Sinais e Sistemas - Bem Vindo - UFSM · Definição da Transformada de Laplace • Solução de...

Sinais e SistemasUnidade 5 –

Representação em domínio da

frequência para sinais contínuos:Transformada de Transformada de LaplaceLaplace

Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]

Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]

1/5

2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.

•

Introdução•

Definição da Transformada de Laplace

•

Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo

•

Função de Transferência•

Conceito de pólos e zeros

•

Estabilidade de sistemas

•

Sistemas com atraso de transporte•

Análise da resposta transitória

•

Análise da resposta em regime permanente

•

Resposta em frequência e Diagrama de Bode

Conteúdo da unidade

Aulas

01 e 02

Aula 03

Aula 04

Aulas

05 e

06

1/5


Aula 02

•

Definição da Transformada de Laplace–

Transformada Inversa de Laplace

–

Expansão em Frações Parciais•

F(s) com pólos simples

•

F(s) com pólos múltiplos•

F(s) com pólos múltiplos

•

Emprego do MATLAB

•

Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo–

Exemplos de solução

–

Aplicação à

análise de circuitos elétricos

1/5



•

Sejac

= abscissa de convergência•

Número real e constante superior a à parte real de todos os pontos

singulares de F(s)

•

Definição

–

O percurso de integração é paralelo ao eixo imaginário jω

e deslocado deste do valor c

–

Percurso situado a direita de topos os pontos singulares–

Na prática, raramente a Transformada Inversa é obtida pela definição

1 1 02

, para c j

st

c j

L F s f t F s e ds tπj

1/5



•

Observações–

Em função da complexidade da solução da integral, na prática,

raramente a Transformada Inversa é obtida pela definição–

Recorre‐se a tabelas de pares de Transformada de Laplace

–

Frequentemente, a função em pauta pode não figurar na tabela•

Expandir F(s) em frações parciais

•

Escrever F(s) em termos de funções simples de s

para as quais as transformadas inversas já

são conhecidas

1/5


Expansão em Frações Parciais

•

Normalmente F(s) encontra‐se sob a seguinte forma

–

Onde•

A(s) e B(s) são polinômios em s

•

O grau de A(s) deve ser superior ao grau de B(s)

•

Se F(s) puder ser decomposta em componentes

–

Então

B sF s

A s

1 2 nF s F s F s F s

1 1 1 11 2

1 2

n

n

f t L F s L F s L F s L F s

f t f t f t

1/5



•

Seja F(s) escrita sob a forma fatorada

–

Onde p1

, p2

, ... , pn

e z1

, z2

, ... , zn

são quantidades reais ou complexas–

Para cada pi

ou zi

complexo ocorrerá

o respectivo complexo conjugado

F(s) com pólos simples

1 2

1 2

, para m

n

K s z s z s zB sF s m n

A s s p s p s p

1/5


•

Frações Parciais

–

Onde ak

(k

= 1, 2, ..., n) são constantes–

Os coeficiente ak

é chamado de resíduo no pólo s

= ‐pk

–

Cálculo de ak


n

n

B s a a aF s

A s s p s p s p

1 2

1 2

k

k ks p

B sa s p

A s

1/5


•

Observar que

–

Logo


1 kp tkk

k

aL a e

a p

1 211 2 0 , para np t p t p t

nf t L F s a e a e a e t

1/5


•

Exemplo–

Achar a Transformada Inversa de Laplace

de

–


–

Cálculo dos resíduos


3

1 2s

F ss s

1 23

1 2 1 2a as

F ss s s s

111

222

3 31 21 2 2

3 32 11 2 1

ss

ss

s sa s

s s s

s sa s

s s s

1/5


–

Assim


, para t t

f t L F s

L Ls s

e e t

1

1 1

2

2 11 2

2 0

1/5


•

Exercício–


de

–

Solução


sF s

s s

22 122 5

, para t tf t e sen t e cos t t 5 2 2 2 0

1/5



•

Frações Parciais

–

Cálculo dos resíduos bk

F(s) com pólos múltiplos

, para , , ,!

n kn

k n ks p

B sdb s p k n

n k A sds

1 1 2

nn n

B s b b bF s

s p s p s p s p

1 2

1 2

1/5


•

Exercício–


de

–

Solução


s s

F sS

2

32 31

, para tf t t e t 21 0

1/5



Emprego do MATLAB

num = [2 5 3 6]

% Numerador da função de transferênciaden

= [1 6 11 6]

% Denominador da função de transferência

[r, p, k] = residue

(num, den) % Função para expansão em frações parciais

num = [2 5 3 6]

% Numerador da função de transferênciaden

= [1 6 11 6]

% Denominador da função de transferência

[r, p, k] = residue

(num, den) % Função para expansão em frações parciais

r = ‐6.0000‐4.00003.0000

p = ‐3.0000‐2.0000‐1.0000

K = 2.0000

r = ‐6.0000‐4.00003.0000

p = ‐3.0000‐2.0000‐1.0000

K = 2.0000

B s s s sF s

A s s s s

3 2

3 22 5 3 6

6 11 6

F ss s s

6 4 3 23 2 1

1/5


Solução de Equações Diferenciais

•

Transformada de Laplace

–

Fornece a solução completa

(complementar e particular)–

Automaticamente considera as condições iniciais

•

Procedimento

1)

Aplicar a Transformada de Laplace

a cada um dos membros e equação diferencial, convertendo‐a numa equação algébrica de s

2)

Rearranjar a equação, isolando a variável dependente,por exemplo X(s)

3)

A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida achando‐se a Transformada Inversa de Laplace

da variável

dependente

1/5



•

Exemplo–

Obter a solução x(t) da seguinte equação diferencial, com a

e b

constantes

–

Aplicando‐se a Transformada de Laplace

a cada termo

–

Substituindo‐se as condições iniciais

, ,x x x x a x b 3 2 0 0 0

s X s s x x sX s x X s 2 0 0 3 0 2 0

s X s sa b sX s a X s 2 3 2 0

1/5



–

Resolvendo‐se para X(s)

–

Expandindo‐se em frações parciais

–

Obtendo‐se a Transformada Inversa de Laplace

s s X s as b a

as b aX s

s s s

2

2

3 2 3

33

as b a as b a a b a bX s

s s s ss s s

2

3 3 21 2 1 23

, para t tx t L X s a b e a b e t 1 22 0

1/5



•

Exercício

–

Obter a solução x(t) da seguinte equação diferencial

–

Solução

, ,x x x x x 2 5 3 0 0 0 0

, para t tx t e sen t e cos t t 3 3 32 2 05 10 5

1/5



•

Resistor

–

Aplicando a Transformada de Laplace

Análise de Circuitos Elétricos

R Rv t R i t

R R RL v t V s RI s

1/5



•

Indutor

–


ou L L L Ld

v t L i t i t v t dtdt L

11

1

L L L L L LL v t V s L sI s i sL I s L i 1 1 10 0

01 1

01 1L L LL L L

t

V s V s iL i t I s v t dt

L s s sL s

1/5



•

Capacitor

–


ou C C C Cd

i t C v t v t i t dtdt C

1

C C CC C C

t

I s I s vL v t V s i t dt

C s s sC s

0

01 1

C C C C C CL i t I s C sV s v sCV s Cv 0 0

1/5



•

Exemplo

–

Encontrar vo

(t) para o seguinte circuito (filtro passa‐baixas) com as seguintes condições iniciais: iL

(0) = 0

e vC

(0) = 0

•

Exercício–

Relatório individual impresso contendo:•

Simulação no MATLAB

da função vo

(t) obtida. Incluir código fonte•

Comparação com a simulação no PSIM ou OrCAD

•

(Vi = 100 V; L = 1 mH, C = 100 μF, R = 10 Ω)

1/5


[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª

ed. Rio de Janeiro: Prentice‐ Hall, 2000.

[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011.

[3] ALEXANDER, C. H.; SADIKU, M. N. O. Fundamentals of Electric Circuits. McGraw‐Hill, 2001.

Bibliografia

Sinais e Sistemas - Bem Vindo - UFSM · Definição da Transformada de Laplace • Solução de...

Documents

Transcript of Sinais e Sistemas - Bem Vindo - UFSM · Definição da Transformada de Laplace • Solução de...