sistemas estruturais em aço na arquitetura

2Sobre o autor:

Yopanan Conrado Pereira Rebello engenheiro civil pela Universidade Mackenzie (1971), mestre e doutor pela FAU-USP (ano).Diretor Pedaggico da Ycon Formao ContinuadaDiretor Tcnico da Ycon Engenharia Ltda. professor titular das disciplinas de sistemas estruturais(curso de arquitetura), na universidade So Judas Tadeu.E autor de diversos livros, entre eles: A Concepo Estrutural e a ArquiteturaBases para Projeto EstruturalEstruturas de Ao, Concreto e MadeiraFundaes**ttulos publicados pela Zigurate Editora - So Paulo

Ficha tcnica:Produo: CBCA - Centro Brasileiro da Construo em AoCoordenao Geral: Sidnei PalatnikProjeto Grfico: Thiago Felipe Nascimento e Sidnei PalatnikEditorao Eletrnica: Thiago Felipe NascimentoIlustraes: Sidnei Palatnik e Caetano SevillaSo Paulo - 2009

2009 INSTITUTO BRASILEIRO DE SIDERURGIA/CENTRO BRASILEIRO DA CONSTRUO EM AONenhuma parte desta publicao pode ser reproduzida por qualquer meio, sem a prvia autorizao desta Entidade.

Ficha catalogrfica preparada pelo Centro de Informaes do IBS/CBCA

Av. Rio Branco, 181 / 28 Andar20040-007 - Rio de Janeiro - RJe-mail: [email protected]: www.cbca-ibs.org.br

Capa: Showroom Citroen - ParisFoto: Sidnei Palatnik

978-85-89819-19-0

3O contedo desta apostila parte integrante do curso a distncia intitulado Sistemas Estruturais em Ao na Arquitetura, desenvolvido pelo Engenheiro e Pro-fessor Yopanan Conrado Pereira Rebello e pelo Ar-quiteto Sidnei Palatnik, para o CBCA - Centro Bra-sileiro da Construo em Ao - e oferecido no link www.cursoscbca.com.br.

Ao prepararmos esta apostila tivemos como nico fim oferecer a possibilidade de imprimir o contedo es-crito do curso, de forma a facilitar sua leitura.

Ressaltamos que inmeros recursos multimdia dis-ponveis na internet no se aplicam a esta verso. Ela tambm no incluiu todo o contedo disponibilizado no curso, como exerccios, testes e vdeo, bem como o contedo desenvolvido pelos alunos durante os cur-sos.

Eventuais links para sites, ou outros, apresentados ao longo do texto, s iro funcionar caso este seja aberto no seu formato eletrnico (pdf) e que aja uma cone-xo disponvel para a internet.

Os vdeos assinalados ao longo da apostila somente so disponibilizados atravs do ambiente de internet do curso.

Recomendamos que seja feito o download dos vdeos oferecidos durante o curso para que possam ser visu-alizados a partir do computador do leitor.

4ndice do Curso

IntroduoMdulo 1. Cargas que atuam nas estruturasMdulo 2. Caractersticas do Ao na Construo CivilMdulo 3. As sees estruturais e suas aplicaesMdulo 4. Os Sistemas Estruturais em AoMdulo 5. Associao de Sistemas Estruturais em AoMdulo 6. Galpes em estrutura de aoMdulo 7. Edifcios residenciais e comerciais em AoMdulo 8. Proteo contra Corroso em Estruturas de AoMdulo 9. Proteo ao Fogo em Estruturas de AoMdulo 10. As interaes entre as estruturas de ao e a arquitetura

Sistemas estruturais em Ao na Arquitetura

51Cargas que atuam nas estruturasMDULO


6Sistemas Estruturais em Ao na Arquitetura

ndice - Mdulo 11. Cargas que atuam nas estruturas

1.1. Viso geral de cargas nas estruturas Foras que atuam nas estruturasConceito de direo e sentidoConceito de fora

1.2. Cargas quanto geometria Distribuio das cargas nos elementos estruturais: Geometria das cargasCargas pontuais ou cargas concentradasCargas linearesCargas superficiais

1.3. Cargas quanto direo

1.4. Cargas quanto freqncia a. Cargas permanentesb. Cargas acidentais

1.5. Clculo das cargas

2. Conceito de equilbrio - equilbrio esttico das estruturas. Equilbrio

2.1. Condies para se obter o equilbrio esttico. Condies de equilbrio das estruturasEquilbrio esttico externo

2.2. Os vnculos estruturais Estruturas hipo, iso ou hiperestticas

2.3. Estruturas hipostticas, isostticas e hiperestticas.

3. Equilbrio interno Equilbrio esttico interno

3.1. Conceito de tenso TensoRegime elstico e Regime plsticoMdulo de elasticidade

3.2. Trao simples ou axial

3.3. Compresso simples ou axial Compresso simples ou axial e flambagemA Flambagem

3.4. Momento - Momento FletorMomento - momento fletor

3.5. Clculo de momento fletor e fora cortante para vigas biapoiadas sem e com balan-os

3.6. Momento Toror

4. Relao entre esforos e forma das sees A relao entre os esforos atuantes e as sees resistentes: O princpio da distribuio das massas na seoTrao simples ou axialCompresso simples ou axialMomento fletor flexoConceito de hierarquia dos esforosUso de grficos

7Mdulo 1 | Cargas que atuam nas estruturas

1 Cargas que atuam nas estruturasINTRODUO

Ao projetar uma construo, qualquer que seja ela, nos deparamos com diversas variveis: necessidades do cliente na forma do programa de ar-quitetura, condicionantes fsicas, normas legais, limitaes financeiras e muitas outras. Entre estas, talvez a mais importante seja a definio do sistema estrutural a ser adotado. Intimamente ligado ao material estrutural que ser escolhido est a defi-nio do sistema estrutural. A escolha do sistema construtivo no deve ser uma competio entre os diferentes tipos de estruturas, mas uma deciso com base nas necessidades da obra e nas caractersticas de cada sistema. A anlise do custo global da obra pode reduzir substancialmente a dife-rena entre o uso do ao e do concreto, principalmente se usarmos o ao com seu melhor desempenho. Como sabemos, projetar com uma estrutura de concreto ou com uma estrutura de ao no a mesma coisa. Cada qual tem suas respectivas limitaes e vantagens caractersticas de seus componentes e modo de produo. Se esta definio feita ainda na fase de anteprojeto, os ganhos com o sistema adotado sero mais consistentes. Ao contrrio, migrar para outro material estrutural j numa fase posterior, quando muitas definies pro-gramticas j esto prontas, no ir permitir todos os ganhos possveis. O Professor Yopanan, engenheiro e calculista, conhecedor de diversas tc-nicas construtivas, como ao, concreto e madeira, ser o nosso guia no aprendizado dos diversos sistemas estruturais em ao.

Conhea o Professor YopananVdeo 0 - Introduo

Professor Yopanan

PARTE

8Parte 1 - Cargas que atuam nas estruturas

1.1 - Foras que atuam nas estruturas

Video 1 - Cargas nas Estruturas

Conceito de direo e sentidoQuando algum anda por uma rua reta e de repente entra numa de suas travessas, o caminho que essa pessoa percorre muda bruscamente de di-reo. Se por outro lado, a rua pela qual a pessoa caminha tiver uma cur-va, ao percorrer esta curva, a partir do seu incio em cada ponto da curva a pessoa tambm estar mudando de direo. No caso anterior quando se entra numa travessa a mudana de direo, apesar de brusca, ocorre apenas uma vez, enquanto no caso da curva ocorrem muitas mudanas de direes.

sabido que para se garantir que um objeto esteja em movimento ne-cessrio que esse movimento seja relacionado a um referencial, por exem-plo: quando duas pessoas andam lado a lado, com mesmas velocidades, e uma delas olha para a outra, ela a ver sempre ao seu lado, como se estivesse parada. O mesmo no ocorre para uma terceira pessoa parada, que ver as duas primeiras afastando-se e, portanto, em movimento. No entanto essa terceira pessoa considerada parada no o estar para uma quarta que a visse do espao sideral. Essa pessoa dita parada estaria em movimento junto com o planeta terra. Logo a terceira pessoa pode ser considerada parada ou no dependendo da referncia que se tome. Como aquelas duas pessoas que andam lado a lado podem ser consideradas paradas uma em relao outra, a terceira pessoa pode ser considerada parada em relao terra, mas em movimento para um observador fora dela.

Como no conceito de movimento, o conceito de direo tambm exige um referencial. Se no for levado em conta um referencial qualquer, di-reo ser algo sem nexo. A direo de uma rua ou estrada tem que ser definida em relao a alguma referncia, como, por exemplo, a linha do equador, a agulha de uma bssola, ou outra qualquer. Pode-se escolher qualquer referencial para se definir a direo, mas uma vez escolhido esse referencial deve ser fixo e conhecido para que todos possam ter a mesma interpretao dos acontecimentos.

Sistemas Estruturais em Ao na Arquitetura

9Mdulo 1 | Cargas que atuam nas estruturas

Define-se como direo de uma reta qualquer o ngulo que ela forma com outra reta bem conhecida, denominada referencial. A reta que vai do ponto de localizao de uma pessoa ao plo magntico da terra dada pela agulha de uma bssola, por exemplo, um referencial bastante definido e que normalmente utilizado. A direo do vo de um avio definida pelo ngulo que sua rota forma com a direo dada pela bssola.

Uma mesma direo ou rota, por exemplo, a rota entre So Paulo e Rio de Ja-neiro pode ser ocupada por um avio que vai de So Paulo para o Rio e outro que vai do Rio para So Paulo. Os dois avies esto indo na mesma direo mas em sentidos contrrios. Portanto, definida uma direo, para se caracterizar corretamente o movimento deve-se informar tambm o sentido.

muito comum haver uma certa confuso nos conceitos de direo e sentido. comum ocorrer o engano de se dizer que determinado veculo est indo na direo de So Paulo para o Rio de Janeiro e o outro que est na mesma estrada mais em sentido contrrio, dizer-se que ele esta na direo contrria, o que um erro grosseiro. A direo a mesma So Paulo - Rio de Janeiro ou Rio de Janeiro So Paulo, o que muda o sentido.

Conceito de foraSempre que um corpo, com uma determinada massa, estiver em repouso e iniciar um movimento ou, ainda, quando esse mesmo corpo, j em movimen-to retilneo (movendo-se sobre uma reta), com velocidade constante tiver sua velocidade e/ou sua direo alterada diz-se que a ele foi aplicada uma fora. Portanto a idia de fora est liga a noo de massa, acelerao (alterao na velocidade), direo e sentido. Matematicamente fora definida como o pro-duto da massa de um corpo pela acelerao que ele adquire numa determinada direo e sentido. F = M .

Onde: F=fora M=massa = acelerao

1.2. Cargas quanto geometria

Distribuio das cargas nos elementos estruturais: Geometria das cargasA distribuio de cargas sobre uma estrutura pode ser diferente de um ponto para outro. As cargas que atuam sobre uma viga podem se distribuir de manei-ra diferente das que atua sobre uma laje. Normalmente a geometria dos car-regamentos acompanha a geometria dos elementos estruturais sobre os quais eles atuam. As cargas podem atuar de maneira uniforme sobre a estrutura ou variar sua intensidade ponto a ponto. As cargas que tm a mesma intensidade ao longo do elemento estrutural so denominadas cargas uniformes, aquelas que variam so denominadas cargas variveis.

Quanto a geometria as cargas podem ser: Cargaspontuaisoucargasconcentradas Cargaslineares Cargassuperficiais

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Cargas pontuais ou cargas concentradasCargas pontuais ou cargas concentradas so aquelas localizadas em um ponto. So exemplos de cargas concentradas: uma viga apoiada sobre outra, um pilar que nasce numa viga ou placa, o peso prprio de um pilar, e assim por diante. Essas cargas so representadas graficamente por uma seta isolada.

Cargas linearesCargas lineares, como o prprio nome diz, so aquelas distribudas sobre uma linha. So exemplos de cargas lineares o peso prprio de uma viga, o peso de uma parede sobre uma viga ou placa, as cargas depositadas por uma laje sobre as vigas, e assim por diante. Essas cargas so representadas graficamente por um conjunto de setas dispostas sobre uma linha.

Cargas superficiaisCargas superficiais so aquelas que se distribuem sobre uma superfcie. So exemplos de cargas superficiais o peso prprio de uma laje, peso prprio de revestimentos de pisos, o peso de um lquido sobre o fundo do recipiente, o empuxo de um lquido sobre as paredes do recipiente que o contm e as cargas acidentais definidas pela Norma. Essas cargas so representadas grafica-mente por um conjunto de setas dispostas sobre uma rea.

No quadro abaixo apresentamos alguns exemplos de cargas acidentais superfi-ciais definidas pela Norma:

Cargas acidentais sobre pisos residenciais (pessoas, mveis, etc.) 150 kgf/m

Cargas acidentais sobre pisos de escritrios 200 kgf/m.

Cargas acidentais sobre pisos de lojas 400 kgf/m.

Cargas acidentais devidas ao vento 50 a 100 kgf/m.

1.3. Cargas quanto direo

Quanto direo, as cargas podem ocorrer na vertical, sendo neste caso pre-dominantes as cargas devidas gravidade, ou seja, as cargas de peso; podem, tambm, ocorrer na horizontal, tais como as cargas de vento, empuxos de so-los sobre arrimos, empuxos de gua sobre paredes de piscinas e caixas dgua; podem, ainda, serem inclinadas, oriundas da composio de cargas verticais e horizontais.


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1.4. Cargas quanto freqncia

Algumas cargas atuam na estrutura durante toda sua vida til, enquanto outras ocorrem de vez em quando. Denominam-se cargas permanentes quelas que ocorrem ao longo de toda vida til da estrutura e cargas acidentais quelas que ocorrem eventualmente.

a. Cargas permanentes As cargas permanentes so cargas cuja intensidade, direo e sentido, podem ser determinadas com grande preciso, pois elas so devidas exclusivamente a foras gravitacionais, ou peso. So exemplos de cargas permanentes as seguin-tes:

- O peso prprio da estrutura. Para determin-lo basta o conhecimento das dimenses do elemento estrutural e do peso especfico (peso / m) do material do qual o elemento estrutural feito. - O peso dos revestimentos de pisos, como contrapisos, pisos cermicos, entre outros. - O peso das paredes. Para determin-lo necessrio conhecer-se a largura e altura da parede e o peso especfico do material do qual ela feita , assim como do revestimento (emboo, reboco, azulejo e outros). - O peso de revestimentos especiais, como placas de chumbo nas paredes de salas de Raio X. Para determin-lo necessrio o conhecimento das dimen-ses e peso especfico desses revestimentos.

b. Cargas acidentais.As cargas acidentais so mais difceis de serem determinadas com preciso e podem variar com o tipo de edificao. Por isso essas cargas so definidas por Normas, que podem variar de pas para pas. No Brasil a norma que determi-na os valores das cargas acidentais a NBR 6120 da Associao Brasileira de Normas Tcnicas. So exemplos de cargas acidentais, prescritas pela Norma, as seguintes:

Opesodepessoas. Opesodomobilirio. Opesodeveculos. A fora de frenagem (freio) de veculos. Esta uma fora horizontal que depende do tipo de veculo. A fora de vento. Esta uma fora horizontal que depende da regio, das dimenses verticais e horizontais da edificao.

Obs. - O efeito da chuva como carregamento, apesar de acidental, considerado no peso das telhas e revestimentos, j considerados.

Mdulo 1 | Cargas que atuam nas estruturas

Cargas inclinadas

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- O peso de mveis especiais, como cofre, no determinado pela Norma e dever ser informado pelo fabricante do mobilirio.

Como a carga acidental pode ocorrer em alguns pontos da estrutura e em ou-tros no, para um adequado dimensionamento da estrutura deve-se pesquisar, para cada elemento, qual a posio mais desfavorvel de carregamento. Muitas vezes carregar parcialmente a estrutura pode ser mais desfavorvel que carreg-la com toda a carga, como mostra a figura a seguir:

Mdulo 1 - 1.5. Clculo das cargas que incidem sobre a estrutura Peso Prprio das lajes macias

Numericamente o peso por metro quadrado da laje depende apenas da altura da laje (h laje).

Pode-se ento escrever:

Peso Proveniente das cargas acidentais:NBR 6120 Cargas para clculo de estruturas de edificaes (Nov/1980)

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Cargas provenientes do peso prprio da vigaO peso prprio das vigas pode ser obtido diretamente das tabelas de perfis dos fabricantes.Muitas delas podem ser obtidas na apostila O Uso do Ao na Arquitetura, do Prof. Aloizio Fontana Margarido. (Captulo 3)

Clique aqui para acessar a apostila.

Cargas nas vigas provenientes das lajesLaje armada em uma s direoPara fins prticos, essa situao ocorre quando o vo maior maior que o dobro do vo menor.

Laje armada em cruzNa prtica, isso ocorre quando o vo maior menor ou igual ao dobro do menor.

Cargas nas vigas provenientes das lajes armada em uma s direo

onde l = vo menor da laje

Obs: As lajes pr-moldadas comportam-se como lajes armadas em uma s direo (a direo das vigotas). Seu peso dado em tabelas fornecidas pelos fabricantes em funo do vo e da sobrecarga (acidental + revestimentos)

Cargas nas vigas provenientes das lajes armadas em cruzCarga na viga do vo menor:

Carga na viga do vo maior:

onde,l= vo menor e L= vo maior

Cargas nas vigas provenientes das alvenarias

Pesos especficos ( alve) de alvenaria mais usados:

Tijolos de barro macios revestidos 1.680 kgf / m

Tijolos cermicos revestidos 1.120 kgf / m

Blocos de concreto revestidos 1.250 kgf / m

Blocos de concreto celular revestidos 950 kgf / m

onde,b= largura da paredeh= altura da parede

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Parte 2 - Conceito de equilbrio - equilbrio esttico das estruturas

Vdeo - Equilbrio das Estruturas

EquilbrioUma das propriedades desejadas para as estruturas, e a mais importante, que quando submetidas s mais diferentes foras possam manter-se em equilbrio, durante toda sua vida til.

Diz-se que um objeto est em equilbrio quando no h alterao no estado das foras que atuam sobre ele. Uma espaonave, no espao sideral, longe do efeito gravitacional dos astros, desloca-se com velocidade constante e em uma trajetria reta. Nesta situao a espaonave encontra-se em equilbrio. J um objeto sobre uma mesa, manter-se- no lugar indefinidamente, desde que so-bre ele no seja aplicada outra fora, que no sejam o seu peso e a reao da mesa. Nesta situao o objeto encontra-se tambm em equilbrio. No caso da espaonave o equilbrio ocorre, mas existe movimento. Este o equilbrio dinmico. No caso do objeto sobre a mesa no h movimento, o objeto per-manece parado; o equilbrio esttico. este ltimo que interessa para as edi-ficaes, que, para existirem, devem permanecer em equilbrio estvel durante toda a sua vida til.

Para uma estrutura permanecer em equilbrio esttico necessrio, mas no suficiente, que as dimenses de suas sees sejam corretamente determinadas. Embora corretamente dimensionada, a estrutura pode perder o equilbrio se seus apoios ou as ligaes entre as partes que a constituem, denominados vn-culos, no forem corretamente projetados. Por outro lado, o correto projeto dos vnculos no garante a estabilidade da estrutura se as dimenses das suas sees forem menores que as necessrias. Portanto uma estrutura para estar totalmente em equilbrio esttico deve manter-se nele tanto externamente, ou seja, equilbrio nos seus vnculos, como internamente, com o equilbrio das foras que ocorrem dentro das suas sees.

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Equilbrio esttico externo

2.1. Condies para se obter o equilbrio esttico.

Considere-se uma barra qualquer. A ao da gravidade sobre sua massa pro-voca o aparecimento da fora peso. Sob a ao dessa fora a barra tende a se deslocar na vertical em direo ao centro da terra.

P = M .

Uma maneira de evitar que a barra se desloque na vertical a criao de um dispositivo que crie uma reao contrria fora peso, equilibrando-a. Supo-nhamos que para isso se crie um suporte como mostrado na figura a seguir.

Uma maneira de evitar que a barra se desloque na vertical a criao de um dispositivo que crie uma reao contrria fora peso, equilibrando-a. Supo-nhamos que para isso se crie um suporte como mostrado na figura a seguir.

Nestas condies o equilbrio ainda no alcanado j que a barra tende a continuar movimentando-se, s que agora girando em torno do seu suporte. Para evitar o giro podemos criar outro suporte, como mostra a figura a se-guir.

Nestas condies a barra no ir movimentar-se na vertical e nem girar. Ainda assim o equilbrio esttico da barra no est garantido, j que a aplicao de uma fora horizontal poder desloc-la nessa direo. Para evitar esse movi-mento pode ser colocada, num dos suportes, uma trava, como mostrado na figura abaixo.

Dessa maneira qualquer que seja a fora que atue sobre a barra, desde que no seu plano, ela permanecer indeslocvel, ou seja, em equilbrio esttico. Portanto, para um elemento estrutural estar em equilbrio esttico no seu pla-no condio necessria e suficiente que ele no ande na vertical, no ande na horizontal e nem gire. Estas so as trs condies mnimas necessrias para que ocorra o equilbrio esttico no plano. Este raciocnio pode ser extrapolado para o espao.

2.2. Os vnculos estruturais

Vdeo Vnculos

Vdeo Modelos de Vinculos

Vdeo Vnculos - 2 parte

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VnculosOs vnculos so os dispositivos de ligao entre os elementos estruturais. So vnculos: aligaoentreumalajeeumaviga; umavigaeumpilar; umavigacomoutraviga; aligaoentreasbarrasqueformamumamalhaestruturaleassim por diante.

Os vnculos, conforme seja desejo de projeto, podem ou no permitir movi-mentos relativos entre os elementos por eles unidos.

Um vnculo que permite giro e deslocamento relativos denominado vnculo articulado mvel. Articulado porque permite o giro, mvel porque permite o deslocamento numa direo, normalmente a horizontal.

O vnculo que permite apenas o giro relativo denominado vnculo articu-lado fixo.

O vnculo que impede o giro e os deslocamentos denominado vnculo engastado.

Na figura ao lado so apresentados os significados desses vnculos e suas repre-sentaes grficas.

Cada tipo de vnculo apresenta determinadas restries de movimento, geran-do assim reaes. Por exemplo, um vnculo articulado mvel apresenta possi-bilidade de giro e deslocamentos em uma direo (normalmente horizontal), portanto ele s admite reao em uma direo (normalmente vertical. Algo semelhante acontece com os demais vnculos, a figura a seguir mostra os vn-culos e as reaes originadas neles.

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Nem sempre as estruturas reais apresentam vnculos perfeitos, ou seja per-feitamente articulados ou mveis. A interpretao dos vnculos sempre um modelo terico, pensado de forma que se aproxime ao mximo do comporta-mento real. A rigidez dos elementos ligados sempre um fator a ser observado nessa interpretao terica. Na figura a seguir so mostrados exemplos reais e seus respectivos modelos. Reparem que uma mesma estrutura pode levar a duas ou mais interpretaes. A interpretao ser mais correta quanto mais ela se aproximar dos deslocamentos produzidos na estrutura real.

No primeiro caso uma estrutura bastante rgida apoia-se em pilares pouco rgidos. Neste caso, pode-se interpretar os vnculos entre vigas e pilares como articulados, uma anlise mais profunda pode indicar se eles podem ser consi-derados mveis ou fixos.

No segundo caso, uma viga pouco rgida apoia-se em pilares muito rgidos, neste caso tem-se como um bom modelo, vnculos engastados.

Nos demais casos tm-se vigas e pilares de mesma ordem de rigidez. Neste caso, dependendo do detalhamento, se houver uma ligao contnua entre vigas e pilares, pode-se ter um vnculo rgido (nem totalmente articulado nem totalmente engastado), ou um vinculo articulado se no houver essa continui-dade.

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O desenho arquitetnico pode induzir a que o modelo estrutural se aproxi-me de um ou outro tipo. Na figura a seguir so mostrados exemplos em que o desenho da arquitetura gera uma interpretao de vnculo. No primeiro, a diminuio da espessura do pilar junto a viga leva inevitavelmente inter-pretao de um vnculo articulado. Na base devido ao grande aumento na dimenso do pilar, a interpretao mais adequada de um vnculo engastado. As mesmas questes podem ser observadas no segundo exemplo.

Um vnculo mal interpretado pode gerar um acidente estrutural. A figura mostra um caso real de uma abbada apoiada em duas vigas perifricas. O modelo adotado foi o de dois vnculos articulados fixos. Se realmente a ligao entre a abbada e as vigas fossem desse tipo, a estrutura se comportaria ade-quadamente, pois os vnculos seriam capazes de absorver as foras horizontais (empuxos) originadas pela abbada. Ocorre que as vigas eram muito finas, portanto com pouca rigidez lateral. Isso fez com que sob a ao dos empuxos da abbada a viga se deformasse, fazendo com que a ligao entre a abbada e as vigas se constitusse em um verdadeiro vnculo mvel.

Com isso a estrutura tornou-se hiposttica ocorrendo o seu colpso.

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A opo por um ou outro tipo de vnculo depende do modelo fsico ide-alizado para o comportamento da estrutura. Assim quando se quer que as dilataes trmicas de uma viga no influenciem os pilares sobre os quais ela se apia, projeta-se um vnculo articulado mvel num dos pilares de apoio da viga, de maneira que ela possa dilatar-se livremente sem aplicar uma fora horizontal ao pilar, como ilustrado na figura a seguir.

Obs.: o neoprene um tipo de borracha que permite deformaes de diver-sos tipos.

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Exemplos de vnculos reais:

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Exemplos de vnculos aproximados:

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2.3. Estruturas hipostticas, isostticas e hiperestticas

Vdeo Estruturas Hipo Iso Hiperestticas

Estruturas hipostticas, isostticas e hiperestticasQuando uma estrutura encontra-se em condies de estabilidade exatamente iguais s mnimas necessrias, ela dita isosttica (iso, radical grego que signi-fica igual).

Quando as condies de estabilidade esto acima das mnimas, dizemos que a estrutura hiperesttica (hiper, radical grego que significa acima).

Quando as condies de estabilidade estiverem abaixo das mnimas a estrutura dita hiposttica (hipo, radical grego que significa abaixo). Estruturas hipostticas so estruturas que no se encontram em equilbrio es-ttico e, portanto no interessam ao universo das estruturas de edificaes. So estruturas que tendem a cair.

Conclui-se, portanto, que se deve trabalhar somente com estruturas isostticas ou hiperestticas.

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Exemplos de estruturas hiperestticas: vigas contnuas


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Exemplo de estrutura isosttica: viga biapoiada


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2.4 Clculo das reaes de apoio em vigas biapoiadas sem e com balanos

Reaes nos apoios em vigas biapoiadas sem balanos

1. Carga concentradaPara simplificar o clculo, pode-se generalizar os resultados usando uma fora P qualquer atuando sobre a viga de vo l qualquer e distante a e b dos apoios A e B, respectivamente.

2. Carga distribudaGeneralizando, considerando a carga distribuda q e o vo l, tem-se:

3. Vigas em balanoUma viga em balano aquela em que uma das extremidades totalmente livre de apoio e a outra apresenta um apoio engastado.

3.1 Carga concentrada

3.2 Carga distribuda

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Parte 3 - Equilibrio interno

Vdeo - Equilbrio das Estruturas

O equilbrio externo de uma estrutura condio necessria, mas no sufi-ciente para sua existncia. Mesmo uma estrutura com grande grau de estabi-lidade, como as estruturas hiperestticas, pode perder a sua estabilidade, se o material da qual composta no for capaz de reagir s tenses internas, rom-pendo-se e perdendo o equilbrio interno. Semelhante ao caso do equilbrio externo, para que ocorra o equilbrio interno necessrio que as seces que compem o elemento estrutural no se desloquem na horizontal, na vertical e no girem. A ruptura de um elemento estrutural d-se pela perda do equilbrio interno, ou seja, as tenses no material provocam algum deslocamento relativo entre as sees.

Como no se pode ver o que acontece dentro da seo de um elemento es-trutural, antes dele romper-se, recorre-se a alguma pista externa. Essa pista a forma como o elemento estrutural se deforma quando submetido s foras externas. Existe uma relao direta entre o que ocorre dentro do elemento estrutural e as deformaes externas visveis.

3.1. Conceito de tenso

Vdeo Tenso

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Vdeo Tenso normal e tangencial

Vdeo Deformao elstica e plstica

Tenso

Ningum duvida que o ao um material mais resistente que, por exemplo, o algodo. Mas isso no garante que um fio de ao resista mais que um fio de algodo. Desde que colocada uma quantidade suficiente de algodo, o seu fio poder resistir mais. A resistncia de um elemento estrutural depende da relao entre a fora aplicada e a quantidade de material sobre a qual a fora age. A essa relao d-se o nome de tenso. Em outras palavras, a tenso a quantidade de fora que atua em uma unidade de rea do material. S pode-mos comparar a resistncia de dois materiais comparando as mximas tenses que eles podem resistir, ou em outras palavras, o quanto de fora por unidade de rea eles suportam.

Quando a fora aplicada perpendicularmente superfcie resistente, a tenso denomina-se tenso normal.

Quando a fora aplicada for paralela, ou melhor, tangente superfcie resisten-te, a tenso denomina-se tenso tangencial ou tenso de cisalhamento.

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Um pilar um exemplo de pea estrutural subme-tida a tenso normal.

Um tirante outro exemplo de pea estrutural sub-metida a tenso normal.

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Parafusos so exemplos de elementos estruturais submetidos a tenses de cisalhamento

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importante distinguir-se que tipo de tenso est ocorrendo num elemento estrutural, pois os materiais apresentam capacidades diferentes conforme sejam solicitados a um ou outro tipo.

O quadro abaixo apresenta alguns exemplos de materiais e suas respectivas tenses mximas de trabalho.

Ao tipo A-36 = 1.500 kgf/cm (tenso normal) = 800 kgf/cm (tenso de cisalhamento)

Madeira (Pe-roba)

= 90 kgf/cm (tenso normal) = 12 kgf/cm (tenso de cisalhamento)

Concreto = 250 kgf/cm (tenso normal) = 6 kgf/cm (tenso de cisalhamento)

As estruturas quando submetidas a tenses devem trabalhar com uma certa folga, para que imprevistos, tais como falhas de material, impossibilidade de uma execuo ideal e outros efeitos no previstos, no ponham em risco a resistncia da estrutura.

Nenhuma estrutura trabalha dentro do seu limite de resistncia, mas em um regime um pouco abaixo desse limite. A esse regime de trabalho d-se o nome de regime de segurana e as tenses atuantes so denominadas tenses ad-missveis. A determinao das tenses admissveis feita pela aplicao de um coeficiente de segurana s tenses limites do material.

Os coeficientes de segurana variam de material para material e so obtidos, estatisticamente, dependendo da maior ou menor confiabilidade no material: no ao esse coeficiente da ordem de 1,4 , no concreto armado de 2 e em algumas madeiras chega a 9.

Todo material quando submetido a tenso apresenta uma deslocabilidade nas suas molculas, o que denominado deformao. Quanto mais solicitado o material, mais ele se deforma. Como as tenses so invisveis ao olho humano, uma maneira de se saber se um elemento estrutural est mais ou menos solici-tado pela verificao do quanto ele se deformou. Alguns materiais so mais deformveis que outros apresentando deformaes elevadas mesmo quando solicitados por pequenas foras. A deformabilidade visvel dos materiais es-truturais uma caracterstica bastante desejvel, j que grandes deformaes podem avisar sobre problemas na estrutura.

A maneira de se determinar o quanto um material resiste submetendo-o a um ensaio. Neste ensaio so medidas as tenses a que o corpo de prova submetido e suas respectivas deformaes. O ensaio levado at a ruptura do material.

Regime elstico e Regime plstico

Entre a situao de descarregamento total e a ruptura, os materiais passam por algumas fases importantes. Enquanto as deformaes forem proporcionais s foras aplicadas, ou seja, ao se duplicar a fora o material dobra sua deformao; ao se triplicar a fora, sua deformao triplica e assim

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por diante, o material considerado trabalhando no regime elstico. Nesta fase quando se deixa de aplicar a fora o material volta a ter a sua dimenso origi-nal. O elstico de borracha um elemento que representa bem essa situao.

Se a fora aplicada atingir valores acima de um determinado limite, pode-se notar que o material muda de comportamento no mais apresentando defor-maes proporcionais ao aumento da fora. A esta fase d-se o nome de regi-me plstico. Nesta situao o material quando descarregado passa a apresentar uma deformao permanente. Ao final do regime plstico, com o aumento de carga, temos a ruptura do material. Alguns materiais apresentam na passagem do regime elstico para o plstico, um grande aumento na deformao sem aumento na intensidade da fora. Esta situao caracteriza o fenmeno de-nominado escoamento do material, fenmeno tpico do ao. A relao entre a fora aplicada e a deformao ocorrida pode ser colocada em grfico. Para que o grfico represente o comportamento do material independentemente das dimenses do elemento que serviu de base para o ensaio, so colocadas no grfico, em vez das foras aplicadas, suas respectivas tenses e em vez da defor-mao total da barra, cujo valor varia com o comprimento inicial usada a de-formao especfica que a relao entre a deformao real e o comprimento inicial da barra. Dessa forma obtm-se grficos semelhantes queles mostrados na figura a seguir, denominados grficos tenso x deformao.

Mdulo de elasticidade

Observando o grfico da figura acima, nota-se que na parte onde o grfico uma reta, que corresponde regio do regime elstico do material, ou seja, proporcionalidade entre tenso e deformao, sua inclinao varia de material para material. Essa variao nos mostra que para uma mesma tenso existem materiais que se deformam mais que outros. Quanto maior for o ngulo , ou seja, quanto mais inclinada for a reta menos deformvel o material. Conclui-se que a inclinao dessa reta nos informa quanto deformvel o material. A essa inclinao d-se o nome de mdulo de Young ou mdulo de elasticidade, que uma constante para cada tipo de material.

O mdulo de elasticidade do ao 2.100.000 kgf/cm, o do concreto da or-dem de 210.000 kgf/cm. Esses valores mostram que o concreto um material 10 vezes mais deformvel que o ao, o que a princpio contraria a intuio, que tende a indicar o contrrio. Isso se deve a maneira como os dois materiais so aplicados nas estruturas. As peas de ao, devido sua resistncia maior, so mais

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Alm do conceito de mdulo de elasticidade, os grficos de tenso x defor-mao apresentam uma relao bastante importante que descreve a maneira como o material se relaciona com as tenses a ele aplicadas e as suas respectivas deformaes. Essa relao particularmente importante no regime elstico, pois permite a soluo de diversos problemas de dimensionamento de ele-mentos estruturais. Essa relao recebe o nome de Lei de Hooke, que pode ser obtida do grfico a partir do conceito trigonomtrico de tangente, que a relao entre o cateto oposto e o adjacente; no grfico o cateto oposto mede as tenses e o adjacente as deformaes especficas, o que resulta na expresso matemtica: = Ex onde - : Tenso aplicada ao material - E : Mdulo de elasticidade do material - : Deformao especfica (deformao efetiva dividida pelo comprimento inicial da barra).

E Ao

E Concreto

E Madeira

2.100.000 kgf/m

180.000 a 300.000 kgf/m

90.000 a 120.000 kgf/m

3.2. Trao simples ou axial

Vdeo Trao simples

Trao simples ou axial Se uma barra, quando submetida a foras externas, sofre um aumento no seu tamanho na direo do seu eixo, e se esse aumento ocorre de forma uniforme, ou seja, todas as suas fibras sofrem a mesma deformao, pode-se concluir que internamente a barra est sujeita a uma fora atuando de dentro para fora, nor-mal ao plano da sua seco e aplicada no seu centro de gravidade. A esta fora d-se o nome de trao simples ou axial.

A fora de trao simples se distribui na seco da barra provocando tenses normais de trao simples. Essas tenses so uniformes ao longo de toda a seco, j que a trao simples provoca uma solicitao uniforme de todas as fibras da seco.

Neste caso o equilbrio interno obtido quando o material suficientemente resistente para reagir s tenses que, provocadas pelas foras de trao simples, tendem a afastar as sees.

esbeltas e as de concreto, ao contrrio, mais volumosas. Assim sendo, devido s suas dimenses, as peas metlicas tendem a ser mais deformveis.

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Exemplos:Nestes exemplos so apresentados cabos e tirantes que so peas estruturais sempre submetidas a trao simples.

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3.3. Compresso simples ou axial

Vdeo Compresso simples

Vdeo Flambagem

Vdeo Fatores que influenciam a flambagem

Vdeo Momento de inrcia

Vdeo A forma da seo

Vdeo Comprimento de flambagem

Compresso simples ou axial e flambagemSe a barra, quando submetida a foras externas, sofre uma diminuio no seu tamanho na direo do seu eixo, e se essa diminuio ocorre de forma unifor-me, ou seja, todas as suas fibras sofrem a mesma deformao, pode-se concluir que internamente a barra est sujeita a uma fora atuando de fora para dentro, normal ao plano da sua seco e aplicada no centro de gravidade dessa seco. A esta fora d-se o nome de compresso simples ou axial.

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Exemplos:

Alm do sentido em que se deformam, h um comportamento bastante dife-renciado entre uma barra sujeita trao simples e outra sujeita compresso simples. Se em uma barra tracionada a fora de trao simples aumentada gradativamente, as tenses internas aumentam at que, ultrapassada a tenso de resistncia trao do material, a pea se rompe. No caso da compresso axial pode ocorrer a perda de estabilidade da pea, bem antes que seja atingida a tenso de ruptura a compresso do material. A este fenmeno de perda de es-tabilidade da barra antes da ruptura do material, d-se o nome de flambagem.

A Flambagem

A flambagem o fenmeno que distingue radicalmente o comportamento entre barras submetidas trao e barras submetidas compresso simples, exigindo uma preocupao especial com as barras comprimidas.

A flambagem o fenmeno que distingue radicalmente o comportamento entre barras submetidas trao e barras submetidas compresso simples, exigindo uma preocupao especial com as barras comprimidas.

A flambagem depende de diversos fatores, e o controle deles que garante um comportamento adequado das barras submetidas compresso. imediata a concluso de que a intensidade da fora aplicada um desses fatores. Quanto maior sua intensidade maior ser o perigo de flambagem da barra. O tipo de material outro fator. Como foi visto anteriormente existem materiais mais deformveis que outros, e que a deformabilidade do material medida pelo seu mdulo de elasticidade, obtido no ensaio tenso x deformao. Materiais com mdulos de elasticidade altos sero menos deformveis e, portanto, sofre-ro menos riscos de flambagem.

Outros fatores, menos evidentes Influenciam o comportamento da barra flambagem, so eles a seo e comprimento da barra.

A forma e dimenses da seo da barra so fatores de grande importncia no fenmeno da flambagem.

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Apresentando a figura ao lado, v-se que ao flambar, as sees da barra, que antes eram paralelas, giram em torno dos seus eixos aproximando-se numa das faces e afastando-se em outra.

Essa situao mostra que a maior ou menor possibilidade de uma barra flambar est diretamente ligada a maior ou menor facilidade de giro das suas sees.

Uma folha de papel dobrada, se comparada a uma folha no dobrada, como mostra a figura a seguir, apresenta uma resistncia bastante superior flamba-gem, ou seja suas seces apresentam maior dificuldade de girar em relao ao seu centro de gravidade. Convm lembrar que o centro de gravidade de uma figura plana o ponto em que, se a figura tivesse peso, poder-se-ia suspend-la, de forma que ela no sofreria qualquer giro mantendo-se horizontal. intuitivo que para que isso ocorra necessrio que as massas que compem a figura estejam adequadamente distribudas em todas as direes em relao ao centro de gravidade, da ser possvel que o centro de gravidade de uma figura plana ocorra fora dessa figura.

CG = Centro de gravidade da seo

Qual o fator que faz com que uma seo se torne mais ou menos resistente ao giro?

A maior ou menor possibilidade de uma seo girar depende da maneira como o material est distribudo em relao ao centro de gravidade da seo. Para entender melhor esse fenmeno observe a seguinte analogia fsica: suponha que se queira girar, com a mo, uma massa qualquer amarrada a ela por um fio.

Quanto mais afastada essa massa estiver da mo mais difcil ser impulsion-la ao giro. Ou seja, quanto mais longe estiver a massa do centro de giro mais dif-cil tir-la da inrcia. Coisa semelhante ocorre com a distribuio de material na seo de uma barra. Quanto mais afastado estiver o material do centro de giro da seo da barra, ou seja, do seu centro de gravidade, mais difcil ser girar a seo e, conseqentemente, mais difcil ser a barra flambar.

No exemplo da folha de papel, quando ela est dobrada sua seo transversal tem a forma de um V, cujo centro de gravidade encontra-se na posio mostra-da na figura. Quando a folha no est dobrada a sua seco tem a forma de um retngulo cuja altura muito pequena (a espessura da folha). Nesta situao o centro de gravidade encontra-se na metade dessa altura.

Pode-se ver que as distribuies de material em relao ao centro de gravi-dade das seces so muito diferentes para a folha dobrada e a no dobrada. Naquela o material est mais longe do centro de gravidade, ou centro de giro, o que resulta numa maior resistncia ao giro da seo e, portanto numa maior resistncia flambagem.

A forma como o material distribudo na seo pode ser medido matemati-camente e recebe o nome de momento de inrcia da seo. O momento de inrcia da seo relaciona as diversas pores de reas que compem a seo com suas distncias ao centro de gravidade da seo.

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Pode-se concluir que para barras submetidas compresso, portanto sujeitas a flambagem, a forma da seo, ou seja, a maneira como o material est distri-budo em relao ao centro de gravidade da seco, de extrema importncia.

Ao se comprimir barras, com as mesmas sees e de comprimentos diferentes, notar-se- que elas flambaro com foras diferentes: quanto maior o compri-mento da barra menor ser a fora necessria para provocar a flambagem.

Verifica-se, tambm, que a flambagem da barra depende do quadrado do seu comprimento. Em outras palavras, quando se duplica o comprimento de uma barra, a fora necessria para provocar sua flambagem ficar reduzida a apenas um quarto. A barra ficar quatro vezes mais instvel. Por isso, so de funda-mental importncia as condies de travamento lateral das barras submetidas compresso.

A figura mostra que o comprimento de flambagem da barra muda em funo do tipo de vnculos nos seus extremos. Portanto nem sempre o comprimento de flambagem ser igual ao comprimento real da barra.

A figura a seguir mostra como os travamentos alteram o comprimento de flambagem da barra e em conseqncia sua capacidade de carga.

Resumindo, a rigidez de uma barra flambagem depende da relao entre o momento de inrcia da sua seo, do comprimento da barra e da elasticidade do material que a compe. A frmula apresentada a seguir, de autoria de Euler, sintetiza bem essas relaes:

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*Pcr=2.E.J L2

* Onde - Pcr : Carga crtica de flambagem (aquela que provoca a flambagem). - E : Mdulo de elasticidade do material. - J : Momento de inrcia da seco da pea. - L : Comprimento no travado da pea.

A fora de compresso simples se distribui na seo da barra provocando ten-ses normais de compresso simples. Essas tenses so uniformes ao longo de toda a seo, j que a compresso simples provoca uma solicitao uniforme em todas as fibras da seo.

No caso da compresso simples o equilbrio interno obtido quando a barra suficientemente rgida, a ponto de no girar sob o efeito de flambagem, ou quando o material suficientemente resistente para reagir s tenses que tendem a aproximar as seces, provocadas pelas foras de compresso simples.

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Parte 4 - Momento Fletor

3.4. Momento - Momento Fletor

Vdeo Introduo ao Momento fletor

Vdeo Momento Fletor

Vdeo Momento fletor na viga e a linha neutra

Vdeo Foras devidas ao momento fletor

Vdeo Momento e escorregamento

Vdeo Deformao na barra

Momento

Tome-se um disco fixado no seu centro e tendo na extremidade de um dos seus raios uma carga pendurada por um cabo. Se esse disco for colocado em uma posio em que o cabo que sustenta a carga no esteja alinhado com o seu centro, ele girar at que ocorra o equilbrio, quando a carga, o cabo e o centro do disco ficarem alinhados. A anlise das foras que atuam no disco mostra a existncia de duas foras, uma de ao representada pelo peso e outra de reao a esse peso aplicada no centro do disco, onde ele est fixado.

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Enquanto as linhas de ao dessas foras no estiverem alinhadas, o disco gira. Quando elas se alinham, o disco para. A figura a seguir mostra como as foras encontram-se aplicadas no disco.

Conclui-se dessa experincia que o giro ocorre enquanto estiver aplicado no disco um par de foras, de mesma direo (paralelas e verticais), sentidos contrrios (uma para cima e outra para baixo) e enquanto no estiverem coli-neares. A um par de foras nesta situao d-se o nome de binrio. Sempre que ocorrer um binrio ocorrer um giro. A esse giro d-se o nome de momento.

Matematicamente o momento pode ser expresso pelo produto da fora pela sua distncia ao centro de giro. Lembrar que a distncia entre uma fora e um ponto a menor distncia entre sua linha de ao e o ponto.

A figura a seguir mostra uma barra sobre dois suportes, no meio da qual apli-cada uma fora perpendicular ao seu eixo. Assim solicitada a barra deforma-se e seu eixo, que antes era reto, passa a ter a forma de uma parbola.

A figura a seguir mostra que ao sofrer essa deformao todas as sees da barra, que inicialmente eram paralelas, giram em relao aos eixos horizon-tais que passam pelos seus centros de gravidade, o que caracteriza a ocorrn-cia de momento.

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As deformaes que ocorrem ao longo do eixo da barra tornando-o curvo so denominadas flechas. Portanto o momento que ocorre na barra submetida a carregamentos aplicados perpendicularmente ao seu eixo, alm de provoca-rem giros nas suas sees, tambm provoca flecha no seu eixo, portanto um momento de flecha ou momento fletor.

fcil observar que ao girarem as sees se aproximam na poro localizada acima do eixo que passa pelo centro de gravidade da seo e a se afastam na poro abaixo desse eixo, mostrando a ocorrncia de foras simultneas de compresso e trao.

O modelo mostra tambm que a intensidade desse giro varia ao longo do comprimento da barra. As sees prximas ao centro giram menos que aque-las prximas aos apoios; portanto o momento fletor aumenta do apoio para o centro da viga.

O momento fletor provoca deformaes parecidas com as causadas pela flam-bagem, ou seja, flechas e giros das seces. Mas os agentes causadores so dife-rentes. Enquanto a flambagem provocada por uma fora aplicada na direo do eixo da barra (fora de compresso simples), o momento fletor provo-cado por foras aplicadas perpendicularmente a esse eixo. Os dois fenmenos apresentam-se visualmente idnticos, mas so conceitualmente bem diferentes.

O binrio interno de trao e compresso simultneo, provocado pelo mo-mento fletor, se distribui na seo transversal da barra provocando simultane-amente tenses normais de trao e de compresso.

Semelhantemente ao fenmeno da flambagem, a resistncia de uma seo ao momento fletor depende do seu momento de inrcia, ou seja, da maior ou menor possibilidade de giro das sees.

Um esforo sempre associado ocorrncia de momento fletor a Fora Cor-tante. Esse esforo recebe esse nome por que seu efeito de corte entre as sees longitudinais e transversais da barra.

Existe uma relao direta entre momento fletor e fora cortante, o que se constitui no fenmeno geral de flexo. Um experimento simples mostra isso. Ao se tomar um mao de papis e sustent-lo com as mos e aplicar simulta-neamente giros iguais nas extremidades, veremos que no ocorrero desliza-mentos relativos entre as diversas folhas do mao.

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Se ao contrrio, for provocado um giro em apenas uma das extremidades, as diversas folhas escorregaro, como se estivessem sendo fatiadas, indicando a ocorrncia de fora cortante longitudinal. Sempre que o momento fletor variar de uma seo a outra do elemento estrutural ocorrer a tendncia de deslizamentos vertical e horizontal das sees da pea, ou seja, a ocorrncia de fora cortante. Como bastante rara a ocorrncia de momento fletor constan-te ao longo de um trecho de uma viga, pode-se dizer que sempre que houver a ocorrncia de momento fletor haver a ocorrncia de fora cortante.

Sempre que ocorrer o escorregamento longitudinal, cortando a barra em sec-es longitudinais, haver, tambm, o escorregamento das sees transversais. So escorregamentos provocados pelas foras cortantes horizontais e verticais e que se combinam resultando em foras inclinadas de trao e compresso como mostra a figura ao lado.

Dependendo do carregamento, o valor da fora cortante varia ao longo da viga. Na figura a seguir pode-se observar que as fatias horizontais escorregam mais nas extremidades do que prximas ao centro da viga, o que mostra que o valor da fora cortante maior nas extremidades, diminuindo para o centro do vo.

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A fora cortante se distribui nas sees transversais e longitudinais da barra provocando tenses tangenciais ou de cisalhamento verticais e horizontais. A tenso de cisalhamento varia ao longo da mesma seco, sendo mxima no centro de gravidade e nula nas extremidades.

No caso da fora cortante o equilbrio interno se d quando o material sufi-cientemente resistente para reagir s tenses de trao e compresso inclinadas devidas s tendncias de escorregamentos horizontais e verticais das sees.

Exemplos de peas estruturais submetidas a flexo


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3.5. Clculo de momento fletor e fora cortante para vigas biapoia-das sem e com balanos

Fora cortante e momento fletor em vigas biapoiadas sem balanos

1. Cargas concentradasPode-se generalizar os resultados para fora cortante e para momento fletor.

onde, QA e QB so as foras cortantes mximas que ocorrem nos apoios e so iguais s reaes.

Grficos de fora cortante e momento fletor


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2. Cargas distribudas

Pode-se generalizar os procedimentos para uma carga uniformemente distri-buda q e um vo qualquer l.

Clculo do momento fletor e da fora cortante em vigas em balano

1. Cargas concentradasGeneralizando para qualquer carga em qualquer posio sobre o balano, tem-se:

Grficos de momento fletor e fora cortante


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2. Cargas distribudas

Generalizando para qualquer valor de carga uniformemente distribuda em qualquer comprimento de balano, tem-se:

Grficos de fora cortante e momento fletor:


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3.6. Momento Toror

Vdeo Momento toror

Vdeo quadrados em losangos

Vdeo Viga balco

Como foi visto anteriormente, momento significa giro, portanto momento toror deve, tambm, significar um tipo de giro. De fato, quando ocorre mo-mento toror numa barra ocorre giro das suas sees, mas, diferentemente do momento fletor, no caso do momento toror as sees giram com o eixo da barra mantendo-se reto, no apresentando as flechas caractersticas da flexo.

A figura ao lado mostra o modelo de uma barra submetida a toro.

Um outro ensaio, bastante simples, pode ser realizado com um canudo, feito com uma folha de papel enrolada, como vimos no vdeo. Ao se torcer esse canudo, notar-se- o escorregamento longitudinal entre as folhas. Deste ensaio conclui-se que a toro provoca, alm do giro relativo entre as sees trans-versais, um escorregamento longitudinal das sees horizontais. Conclui-se, ainda, que o giro transversal e o escorregamento longitudinal provocam foras cortantes transversais e longitudinais, semelhantes quelas discutidas anterior-mente quando foi apresentada a fora cortante.

Esses dois efeitos, fora cortante transversal e fora cortante longitudinal ocor-rem simultaneamente, dando como resultado o aparecimento de foras de trao e compresso, inclinadas a 45 graus. O efeito dessas foras fica bastante evidente no modelo da figura a seguir, que apresenta uma barra quadriculada. As deformaes que sofrem as quadrculas mostram as direes das foras re-sultantes da toro.

As foras cortantes transversais e longitudinais devidas toro distribuem-se nas sees das barras provocando tenses de cisalhamento transversais e longitudinais. O efeito simultneo dessas tenses resulta em tenses normais inclinadas de trao e compresso.


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No caso da toro o equilbrio interno se d, semelhantemente ao caso da for-a cortante, quando o material tiver resistncia suficiente para reagir s tenses de trao e compresso resultantes da tendncia de escorregamento transversal e longitudinal das sees.

4. Relao entre esforos e forma das sees.

Vdeo Relao entre esforos e forma

A forma como se distribui o material na seo transversal de uma pea es-trutural pode determinar o seu melhor ou pior aproveitamento, e em conse-qncia sua quantidade e o espao ocupado. Diminuir o espao ocupado pelos elementos estruturais pode ser desejvel, seja por questes estticas, seja pela necessidade de aumento do espao til da edificao. Entretanto, no s a economia de material que define uma boa escolha. A maior ou menor facili-dade de execuo da seco estrutural, em algumas situaes, pode ser o fator determinante, impondo muitas vezes a escolha de uma forma que no seja, em princpio, a de menor consumo de material.

Discutiremos, aqui, o que se denomina Princpio da Distribuio das Massas na Seo. Este princpio discute as relaes entre os esforos atuantes e as formas de sees mais adequadas para suport-los. Trao simples ou axial

A trao simples ou axial, como j foi visto, desenvolve tenses uniformes na seo de uma barra. Qualquer que seja a forma da seo, a ruptura da pea sempre se dar quando atingido o limite de resistncia do material. Conclui-se que a quantidade de material, e no a forma como ele distribudo na seo, o fator determinante na resistncia de uma barra submetida trao simples ou axial.

Se interessar, como resultado, o menor espao ocupado pelos elementos estru-turais, pode-se escolher dentre todas as possveis sees aquela que concentre material bem prximo do seu centro de gravidade. Esta seo a circular cheia.

Devido a essa propriedade dos esforos de trao serem bem absorvidos por sees com massa concentrada, pode-se concluir que os elementos estruturais submetidos a trao simples sero aqueles que ocuparo menor espao no ambiente e que resultaro mais leves fsica e visualmente. Na figura a seguir, vem-se as diversas possibilidades de formas de seo trans-versal, todas com a mesma rea, ou seja, com a mesma quantidade de material. Supondo que a barra esteja sujeita a trao axial e que seja sempre usado o mesmo material, sua ruptura dar-se-, sempre, com a mesma fora de trao axial.


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Na prtica as sees que respondem bem aos esforos de trao so:

Compresso simples ou axial

A compresso simples, como a trao simples, solicita as sees das peas es-truturais com tenses uniformes. Essas tenses crescem com o aumento do esforo de compresso, mas ao contrrio da trao simples, antes de ocorrer a ruptura da seo por compresso bem provvel que ocorra um deslocamen-to lateral da pea estrutural, fazendo-a perder a estabilidade. o fenmeno da flambagem, j discutido. Viu-se que para aumentar a resistncia da seo ao efeito da flambagem preciso que o material se distribua o mais afastado possvel do centro de gravidade da seo.

Numa seo submetida compresso simples o material junto ao seu centro de gravidade apresenta pouca eficincia, podendo ser desprezado. Portanto, ao se procurar maior economia de material deve-se escolher sees que no apresentem material junto ao centro de gravidade, ou seja, as sees vazadas. Se, alm disso, tambm interessa aquela que ocupa o menor espao, optar-se- pela seo vazada circular, que ocupa 10 % a menos de espao. Como na seo circular vazada o material distribui-se uniformemente em torno do centro de gravidade, ela a nica que apresenta a mesma resistncia flambagem em qualquer direo.

Ao contrrio da trao simples, na compresso simples no a quantidade de material o fator determinante na resistncia da seo, mas a maneira como esse material se distribui. Na compresso simples a melhor distribuio de massa na seo aquela que ocorre fora do centro de gravidade e igualmente espaada em qualquer direo.

importante notar que para uma mesma fora, devido ao fenmeno da flam-bagem, as peas submetidas a compresso simples sero sempre mais robustas que aquelas submetidas trao simples. Tanto fsica como visualmente, as primeiras sero sempre mais pesadas que as segundas.

Na prtica as sees que respondem bem ao esforo de compresso simples so mostradas a seguir.


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Exemplo:Perfil seo I

Momento fletor - flexo

A distribuio das tenses nas sees sujeitas a momento fletor aquela apre-sentada na figura abaixo. Ocorrem simultaneamente, tenses de trao e com-presso. A intensidade dessas tenses depende no s da altura da seo, o que corresponde a uma variao no brao do binrio trao-compresso, ou seja, a uma variao na intensidade dessas foras, como tambm do momento de inrcia da seo, ou seja, da maior ou menor tendncia de giro da seo. A relao entre o momento de inrcia da seo e sua altura denominada m-dulo de resistncia da seo. Em outras palavras: quanto maior o mdulo de resistncia de uma seo menores sero as tenses devidas ao momento fletor e, portanto, mais resistente ser a seo.

As tenses devidas ao momento fletor no se distribuem de maneira uniforme, variam ao longo da altura da seo de um mximo compresso a um m-ximo trao, passando por zero junto ao centro de gravidade da seo. Essa distribuio leva a concluir que numa seo submetida a momento fletor as massas devem se concentrar em pontos mais afastados do centro de gravidade e devem diminuir prximos a ele.


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Um esquema representativo dessa distribuio de massa dado na figura ao lado.

Na prtica, estas so as sees que respondem melhor aos esforos de flexo.

Conceito de hierarquia dos esforos

Note-se que tanto o fenmeno da flambagem como o de flexo exige uma distribuio de massas longe do centro de gravidade da seo. No caso da fle-xo a concentrao de material deve ocorrer onde se concentram os esforos de trao e compresso, ou seja, transversalmente ao plano em que ocorre o momento fletor. Na compresso simples, a impossibilidade de se prever em que direo vai ocorrer a flambagem exige a necessidade de uma distribuio uniforme de material em todas as direes.

O fenmeno da flambagem exige da seo mais rigidez (distribuio adequada de material) do que quantidade de material. Duas barras de mesmos compri-mentos, mesmas sees, mesmos mdulos de elasticidade e de resistncias dife-rentes, flambaro com a mesma carga crtica. J a flexo exige, alm da rigidez, a resistncia do material, o que implica em maior quantidade de material ou maior resistncia do mesmo. As frmulas a seguir, que do os esforos crticos para compresso simples e momento fletor respectivamente, comprovam essa afirmao. As frmulas apresentadas referem-se a barras com extremidades ar-ticuladas.

Onde Pcr:Cargaqueiniciaaflambagemdabarra E:Mdulodeelasticidadedomaterial J:Momentodeinrciadasecodabarra L:Comprimentonotravadodabarra.

Onde Mcr:Momentoqueiniciaarupturadabarra : Tenso de ruptura do material da barra W:mduloderesistnciadaseco.A primeira frmula evidencia que a capacidade de uma barra ser estvel flambagem independe da resistncia do material, pois ela independente de (tenso de resistncia do material), o que j no ocorre com a capacidade de uma seo sob flexo, como mostrado na segunda frmula. Conclui-se da que a flexo exige, alm de uma distribuio adequada, maior quantidade e melhor qualidade de material. V-se, portanto, que conforme o esforo aplicado h uma exigncia diferen-te em relao a quantidade, a forma de distribuio e qualidade de material.


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Sendo que alguns esforos exigem menos, outros mais. O que resulta numa hierarquia de esforos, ou seja, existem esforos mais econmicos que outros quanto ao consumo de material e espao ocupado pelas sees. Os esforos de trao simples, como se pode ver so aqueles que exigem a menor quantidade de material e resultam em sees mais esbeltas e leves, tanto fsica como visu-almente. J o esforo de compresso simples, por exigir certa rigidez, conduz a sees com maior consumo de material e mais robustas que as submetidas trao simples, levando a peas estruturais mais pesadas, tanto fsica como visualmente. Por ltimo, tem-se a flexo que exige sees que, alm de apre-sentarem uma distribuio adequada de material, apresentem tambm, grande resistncia e quantidade de material.

Resumindo pode-se dizer que, em termos de dimenses das sees transver-sais das peas estruturais, os esforos de trao simples so aqueles que apresen-tam um desempenho mais favorvel, e os de flexo menos favorvel, ficando a compresso simples no meio termo.


12Caractersticas do Ao na Construo CivilMDULO


2Sistemas Estruturais em Ao na Arquitetura

ndice - Mdulo 25. O material Ao ComposiodoAo AproduodoAo Ostiposdeaosmaiscomunsnaconstruocivil

6.Ousodoao VantagenseDesvantagensdousodoAoemEstruturas AalturadasVigas OModelotericoeocomportamentoreal Aquestodocustoinicial Aquestodacorroso Aspropriedadesdosmateriais Aclarezadaconcepoestrutural Estruturametlica:umsistemapr-fabricado Dimensesdaspeasemumaestruturaemao Areciclagem Reformas,ampliaesenovosusos

3Parte 1 - Caractersticas do Ao na Construo Civil

5. O material Ao

Composio do Ao

Oaoumaligametlicaconstitudafundamentalmentedeferroecarbono.Almdessesdoiselementos,dependendodotipodeaoquesequerobter,soencontradosoutros elementos tais como:mangans, silcio, fsforo, enxofre,alumnio,cobre,nquel,nibio,entreoutros,quemodificamaspropriedadesfsicasdaliga,taiscomoresistnciamecnica,resistnciaacorroso,ductilidadeemuitasoutras.

Algunsdoselementosquefazempartedamatriaprimautilizadapermane-cemna ligae sua retiradaeconomicamente invivel.Soasdenominadasimpurezas,cujasquantidadesnochegamaafetarodesempenhodomaterial.

Abaixomostradooexemplodeumaliga:

AO=Fe+C+Si+Mn+P+S(...)

C 0,22% P

sistemas estruturais em aço na arquitetura

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