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Monitoria Cálculo Numérico 2017-02NOME Email Dia / Horário Local

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Figura : Monitoria

Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e metodo de Gauss 30 de Agosto de 2017 1 / 36

Sistemas Lineares e metodo de Gauss

Alan Costa de Souza

30 de Agosto de 2017


O que e sistema linear?

Um sistema linear com m equacoes e n variaveis e definido como:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

aij sao os coeficientes. i ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

xj sao as variaveis. 1 ≤ j ≤ n

bi sao constantes. 1 ≤ i ≤ m

Resolver o sistema e encontrar os valores de xi que satisfacam as mequacoes ao mesmo tempo.


Exemplo.

1x1 + 2x2 + 3x3 = 44x1 + 5x2 + 6x3 = 7

8x1 + 9x2 + 10x3 = 11121 + 13x2 + 14x3 = 15


Notacao matricial

A~x = ~b

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

am1 am2 . . . amn

~x =

x1

x2...

xn

~b =

b1

b2...

bm


Exemplo.

1x1 + 2x2 + 3x3 = 44x1 + 5x2 + 6x3 = 7

8x1 + 9x2 + 10x3 = 11121 + 13x2 + 14x3 = 15

A =

1 2 34 5 6

8 9 1012 13 14

~b =

47

1115


~x =

x1

x2

x3

A~x = ~b.

A~x =

1 2 34 5 6

8 9 1012 13 14

x1

x2

x3

=

47

1115

= ~b


Matriz aumentada

1x1 + 2x2 + 3x3 = 44x1 + 5x2 + 6x3 = 7

81 + 9x2 + 10x3 = 11121 + 13x2 + 14x3 = 15

C =

1 2 3 44 5 6 7

8 9 10 1112 13 14 15


Tipos de solucoes.

Um sistema linear pode ter tres tipos de solucoes.

solucao unica.

infinitas solucoes.

sem solucao.


Solucao unica.

{2x1 + x2 = 3

x1 − 3x2 = −2

~x =

(11

)

Figura : [Ruggiero and LOPES, 1996]Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e metodo de Gauss 30 de Agosto de 2017 10 / 36

Infinitas Solucoes

{2x1 + x2 = 3

4x1 + 2x2 = 6

~x =

(α

3− 2α

)α ∈ R.

Figura : [Ruggiero and LOPES, 1996]Alan Costa de Souza Sistemas Lineares e metodo de Gauss 30 de Agosto de 2017 11 / 36

Sem Solucao.

{2x1 + x2 = 3

4x1 + 2x2 = 2

Figura : [Ruggiero and LOPES, 1996]


Metodos para resolver sistemas lineares.

Nesse curso serao resolvidos apenas sistemas n × n.

Existem dois tipos de metodos:Metodos diretos: Encontram solucoes exatas dos sistemas, a menosdos erros de arredondamento.

Metodo de Gauss.Fatoracao LU.

Metodos iterativos: Encontram uma sequencia de vetores, a partir deuma aproximacao inicial, que convergem para uma aproximacao dasolucao, sob algumas condicoes de convergencia.

Metodo de Gauss-Jacobi.Metodo de Gauss-Seidel.


Metodo de Gauss.

O metodo consiste em transformar o sistema linear original numsistema linear equivalente com matriz de coeficientes triangularsuperior.

Dois sistemas lineares sao equivalentes se eles apresentam a mesmasolucao.

O sistema com com matriz de coeficientes triangular e de imediatasolucao, como veremos a seguir.


Resolucao de Sistemas com matriz Triangular.

4x1 + 5x2 + 6x3 = 7

0x1 + 9x2 + 10x3 = 110x1 + 0x2 + 14x3 = 15 4 5 6

0 9 100 0 14

x1

x2

x3

=

71115

14x3 = 15 x3 =

15

14≈ 1, 071

9x2 + 10x3 = 11 9x2 + 10× 1, 071 = 11 x2 ≈ 0, 03174.

4x1 +5x2 +6x3 = 7 4x1 +5×0, 03174+6×1, 071 = 7 x1 ≈ 0, 1031.

~x ≈

0, 10310, 03174

1, 071


Teorema 1.

Seja A~x = ~b um sistema linear, se fizer

Trocar duas linhas de lugar

Multiplicar a linha por uma constante

Substituir uma linha por uma combinacao linear das outras linhas.

Obtemos um novo sistema linear A2~x = ~b2 que e equivalente ao sistemaoriginal.


Exemplo 1.

{2x1 + x2 = 3

x1 − 3x2 = −2

~x =

(11

){

x1 − 3x2 = −22x1 + x2 = 3

~x =

(11

)


Exemplo 2.

{2x1 + x2 = 3

x1 − 3x2 = −2

~x =

(11

){

20x1 + 10x2 = 30x1 − 3x2 = −2

~x =

(11

)


Exemplo 3.

{2x1 + x2 = 3

x1 − 3x2 = −2

~x =

(11

)L1 = 2L1 + 3L2{

7x1 − 7x2 = 0x1 − 3x2 = −2

~x =

(11

)


Metodo de Eliminacao de Gauss.

Vamos supor que o sistema tenha n equacoes e n variaveis.

O objetivo do metodo e encontrar um sistema linear equivalente, cujamatriz A seja triangular.

Apos encontrar o sistema equivalente, usar substituicao reversa paraencontrar a solucao.


Exemplo 1

3x1 + 2x2 + 4x3 = 11x1 + 1x2 + 2x3 = 24x1 + 3x2 − 2x3 = 3 3 2 4 1

1 1 2 24 3 − 2 3

a11 6= 0 m21 =

a21

a11=

1

3

L2 = L2 −m21 × L1 =(

1 1 2 2)− 1

3

(3 2 4 1

)L2 = L2 −m21 × L1 =

(0 1

323

53

) 3 2 4 10 1

323

53

4 3 − 2 3


3 2 4 10 1

323

53

4 3 − 2 3

a11 6= 0 m31 =

a31

a11=

4

3

L3 = L3 −m31 × L1 =(

4 3 − 2 3)− 4

3

(3 2 4 1

)L3 = L3 −m31 × L1 =

(0 1

3 − 223

53

) 3 2 4 1

0 13

23

53

0 13 − 22

353


3 2 4 10 1

323

53

0 13 − 22

353

a22 =

1

36= 0 m32 =

a32

a22= 1

L3 = L3 −m32 × L2 =(

0 13 − 22

353

)− 1

(0 1

3 − 23

53

)L3 = L3 −m32 × L2 =

(0 0 − 8 0

) 3 2 4 1

0 13

23

53

0 0 − 8 0


3 2 4 10 1

323

53

0 0 − 8 0

−8x3 = 0 x3 = 0.

1

3x2 +

2

3x3 =

5

3x2 = 5.

3x1 + 2x2 + 4x3 = 1 x1 = −3.

~x =

−350


estrategias de pivoteamento.

Quando usamos um pivo aii para anular as entradas da matriz que ficamabaixo, pode acontecer dois problemas:

aii = 0. Nesse caso nao podemos calcular o m, ja que m =ajiaii

.

aii ≈ 0. Nesse caso, m e um numero muito grande e pode causargrandes erros de arrendondamento.

Para contornar esses problemas temos que usar uma estrategia depivoteamento, ou seja, realizar uma troca de linhas de forma a evitar ascondicoes acima. Veremos adiante duas estrategias:

pivoteamento parcial.

pivoteamento completo.


Pivoteamento Parcial.

+3 + 2 + 1 − 1 + 5+0 + 1 + 0 + 3 + 6+0 − 3 − 5 + 7 + 7

+0 + 2 + 4 + 0 + 15

+3 + 2 + 1 − 1 + 5+0 − 3 − 5 + 7 + 7+0 + 1 + 0 + 3 + 6

+0 + 2 + 4 + 0 + 15


primeira fase ja foi concluıda, ou seja, todas as entradas abaixo de a11

sao nulas.

proxima fase usaria como pivo o elemento a22.

Mas os respectivos m seriam maiores que 1, o que pode acarretar emgrandes erros de arredondamento.

Solucao: Usar como pivo o elemento com maior modulo entre a22 etodos os elementos abaixo dele.

Nesse caso seria o elemento -3.

para ele ser o pivo troque as linhas 2 e 3 de lugar.

Note que agora todos os m tem modulos menores que 1.


Pivoteamento completo.

+3 + 2 + 1 − 1 + 5+0 + 1 + 0 + 3 + 6+0 − 3 − 5 + 7 + 7

+0 + 2 + 4 + 0 + 15

+3 − 1 + 1 + 2 + 5+0 + 3 + 0 + 1 + 6+0 + 7 − 5 − 3 + 7

+0 + 0 + 4 + 2 + 15

+3 − 1 + 1 + 2 + 5+0 + 7 − 5 − 3 + 7+0 + 3 + 0 + 1 + 6

+0 + 0 + 4 + 2 + 15


Escolher como pivo o numero de maior modulo entre todas entradasque ainda participam do processo de eliminacao.

Nesse exemplo era a entrada a24 que tinha modulo 7.

Para fazer esse elemento como pivo, basta trocar as colunas 2 e 4 delugar e depois as linhas 2 e 3.

Essas alteracoes criarao um sistema equivalente com o maior pivopossıvel.

Vantagem: os m terao os menores modulos possıveis.

Desvantagem: A busca pelo elemento de maior modulo pode sermuito custosa, caso a matriz seja muito grande.

O pivoteamento parcial e o mais utilizado.


Exemplo 1.

Suponha uma maquina que use tres casas decimais para a mantissa.(0, 0002 2 5

2 2 6

)(

0, 2× 10−3 0, 2× 101 0, 5× 101

0, 2× 101 0, 2× 101 0, 6× 101

)a11 = 0, 2× 10−3 m =

0, 2× 101

0, 2× 10−3= 0, 1× 105.

L2 = L2 −m × L1

a21 = a21 −m × a11 = 0, 2× 101 − 0, 1× 105 × 0, 2× 10−3 =

0, 2× 101 − 0, 2× 101 = 0.


(0, 2× 10−3 0, 2× 101 0, 5× 101

0, 2× 101 0, 2× 101 0, 6× 101

)a22 = a22 −m × a12 = 0, 2× 101 − 0, 1× 105 × 0, 2× 101 =

0, 2× 101 − 0, 2× 105 = 0, 00002× 105 − 0, 2× 105 ≈ −0, 2× 105.

b2 = b2 −m × b1 = 0, 6× 101 − 0, 1× 105 × 0, 5× 101 =

0, 6× 101 − 0, 5× 105 = 0, 00006× 105 − 0, 5× 105 ≈ −0, 5× 105.(0, 2× 10−3 0, 2× 101 0, 5× 101

0 − 0, 2× 105 − 0, 5× 105

)−0, 2× 105x2 = −0, 5× 105

x2 = 0, 25× 101 = 2, 5.

0, 2× 10−3x1 + 0, 2× 101x2 = 0, 5× 101

x1 = 0.

~x =

(0

2, 5

)2x1 + 2x2 = 2× 0 + 2× 2, 5 = 5 6= 6.


Exemplo 2.

(0, 0002 2 5

2 2 6

)(

0, 2× 10−3 0, 2× 101 0, 5× 101

0, 2× 101 0, 2× 101 0, 6× 101

)(

0, 2× 101 0, 2× 101 0, 6× 101

0, 2× 10−3 0, 2× 101 0, 5× 101

)a11 = 0, 2× 101 m =

0, 2× 10−3

0, 2× 101= 0, 1× 10−3.

L2 = L2 −m × L1

a21 = a21 −m × a11 = 0, 2× 10−3 − 0, 1× 10−3 × 0, 2× 101 =

0, 2× 10−3 − 0, 2× 10−3 = 0.


(0, 2× 101 0, 2× 101 0, 6× 101

0, 2× 10−3 0, 2× 101 0, 5× 101

)a22 = a22 −m × a12 = 0, 2× 101 − 0, 1× 10−3 × 0, 2× 101 =

0, 2× 101 − 0, 2× 10−3 = 0, 2× 101 − 0, 00002× 101 ≈ 0, 2× 101.

b2 = b2 −m × b1 = 0, 5× 101 − 0, 1× 10−3 × 0, 6× 101 =

0, 5× 101 − 0, 6× 10−3 = 0, 5× 101 − 0, 00006× 101 ≈ 0, 5× 101.(0, 2× 101 0, 2× 101 0, 6× 101

0 0, 2× 101 0, 5× 101

)0, 2× 101x2 = 0, 5× 101

x2 = 0, 25× 101 = 2, 5.

0, 2× 101x1 + 0, 2× 101x2 = 0, 6× 101

x1 = 0, 5× 100.

~x =

(0, 52, 5

)2x1 + 2x2 = 2× 0, 5 + 2× 2, 5 = 6.


Resumo do metodo de Gauss.

Inicialmente montamos a matriz aumentada, que e formada pelamatriz A de coeficientes mais o vetor ~b de constantes.

Triangularizamos a matriz usando as operacoes por linhas.

No caso de algum pivo for nulo, usamos o pivoteamento paraencontrar um novo pivo nao-nulo.

Mesmo que o pivo nao seja nulo, podemos usar o pivoteamento paraminimizar os erros de arredondamento.

Usamos a substituicao reversa para encontrar a solucao do sistema.


Bibliografia

Ruggiero, M. A. G. and LOPES, V. L. (1996).Calculo numerico.Aspectos Teoricos e Computacionais. 2a edicao, Makron.


Exercıcio

4x1 − 1x2 + 1x3 = 82x1 + 5x2 + 2x3 = 3

1x1 + 2x2 + 4x3 = 11

x1 = 1 x2 = −1 x3 = 3


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