José Sá da Costa T13 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. 1

Sinais e Sistemas Mecatrónicos

José Sá da Costa

Análise de Sistemas No Domínio da Frequência

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Diagramas de Bode

Construção dos Diagramas de Bode

Para se representar aproximadamente a resposta em frequência de uma dada função de transferência em diagramas de Bode basta:

1.  Factorizar a FT na forma de Bode

2. Determinar a resposta em frequência fazendo s = jω

3.  Traçar a curvas de magnitudes em dB (decibel) sabendo que

( )G s

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Diagramas de Bode

Construção dos Diagramas de Bode (cont.)

3.1 Para traçar a curva de magnitudes deve-se traçar assimpto-ticamente cada um dos termos isoladamente (ganho, pólos e zeros na origem, pólos e zeros reais e pólos e zeros complexos conjugados) assinalando previamente os valores das frequências de corte de cada termo.

3.2 A curva assimptótica de magnitudes total resulta da soma das curvas parciais dos termos isoladamente.

3.3 Uma aproximação da curva real pode ser obtida marcando para cada frequência de corte o erro cometido com a aproximação assimptótica, de acordo com a representação padrão dos termos.

4.  Traçar a curva de fases sabendo que

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Diagramas de Bode

Construção dos Diagramas de Bode (cont.)

4.1 Para traçar a curva de fases deve-se traçar assimptoticamente a fase de cada um dos termos isoladamente (ganho, pólos e zeros na origem, pólos e zeros reais e pólos e zeros complexos conjugados) assinalando previamente os valores das frequências de corte de cada termo e as frequências de intersecção assimptótica.

4.2 A curva assimptótica de fases total resulta da soma das curvas parciais dos termos isoladamente.

4.3 Uma aproximação da curva real pode ser obtida marcando para cada frequência de corte e frequências de intersecção assimptótica o erro cometido com a aproximação assimptótica, de acordo com a representação padrão dos termos.

Notar que normalmente a frequência vem em rad/s e a fase em graus, mas nada impede que esta venha em rad e a frequência em Hertz. A magnitude vem sempre em dB.

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Diagramas de Bode

Exemplo: Considere a função de transferência

Factorizando na forma de Bode Os factores a representar são

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Diagramas de Bode

7,51( )jω −

1 , 3 rad/s3 cjω ω+ =

1

12jω

−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12

12 2

jj

ωω−

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Exemplo (cont.): Curva de magnitudes 1

2

3

4

5

2 rad/scω =

2 rad/s, 0,3536nω ζ= =

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Diagramas de Bode

7,51( )jω −

13jω+

1

12jω

−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12

12 2

jj

ωω−

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Exemplo (cont.): Curva de fases

1

2 3

4 5

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Diagramas de Bode

Exemplo (cont.): Diagramas de Bode

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Estimação de Parâmetros

Exemplo: Considere o sistema mecânico representado na figura, cuja resposta em frequência é dada na figura abaixo, onde x(t) é a posição relativa-mente ao ponto de equilíbrio. Estime os parâmetros do sistema.

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Estimação de Parâmetros

Exemplo (cont.):

X(s)P(s)

=1

ms2 + bs + k e

X(jω)P(jω)

=1

m jω( )2 + bjω + k

Do diagrama de Bode temos que

Resolução: Atendendo à Lei de Newton e considerando C.I. nulas a função de transferência e a resposta em frequência vem dadas por

X(j0+)P(j0+)

= −26 dB, logo X(j0+)P(j0+)

=1k

= −26 dB = 0,051 resultando k = 19,96 N/m

ωn = 3,2 rad/s =

km

resultando m =k

(3,2)2= 1,949 kg

Tratando-se de um sistema de 2ª ordem temos que

bm

= 2ζωn resultando b = 2ζωnm = 2× 0,32× 3,2×1,949 = 3,992 N.s/m

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Especificações em Frequência

Frequência de ressonância ωr valor da frequência para a qual a curva de magnitudes atinge o seu máximo, definido para 0 ≤ ζ < 0,707 i.e. para o caso sub-amortecido.

Nota: nos termos de 2º ordem a frequência natural, ωn, é sempre superior à frequência de ressonância, excepto quando ζ = 0, situação em que os pólos se encontram sobre o eixo imaginário, logo ωr = ωn.

21d n rω ω ζ ω= − ≠

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Especificações em Frequência

Pico de ressonância Mr valor máximo da curva de magnitudes, definido para 0 ≤ ζ < 0,707 i.e. para o caso sub-amortecido. Fase de ressonância φr valor da fase na frequência de ressonância, definido para 0 ≤ ζ < 0,707 i.e. para o caso sub-amortecido. No caso de um sistema de 2ª ordem A resposta em frequência em anel fechado

C(s)R(s)

=ωn2

s2 + 2ζωns +ωn2

C( jω )R( jω )

=ωn2

( jω )2 + 2ζωn jω +ωn2 =

1

1−ω 2

ωn2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ j2ζ ω

ωn

= Me jφ

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Especificações em Frequência

onde O máximo de M ocorre na frequência de ressonância O valor do máximo de M, denominado pico de ressonância é dado por ou

122 222

2

21 tan

11 2

n

nn n

M

ωζω

φωω ω

ζ ωω ω

−= = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e

2

1 1 22 1

rM sen θζ ζ= =

−

21 2 cos2 para 0,707r n nω ω ζ ω θ ζ= − = <

( )1

210 10 dB 20log ( ) 20log 2 1 dBr rM G jω ζ ζ

−

= = −

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Especificações em Frequência

A fase de ressonância virá dada por O valor de Mr dá uma ideia da estabilidade relativa, do sistema:

•  Um Mr elevado indica a presença de um par de pólos conjugados dominante, com uma taxa de amortecimento baixa, o que conduz a uma resposta transitória indesejável.

• Um Mr baixo indica a ausência de par de pólos conjugados domi-nantes, com uma taxa de amortecimento baixa, o que conduz a uma resposta transitória bastante amortecida.

• Notar que só existe pico de ressonância para 0 ≤ ζ < 0,707 .

[ ] ( )2arg ( ) 90º arcsen 1r rG jφ ω ζ ζ= = − + −

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Especificações em Frequência

Frequência de corte ωc frequência para a qual a curva de magnitudes do sistema em anel fechado apresenta um valor de −3.0 dB relativamente ao seu valor para a frequência nula. Largura de banda Lb intervalo de frequências para a qual o sistema responde satisfatoriamente (aproximadamente com ganho 0 dB) e uma atenuação nunca inferior a −3.0 dB.

No caso de

( ) ( 0) 3 dB, ( ) ( 0) cC j C jR j R j

ωω ω

ω< − >para

( ) 3 dB, ( ) cC jR j

ωω ω

ω< − >para

( 0) 0 dB( 0)C jR j

=

cω

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Especificações em Frequência

Exemplo:

Considere os dois sistemas Sistema I Sistema II Compare a largura de banda dos dois sistemas e conclua quanto à rapidez resposta e seguimento da entrada.

Resolução: Representando as curvas de magnitude da resposta em frequência em anel fechado obtemos Destas curvas conclui-se que

( ) 1( ) 1C sR s s

=+

( ) 1( ) 3 1C sR s s

=+

I II0 1 rad/s 0 0,33 rad/sLB LBω ω∈ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤e

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Especificações em Frequência

Exemplo cont.:

As respostas ao degrau unitário e à rampa unitária são Degrau unitário Rampa unitária Destas curvas conclui-se que o Sistema I que tem uma largura de banda 3 vezes maior que o Sistema II, responde mais rápido e a saída segue melhor o sinal de entrada.