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Sinais e Sistemas Série de Fourier

Renato Dourado Maia

Universidade Estadual de Montes Claros

Engenharia de Sistemas

Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Convergência da FS Um sinal periódico contínuo possui uma repre-

sentação em Série de Fourier se ele satisfaz às seguintes condições de Dirichlet:

1. O sinal deve ser absolutamente integrável.

2. O sinal deve possuir um número finito de máximos e mínimos num período.

3. O sinal deve possuir um número finito de descontinui-dades (finitas) num período.

Essas condições garantem que o sinal é igual à sua representação em FS, exceto em valores isolados de

tempo para os quais o sinal é descontínuo. 14/04/2014 2/31


Convergência da FS

Violação da Primeira Condição de Dirichlet

Violação da Segunda Condição de Dirichlet

Violação da Terceira Condição de Dirichlet

14/04/2014 3/31


Convergência da FS Na prática, o somatório é finito, ou seja, utiliza-

se a Série de Fourier Truncada, que contempla as N primeiras harmônicas:

0( )N

jk t

N kk N

x t a e

Espera-se que a Série Truncada convirja para o sinal x quando N tende a infinito. Felizmente, não há problemas de convergência para uma grande quantidade de classes de sinais periódicos.

Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização da Série Truncada de Fourier, apresentando os fasores para

cada harmônica... 14/04/2014 4/31


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo: Script em Matlab – M_11_SerieFourierProg1.m

0

2T

Frequência Fundamental?

14/04/2014 5/31


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo

0 0 0

0

0

0

0

0 0

0

0

2

2

0 0 0

0

00

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

00

1 1 1( )

2 sen( ) 2 sen( )22

sen( ) sen( )2 2 2 2sinc

22

2 2( )

TT Tjk t jk t jk t

k T TT

jk T jk T

a x t e dt e dt eT T Tjk

k T T k Te eTk j Tk T k T

Tk T kT T T T

kT T T T T

T T

Tk T

Tk

sen( )sinc( )

uu

u

Função sinc

14/04/2014 6/31



-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

a k

k

T=16, To=4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.05

0

0.05

0.1

0.15

a k

k

T=16, To=1

14/04/2014 7/31


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo – Aproximação do Sinal pela Série Truncada de Fourier

-5 0 50

0.5

1

t

x 0(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 1(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 3(t)-5 0 5

0

0.5

1

t

x 5(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 7(t)

-5 0 50

0.5

1

tx 9(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 11(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 13(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 15(t)

( ) i

x t i é a quantidade de harmônicas utilizadas

CE6.m: arquivos do livro do Sinais e

Sistemas Lineares, segunda edição

14/04/2014 8/31


Convergência da FS Vimos que se espera que a Série Truncada com-

virja para o sinal x quando N tende a infinito. Será que isso acontece sempre?

Já sabemos que um sinal periódico contínuo possui u-ma representação em Série de Fourier se ele satisfaz às condições de Dirichlet, mas sabemos também que a aproximação não é perfeita em pontos de descontinui-dade. Esse é o Fenômeno Gibbs...

Vejamos uma outra animação em Java que ilustra a utilização da Série Truncada de Fourier e evidencia o Fenômeno Gibbs...

14/04/2014 9/31


Convergência da FS Existem métodos para reduzir ou eliminar o e-

feito do Fenômeno Gibbs. Essencialmente, tais métodos são diferentes maneiras de modificar (ponderar) os coeficientes da FS truncada, e são conhecidos como métodos de janelamento.

Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização de janelamento para redução do efeito do Fenôneno Gibbs...

14/04/2014 10/31


Sinais Contínuos Periódicos (FS)

Calcular a FS para o sinal apresentado a seguir:

Exemplo

( ) 2 sen(2 3) sen(6 )x t t t

14/04/2014 11/31



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x(

t)

t

x(t)=2sin(2π t-3)+sin(6π t)

14/04/2014 12/31



( ) 2 sen(2 3) sen(6 )x t t t

(2 3) (2 3) 6 6

(2 3) (2 3) 6 6

( 3)2 ( 1)2 3 (1)2 3 (3)2

( ) 22 2

( )2 2

( )2 2

j t j t j t j t

j t j t j t j t

j t j t j j t j j t

e e e ex t

j jj j

x t je je e e

j jx t e je e je e e

14/04/2014 13/31



2

323 32

33

23 32

2 2

1, -3

2 2

1 1 , -1

, 1

1 1, 3

2 2 20,

j

jjj j

jjk j j j

j jj

je k

je e e e k

aje e e e e k

je e e k

caso contrário

Exemplo

14/04/2014 14/31



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

0

5x(

t)

t

x(t)=2sin(2π t-3)+sin(6π t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

|X(k

)|

k

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2

0

2

∠ X

(k)

k

14/04/2014 15/31



Calcular a FS para o sinal a seguir:

Exemplo

( ) ( )k

x t t kT

( )x t

TT

1

2T3T 2T T 3T

... ...

14/04/2014 16/31



( ) ( )

k

x t t kT

0 02 2

2 2

1 1 1( ) ( )

T Tjk t jk t

k T Ta x t e dt t e dt k

T T T

( )x t

TT

1

2T3T 2T T 3T

... ...

14/04/2014 17/31


Algumas Propriedades da FS Linearidade

( )

( )

( ) ( ) ( )

FS

kFS

kFS

k k kA

x t a

y t b

z t x t y t c a bAB B

Deslocamento no Tempo

0 0

0

( )

( )

FS

kF

k tS

j

k

x t a

x t e at

14/04/2014 18/31


Algumas Propriedades da FS Reflexão no Tempo

( )

( )

FS

kFS

k

x t a

x t a

O que se pode dizer sobre os coeficientes da FS para sinais pares e ímpares ?

k ka a

k ka a

14/04/2014 19/31


Algumas Propriedades da FS Mudança de Escala no Tempo

0

0( )

( )

( )

jk t

kk

jk t

kk

x t a e

x t a e

é um número positivo real

Conjugado e Simetria

( )

( )

FS

kFS

k

x t a

x t a

14/04/2014 20/31


Algumas Propriedades da FS Multiplicação

( )

( )

( ) ( )

FS

kFS

kFS

k l k ll

x t a

y t b

x t y t h a b

Relação de Parseval

2 21

( )k

kT

x t dt aT

14/04/2014 21/31


Propriedades da FS A Tabela 3.1 (página 206 do livro Signals and

Systems) resume as propriedades da FS: algu-mas propriedades apresentadas na tabela não es-tão nos slides...

As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da FS de um sinal, evitando a realização de contas desnecessárias.

Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-senta comentários interessantes...

14/04/2014 22/31


Propriedades da FS Exemplo

Calcular a FS para o sinal apresentado a seguir:

12

12

11 22

( )g t

14/04/2014 23/31

t



Lembrando:

0 02 2

sinck

T Ta k

T T

14/04/2014 24/31



12

12

−

11− 22−

( )g t 0

0

1( ) ( 1)

21, 4

2

g t x t

T T

14/04/2014 25/31



1 2

1( ) ( 1)

2( ) ( ) ( )

g t x t

g t x t x t

Aplicar Linearidade!!!

1

2

1 2

( )

( )

( ) ( ) ( )

FS

kFS

kFS

k k k

x t b

x t c

g t x t x t d b c

14/04/2014 26/31



1( ) ( 1)x t x t Aplicar Deslocamento no Tempo!!!

0 0

0

( )

( )

FS

kF

k tS

j

k

x t a

x t e at

2jk

k kb e a

2

1( )

2x t

0, 0 1

, 02

k

kc

k

14/04/2014 27/31



1

2

1 2

( )

( )

( ) ( ) ( )

FS

kFS

kFS

k k k

x t b

x t c

g t x t x t d b c

2jk

k kb e a

0, 0 1

, 02

k

kc

k

2

0

, 0

1, 0

2

jk

k

k

e a kd

a k

14/04/2014 28/31



2

0

, 0

1, 0

2

jk

k

k

e a kd

a k

0 10 0

4

sen 22 2 1 1sinc sinc

2 2T

Tk k

kT Ta k a k

T T k

2

sen( )2 , 0

0, 0

jk

k

k

e kdk

k

14/04/2014 29/31


Educational Matlab GUIs Demos sobre Processamento de Sinais: Convolu-

ção, Série de Fourier, Transformadas, etc...

http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html

(Acesso em 07/04/2014)

Vamos brincar um pouco com a Fourier Series Demo!

14/04/2014 30/31


Exercício Exercício 3.1 – Signals and Systems

Um sinal periódico de tempo contínuo x(t) é real e

tem período fundamental T = 8. Os coeficientes não nulos da FS de x(t) são:

Expresse x(t) na forma:

1 1 3 32, .a a a a

0

( ) cos( ).k k k

k

x t A t

14/04/2014 31/31

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