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Aula 9 | TATIANA MIRANDA DE SOUZA JOSE CARLOS DE MORAES SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
PET FÍSICA GEOMETRIA ANALÍTICA
Geometria Analítica 2017
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AGRADECIMENTOS
Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do
Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da Educação – Brasil.
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DOS AUTORES
Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos
bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição
de materiais tradicionais e mais completos.
O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as
pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.
Uma boa leitura!
Geometria Analítica 2017
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SUMÁRIO
1. Distância entre dois pontos.......................................................................................................... 05
2. Ponto médio de um segmento de ret............................................................................................ 06
3. Condição de alinhamento de três pontos.................................................................................... 07
4. Inclinação da reta................................................................................................................... 08
5. Equação geral e reduzida da reta................................................................................................ 08
6. Equação segmentária da reta....................................................................................................... 10
7. Equação paramétrica.................................................................................................................... 11
8. Posição relativa de duas retas no plano cartesiano.................................................................... 12
9. Área de um triângulo no plano cartesiano................................................................................. 12
10. Exercícios de fixação..................................................................................................................... 13
11. Referências..................................................................................................................................... 13
12. Respostas dos exercícios de fixação............................................................................................. 13
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1. Distância entre dois pontos
Um dos conceitos básicos da geometria é que em um plano, cartesiano, a menor distância entre
dois pontos, A e B, é dada por uma reta (OLIVEIRA, 2017).
Figura 1: Representação da reta que liga os pontos A e B.
A medida da reta que une os pontos A e B pode ser realizada pela construção de um triângulo
retângulo utilizando os pontos e , como mostra figura a seguir (figura 2):
Figura 2: Construção do triângulo retângulo, para realização da medida da reta que liga os pontos A e B.
Com essa configuração temos que o triângulo retângulo formato terá a reta como a hipotenusa,
enquanto os catetos serão dados pelas medidas e . Nessa condição, então podemos escrever que:
(1)
As medidas de cada um dos catetos podem ser reescrito pelos pontos dos pares ordenados, que
definem o segmento. Tal que se:
e
então podemos escrever que:
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(2)
2. Ponto médio de um segmento de reta
Um segmento de reta, quando representado num plano cartesiano, possui um par ordenado que
divide o segmento analisado em duas partes iguais.
Figura 3: Posição do ponto médio (M) na reta que liga os pontos A e B.
Esse par, denominado de ponto médio (Pm), pode ser obtido pelas seguintes relações
(ALEJANDRO et al, 1997):
(3)
Exemplo 1
O movimento de uma partícula é representado pelo gráfico abaixo:
Determine qual posição representa a metade do deslocamento e que instante isso ocorrerá.
R: A condição necessária para determinar a metade do deslocamento e o instante em que isso ocorrerá
poder ser dado pela expressão (3) e usando a geometria do problema teremos:
O que nos permite dizer que a posição média do deslocamento é de 10 m da origem e que isso ocorrerá em 5 s
após o início do deslocamento.
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3. Condição de alinhamento de três pontos
Uma reta, representada num plano cartesiano, possui uma série de pontos que descreve a mesma e
a determinação de e alinhamento de três pontos (A, B, C) pode ser obtida pelo cálculo do determinante de
uma matriz de ordem 3×3 pela Regra de Sarrus (SILVA & BARRETO FILHO, 2005).
Figura 4: Posição do ponto médio (M) na reta que liga os pontos A e B.
A construção dessa matriz será dada da seguinte forma:
as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna;
as ordenadas a 2ª coluna;
a terceira coluna será complementada com o número um.
(4)
sendo o determinante será escrito como:
(5)
Exemplo 2
A expansão de um gás ocorre de forma isobárica, de tal forma que numa temperatura de 100 K o volume
ocupado por ele é de 8,2 L e na temperatura de 350 K o volume ocupado é 28,7 L. Sabendo que no plano V×T a
relação entre essas quantidades é uma reta, determine, utilizando a condição de alinhamento de três pontos,
qual será a temperatura medida quando o volume ocupado pelo gás for de 17,63 L?
R: Nessa condição a matriz será da forma:
O determinante será dado por:
Onde após o procedimento algébrico obteremos que quando volume ocupado pelo gás for 17,63 L a sua
temperatura será 215 K.
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4. Inclinação da reta
Toda reta, representada no plano cartesiano, tem uma inclinação () em relação ao eixo que
pode variar entre 0º e 180º (0º 180º). Poder ser obtida a partir da razão entre o cateto oposto e o
cateto adjacente ao ângulo (), que fornece o coeficiente angular (a) da reta, isto é (ALEJANDRO et al,
1997):
(6)
que também pode ser reescrita como:
(7)
Onde:
(8)
5. Equação geral e reduzida da reta
Dizemos que a equação geral de uma reta é escrita na forma (SHIGUEKIYO, 2008):
(9)
Exemplo 3
Em um circuito simples, onde existe um dispositivo que se comporta como um resistor ôhmico, isto é,
aqueles que obedecem a lei de Ohm (V = Ri), são medidos os seguintes valores para a corrente (i) e a tensão (V):
i (V) V (A)
2,0 6,0
4,0 14,0
Sabendo que essa relação será representada por uma reta no plano V×i, determine o valor da resistência
sabendo que ele será o coeficiente angular da reta.
R: Usando a relação (7), temos que:
Onde a resistência do dispositivo (que será o coeficiente angular) será igual a 4,0 .
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enquanto a equação reduzida é apresentada como (SHIGUEKIYO, 2008):
(10)
Para determinarmos a equação geral de uma reta devemos ter no mínimo dois pares ordenados
dos possíveis pontos alinhados e a partir deles construir a seguinte matriz:
(11)
uma vez montada a matriz recorremos a Regra de Sarrus e, após alguns pequenos procedimentos
algébricos, obtemos a equação geral.
No caso da equação reduzida, o procedimento para sua obtenção deve respeitar dois passos
fundamentais:
Determinar o coeficiente angular (a) da reta;
Inserir os pontos x1 e y1 na relação – – e resolver para obter a equação.
Outro procedimento que pode ser adotado é inserir os pontos (x1, y1) e (x2, y2) na equação da lei
de formação da equação reduzida e obter os valores de a e c por meio da resolução de um sistema de
equações.
Exemplo 4
Usando dois termômetros, que apresentam a temperatura em escalas distintas, é possível verificar as
seguintes medidas:
Medida T (°C) T (K)
1 0 273
2 100 273
Sabendo que a relação entre elas é linear, determine a equação geral que relaciona esses valores.
R: Utilizando a matriz (10) temos que:
Realizando o procedimento algébrico, pela Regra de Sarrus, ficaremos com:
0373+100 +273 -273100-373 -0 =0
Onde encontramos:
que é a equação geral da reta no plano TK×TC.
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6. Equação segmentária da reta
Considere uma reta qualquer no plano cartesiano, descrita pela equação , se
dividirmos toda a equação por c obtemos o que chamados de forma segmentária da reta (ALEJANDRO et
al, 1997):
(12)
onde
representa ponto de interseção da reta com o eixo x e
representa ponto de interseção da reta com
o eixo y.
Figura 5: Representação dos pontos de interseção de uma reta 4x + y = 8.
– –
Exemplo 5
Voltando a medida dos dois termômetros, que apresentam a temperatura em escalas distintas, onde é
possível verificar as seguintes medidas:
Medida T (°C) T (K)
1 0 273
2 100 273
R: Teremos que o coeficiente angular será
Assim, teremos que a relação – – será escrita como:
O que nos fornecerá:
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7. Equação paramétrica
Em muitas situações é muito conveniente relacionar as coordenadas e por uma terceira
variável, representa na maioria das vezes pela letra , denominada parâmetro. Essa forma escrever essas
variáveis fornece o que chamamos de equações paramétricas da reta, onde (BONJORNO & GIOVANNI,
2001):
(13)
Exemplo 6
Considere a equação da reta:
4x + y = 8
Determine:
a) A equação segmentária da reta;
R: Para determinarmos a equação segmentária da reta precisamos dividir todos os termos pelo termo c,
tal que teremos:
Onde encontramos:
b) Os pontos de interseção da reta com os eixos x e y.
R: Podem ser obtidos diretamente da equação segmentária os pontos de interseção com o eixo x e y são
respectivamente: e 8.
Exemplo 7
Considere um vetor v (1,2) e um ponto qualquer no espaço, definido pelas coordenadas p (1,0).
Determine as equações paramétricas pertinentes e a reta que possui a direção de v e que contenha o ponto p.
R: Inicialmente precisamos definir um ponto genérico q (x,y), que possa permitir escrever a reta e que
esteja na mesma direção de v, isto é, que exista um escalar t onde . Assim:
(x - 1, y-0) = t(1,2)
x - 1 = t x = 1+t
y = 2t
Multiplicando a equação de x por 2, ficamos com 2x = 2 + 2t. Substituindo y, obtemos finalmente:
2x – y – 2 = 0
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8. Posição relativa de duas retas no plano cartesiano
Duas ou mais retas podem ser descritas no mesmo plano cartesiano e em algumas situações elas
podem ou não se cruzar, nesse último caso criando um ponto de interseção. Nesse caso, podem ser
(RIBEIRO, 2015):
Retas Paralelas: São aquelas que possuem os mesmo coeficientes angulares (a), isto é, a1 = a2.
Retas Concorrentes: São aquelas que possuem diferentes coeficientes angulares (a), isto é, a1 a2.
Retas Perpendiculares: É um caso particular de reta concorrente, onde relação entre os
coeficientes angulares é escrito como
9. Área de um triângulo no plano cartesiano
É muito comum, em muitas situações de estudo de gráficos, encontrar problemas onde se faz
necessária à determinação da área interna de uma figura para obter o valor de uma grandeza física
representada por ela. Pode ser citada como exemplo a área formada abaixo da curva do gráfico v×t, que
informa o deslocamento de uma partícula, e do gráfico F×x, que permite determinar o trabalho realizado
pela força.
A determinação dessa área é muito simples na maioria das vezes, no entanto em alguns casos ela
pode ser torna um tanto trabalhosa e que pode comprometer a obtenção correta do resultado. Um exemplo
disso é quando precisamos obter a área de um triângulo no plano cartesiano, nesse caso uma forma
relativamente simples é dado pelo módulo do determinante dos vértices do triangulo dividido por dois:
(14)
onde:
(15)
Exemplo 8
Na expansão de um gás, são medidos os seguintes valores de pressão e volume ao longo de um ciclo
termodinâmico no plano p×V. Onde:
Medida P (105 Pa) V (m3)
1 1,0 1,0 2 2,0 2,0 3 0,5 3,0
Com base nesses valores determine o trabalho total.
R: No caso específico temos que:
Isto é, o trabalho é igual a 0,5×105 J.
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10. Exercícios de fixação
1. Determine a distância percorrida por uma partícula que tem sua posição, em duas dimensões, descritas
pelas relações:
3
4t
entre os instantes 0 s t 6 s.
2. Considere um segmento de reata limitado entre os pontos A(1,2) e B(6,8), que estão no plano xy. Quais
as coordenadas que permite dividir essa reta em três partes iguais?
3. Uma reta com extremos nos pontos A(x,7) e B(5,y), possui como ponto médio o ponto M(2,5).
Determine, com bases nesses pontos, x e y.
4. Em um experimento foram anotadas as temperaturas medidas e os respectivos instantes, como mostra a
tabela abaixo:
Temperatura (K) Tempo (s)
23 10
38 15
Se a temperatura representa o eixo das ordenadas e o tempo às abscissas determine a equação da reta para
essas grandezas.
11. Referências
ALEJANDRO, R. A. et al. Help! Sistema de consulta interativa – Matemática. São Paulo: Klick Editora,
1997.
OLIVEIRA, G. A. Brasil Escola: Distância entre dois pontos. Disponível em: https://goo.gl/uKlDJG.
Acesso em: 14 jan. 2017.
BONJORNO. J. R.; GIOVANNI, J. R. Matemática: Uma Nova Abordagem, v. 3. São Paulo: FTD, 2001.
RIBEIRO. T. Brasil Escola: Posições relativas de duas retas. Disponível em: http://goo.gl/tP9gn. Acesso
em: 05 set. 2016.
SHIGUEKIYO, C. T. Enciclopédia do estudante: matemática I. São Paulo: Moderna, 2008.
SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática – Aula por aula. 2 ed. São Paulo: FTD, 2005.
12. Respostas dos exercícios de fixação
1. 10
2. C
4,
3
8 e D
6,
6
13
3. x = -1 e y = 3
4. t = 3T – 7