DIEGO SANTOS CAMPOS KARINE GOMES DOS ANJOS GAGNO...

Aula 10 | DIEGO SANTOS CAMPOS KARINE GOMES DOS ANJOS GAGNO SARAH DE OLIVEIRA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

PET FÍSICA NÚMEROS COMPLEXOS

Números complexos 2017

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AGRADECIMENTOS

Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da

Educação e do Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da

Educação – Brasil.


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DOS AUTORES

Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria,

realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não

tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos.

O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os

devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.

Uma boa leitura!


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SUMÁRIO

1. Introdução............................................................................................................ 04

2. Operações de adição, subtração, multiplicação e divisão................................ 05

3. Potenciação e radiciação..................................................................................... 09

3.1 Potenciação..................................................................................................... 09

3.2 Radiciação...................................................................................................... 11

4. Exercícios de fixação........................................................................................... 12

5. Referências........................................................................................................... 14

6. Respostas dos exercícios de fixação................................................................... 14


5

1. Introdução

Quando resolvemos uma equação do segundo grau sempre buscamos uma

solução, na qual as raízes encontradas poderão pertencer ao conjunto dos números reais.

Entretanto na resolução de equações quadráticas existem soluções na qual

não pertencem ao conjunto descrito, reais, e se diz que a equação não possui uma

solução real.

Para a resolução de uma equação do segundo grau podemos obter através da

expressão (AVILA, 2008):

onde o termo é denominado de discriminante e representado pela letra grega

delta maiúsculo (∆), tal que (IEZZI, 2009):

Se o discriminante for maior que zero (∆ > 0) obteremos duas raízes reais;

Se o discriminante for igual a zero (∆ = 0) obtemos apenas uma única raiz real;

Se o discriminante for menor que zero (∆ < 0) não haverá raízes reais.

Essas raízes que não são reais pertencem a um conjunto denominado de números

complexos, representado por z, onde temos que:

(2)

tal que .

Apesar da simplificação apresentada anteriormente, temos um número complexo

pode ser representado da forma:

(3)

onde a é denominada como a parte real e é a parte imaginária de .

A representação de um número complexo no plano cartesiano é tal que a fica

localizado no eixo das abscissas (x) e b no eixo das ordenadas (y), sendo que o módulo

de |Z| é dado por:

(4)

Podendo ser representado na forma de um par ordenado:

(5)

ou na forma trigonométrica:


6

1. (6)

Figura 1: Representação geométrica de um número imaginário Z (TOFFOLI, 2004).

2. Operações de adição, subtração, multiplicação e divisão

Podemos fazer todas as operações elementares da matemática nos números

complexos e para exemplificar cada uma delas vamos considerar que:

(6)

e

(7)

onde a,b,c,d ϵ IR (AVILA, 2008).

Na adição e subtração o resultado será pela operação matemática entre da parte

real com real e imaginária com imaginária, tal que somando (6) com (7) obtemos:

(8)

Enquanto na subtração de (6 com (7) teremos:

1


7

(9)

EXEMPLO 1. Considere os seguintes números complexos:

e

Determine:

a)

Solução:

b)

Solução:

Em relação às operações de multiplicação e divisão, estão possuem regras

próprias e um pouco distintas das anteriores. Tal que quando realizamos o produto entre

os dois números complexos (2) e (3), temos que realizar o seguinte procedimento:


8

Realizando a operação distributiva, temos:

Para podermos continuar o procedimento algébrico, é importante lembrar que

quando o número imaginário i é elevando a um número n ( ), sendo um número

natural, temos dois resultados possíveis se for par, será um número real e se for

impar este será um imaginário puro (IEZZI, 2009).

Dessa forma teremos:

Onde obtemos finalmente:

No caso da divisão, para que possamos efetuá-la é necessário multiplicar o

divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor, onde o conjugado de um número

complexo é – . Sendo assim, teremos (IEZZI et al, 2010):

Tal que:


9

onde:

Evoluindo algebricamente, temos no dividendo e no divisor podemos usar a regra do

produto e reescrever a expressão como:

E assim escrever:

(11)

EXEMPLO 2. Considere os seguintes números complexos:

e

Determine:

a)

Solução:


10

b)

Solução:

3. Potenciação e radiciação

3.1 Potenciação

No caso dos números complexos, para expressarmos o resultado da

potencializarão é necessário apresentar o conceito da fórmula de Euler. Nela temos que

as funções trigonométricas podem ser escritas com o uso da base neper (e), tal que

(NUSSENZVEIG, 2009):

(12)

e

(13)

Vamos considerar então o número:

Se elevarmos esse número a n, teremos:


11

A solução não é simples, mas com a ajuda da fórmula de Euler podemos reescrever

acima como:

Simplificando:

Como podemos reescrever a função exponencial como a soma de cosseno e seno, então

teremos:

(15)

EXEMPLO 3. Considere o seguinte número complexo:

Qual o valor obtido, quando este é elevado a 6?

Solução:

Usando a relação 15, onde n = 6, teremos:

Onde temos que:


12

3.3 Radiciação

A operação de radiciação é uma forma a potenciação com expoente fracionário, que

permite obter as raízes de uma função. No caso dos números complexos, temos que está

é ela será escrita a partir da fórmula de Moivre (MORGADO & WAGNER, 2011):

onde é o fator de radiciação, tal que:

EXEMPLO 4. Considere o seguinte número complexo:

Quais são as raízes quando este é elevado a 1/3?

Solução:

O número complexo admite raízes quando k = 0, 1 e 2. Assim, teremos:

k = 0

k = 1


13

k = 2

4. Exercícios de fixação

1. Represente os números complexos na forma trigonométrica e determine a raiz

quadrática em cada caso.

a)

b)

c)

2. Calcule os números complexos. Seja:

; ;

a)

b)

c)

d)


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5. Referências

ÁVILA. G. Variáveis complexas e suas aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

IEZZI. G. Fundamentos da Matemática Elementar, v. 6. 7ª ed. São Paulo: Atual, 2009.

IEZZI. G.; DOLCE, O.; ALMEIDA, N.; DEGENSZAJN, D. Matemática: ciência e

aplicações. 5ª ed. São Paulo: Atual, 2010.

MORGADO. A.; WAGNER. E. Números complexos e trigonometria: coleção do

professore de matemática. SBM e IMPA, 2011

NUSSENZVEIG. M. Curso de física básica, v. 2. 4ª ed. São Paulo: Edgard Blucher,

2009.

TOFFOLI, F. L. Ensino Superior - Variáveis Complexas: Números complexos, 2004.

Disponível em: https://goo.gl/26U0vt, Acesso em: 16 jan. 2017.

6. Respostas dos exercícios de fixação

1.

a

b)

c)

2.

a)

b)

c)

d)

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