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Unidade Temtica: Sistemas de Numerao e as Operaes Matemticas Elementares - PDE 2008 1
D e n i z e C . M i e c h u a n s k i
SISTEMAS DE NUMERAO E AS OPERAES
MATEMTICAS ELEMENTARES
1. A Histria dos Nmeros
Antes mesmo da criana freqentar a escola , ela j traz consigo o conhecimento
intuitivo de adicionar e em conseqncia multiplicar, pois atravs de brincadeiras ela
costuma juntar bonecas, carrinhos e outros e at uma pequena quantidade ela consegue
relacionar a quantidade com o numeral, este conhecimento segundo Vygotsky (2007) o
conhecimento emprico. na escola que a criana vai sistematizar o seu conhecimento,
associando regras, smbolos e atravs da escrita ela comea a codificar suas idias que at
ento s existia no mbito da linguagem. A idia de subtrair no to comum na criana
pois ela no tem grande tolerncia a perder ou dar, prejudicando o conhecimento emprico
da subtrao e da diviso. J na escola quando comea a sistematizar este conhecimento a
criana ultrapassa a barreira do conhecimento emprico atingindo o conhecimento terico
ou cientfico. O que atualmente para ns parece ser muito natural e familiar, pois a criana
convive em ambientes onde usa-se as operaes fundamentais diariamente, no era to
familiar e obvio no passado. O processo de construo dos nmeros e da matemtica tem
sido transmitido de gerao para gerao e segundo Gundlach(1992) a espcie humana a
nica a ter desenvolvido um procedimento sistemtico para armazenar informaes, sendo
que uma parte considervel dessas informaes relaciona-se com forma e quantidade.
A necessidade de representar quantidades fez com que o homem busca-se formas de
registros, Imenes (1989) coloca que uma das primeiras formas de contagem foram atravs
de pedras e do pastoreio, isto , para controlar o seu rebanho o pastor usava pedrinhas,
onde cada pedra equivalia a um animal, se no final do dia de pastoreio, faltasse pedras,
por que teria animais a mais em seu rebanho e se sobrasse pedras, estavam faltando
animais, era uma forma de controle primitiva. Da se origina a palavra Clculo, que significa
contar as pedrinhas. Alm das pedrinhas o homem usou outros recursos para auxili-lo na
contagem como: marcas em pedra, osso de madeira, ns em corda e at mesmo parte do
nosso corpo como os dedos das mos e tambm dos ps, de onde se originou o sistema
decimal. A associao entre dedos e nmeros at hoje est presente na palavra dgito,
como sinnimo de algarismo que em latim significa dedo.
Muitas foram as civilizaes que contriburam e criaram o seu prprio sistema de
clculo. Os egpcios esto entre os primeiros povos a desenvolver um sistema numrico. A
numerao egpcia data de cerca de 5 mil anos e baseava-se na idia de agrupamentos de

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10 em 10. Cada smbolo que representava uma potncia de 10 podia ser repetido at
10 vezes.
Figura 1.
Como pode-se observar , no havia uma posio obrigatria para os smbolos, ento
os clculos eram realizados com instrumentos como o baco e os resultados eram
registrados com os smbolos. Segundo Dantzif (apud Toledo, 1997) a numerao egpcia
era um tanto grosseira, necessitando de peritos para realizao de clculos elementares.
Os Mesopotmios tambm criaram uma sistema de numerao prprio, tambm inflexvel e
grosseiro como podemos observar:

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Figura 2.
Empregavam apenas dois smbolos. Um mais largo e em posio horizontal, que
representava um grupo de 10 unidades e que podia ser repetido at 5 vezes; e outro mais
fino, em posio vertical, que representava 1 unidade e podia se repetido at 9 vezes.
Eles usavam grupos de 10 unidades simples, mas sua notao utilizava a base 60 como
fundamental. Assim para os nmeros acima de 59, repetia-se o smbolo da unidade simples,
mas numa posio mais a esquerda do grupo inicial correspondendo agora ao valor 60.
Esse mesmo smbolo usado mais a esquerda representava um grupo de 60 x 60, ou 3600
unidades simples. Os Mesopotmicos foram os precursores do sistema posicional que os
indianos aperfeioaram mais tarde. Eles no tinham smbolo para indicar o zero . Somente
cerca de 300 a.c que surgiu um smbolo para marcar o lugar vazio, duas cunhas em
posio oblqua.
Figura 3.
Na China foram adotados os numerais em barras, criados em aproximadamente 300
a.c . Esses numerais eram representados de barras verdadeiras de bambu, marfim ou ferro,

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que os administradores do imprio carregavam em sua sacolinha para fazerem seus
clculos O sistema de numerao Chins trabalhava com 18 smbolos, dos quais 9
representavam as unidades simples, as centenas e as dezenas de milhar, e os outro nove,
as dezenas e os milhares.
Figura 4.
As casas eram ocupadas da direita para a esquerda, alternando os smbolos dos
dois grupos. De inicio no havia nenhum smbolo para representar a casa vazia .
Figura 5.
Foram os indianos que desenvolveram o sistema de numerao que utilizamos at
hoje, o sistema Indo-arbico, o qual representa uma sntese das idias que j existiam
esparsamente entre outros povos da Antiguidade: A base decimal, a notao posicional, um
signo para cada um dos dez primeiros nmeros . Os rabes no sculo X adotaram a
numerao indiana e introduziram o 0 (zero) que at ento no existia, ficando o sistema
conhecido como indo-arbico.
As regras do sistema de numerao indo-arbica permaneceram as mesmas nos
ltimos 20 sculos, mas a forma de representar esses algarismos sofreu modificaes, ao
longo do tempo. A partir da criao da imprensa pelo alemo Gutemberg, os algarismos e
letras se estabilizaram.

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Os Gregos usaram as vinte e quatro letras de seu alfabeto acrescidas de Trs outros
sinais para representar os nmeros.
Figura 6.
Na numerao Grega, a contagem era feita por grupos de dez: unidades, dezenas,
centenas, milhares....
Na antiguidade, os Romanos escreviam os nmeros usando estes sinais: Imenes (1989)
Smbolo I V X L C I CI
Valor 1 5 10 50 100 500 1000
Na antiguidade, a maneira de escrever os nmeros romanos era essa:
Figura 7.

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Com o passar do tempo os nmeros sofreram modificaes, passando a ter outra
representao, e foi introduzida uma nova regra: o quatro passou a ser escrito assim IV,
significando que o um deve ser subtrado de cinco. Imenes (1989)
Smbolo I V X L C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1000
Outros exemplos:
Nove IX ( 10 1)
Quarenta XL ( 50-10)
Noventa XC (100-10)
Quatrocentos CD ( 500-100)
Novecentos CM (1000-100)
Duzentos e quarenta e nove CCXLIX ( (100+100) + (50-10) + (10-1))
Segundo Imenes (1989) os caracteres tradicionais do sistema numrico Chins so:
Figura 8.
Estes smbolos ainda so usuais na China e no Japo, mas para clculos utilizam o
sistema indo-arbico. Observe como so suas regras:
Figura 9.
Os Maias tambm desenvolveram um sistema de numerao prprio, como veremos:

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Figura 10.
O vinte e os demais nmeros eles registravam da seguinte maneira:
Figura 11.
Figura 12.

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2. Desenvolvimento da Numerao Posicional
O modelo posicional e o modelo de base 10 teve inicio com a utilizao dos dedos
para o processo de contagem , Gundlach (1997) coloca que , o modelo posicional envolve
duas idias distintas: quando um homem de contar tiver erguido todos os seus dedos, ele
ter que voltar a posio original (com as mos fechadas) antes de poder continuar seu
procedimento de contagem. Esta ao no basta para garantir um modelo posicional, pois
ele poder no lembrar quantas vezes foram necessrias fechar a mo, portanto ele precisa
de uma memria d

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