Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as

quais é possível lidar de uma única vez.Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da

matemática aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente

problemas de diversas áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na

economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas

lineares.

De maneira geral, um Sistema de Equações Lineares pode ser definido como um conjunto

de m equações, sendo m ≥ 1, com n incógnitas x1, x2,  x3, … xn, de forma que:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Sendo que: a1, …, an e b são números reais. Os números aij são os coeficientes angulares e

bi é otermo independente e quando este é nulo a equação linear é chamada homogênea.

Exemplo:

O sistema linear acima possui três equações, três incógnitas (x, y, z) e os termos

independentes, que são – 7, 3 e 0. Além disso, no sistema acima há uma equação

homogênea (4x + y + z = 0).

Um sistema linear também pode ser escrito em forma matricial. A seguir, a função

apresentada no exemplo anterior será exposta em forma de matriz:

Percebe-se que a forma matricial de um sistema linear é igual ao produto matricial entre

a matriz formada pelos coeficientes angulares e a matriz formada pelas incógnitas, cujo

resultado é a matriz formada pelos termos independentes.

Solução de um Sistema Linear

A solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas

as equações de um sistema linear, ou seja, a ênupla ordenada (sequência ordenada

de n elementos) é solução de um sistema linear S, se for solução de todas as equações de S.

Exemplo:

Os valores que satisfazem as duas equações são x = 2 e y = 1, logo, a solução do sistema é o

par ordenado (2,1), como mostra a representação gráfica do sistema linear apresentado como

exemplo.

Quando um ocorre um Sistema Linear Homogênio, aquele que possui todas as equações

com termos independentes nulos, ele admite uma solução nula (0, 0, … , 0) chamada

de solução trivial. Mas, um sistema linear homogênio pode ter outras soluções além da trivial.

O sistema linear acima é homogêneo, portanto, a priori, já temos a solução trivial dada pelo

conjunto (0, 0, 0). Contudo, também se admite como solução desse sistema o conjunto (0, 1, –

1).

A partir de agora, serão apresentados dois métodos para a obtenção do conjunto verdade de

um sistema: a Regra de Cramer e o Escalonamento.

Regra de Cramer

É aplicável na resolução de um sistema n x n incógnitas, no qual o determinante diferente de

zero (D ≠ 0). Ou seja: (x1 = D1 / D, x2 = D2 / D, … , xn = Dn / D). Sendo que, ao considerar o

sistema:

Percebe-se que os coeficientes a1 e a2se relacionam com a incógnita x, enquanto b1 e b2 e se

relacionam com a incógnita y. Agora, a partir da matriz incompleta:

É possível obter o determinante (D) desta matriz e substituindo os coeficientes de x e y que o

compõe pelos termos independentes c1e c2 é possível encontrar os

determinantes Dx e Dy para que se aplique aRegra de Cramer. Abaixo estão os referidos

determinantes:

Exemplo:

Então: x = Dx/D = -10/-5 = 2 e y = Dy/D = -5/-5 = 1, portanto, como foi mostrado anteriormente,

inclusive graficamente, o par ordenado (2,1) é o resultado do sistema linear acima.

Escalonamento

Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido de cima para

baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não nulos.

Exemplo:

O sistema acima está escalonado e substituindo as incógnitas das equações pelos seus

respectivos é possível encontrarmos o conjunto solução (1,1,1).

Para escalonar um sistema é necessário que se coloque como primeira equação aquela que

tenha o coeficiente de valor 1 na primeira incógnita. Caso não haja nenhuma equação assim,

será necessário dividir membro a membro aquela que está como primeira equação pelo

coeficiente da primeira incógnita. Nas demais equações, é necessário que se obtenha zero

como coeficiente da primeira incógnita, somando cada uma delas com o produto da primeira

equação pelo oposto do coeficiente dessa incógnita, até que se possam verificar os valores de

cada uma das incógnitas e, por fim, encontrar o conjunto solução.

Sistema de equações linearesOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Um sistema linear com três variáveis determina um conjunto deplanos. O ponto de intersecção é a

solução.

Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações linearesaplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis.1 Por exemplo,

é um sistema de três equações com três variáveis (x, y e z). Uma solução para um sistema linear é uma atribuição de números às variáveis que satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema. Uma solução para o sistema acima é dada por

já que esses valores tornam válidas as três equações do sistema em questão. A palavra "sistema" indica que as equações devem ser consideradas em conjunto, e não de forma individual.

Em Matemática, a teoria de sistemas lineares é a base e uma parte fundamental da álgebra linear, um tema que é usado na maior parte da matemática moderna. Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Também na matemática aplicada, podemos encontrar vários usos de sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia e aastronomia.2

Algoritmos computacionais são, por encontrar as soluções, uma parte importante da álgebra linear numérica, e desempenham um papel proeminente em engenharia, física,química, ciência da computação e economia. Tais métodos têm uma grande importância para tornar mais eficientes e rápidas as soluções dos sistemas.3 Pode-se muitas vezesaproximar um sistema de equações não-lineares de um sistema linear (veja linearização), uma técnica útil ao fazer

um modelo matemático ou simulação computacional de um sistema relativamente complexo. Para tal aproximação, se usa a teoria das sequências.

O sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de equações do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equações possuem apenas polinômios em que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras palavras, num sistema linear, não há potência diferente de um ou zero e tampouco pode haver multiplicação entreincógnitas.

Muitas vezes, os coeficientes das equações são números reais ou complexos e as soluções são procuradas no mesmo conjunto de números, mas a teoria e os algoritmos aplicam os coeficientes e soluções em qualquer campo.

Exemplo básico[editar | editar código-fonte]

O tipo mais simples de sistema linear envolve duas equações e duas variáveis:

Um método para resolver tal sistema é do seguinte modo: em primeiro lugar, resolva a equação superior para x em termos de y:

Agora substitua essa expressão para x na equação inferior:

Isto resulta numa única equação envolvendo apenas a variável  . Resolvendo,

obtemos  , e voltando para a equação e substituindo y por seu valor (isto é, 1), vem

que  . Este método se generaliza para sistemas com variáveis adicionais (veja "eliminação de variáveis" abaixo, ou o artigo sobre álgebra elementar).

Forma geral[editar | editar código-fonte]

Um sistema geral de m equações lineares com n incógnitas pode ser escrito como:

Aqui,   são as incógnitas,   são os coeficientes do

sistema e   são os termos constantes.4

Muitas vezes, os coeficientes e as incógnitas são números reais ou complexos, mas pode-se encontrar também números inteiros e racionais, já que são polinômios e elementos de uma estrutura algébrica abstrata.

Equação vetorial[editar | editar código-fonte]

Um ponto de vista extremamente útil é que cada incógnita é um peso para um vetor coluna em uma combinação linear.

Isso permite que seja exercida toda a linguagem e teoria dos espaços vetoriais (ou, mais geralmente, módulos). Por exemplo: o espaço vetorial gerado é o conjunto de todas as possíveis combinações lineares dos vetores sobre o lado esquerdo, e as equações têm uma solução apenas quando o vetor da mão direita se encontra nesse espaço vetorial gerado. Se cada vetor desse espaço vetorial gerado tem exatamente uma expressão como uma combinação linear dos vetores dados à esquerda, então qualquer solução é única. De qualquer maneira, o espaço vetorial gerado tem uma base de vetores linearmente independentes que garantem exatamente uma expressão; e o número de vetores nessa base (a sua dimensão) não pode ser maior do que m ou n, mas pode ser menor. Isto é importante porque, se tivermos m vetores independentes, a solução é garantida, independentemente do lado direito, o que não ocorre de outra forma.

Equação matricial[editar | editar código-fonte]

A equação vetorial é equivalente a uma equação matricial da forma

onde A é uma matriz m×n, x é um vetor coluna com n elementos e b é um vetor coluna

com m elementos.

Agora, o número de vetores em uma base para o espaço vetorial gerado é expresso como o posto da matriz.

Conceito[editar | editar código-fonte]

O sistema linear está ligado de certo modo à álgebra linear e o entendimento mais profundo dos sistemas é dependente do domínio desta matéria5 .

Sendo assim, é importante o entendimento dos espaços vetoriais, dos isomorfismos, das transformações lineares, da interpolação de Lagrange, da decomposição de um polinômio em fatores primos, de anéis comutativos, do teorema da decomposição primária, da forma de Jordan e das formas bilineares.

Um sistema linear, partindo da premissa de que tem resultado existente e determinado e não há dependência entre as equações, deve ter o mesmo número de equações e de incógnitas. O número de variáveis (incógnitas) também é chamado de quantidade de dimensões do problema. O número de dimensões está relacionado ao espaço vetorial. Por outro lado, os números que são subsumidos às incógnitas das equações podem ser de vários universos. Em geral, se resolvem sistemas para números reais, mas também existem sistemas para números complexos e ainda para outros tipos de números. Assim, para n dimensões no conjunto dos números reais, diz-se que se trabalha no conjuntoℝn.

Para que o resultado de um sistema seja existente e determinado, não pode haver redundância, o que é chamado também dependência entre as matrizes que representam as equações.

Histórico[editar | editar código-fonte]

A história dos sistemas de equações lineares começa no oriente. Em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, surge a ideia de determinante6 (como polinômio que se associa a um quadrado de números).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares.

A conhecida regra de Cramer é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra.

O suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra independentemente.

O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, tratou do assunto, sendo complementado posteriormente por Laplace, emPesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo.

O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, sugeriu a notação que hoje é aceita como convenção.

Já o alemão Jacobi fez a leitura dessa teoria da forma como atualmente se estuda.

Técnicas de resolução[editar | editar código-fonte]

Existem vários métodos equivalentes de resolução de sistemas.

Método da substituição[editar | editar código-fonte]

O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.

Método da comparação[editar | editar código-fonte]

Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações. e as equações ficam mais detalhadas.

Fatorizações de matrizes[editar | editar código-fonte]

Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem fatorizações de matrizes. O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina afatoração LU. Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver os sistemas mais simples Ly=b e Ux=6.

Regra de Cramer[editar | editar código-fonte]

A Regra de Cramer é uma fórmula explícita para a solução de um sistema de equações lineares, com cada variável dada por um quociente de dois determinantes. Por exemplo, a solução para o sistema

é dada pela

Para cada variável, o denominador é a determinante da matriz de coeficientes, enquanto o numerador é o determinante de uma matriz na qual cada coluna foi substituída pelo vetor de termos constantes.

Embora a regra de Cramer é importante teoricamente, tem pouco valor prático para grandes matrizes, uma vez que o cálculo de grandes determinantes é um pouco complicado. (Na verdade, grandes determinantes são mais facilmente calculados usando a Eliminação de Gauss.)

Além disso, a regra de Cramer tem pobres propriedades numéricas, tornando-a inadequada para resolver até mesmo pequenos sistemas de forma confiável, a menos que as operações forem executadas em aritmética racional com precisão ilimitada.