Sistemas de partículas

Plano da aula

• Sistemas de duas partículas.• Sistemas de N partículas.• 2a Lei de Newton para um sistema de partículas.• Cálculo de centro de massa.• Momento linear e sua conservação.

Sistema de 2 partículas: centro de massa

• Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão:

)(2122

22

2

)(1212

12

1

ext

ext

FFdt

xdm

FFdt

xdm

Note como distinguimos forças internas (F12 e F2) de forças externas (F1(ext) e F2

(ext)).

)(2

)(112212

22

221

2

1extext FFFF

dt

xdm

dt

xdm

Da 3a lei de Newton, F12= - F21

)()(2

)(12

22

221

2

1extextext FFF

dt

xdm

dt

xdm

F1(ext)

F2(ext)

F12 F2

Somando-se as equações termo a termo:

F(ext) é a força externa resultante. As forças internas se cancelam

Sistema de 2 partículas: centro de massa (cont.)

)(2

22112

extFdt

xmxmd

)(2

22

221

2

1extF

dt

xdm

dt

xdm

Definimos:21

2211

mm

xmxmxCM

tal que

2

2

2

2

21)( )(

dt

xdM

dt

xdmmF CMCMext

onde M=m1+m2 é a massa total do sistema.

O sistema age como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa)

2

2)(

dt

xdMF CMext

Em particular, se F(ext)=0, a velocidade do CM é constante

.ctevdt

dxCM

CM 2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas

F1(ext)

F2(ext)

F12 F2

F(ext)M

xCM

Exemplo em que o centro de massa tem velocidade constante

Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles?

Só há forças internas ao sistema O centro de massa tem velocidade constante.

m=80 kg m=60 kg

m 1,5m

6080

6012800CMx

Os patinadores se encontrarão a 5,1 m da posição inicial do patinador da esquerda, não importam as forças exercidas por eles.

Generalização para N partículas:

Somando as equações, as forças internas se cancelam aos pares

)(212

2

)(232122

22

2

)(131212

12

1

extNNN

NN

ext

ext

FFFdt

xdm

FFFdt

xdm

FFFdt

xdm

)()()(2

)(12

2

22

2

221

2

1extext

NextextN

N FFFFdt

xdm

dt

xdm

dt

xdm

N

iii

N

NNCM xm

Mmmm

xmxmxmx

121

2211 1

22211

2)(

dt

xmxmxmdF NNext

2

2)(

dt

xdMF CMext

Generalização para 3 dimensões:

2

2)(

dt

dM

CMext rF

N

i

iiCM rmM

r1

1

2

2

2

2

2

22

22

12

1

)(

dt

dM

dt

dm

dt

dm

dt

dm

CMN

N

ext rrrrF

O sistema responde à resultante das forças externas como se a massa total M estivesse toda concentrada no centro de massa.

2a Lei de Newton para um sistema de partículas

2a Lei de Newton para um sistema de partículas:

O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.

Momento Linear e sua conservação

Momento linear:

O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é uma quantidade vetorial definida como:

vp m

A 2a lei de Newton pode ser escrita como:dt

d

dt

dm

pvF

O momento linear de um sistema de partículas é a soma vetorial dos momentos lineares individuais:

N1N21 vvpppP Nmm 1

Diferenciando em relação ao tempo a definição do centro de massa:

N

iimM 1

1iCM rr Pvv iCM

N

iimM

1

Diferenciando novamente e usando a 2a lei de Newton para um sistema de partículas:

(ext)CMF

Pv

dt

d

dt

dM

Nesta figura, um neutrino () colide com um próton (p) estácionário. O neutrino se transforma num muon () e há a criação de um píon (). O neutrino, por ser neutro, não deixa rastro na câmara de bolhas. Observe que não haveria conservação de momento linear, se não houvesse uma partícula neutra colidindo pela direita.

Eine andere Nachweismöglichkeit besteht darin, die Spuren einer Kollision zwischen einem Neutrino und einem anderen Atomkern z.B. in einer Blasenkammer zu fotografieren. Die Abbildung rechts zeigt die weltweit erste Aufnahme einer Neutrino-Kollision (p + p + - + +) in einer Wasserstoff-Blasenkammer, die im November 1970 gelang. An der Stelle, an der das Neutrino ( ohne Spur) ein Proton trifft, beginnen drei Spuren. Das Proton (p) fliegt weg und es entstehen ein Müon (-) und ein Pion (+).    Das Bild wurde freundlicherweise von Malcolm Derrick vom Argonne National Laboratory zur Verfügung gestellt.  

Se

Resultante das forças externas nula

Conservação de momento linear:

0(ext)

F

Uma consequência imediata da 2a lei de Newton para um sistema de partículas é a conservação do momento linear total de um sistema quando a soma das forças externas é igual a zero.

.cte PF(ext)

0

Assim como no caso da conservação da energia mecânica, essa lei pode ser muito útil para resolver problemas, sem ter que achar a dinâmica detalhada do sistema.

Note que a única condição para a conservação do momento linear total é que a resultante das forças externas seja nula. Não há nenhuma restrição quanto à presença de forças dissipativas, desde que elas sejam internas.

O momento se conserva!!

cteP

Exemplo do canhão:Massa do canhão mais plataforma M=100 kgMassa da bala m=1,0 kgVelocidade da bala em relação ao canhão vrel=300 m/s

O momento linear total inicial é nulo. Imediatamente após a explosão, o momento linear total tem que ser nulo também, pois as forças que atuam durante a explosão são todas forças internas (depois da explosão, forças externas passam a atuar: gravidade e resistência do ar sobre a bala, atrito sobre a plataforma).

00

00

Vvv

mvMV

rel

Os módulos das velocidades estão assim relacionados:

? ? 00 Vv

00 Vvv rel Note que

m/s 297

m/s 97,2

00

0

Vvv

vMm

mV

rel

relResolvendo o sistema de equações encontramos:

0v0V

relv

Forças externas e mudanças de energia interna:

Considere a situação ao lado, em que uma patinadora empurra um corrimão (força F) e adquire velocidade e energia cinética no processo. Nessa situação:

a) Energia (muscular) é gasta pela patinadora, que se transforma em energia cinética. Há apenas transferência de energia entre partes do sistema, não entre o sistema e o ambiente externo.

b) A situação envolve um sistema de partículas e não uma partícula apenas: as diferentes partes da patinadora movem-se diferentemente.

Para analisar essa situação, utilizamos a 2a lei de Newton para um sistema de partículas, em que este é substituído por toda sua massa concentrada no Centro de Massa

dt

dM

CM(ext) vF

Forças externas e mudanças de energia interna: (cont.)

O trabalho realizado pela força no centro de massa ao deslocá-lo de uma distância d se traduz numa mudança da energia cinética da patinadora:

KFd cosSe parte do trabalho é utilizada para aumento de energia potencial (p. ex., a patinadora sobe uma rampa), o resultado se generaliza:

mecEUKFd cos

Essa energia foi perdida pela patinadora, que despendeu energia interna na mesma proporção:

intcos EEFd mec

Forças externas e mudanças de energia interna: (cont.)

Propulsão de um carro: o atrito estático é a força externa

Atenção: o carro acima tem tração nas quatro rodas. Se ele só tivesse tração em duas rodas (digamos, as dianteiras), a força nas outras rodas seria em sentido contrário!