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Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas – Fundamentos

Renato Dourado Maia

Universidade Estadual de Montes Claros

Engenharia de Sistemas

Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Classificação de Sinais Sinal de Tempo Contínuo:

É definido para todo tempo t, sendo t uma variável inde-pendente contínua – conjunto dos números reais.

Notação: parênteses – x(t).

24/02/2014 2/42


Classificação de Sinais Exemplo de Sinal de Tempo Contínuo

Script: M_3_SinaisFundamentosProg1.m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6Sinal de Tempo Contínuo

t

x(t)

24/02/2014 3/42


Classificação de Sinais Sinal de Tempo Discreto:

É definido somente em instantes isolados de tempo, sendo escrito normalmente como função de n, uma vari-ável independente discreta – conjunto dos números in-teiros.

Notação: colchetes – x[n].

A amostragem de um sinal de tempo contínuo gera um sinal de tempo discreto:

[ ] ( ) 0, 1, 2, 3, ... = = ± ± ±x n x n n

é o período de amostT

T ragem

24/02/2014 4/42


Classificação de Sinais Exemplo de Sinal de Tempo Discreto


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5

6Sinal de Tempo Discreto

n

x[n]

24/02/2014 5/42


Classificação de Sinais Perguntas:

Dizer que um sinal é analógico é o mesmo que dizer que ele é de tempo contínuo?

Dizer que um sinal é digital é o mesmo que dizer que ele é de tempo discreto?

NÃO! 24/02/2014 6/42


Classificação de Sinais Os conceitos de tempo contínuo e discreto são

geralmente confundidos com os conceitos de a-nalógico e digital, respectivamente...

Sinal analógico e sinal de tempo contínuo são coisas diferentes, bem como sinal digital e sinal de tempo discreto.

Tempo contínuo e tempo discreto qualificam a natureza do sinal ao longo do tempo, enquanto discreto e digital qualificam a natureza da ampli-tude do sinal...

24/02/2014 7/42


Classificação de Sinais

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

Tempo, [s]

y(t)

Discreto em amplitude e contínuo no tempo

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

Instante de amostragem, k

y(k)

Discreto em amplitude e no tempo

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Classificação de Sinais Sinal Par:

Um sinal é par se, e somente se:

( ) ( ) x t x t t−= ∀

Sinal Ímpar:

Um sinal é ímpar se, e somente se:

( ) ( ) x t x t t− −= ∀

O CASO DISCRETO É ANÁLOGO!!!

24/02/2014 9/42


Classificação de Sinais Exemplo de Sinal Ímpar – Seno

SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO DAS ORDENADAS – Y


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

Sinal Ímpar - Seno

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t-x

(-t)

Sinal Ímpar - Seno

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Classificação de Sinais Exemplo de Sinal Par – Cosseno

SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO DAS ORDENADAS – Y, E DAS ABCISSAS – X


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

Sinal Par - Cosseno

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tx(

-t)

Sinal Par - Cosseno

24/02/2014 11/42


Decomposição de Sinais Todo sinal pode ser decomposto em uma soma

de parte par e parte ímpar:

Parte par:

Parte ímpar:

1 [ ( ) ( )]2

x t x t+ −

O CASO DISCRETO É ANÁLOGO!!!

1 [ ( ) ( )]2

x t x t− −

24/02/2014 12/42


Decomposição de Sinais Exemplo: decompor o sinal apresentado a seguir

em suas partes par e ímpar:

24/02/2014 13/42


Decomposição de Sinais Exemplo – Solução

1 [ ( ) ( )]2

Parte Par x t x t+ −=1 [ ( ) ( )]2

Parte Ímpar x t x t−= −

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Classificação de Sinais Sinal Periódico:

Um sinal é periódico se existe uma constante positiva T ou N, tal que:

[ ] [ ], x n x n N n= + ∀( ) ( ), x t x t T t= + ∀

O MENOR VALOR PARA T OU N QUE SATISFAÇA ÀS EQUAÇÕES É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – T0 OU N0 .

0

0

0

1 ( )

2 ( )

2 [ ]

πω

π

=

=

Ω =

f é a frequência fundamental de x t em hertz

é a frequência fundamental de x t em radianos por segundo

é a frequência funN

T

T

damental de x n em radianos

24/02/2014 15/42


Classificação de Sinais Exemplos de Sinais Periódicos


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

Sinal Periódico Contínuo

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

Sinal Periódico Discreto

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Classificação de Sinais Sinal Aperiódico:

Um sinal é aperiódico se não existe uma constante posi-tiva T ou N, tal que: [ ] [ ], x n x n N n= + ∀( ) ( ), x t x t T t= + ∀

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Classificação de Sinais Exemplos de Sinais Aperiódicos


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

x(t)

Sinal Aperiódico Contínuo

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

Sinal Aperiódico Discreto

x[n]

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Classificação de Sinais Sinal Determinístico:

Não há nenhuma incerteza com relação ao seu valor em qualquer tempo. Um sinal determinístico pode ser mo-delado como uma função do tempo completamente es-pecificada.

Um exemplo é um sinal senoidal.

Sinal Aleatório:

Há incerteza antes de sua ocorrência real.

Um exemplo é um eletrocardiograma.

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Potência e Energia de Sinais Potência instantânea:

Energia (intervalo de tempo finito):

Potência média (intervalo de tempo finito):

2( )P x t=2[ ]P x n=

1

0

2( )t

t

E x t dt= ∫1

0

2[ ]n

n nE x n

=

= ∑

1

0

2

1 0

1 ( )t

t

P x t dtt t

=− ∫

1

0

2

1 0

1 [ ]n

n nP x n

n n =

=− ∑

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Potência e Energia de Sinais Exemplo: calcular a energia do sinal apresentado

a seguir:

, 0 1( ) 2 , 1 2

0,

t tx t t t

caso contrário

≤ ≤= − ≤ ≤

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Potência e Energia de Sinais Exemplo – Solução

1 21 2 22 2 3

10 1 0

1 1 1 2( 2) (2 )3 3 3 3 3tE t dt t dt t= + − = − − = + =∫ ∫

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Potência e Energia de Sinais Energia Total (ou simplesmente Energia):

Potência média sobre um intervalo de tempo infi-nito (ou simplesmente Potência):

2 2 2 2lim ( ) ( ) lim [ ] [ ]+ +∞ + +∞

∞ ∞→∞ →∞=− =−∞− −∞

= =∑ ∑∫ ∫

T N

T N n N nT

E x t dt x t dt E x n x n

2 21 1lim ( ) lim [ ]2 2 1

+ +

∞ ∞→∞ →∞=−− + ∑∫

T N

T N n NT

P x t dt P x nT N

“Energy and Power of Signals" from the Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/EnergyAndPowerOfSignals/

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Potência e Energia de Sinais



24/02/2014 24/42






24/02/2014 25/42






24/02/2014 26/42






24/02/2014 27/42






24/02/2014 28/42






24/02/2014 29/42






24/02/2014 30/42






24/02/2014 31/42



Operações Básicas em Sinais Deslocamento no Tempo: 0 0( ) [ ]x t e x nt n− −

0 0

0 0

, 0, , , . , 0, , , .

><

t nt

Se deslocamento para a direita isto é é atrasoSe deslocamento para a esquerda isto é é adiantamenton

Reflexão Temporal:

Um sinal par é igual à sua versão refletida.

Um sinal ímpar é igual ao negativo de sua versão refleti-da.

( ) [ ]x t e x n− −

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Operações Básicas em Sinais Mudança de Escala de Tempo: ( ) [ ]x t e x knα

1, . 0 1, . 0. 1, [ ] .

Se ocorre compressão Se ocorre dilataçãoé um inteiro Se alguns valores de x n são pek dk r idos

α α> < <> >

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Operações Básicas em Sinais Exemplo: considerando o sinal apresentado a se-

guir, esboçar o sinal .

( ) (1 2)y t x t= −

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Operações Básicas em Sinais Exemplo – Solução

A PRIMEIRA OPERAÇÃO A SER REALIZADA

É O DESLOCAMENTO!!!

Seja a seguinte transformação geral:

Para determinar o sinal :

Trocar por . Considerando , determinar , ou seja: Esboçar o eixo transformado abaixo do eixo . Esboçar .

( ) ( )ay t x t b= +

( )y t

t τt baτ = + t t b

a aτ

= −t τ

( )y t

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24/02/2014 36/42


Operações Básicas em Sinais Exercício: considerando o sinal apresentado a se-

guir, esboçar os sinais

( ) ( 1), ( ) ( 1), ( ) (3 2), ( ) (3 2 1)y t x t y t x t y t x t y t x t= + = − + = = +

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guir, esboçar os sinais e .

( ) (2 )=y t x t


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

x(t)

Sinal x(t)

( ) ( 2)=y t x t

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-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y(t)

Sinal y(t) = x(t/2)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y(t)

Sinal y(t) = x(2t)

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guir, esboçar o sinal .

[ ] [2 ]y n x n=


-6 -4 -2 0 2 4 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

Sinal x[n]

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

y[n]

Sinal y[n] = x[2n]

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Dica

NÃO DEIXEM DE ESTUDAR A LISTA DE EXEMPLOS RESOLVIDOS...

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