Sistemas de 1 - 2 e 3 Ordem

IntroduçãoSistemas de Primeira OrdemSistema de Segunda Ordem

Efeito de um 3o Pólos e um Zero

Aula 7

Cristiano Quevedo Andrea1

1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

Cristiano, Curitiba Sistema de Controle



Resumo

1 Introdução

2 Sistemas de Primeira Ordem

3 Sistema de Segunda Ordem

4 Efeito de um 3o Pólos e um Zero




Uma vez determinado o modelo matemático via função detransferência, podemos então analisar o desempenho do sistema apartir de sua resposta.

Os sinais típicos para se analisar a resposta são as seguintes funções:degrau, rampa, senoide.

Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle e éconstituída por duas partes: resposta transitória e respostaestacionária.

Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicialao estado final.Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal desaída do sistema à medida que t tende ao infinito.

Assim, a resposta c(t) do sistema pode ser descrita como:

c(t) = ctr (t) + css(t),

sendo = ctr (t) a resposta transitória e css(t) a resposta estacionária.




Estabilidade Absoluta: em projetos de sistemas de controle, aestabilidade é o objetivo principal. Caso, o projeto não consiga obter aestabilidade absoluta, o sistema será instável.O erro de regime estacionário pode ser observado quando a respostaem regime apresenta um erro em relação ao sinal de entrada.Será analisado a resposta de sistemas de primeira, segunda ordem eordem superior.

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

SISTEMA DE PRIMEIRAORDEM

SISTEMA DE SEGUNDAORDEM




Considere o circuito ilustrado a seguir:

Fisicamente, o diagrama de blocos ilustrado acimarepresenta um circuito RC, um sistema térmico, ou algosemelhante.A relação entrada e saída pode ser descrita como:

C(s)R(s)

=1

Ts + 1. (1)




I- Resposta ao Degrau UnitárioConsiderando-se R(s) uma entrada degrau, de (1) temos,

C(s) =1s×

1Ts + 1

. (2)

Expandindo (2) em frações parciais, temos:

C(s) =1s−

TTs + 1

,

=1s−

1

s + 1T. (3)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (3)obtém-se:

c(t) = 1 − e−tT . (4)




Analisando-se (4) podemos observar que em t = 0,c(0) = 0. Por outro lado para t → ∞, c(t) = 1.

Em t = T , temos:

c(t) = 1 − e−1 = 0, 632.

Note que quanto menor a constante de tempo T , maisrapidamente o sistema responde.

A curva exponencial da resposta possui uma inclinação dalinha tangente em t = 0 de 1/T , pois,

∂c(t)∂t

∣

∣

∣

∣

t=0=

1Te−

tT

∣

∣

∣

∣

0=

1T.




Resposta de um Sistema de Primeira Ordem




Considerando a função de transferência abaixo:

C(s)R(s)

=1

s + 1, (5)

temos o seguinte mapeamento de pólos e zeros,

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1




Da função de transferência do sistema de primeira ordempodemos tirar outras conclusões, então, considere novamentea função de transferência de um sistema de primeira ordem,

G(s) =K

s + 1T. (6)

O inverso da constante de tempo é homogêneo a1/segundos, ou seja, a frequência. A função detransferência do sistema de primeira ordem também podeser escrito como,

G(s) =K

s + a. (7)

Assim, podemos chamar o parâmetro a de frequênciaexponencial.




A constante de tempo também pode ser obtida a partir dos pólos.Como o pólo da função de transferência é −a, podemos dizer que opólo fica localizado no inverso da constante de tempo.

Quanto mais longe do eixo imaginário ele se situe, mais rápida será aresposta transitória.

Tempo de Subida, Ts

O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que aforma de onda vá de 0, 1 até 0, 9 do seu valor final.

Ts =2, 31a

−0, 11a

=2, 2a

.

Tempo de Estabelecimento, TeO tempo de estabelecimento é definido como o tempo necessário paraque a resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valorfinal e aí permanece.

Te =4a. (8)




Determinação Experimental de Funções de Transferência de PrimeiraOrdem

Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente afunção de transferência de um sistema.

Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não sãoidentificáveis facilmente.

Podemos determinar a função de transferência destes sistemas pormeio da relação entre a entrada e saída, sem a necessidade deconhecer a construção interna da planta.

Se aplicarmos uma entrada degrau em um sistema de primeira ordempodemos determinar a constante de tempo e o valor de estadoestacionário.

Assim, considere G(s) = Ks+a . Aplicando-se um degrau tem-se,

C(s) =/

sK

s + a=

1s−

K/as + a

.


User

Typewritten Text

1

User

Typewritten Text

User

Typewritten Text



A partir da reposta medimos a constante de tempo, isto é,o tempo para que a resposta alcance 63% do valor daresposta em regime permanente.

Então fazemos:

Amp63,2% = 0, 632Valor Regime.

sendo Amp63,2% o valor da amplitude do valor de resposta63, 2% do valor de regime. Então, deve-se verificar otempo em que a saída atinge este valor, e apósidentificado, este valor será a constante de tempo T .

Em regime, temos que o valor é K/a, como a = 1/T ,podemos obter o valor de K.




Resposta a Entrada Rampa para Sistemas de Primeira OrdemA transformada de Laplace para uma entrada rampa é dada daseguinte forma:

R(s) =1s2 . (9)

Então a saída de um sistema de primeira ordem é:

C(s) =1s2 ×

1Ts + 1

. (10)

Expandindo C(s) temos:

C(s) =1s2 −

Ts+

T 2

Ts + 1. (11)




Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (11) temos,

c(t) = t − T + te−

tT . (12)

Então, o sinal de erro é:

e(t) = r(t)− c(t),

= T (1 − e−

tT ). (13)

Para t → ∞, a equação (13) tente a T . A figura seguinte ilustra a resposta

de um sistema de primeira ordem a uma entrada rampa.




Resposta de Sistemas de Primeira Ordem a uma Entrada Impulso UnitáriaPara uma entrada impulso unitária δ(s) = 1 a um sistema de primeira ordem,a resposta obtida é:

C(s) = 1Ts + 1

. (14)

Aplicando a transformada inversa de Laplace em (14) tem-se:

c(t) = 1Te−

tT . (15)




Considere o diagrama de bloco de um sistema de segundaordem descrito a seguir:

Neste caso a função de transferência de malha fechada é dadapor:

Y (s) =G(s)

1 +G(s)=

Ks2 + ps + K

R(s).

A forma generalizada para a resposta de um sistema desegunda ordem é:

Y (s)R(s)

=Kω2

ns2 + 2ζωns + ω2

n. (16)




Y (s)R(s)

=Kω2

ns2 + 2ζωns + ω2

n. (17)

1 ωn: frequência natural de oscilação2 ζ: coeficiente de amortecimento3 Pólos: s12 = −ζωn ± jωn

√

1 − ζ2




Exemplo: Encontre o valor do coeficiente de amortecimento eda frequência natural da seguinte função de transferência

Y (s)F (s)

=25

s2 + 10s + 25. (18)

então temos,

ω2n = 25 ⇒ ωn = 5,

2ζωn = 2ζ5 = 10 ⇒ ζ = 1. (19)




Resposta Naturais de Sistemas de Segunda Ordem

Respostas Superamortecidas

Pólos: 2 pólos reais em −σ1 e −σ2.Resposta Natural: duas exponenciais com constante detempo igual a localização dos pólos

c(t) = K1e−σ1t + K2e−σ2t . (20)

Respostas SubamortecidasPólos: 2 pólos complexos em −σd ± jωd .Resposta Natural: resposta com senoides amortecidasenvolvida por uma exponencial cuja constante de tempo éigual à parte real do pólo. A frequência da senoide é igual aparte imaginária da parte complexa

c(t) = Ae−σd tcos(ωd t − φ). (21)




Respostas Oscilatórias

Pólos: 2 pólos imaginários em ±jωd .Resposta Natural: resposta com senoide não amortecidascom frequência em radianos igual a parte imaginária dopólo

c(t) = Asen(ωd − φ). (22)

Respostas Criticamente AmortecidasPólos: 2 pólos reais em −σd .Resposta Natural: resposta com uma exponencial comconstante de tempo igual a parte real do pólo e umaexponencial multiplicada por t com constante de tempoigual a parte real do pólo

c(t) = K1e−σd t + K2te−σd t . (23)




Resposta do Sistema de Segunda Ordem em Função doCoeficiente de Amortecimento ζ

ζ > 1: Sistema Superamortecido

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de




ζ = 1: Sistema Criticamente Amortecido

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 5 10 150

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1




0 < ζ < 1: Sistema Subamortecido

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0−3

−2

−1

0

1

2

3




ζ = 0: Sistema Não Amortecido

Pole−Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2




Análise de Desempenho

Iremos abordar a análise de desempenho em sistemasubamortecido, isto é, 0 < ζ < 1.

Considerando-se um degrau unitário aplicado a um sistema desegunda ordem típico temos:

Y (s) =ω2n

s(s2 + 2ζωns + ω2n). (24)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (24),obtemos:

y(t) = 1 −1βe−ζωntsen(ωnβt + θ). (25)

sendo β =√

1 − ζ2 e 0 < ζ < 1.Cristiano, Curitiba Sistema de Controle



Curvas de Resposta de um Sistema de Segunda Ordem a umDegrau Unitário




Aplicando-se um impulso δ(s) = 1 em um sistema de segundaordem típico temos,

Y (s) = 1 ×ω2n

s2 + 2ζωns + ω2n. (26)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (26)obtém-se:

y(t) =ωnβe−ζωntsen(ωnβt). (27)

o que simplesmente a derivada da resposta de um sistema desegunda ordem a entrada degrau.




Curvas de Resposta de um Sistema de Segunda Ordem a umImpulso Unitário




Índices de Desempenho

Tempo de Pico (Tp): é o tempo onde a resposta atinge omáximo valor. O tempo de pico, Tp pode ser obtido por:

Tp =π

ωn√

1 − ζ2, (28)

e a magnitude da resposta em Tp é dada por:

y(t) = 1 + e−

ζπ√

1−ζ2 . (29)

Tempo de Subida (Ts): é o tempo que a resposta leva parair de 10% a 90% do valor de regime da resposta.




Porcentagem de Overshoot (P.O.): a ultrapassagempercentual, P.0., é dada pela seguinte expressão,

P.O. = 100e−

ζπ√

1−ζ2 %, (30)

ou,

P.O. = 100 ×

(

Mp − FvFv

)

%, (31)

sendo

MP = valor máximo da resposta,

Fv = valor de regime permanente.




Tempo de Estabelecimento (Te): é o tempo que a respostaleva para atingir o regime. Considera-se regime quando aresposta atingir uma faixa em torno do valor de regime.Nos cálculos consideraremos que regime será quando aamplitude da resposta estiver a ±2% do valor de regime.Neste caso,

Te ∼=4

ζωn. (32)

A resposta transitória pode ser descrita por dois fatores:1 Rapidez da resposta, a qual pode ser projetada pela

escolha adequada do tempo de pico e o tempo de subida.2 Proximidade da resposta com a resposta desejada, a qual

pode ser atingida projetando-se um sistema de controlecom uma porcentagem de overshoot e tempo deestabelecimento adequado.




Resumo




Porcentagem de Overshoot versus Coeficiente deAmortecimento

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100




Exemplo1: Desenhe a região do plano complexo com:

P.O. < 20%,

Te < 4seg. (33)

Exemplo 2: Considere o sistema de controle abaixo:

Encontre: Tempo de subida, tempo de pico, valor de pico,tempo de estabelecimento, porcentagem de overshoot.




Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema deSegunda Ordem




Considere o sistema de terceira ordem descrito a seguir:

T (s) =1

(s2 + 2ζs + 1)(γs + 1), (34)

sendo ωn = 1.Foi constatado que o tempo de estabelecimento (Ts) e aporcentagem de overshoot (P.O.) do sistema descrito em (34)pode ser aproximado para índices de um sistema de segundaordem se,

|1/γ| ≥ 10|ζωn|. (35)

Em outras palavras a resposta de um sistema de terceiraordem pode ser aproximada pelas raízes dominantes dosistema de segunda ordem quando a parte real das raízesdominantes for inferior a 1/10 da parte real da terceira raiz.




Consideração

A idéia de pólo dominante deve ser utilizada quando a funçãode transferência não possuir zeros próximos aos pólosdominantes.

Em situações no qual a função de transferência possuirzeros próximos ao pólos dominantes, a resposta seráafetada significativamente.

A resposta a um degrau de um sistema com um zero edois zeros é afetada pela localização do zero.

A porcentagem de overshoot para uma entrada degrau,em função de a/ζωn, sendo a a posição do zero, éilustrada a seguir.




a/ζωn em Função da Porcentagem de Overshoot




Resposta ao Degrau Unitário Variando-se a Relação a/ζωn


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