Sistemas de Equações
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AutoresAutores: Miguel Pereira : Miguel Pereira 9ºB nº11 e Sofia 9ºB nº11 e Sofia
Figueiredo 9ºB nº15Figueiredo 9ºB nº15
Ano Lectivo 2005 2006Ano Lectivo 2005 2006Área de ProjectoÁrea de Projecto
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Podem-se resolver pelos Podem-se resolver pelos métodosmétodos
Método de tentativa erroMétodo de tentativa erroMétodo de substituiçãoMétodo de substituição Método gráficoMétodo gráfico
No nosso trabalho só vamos apresentar o método de No nosso trabalho só vamos apresentar o método de
substituição e o método gráfico.substituição e o método gráfico.
Vamos trabalha-lo enumerando os passos a seguir e Vamos trabalha-lo enumerando os passos a seguir e
efectuando a sua resolução na coluna ao lado.efectuando a sua resolução na coluna ao lado.
Métodos de resoluçãoMétodos de resolução
de Sistemasde Sistemas
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Método de substituiçãoMétodo de substituição
Passos a seguirPassos a seguir ResoluçãoResolução
1. 1. Escolher a incógnita (x ou y) numa Escolher a incógnita (x ou y) numa equação (deves escolher a incógnita que equação (deves escolher a incógnita que facilite os cálculos)facilite os cálculos)
2. 2. Resolver a equação em ordem à Resolver a equação em ordem à incógnita escolhidaincógnita escolhida
3. 3. Substituir Substituir na outra equação x pelo seu na outra equação x pelo seu valorvalor
4. 4. Resolver equação do 1º grauResolver equação do 1º grau
5. 5. Substituir o valor de y na 1ª equação Substituir o valor de y na 1ª equação
6. 6. Apresentar a solução do sistemaApresentar a solução do sistema
7
5
yx
yxEscolhemos x na 1ª Escolhemos x na 1ª equaçãoequação
_______
5 yx
75
___________
yy
1
____
2
2
_______
22
______
57
___________
yyyyy
____
6
______
15
1
)1(5 xx
y
x
)1,6(),( yx
Nota informativa: Nota informativa: Antes deAntes de aplicar-mos o método, por vezes, é aplicar-mos o método, por vezes, é aconselhável colocar-mos o sistema na forma canónica:aconselhável colocar-mos o sistema na forma canónica:
''' cybxa
cbyax
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Passos a seguirPassos a seguir ResoluçãoResolução
1. 1. Resolver a duas equações em ordem a yResolver a duas equações em ordem a y
2. 2. Apresentar dois pontos para cada rectaApresentar dois pontos para cada recta
3. 3. Representar as duas rectas num Representar as duas rectas num referencialreferencial
4. 4. Apresentar a solução do sistema que Apresentar a solução do sistema que são as coordenadas do ponto de são as coordenadas do ponto de intersecção.intersecção.
Método gráficoMétodo gráfico
xy
xy
xy
xy
yx
yx
7
5
7
5
7
5
xx y=5-x
0 5
4 1
x Y=-7+x
0 -7
3 -4
)1,4(
)5,0(
B
A
)4,3(
)7,0(
D
C
)1,6(),( yx
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Classificação de Classificação de sistemassistemas
Os sistemas classificam-se como as equações, como podemos Os sistemas classificam-se como as equações, como podemos
ver:ver:
SistemasSistemas
PossíveisPossíveis ImpossíveiImpossíveiss
DeterminaDeterminadasdas
IndeterminadaIndeterminadass
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Sistemas possíveis e Sistemas possíveis e determinadosdeterminados
ExemploExemplo
1
3
yx
yx
_______
3 yx
13
_________
yy
312
_____
y
22
_______
y
2
2
_____
y
1
____
y
1
13
y
x
)1,2(),( yx
1
13
y
x
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GraficamenteGraficamente
1
3
yx
yx
xy
xy
1
3
xy
xy
1
3
xx y=3-x
0 3
3 0
x y=-1+x
0 -1
4 3
)0,3(
)3,0(
B
A
)3,4(
)1,0(
D
C
Conclusão:Conclusão: Quando as rectas são concorrentes, o sistema é possível e Quando as rectas são concorrentes, o sistema é possível e determinado.determinado.
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Sistemas impossíveisSistemas impossíveis
ExemploExemplo
4
2
yx
yx
________
2yx
42
___________
yy
24
_________
yy
20
_____
yEquação impossível, Equação impossível, entãoentão
o Sistema é o Sistema é impossível impossível
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GraficamenteGraficamente
4
2
yx
yx
xy
xy
4
2
xx y=2-x
0 2
2 0
x y=4-x
0 4
1 3
)0,2(
)2,0(
B
A
)3,1(
)4,0(
D
C
Conclusão:Conclusão: Quando as rectas são paralelas, o sistema é impossível. Quando as rectas são paralelas, o sistema é impossível.
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Sistemas possíveisSistemas possíveis
e indeterminadose indeterminados
ExemploExemplo
yx
yx
442
22
________
22yx
yy 44)22(2
______________
00
_____
y
Equação possível e Equação possível e indeterminado , indeterminado ,
então o Sistema é então o Sistema é indeterminadoindeterminado
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GraficamenteGraficamente
xy
xy
244
22
xx Y= 1-
0 1
2 0
)0,2(
)1,0(
B
A
Conclusão:Conclusão: Quando as rectas Quando as rectas são concorrentes o sistema é são concorrentes o sistema é possível e indeterminado.possível e indeterminado.
yx
yx
442
22
2
x
21
21
xy
xy
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Em Síntese Em Síntese (Conclusões)(Conclusões)
1.1. EmEm sistemas possíveis e determinadossistemas possíveis e determinados as rectas são as rectas são concorrentes, ou seja, intersectam-se num único ponto.concorrentes, ou seja, intersectam-se num único ponto.
2.2. Em sistemas impossíveis as rectas são paralelas, ou seja, Em sistemas impossíveis as rectas são paralelas, ou seja, nunca se intersectam, por mais que as prolongue-mos.nunca se intersectam, por mais que as prolongue-mos.
3.3. Em sistemas possíveis e indeterminadosEm sistemas possíveis e indeterminados as recta são coincidentes, ou seja, por mais que as prolongue-mos estão sempre uma “decima” da outra
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Problemas envolvendo Sistemas
1) Determine os valores de x e y, sabendo que a figura representa, respectivamente um triângulo equilátero:
yyx
yxy
654
62
1
6
1
5
4
26
yyx
yyx
____
4yx
024204
__________
yyy
00
______
y
O sistema é possível e indeterminado, ou seja, o problema tem infinitas soluções.
6y
2y+x
yx5
4
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2) A diferença das idades de dois irmãos é 10. A idade do mais velho é igual ao dobro da idade que o mais novo terá daqui a 10 anos.
Qual é a idade de cada um?
2.1) Escreva um sistema de equações que traduza algebricamente o problema.
)10(2
10
yx
yx
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2.2) Resolva o sistema e classifique-o
)10(2
10
yx
yx
_____________
10)10(2 yy
____________
10202 yy
________
2010y
_____
10y
)1010(2
________
x
2020
________
x 10,0, yx
O sistema é possível e determinado
O problema é impossível, porque não há idades negativas.
2.3) O problema é possível?
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1. Classifica o seguinte 1. Classifica o seguinte sistema sistema
502x3y
20y10x
Sistema possível e determinadoSistema possível e determinado
Sistema possível e indeterminadoSistema possível e indeterminado
Sistema impossívelSistema impossível
AA
BB
CC
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2. Para representar rectas através de 2. Para representar rectas através de sistemas , resolvemos por qual método?sistemas , resolvemos por qual método?
Método de substituiçãoMétodo de substituição
Método de tentativa erroMétodo de tentativa erro
Método gráfico Método gráfico
AA
CC
BB
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3. Num sistema possível e determinado 3. Num sistema possível e determinado qual é a posição relativa das rectas?qual é a posição relativa das rectas?
As rectas coincidentesAs rectas coincidentes
As rectas paralelasAs rectas paralelas
As rectas concorrentesAs rectas concorrentes
AA
BB
CC
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4. Qual dos gráficos pertence a sistemas 4. Qual dos gráficos pertence a sistemas possíveis e determinados?possíveis e determinados?
BBAA CC
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5. Qual é a formula pela qual nos 5. Qual é a formula pela qual nos devemos “guiar” para representar-mos a devemos “guiar” para representar-mos a forma canónica?forma canónica?
AA
BB
CC
''' cybxa
cbyax
bcyax
cdybax
bcax
cbyax
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![Page 22: Sistemas de Equações](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070417/56815371550346895dc17534/html5/thumbnails/22.jpg)
6. A idade do Ricardo é tripla da idade do seu irmão Afonso. 6. A idade do Ricardo é tripla da idade do seu irmão Afonso. Daqui a cinco anos a soma das duas idades é tripla da idade Daqui a cinco anos a soma das duas idades é tripla da idade actual do mais velho. Qual o sistema que o representa, se x actual do mais velho. Qual o sistema que o representa, se x corresponder á idade do Ricardo e y á idade do Afonso?corresponder á idade do Ricardo e y á idade do Afonso?
AA BB CC
xyx
yx
355
3
yyx
xy
353
xyx
yx
355
3
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![Page 23: Sistemas de Equações](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070417/56815371550346895dc17534/html5/thumbnails/23.jpg)
7. O Vítor tem um terreno rectangular onde normalmente joga futebol. 7. O Vítor tem um terreno rectangular onde normalmente joga futebol. Inspirado no seu terreno inventou o seguinte problema: “Se Inspirado no seu terreno inventou o seguinte problema: “Se aumentasse o comprimento em 5 m e se diminuísse a largura em 5m, aumentasse o comprimento em 5 m e se diminuísse a largura em 5m, a área não se altera. Se aumentasse 5m a cada uma das dimensões, a a área não se altera. Se aumentasse 5m a cada uma das dimensões, a área aumentaria .” Quais as dimensões do terreno do Victor?área aumentaria .” Quais as dimensões do terreno do Victor?
AA
BB
CC
2200m
200)5)(5(
55
xy
yx
200)5)(5(
55
xy
yx
200)5)(5(
55
xy
yx
![Page 24: Sistemas de Equações](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070417/56815371550346895dc17534/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Sistemas de Equações](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070417/56815371550346895dc17534/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Sistemas de Equações](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070417/56815371550346895dc17534/html5/thumbnails/26.jpg)