

–

Resposta de sensores

–

Tem grande impacto naestabilidade

de sistemas

operando em malha‐fechada

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•

Modelagem

•

Aproximação de Padé

asTaG s e

2 3

2 3

12 8 48

12 8 48

a

a aasT

aa aa

T s T sT s

G s eT s T sT s

22

asT aa

a

T sG s e

T s

Truncando no 2º

termo

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•

Exemplo

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Sem atrasoCom atrasoAprox. Padé

0 25

21 23 5

, sY s s s eG s

X s s s

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Análise da resposta transitória

•

Objetivo–

Comparar o desempenho

de diferentes sistemas com base em sinais

padrão de teste aplicados na entrada•

Função degrau

•

Função rampa•

Função impulso

•

Função senoidal

•

Resposta transitória–

Função do tempo que vai do estado inicial até

o final

•

Resposta estacionária (regime permanente)–

Maneira como o sinal de saída do sistema se comporta quanto t

tende

ao infinito

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Resposta transitória – Sistema de 1ª

ordem

•

Seja o sistema de 1º

ordem definido a seguir, com T constante

•

Sua resposta ao degrau unitário é dada por

•

Logo, a resposta temporal é dada por

Resposta ao degrau unitário

11

Y sG s

X s Ts

1 111

Y s G s X s G s L tTs s

1 1 0, para tTy t L Y s e t

1/5



ordem

•

Constante de tempo

–

Ou seja, y(t) atinge 63,3%

da excursão total

11 1 0 632,TTy T e e

y(t)

Para t

> 4T, a resposta permanece dentro de 2% de seu valor final

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ordem

•



•

Sua resposta à

rampa unitária é dada por

•


Resposta à rampa unitária

11

Y sG s

X s Ts

21 11

Y s G s X s G s L tTs s

1 0, para tTy t L Y s t T T e t

1/5



ordem

•

Sinal de erro

1t tT Te t x t y t t t T T e e t T e

Quando t

tende ao infinito, tem-se quee(∞) = T

y(t)

y(t)

1/5



ordem

•



•

A excitação ao impulso unitário, que é a derivada do degrau unitário é dada por

Resposta ao impulso unitário

11

Y sG s

X s Ts

1 0, para tTy t e t

T

y(t)

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ordem

•


ordem definido a seguir

–

ωn

frequência natural não amortecida–

ζ

coeficiente de amortecimento

•

Classificação–

Sistema subamortecido

(0 < ζ

< 1)

–

Sistema criticamente amortecido (ζ

= 1)–

Sistema superamortecido (ζ

> 1)

Resposta ao degrau unitário

2

2 22n

n n

Y s ωG s

X s s ξω s ω

Comportamentooscilatório

Não

oscila

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ordem

•

Caso 1: Sistema subamortecido

(0 < ζ

< 1)–

Dois pólos complexos

Onde é a frequência natural amortecida

•

Excitação do tipo degrau

2n

n d n d

Y s ωG s

X s s ξω jω s ξω jω

21d nω ω ξ

2 1n

n d n d

ωY s G s X s

s ξω jω s ξω jω s

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ordem

•


•

Sinal de erro

–

Observar que, em regime permanente, não existe erro entre entrada e saída

2

12

11 01

sen arctg , para nξω t

de ξ

y t L Y s ω t tξξ

1e t x t y t y t

2

2

1 01

sen arctg , para nξω t

de ξ

e t ω t tξξ

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ordem

•

Caso 2: Sistema criticamente amortecido

(ζ

= 1)–

Dois pólos reais e iguais

•


•


2

2n

n

Y s ωG s

X s s ω

2

21n

n

ωY s G s X s

ss ω

1 1 1 0, para nω tny t L Y s e ω t t

1/5



ordem

•

Caso 3: Sistema superamortecido

(ζ

> 1)–

Dois pólos reais, negativos e distintos

•


2

2 21 1n

n n n n

Y s ωG s

X s s ξω ω ξ s ξω ω ξ

2

2 2

1

1 1n

n n n n

ωY s G s X s

ss ξω ω ξ s ξω ω ξ

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ordem

•


1 21

2 1 2

21

22

1 02 1

1

1

, para s t s t

n

n

n

ω e ey t L Y s t

s sξ

s ξ ξ ω

s ξ ξ ω

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ordem

•

Respostas de um sistema de 2ª

ordem

y(t)

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ordem

•

Especificações de regime transitório(Definidas no domínio do tempo)

–

Tempo de atraso, td

Tempo para y(t) atingir metade do valor final–

Tempo de subida, tr

Tempo para y(t) variar de 10% a 90% do valor final

–

Instante de pico, tp

Instante de tempo em que y(t) atinge o valor máximo

–

Máxima ultrapassagem percentual

–

Tempo de acomodação, ts

Tempo para y(t) situar‐se na faixa entre 2% ou 5% do valor final

100%pp

y t yM

y

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ordem

•

Especificações de regime transitórioy(t)

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[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª

ed. Rio de Janeiro: Prentice‐ Hall, 2000.

[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011.

[3] FERREIRA, P. A. V. Princípios

de controle

e servomecanismos

(notas

de aula). Campinas: UNICAMP, 2006.

Bibliografia

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