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MATEMTICA - Professor Manuel

DIVISIBILIDADE01. MLTIPLOS E DIVISORES Sejam a e b dois nmeros naturais. Se o resto da diviso de a por b for zero, isto , se a diviso de a por b for exata, dizse que a divisvel por b (ou que a mltiplo de b). Nesse caso, diz-se ainda que b divide a. A notao b | a indica que b divide a. EXEMPLOS E.1) 2 | 6 6 divisvel por 2, pois:

6 2 0 3E.2) 3 | 15, 3 | 27 e 3 | 42 15, 27 e 42 so divisveis por 3, pois:

13 2 0 5

27 3 0 9

42 3 12 14 0

E.3) 6 divisvel por 1, 2, 3 e 6. Indicando-se o conjunto dos divisores de 6 por D(6), temos: D(6) = {1, 2, 3, 6} E.4) O zero mltiplo de qualquer nmero, mas s divisor dele mesmo. O conjunto M(a) dos mltiplos de um nmero a o conjunto dos naturais vezes a. Assim: M(2) = {0, 2,4, 6, 8, 10,...}; M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...}; M(4) = {0, 4, 8, 12, 16,...}; M(6) = {0,6,12,18,...}; D(2) = {1, 2} D(3) = {1, 3} D(4) = {1, 2,4} D(6) = {1,2,3,6}

Note que o conjunto dos mltiplos de um nmero infinito, e o conjunto dos divisores finito. Um nmero natural par quando divisvel por 2 e mpar quando no par.

02. NMEROS PRIMOS Um nmero, com exceo do nmero 1, primo quando divisvel somente por ele mesmo e pela unidade. Vamos escrever alguns nmeros naturais em ordem crescente a partir de 2. Destaquemos o 2 e risquemos todos os mltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 3 e risquemos todos os mltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 5 e risquemos todos mltiplos dele que surgem em seguida etc.2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 etc.

O conjunto P dos nmeros primos infinito e no existe nenhuma lei de formao para esses nmeros: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31,...} Note que o 2 o nico nmero par que primo. Um nmero que admite outros divisores alm da unidade e dele prprio chamado nmero mltiplo ou nmero composto. Os nmeros riscados dentre os acima so compostos.

203. REGRAS DE DIVISIBILIDADE Um nmero divisvel por:


a) 2, quando o ltimo algarismo da direita for 0,2, 4, 6 ou 8, isto , quando o nmero for par. EXEMPLOS 30, 86, 104 so nmeros divisveis por 2. b) 3, quando a soma dos algarismos que o representam formar um nmero divisvel por 3. EXEMPLOS 45 divisvel por 3, pois 4 + 5 = 9 (9 divisvel por 3); 8022 divisvel por 3, pois 8 + 0 + 2 + 2 = 12 (12 divisvel por 3). c) 4, quando o nmero expresso pelo agrupamento dos dois ltimos algarismos da direita de sua representao divisvel por 4. EXEMPLOS 124 divisvel por 4, pois 24 tambm o ; 38408 divisvel por 4, pois 08 = 8 tambm o ; 300 divisvel por 4, pois 00 ^ O tambm o . d) 5, quando o ltimo algarismo da direita for 0 ou 5. EXEMPLOS 820 divisvel por 5, pois termina em 0; 3475 divisvel por 5, pois termina em 5. e) 6, quando for divisvel ao mesmo tempo por 2 e por 3. EXEMPLOS 24 divisvel por 6, pois divisvel por 2 e por 3; 1350 divisvel por 6, pois divisvel por 2 e por 3. f) 8, quando o nmero expresso pelo agrupamento dos trs ltimos algarismos da direita de sua representao divisvel por 8. EXEMPLOS 34024 divisvel por 8, pois 024 tambm o ; 3000 divisvel por 8, pois 000 tambm o . g) 9, quando a soma dos algarismos de sua representao formar um nmero divisvel por 9. EXEMPLOS 45 divisvel por 9, pois 4 + 5 = 9 (9 divisvel por 9); 843750 divisvel por 9, pois 8 + 4 + 3 + 7 + 5 + 0 = 27 (27 divisvel por 9). h) 10, quando terminar em 0. EXEMPLOS 350 divisvel por 10; 4800 divisvel por 10.

304. DECOMPOSIO DE UM NMERO EM FATORES PRIMOS


4.1. TODO NMERO NATURAL MAIOR QUE 1 OU PRIMO OU PODE SER DECOMPOSTO NUM NICO PRODUTO DE FATORES PRIMOS. EXEMPLO Vamos decompor 90 em fatores primos. Aplicando as regras da divisibilidade, temos: 90 = 2.45; como 45 = 3.15 e 15 = 3.5, temos, igualmente, 90 = 2 . 32 . 5 90 45 15 5 1 2 3 3 5 2 . 32 . 5 DISPOSITIVO PRTICO

Pode-se observar melhor no dispositivo prtico que para decompor um nmero em seus fatores primos mais simples se fazer divises sucessivas tomando os fatores primos em ordem crescente. 4.2. CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NMERO Dado um nmero natural n, os seus divisores so determinados decompondo-se n em seus fatores primos, e, em seguida, combinando esses fatores um a um, dois a dois etc. Vamos obter o conjunto dos divisores de 42 e 504. a) 42 21 7 1 2 3 7 As combinaes dos produtos dos nmeros 2, 3 e 7 so: um a um: 2; 3; 7 dois a dois: (2.3) = 6; (2.7) = 14; (3.7) = 21 trs a trs: (2.3.7) = 42

Existe, ainda, o nmero 1, que divisor de qualquer nmero. Assim, o conjunto D(42) dos divisores de 42 : D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} DISPOSITIVO PRTICO 42 21 7 1 2 3 7 1 2 3 7 D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} 6 14 21 42

b)

504 252 126 63 21 7 1

2 2 2 3 3 7

1 2 4 8 3 9 7

6 18 14

12 36 28

24 72 56

21

42

84

168

63

126

252

504

Portanto: D(504) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504} NOTA: Demonstra-se que o nmero de divisores naturais de um nmero pode ser dado somando-se 1 a cada expoente das potncias dos fatores primos e, em seguida, multiplicando esses novos expoentes. Assim: 42 = 21 . 31 . 71 tem (1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8 divisores. 504 = 23 . 32 . 71 tem (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 4 . 3 . 2 = 24 divisores. Genericamente, o nmero: am . bn . cp . ... tem (m + 1) . (n + 1). (p + 1) ... divisores naturais.

405. MXIMO DIVISOR COMUM (m.d.c) Consideremos os conjuntos dos divisores de 24 e 30.


D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e achemos a interseo desses conjuntos: D(24)

D(30) = {1, 2, 3, 6}. D(30) so os divisores comuns a

Observamos que esse conjunto tem um mximo que 6. Como os elementos de D(24) 24 e 30, dizemos que 6 o mximo divisor comum entre 24 e 30. Indica-se m.d.c (24, 30) = 6. Portanto:

O mximo divisor comum entre dois ou mais nmeros o maior elemento da interseo dos conjuntos dos divisores dos nmeros dados. Dois ou mais nmeros so primos entre si quando o m.d.c desses nmeros 1. EXEMPLOS E.1) Os nmeros 5 e 6 so primos entre si, pois: D(5) = {1,5} D(5) D(6) = {1} D(6) = {1, 2, 3, 6} m.d.c (5, 6) = 51

E.2) Os nmeros 15, 26 e 49 so primos entre si, pois: D(15) = {1, 3, 5, 15} D(26) = {1, 2, 13, 26}; D(15) D(49) = {1, 7, 49}

D(26)

D(49) = {1}

m.d.c (15, 26, 49) = 1

06. MNIMO MLTIPLO COMUM (m.m.c.) J vimos que um nmero natural a mltiplo do nmero natural no nulo, b quando a divisvel por b. O zero mltiplo de qualquer nmero. Definimos: M(a) = {0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, ...} Particularmente, o conjunto dos mltiplos de 0 unitrio, ou seja, M(0) = {0}. Consideremos os conjuntos dos mltiplos de 4 e 6. M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...} M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, 36, ...} e achemos a interseo desses conjuntos. M(4)

M (6) = {0, 12, 24, 36, ...}. M(6) so

Observamos que esse conjunto tem um mnimo, diferente de zero, que 12. Como os elementos de M(4) mltiplos comuns a 4 e 6, dizemos que 12 o mnimo mltiplo comum entre 4 e 6. Indica-se m.m.c. (4,6) = 12. Portanto:

O mnimo mltiplo comum entre dois ou mais nmeros o menor elemento, diferente de zero, da interseo dos conjuntos dos mltiplos dos nmeros dados.

5


07. MTODO PRTICO PARA SE OBTER O M.D.C. E O M.M.C. ENTRE DOIS OU MAIS NMEROS Decompem-se os nmeros em fatores primos. Feito isso: o m.d.c. ser o produto dos fatores primos comuns, tomando cada um com o menor expoente. o m.m.c. ser o produto dos fatores primos comuns e no comuns, tomando cada um com o maior expoente.

EXEMPLOS E.1) Vamos obter m.d.c e m.m.c entre 84 e 360. 84 42 21 7 1 5 1 2 2 3 7 360 180 90 45 15 5 2 2 2 3 3 5 84 = 22 . 3 . 7 360 = 23 . 32 . 5

Portanto: m.d.c (84, 360) = 22 . 3 = 12 m.m.c (84, 360) = 23 . 32 . 7 . 5 = 2520 E.2) Sejam A = 22 . 3m . 53 e B = 31 . 5n . 7. Vamos calcular m e n, sabendo que o m.m.c (A, B) = 157500. Ora, m.m.c (A, B) = 157500 = 2 2 . 32 . 54 . 71; logo, m = 2 e n = 4.

08. PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NMEROS P.1) Se x mltiplo de a e x mltiplo de b, ento x mltiplo do m.m.c. (a; b). EXEMPLOS E.1) Se um nmero mltiplo de 2 e 3, ento mltiplo de 6 (m.m.c (2; 3)) E.2) Se um nmero mltiplo de 4 e 6, ento mltiplo de 12 (m.m.c (4; 6)) P.2) Se x divisor de a e x divisor de b, ento x divisor do m.d.c (a; b) EXEMPLOS E.1) Se um nmero divisor de 30 e 45, ento divisor de 15. Simbolicamente, podemos dizer: M(a) D(a) M(b) = M (m.m.c (a; b)) D(b) = D (m.d.c (a; b))

P.3) Sejam a e b dois nmeros naturais. O produto a . b igual ao produto do m.d.c pelo m.m.c. desses nmeros. Isto a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a; b) a = 23 . 32 . 54 e b = 2 . 33 . 7 EXEMPLOS a = 23 . 32 . 54 b = 2 . 33 . 7 a x b = 2 4 . 35 . 54 . 7 m.d.c.(a,b) = 2 . 32 m.m.c.(a,b) = 23 . 33 . 54 . 7 m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b) = 24 . 35 . 54 . 7

e, portanto, a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b).

6EXERCCIOS


01. (FATEC-SP) Um certo planeta possui dois satlites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satlites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos: Sol planeta Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol planeta Lua B ocorre a cada 48 anos. Se hoje ocorrer o alinhamento Sol planeta Lua A Lua B , ento esse fenmeno se repetir daqui a: a) b) c) d) e) 48 anos 66 anos 96 anos 144 anos 860 anos

02. (FUVEST-SP) O produto de dois nmeros inteiros positivos, que no so primos entre si, igual a 825. Ento o mximo divisor comum desses dois nmeros : a) b) c) d) e) 1 3 5 11 15

7DZIMAS PERIDICAS


a uma frao irredutvel de nmeros inteiros, isto , uma frao que no pode mais ser simplificada. b Se na fatorao de b s tiverem os fatores 2 ou 5, ento a frao ter como resultado um decimal exato. Se pelo menos um dos fatores de b for diferente de 2 e 5, ento a frao ter como resultado um decimal inexato chamado dzima. Essas dzimas so peridicas porque nesses resultados sempre a parte no exata se repete, ou seja, apresenta um perodo.Seja

EXEMPLOS E.1)

1 = 0,333... = 0, 3 32 = 0,181818... = 0,1 8 11

E.4)

1 = 0,1666... = 0,1 6 67 = 0,58333... = 0,58 3 12

E.2)

E.5)

E.3)

9 = 1,142857142857... = 1, 142857 7

E.6)

511 = 1,0323232... = 1,032 495

As dzimas peridicas podem ser simples ou compostas. Uma dzima simples quando o perodo surge imediatamente aps a vrgula (E.1; E.2; E.3 anteriores). Uma dzima composta quando o perodo no surge imediatamente aps a vrgula (E.4; E.5; E.6 anteriores).

GERATRIZ DE UMA DZIMA PERIDICA uma frao que origina a dzima. EXEMPLOS E.1) Vamos obter o geratriz da dzima 0,333... x = 0,333... Portanto: 10x = 3,333 ... x = 0,333 ... 9x = 3 x= 10x = 3,333...

3 9

3 9 E.2) Idem para 0,181818... x = 0,181818...Assim, 0,333... = Portanto:

100x= 18,181818...

100x = 18,181818 ... x = 0,181818 ... 18 99x = 18 x= 99 Assim, 0,181818...=

18 99

8E.3) 1,2343434... x = 1,2343434... Portanto: 1000x = 1234,343434 ... 10x = 12,343434 ... 99x = 1222 x= 1000x = 1234,343434...


1222 990

611 495

EXERCCIO (UFBA) Se x =8.12,33... 9.1,3535... 1,0909... 45.0,31717 50 , calcule o valor de x.

9EXERCCIOS PROPOSTOS 01. Assinale V ou F. a) O nmero 43 primo. b) Dizemos que um natural a divisor de b, se existir um inteiro c, tal que b = a . c. c) O nmero 1500 tem 24 divisores naturais. d) O m.m.c.(24;90) 360. e) O m.d.c.(120;108) l2. f) Se x mltiplo de 12 e x mltiplo de 10, ento x mltiplo de 120. g) Se x mltiplo de 15 e x mltiplo de 18, ento x mltiplo de 90. h) Se x divisor de 360 e x divisor de 540, ento x divisor de 180. i) O nmero zero mltiplo de todos os naturais. j) m.m.c (x; y), m.d.c. (x; y) = x . y. k) Os nmeros 200 e 189 so primos entre si.

MATEMTICA - Professor Manuel07. Uma determinada cidade realiza periodicamente a festa da uva e a festa do tomate. A festa da uva acontece a cada 15 meses, e a festa do tomate, a cada 18 meses. Se as duas festas aconteceram juntas em abril de 1998, quando elas acontecero juntas novamente? a) b) c) d) e) Em outubro de 2020 Em abril de 2015 Em outubro de 2010 Em abril de 2008 Em outubro de 2005

08. Calcule: (1,2272727...) . (2,444...) (1,8333...) . (0,545454...) 09. Calcule: (1,8333) . (1,636363...) + (1,4666...) . (2,0454545...) 10. (UCSAL) Se a frao irredutvel

02. (UFMG) Os restos das divises de 247 e 315 por x so 7 e 3, respectivamente. Os restos das divises de 167 e 213 por y so 5 e 3, respectivamente. O maior valor possvel para a soma x + y : a) b) c) d) e) 36 34 25 30 18

a a geratriz da b dzima peridica 1, 0353535..., ento a soma a + b igual a:a) b) c) d) e) 28 118 225 309 403

11. (UCSAL) Seja M um dos nmeros naturais escritos com trs algarismos, que divididos por 2 ou 3, ou 5 ou 7 deixam resto 1. A soma dos algarismos de M pode ser: a) b) c) d) e) 5 6 9 8 7

03. Calcule o menor nmero natural diferente de 3 que dividido por 4, 6 e 9 deixa sempre resto 3.

04. (UCSAL-99) Somando 589 a um nmero positivo x, obtm-se um nmero que divisvel por 2, por 3 e por 7. O menor valor que x pode assumir satisfaz condio: a) b) c) d) e) 30 < x < 42 25 < x < 30 10 < x < 20 5 < x < 10 03 7 + 2 > 3 + 2, ou seja, 9 > 5 x3>0 x 3 + (3) > 0 + (3), ou seja, x > 3 x+4>2 x + 4 4 > 2 4, ou seja, x > 2 P.2.) Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um nmero positivo, obtemos outra desigualdade equivalente. EXEMPLOS 7>3 7 . 2 > 3 . 2, ou seja, 14 > 6 x x >5 . (2) > 5. (2), ou seja, x > 10 2 2 12 3x > 12 > , ou seja, x > 4 3 P.3.) Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um nmero negativo, o sinal da desigualdade deve ser invertido. EXEMPLOS 7>3 7 . (1) < 3 . (-1), ou seja, 7 < 3 x > 3 x(1) < 3 . (1), ou seja, x < 3 2x 12 2x 12 , ou seja, x 6 2 2 costume resolver a inequao 2x > 12 multiplicando inicialmente ambos os membros por 1. Assim: 2x 12 2x x x 6 12

12 2

27


PRODUTOS NOTVEISExistem, alguns produtos que so muitos usados na lgebra e que, por isso, daremos um maior destaque: 01. QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 02. QUADRADO DA DIFERENA DE DOIS TERMOS (a b)2 = a2 2ab + b2 03. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENA (a + b) . (a b) = a2 b2 04. CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 05. CUBO DA DIFERENA DE DOIS TERMOS (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 06. QUADRADO DA SOMA DE TRS TERMOS (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

EXERCCIOS 01. Desenvolva a) (a + b c)2

b) (x 3)2 (2x + 3)2

c) (3x 2) . (3x + 2) (2x 3)3

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02. Sabendo-se que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a2 + b2.

FATORAOPRIMEIRO CASO: FATOR COMUM ab + ac = a . (b + c) EXEMPLOS

SEGUNDO CASO: AGRUPAMENTO ab + ac + bd + cd = a. (b + c) + d. (b + c) = (b + c) . (a + d)

ab + ac + bd + cd = (b + c) . (a + d) EXEMPLOS

TERCEIRO CASO: DIFERENA DE QUADRADOS a2 b2 = (a + b) . (a b) EXEMPLOS

QUARTO CASO: TRINMIO QUADRADO PERFEITO a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 EXEMPLOS

29


QUINTO CASO: TRINMIO DO SEGUNDO GRAU ax2 + bx + c = a . (x x) . (x x) EXEMPLOS

SEXTO CASO: CUBO PERFEITO a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3 EXEMPLOS

STIMO CASO: SOMA OU DIFERENA DE CUBOS a3 + b3 = (a + b) . (a2 ab + b2) a3 b3 = (a b) . (a2 + ab + b2) EXEMPLOS

30


EXERCCIOS 01. Fatore: a) x2 2x2 9x + 18

b) 4x2 - 25

c) 9x2 - 6x + 1

d) x2 x 6

e) x3 = 6x2 + 12x + 8

f) x3 - 27

02. Simplifique

x3

x 2 2x 8 x3 8 . 2 . 4x 2 4x 16 x 2x 4

31


POTNCIAS01. DEFINIES Seja a um nmero real e n um nmero natural maior que 1. Temos:

an

a . a . a . ... a n vezes

a0n

1

a1

a

a

1 , com a an

0

02. PROPRIEDADES

am . an

am

n

am ana bn

am

n

a n . bn

(a . b) n

an bn

am

n

am.n

EXERCCIOS 01. Simplifique a expresso2n 2n 2n3 1

2n 2n4

2

.

02. (FATEC) Das trs sentenas abaixo: I) 2x+3 = 2x . 23

32II) (25)x = 52x III) 2x + 3x = 5x a) b) c) d) e) somente a I verdadeira. somente a II verdadeira. somente a III verdadeira. somente a II falsa. somente a III falsa.


RAZES 01. DEFINIES 1.1. Seja n um nmero natural par e no nulo e seja a um nmero real no negativo.n

a

b

bn

aeb R

1.2. Seja n um nmero natural mpar e seja a um nmero real.n

a

b

bn

a

EXEMPLOS E.1) E.2) E.3) E.4)3 34

25 8 2716

5 2 32

E.5) E.6) E.7) E.8)3

x2 x2x3

| x |; x x; xx; x

R

0R

9

R

OBSERVAO Note que

9 = 3, e no 3.

02. POTNCIA DE EXPOENTE RACIONAL Seja am n

R* e

m n

Q (m

Zen

N*)

a

n

am

EXEMPLOS2

E.1) 2 3

3

22

3

1

4

E.2)

32

3

E.3)

5

3 4

4

5

3

4

1 125

03. PROPRIEDADES Se a P.1.)n

R+, b

R+, mn

Z, n

N* e p

N*, temos: P.3.)n

a .b

a .n b

a

m

n

am

33P.2.)n

MATEMTICA - Professor ManuelP.4.)n p

a b

n n

a b

;b

0

a

n.p

a

EXEMPLOS E.1)

4.xx 9

4 . xx 9 x 3

2 x

E.3)

3

2

2

3

4

E.2)

E.4)

3

7

6

7

EXERCCIO Simplifique: a)

8

32

72

50

b)

3

375

3

24

3

81

3

192

04. RACIONALIZAO DE DENOMINADORES Racionalizar o denominador de uma frao significa eliminar todos os radicais deste denominador, sem com isso alterar o valor da frao. EXEMPLOS E.1)

1 3 2 3 10

1 3

.

3 3 10 10

3 3 2 10 30 10 15

E.2)

2 3 10

.

E.3)

103

103

3

.

22 22

2 1

2 17

3

103 4 2 a4 a47

53 4

7

E.4)

7

a3

a3

.

7

a4 a

34E.5)

MATEMTICA - Professor Manuel2. 5 2

6 5 2 5

6 2

.

5 5

2 2

6.

5 2 5 2

EXERCCIOS 01. Racionalize: a)

10 5

b)

63

18

c)

15 5 3

d)

1 1 2 3

e)

3 2

2 3

02. (UCSAL-00) Simplificando-se6

3 2 32

, obtm-se:

a) 3 2

4

b) 3 2

2

35c)


3 2 4 4

d)

3 2 4

e)

2 3

EQUAES DO SEGUNDO GRAU 01. DEFINIO Chama-se equao do segundo grau a toda equao da forma ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c nmeros reais, com a EXEMPLOS E.1) 3x2 + 4x 1 = 0 (a = 3, b = 4, c = 1) E.2) x2 + 2x + 8 = 0 (a = 1, b = 2, c = 8) E.3) 2x2 16 = 0 (a = 2, b = 0, c = 16) E.4) x2 5x = 0 (a = 1, b = 5, c = 0) E.5) 0.

x2 2

0 a

1 , b 2

0, c

0

Note que o termo de maior grau da equao do segundo grau ax2, com a 0, o que justifica o seu nome. Se b = 0 ou c = 0 ou b = 0 e c = 0, a equao do segundo grau dita incompleta. Se b 0 e c 0, a equao do segundo grau dita completa. As razes de uma equao do segundo grau so os valores que quando substitudos no lugar de x tornam o primeiro membro igual ao segundo membro. Note nas equaes que: E.1) x2 7x + 10 = 0, Se substituirmos x por 2 ou por 5, temos:22 52

7 . 2 10 7 . 5 10

4 14 10 25 35 10

0 0

Assim, dizemos que 2 e 5 so as razes ou zeros da equao x2 7x + 10 = 0.

E.2) 3x2 12 = 0; se substituirmos x por 2 ou por - 2, temos:3 . 2 2 12 12 12 3 . ( 2)2

0 0

Assim, dizemos que 2 e 2 so as razes ou zeros da equao 3x2 12 = 0.

12 12 12

02. RESOLUO DE EQUAES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS

36Devemos saber, antes de tudo, que vlida a equivalncia A . B = 0 PRIMEIRO TIPO ax2 + bx = 0 SOLUO ax2 + bx = 0 x .(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0 (c = 0)

MATEMTICA - Professor ManuelA = 0 ou B = 0.

xS 0; b a

b a

SEGUNDO TIPO ax2 + c = 0 SOLUO ax2 + c = 0 ax2 = c c x2 = a c x ; com a Se Sec a

(b = 0)

c ac a

0

0, S =

c < 0, S = a

03. RESOLUO DE EQUAES COMPLETAS Na prtica, a soluo da equao do segundo grau completa feita com a frmula de Bskara. Vejamos a deduo dessa frmula: ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = c (x 4a)

4a2x2 + 4abx = 4ac (+b2) 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac (2ax + b)2 = b2 4ac 2ax + b = b 2 2ax = b b 2

4ac4ac

37x b b2 2a 4ac


, sendo b2 4ac = , que chamado discriminante da equao do segundo grau.

Portanto as razes da equao so:

x'

b 2a

e x"

b 2a

OBSERVAES Se Se Se > 0, a equao possui duas razes reais distintas. = 0, a equao possui duas razes reais iguais. < 0, a equao no possui razes reais.

04. RELAO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAZES Existem duas relaes importantes numa equao do tipo ax 2 + bx + c = 0 que envolvem as razes x e x e os coeficientes a, b, e c. PRIMEIRA RELAO: SOMA DAS RAZES

x'Somando-se membro a membro as igualdades a seguir, temos

b 2a b 2a x' x" b 2a b 2b 2a b a

x"

Portanto: x ' . x"

b a

SEGUNDA RELAO: PRODUTO DAS RAZES

x' x"

b 2a b 2ac a

x ' . x"

b 2a

.

b 2a

( b) 2 4a 2

b2

b 2 4ac 4a 2

4ac 4a 2

c a

Portanto: x ' . x"

05. EQUAES BIQUADRADAS 5.1. DEFINIO

38


Chama-se equao biquadrada a equao do quarto grau incompleta que possui o aspecto ax4 + bx2 + c = 0, sendo a, b e c nmeros reais, com a 0. EXEMPLOS E.1) 5x4 + 4x2 + 1 = 0 E.2) x4 3x2 + 2 = 0 E.3) x4 81 = 0 5.2. RESOLUO DE EQUAO BIQUADRADA Toda equao do tipo ax4 + bx2 + c = 0 equivalente ao modelo a(x2)2 + b(x)2 + c = 0. Fazendo x2 = y, temos: ay2 + by + c = 0, que uma equao do segundo grau de varivel y. Nela, encontramos as razes y e y e da:

x2

y

x2 x2

y' y"

x x

y' y"

EXEMPLOS E.1) Vejamos qual o conjunto verdade da equao x4 10x2 + 9 = 0 SOLUO A equao equivalente a (x2)2 10x2 + 9 = 0 Fazendo x2 = y, temos: y2 10y + 9 = 0, cujas razes so y = 9 e y = 1.x x 9 1 3 1 ; y = {3, 1, 1, 3}

Ora, x =

y

EQUAES IRRACIONAIS01. DEFINIO Chama-se equao irracional equao que apresenta incgnita sob radical. EXEMPLOS E.1) E.2) E.3) E.4)3

x 5

2

x 11x 7 2x 10

x 12 9 x 2 x 7x 4

02. RESOLUO DE EQUAES IRRACIONAIS Para resolvermos equaes irracionais, devemos eliminar os radicais da equao e, ao final, verificarmos as solues.

39Convm lembrar que: a=b a2 = b2 (verdadeiro) 2 2 a =b a = b (falso) a=b a2 = b2 (falso) EXEMPLOS E.1)3


x 5

2 . Elevando membro a membro ao cubo, temos:

x 5 = 8; x = 13. importante verificar, aps a resoluo da equao, se a soluo realmente satisfaz. VERIFICAO x = 133

13 5

2

3

8 =2

2 = 2 (V)

Assim: V = {13}

E.2)

x 11 = x 1; elevando membro a membro ao quadrado, temos:x + 11 = (x 1)2 x + 11 = x2 2x + 1 x2 + 3x 10 = 0; x = 5 e x = 2 VERIFICAO x = 5 x = 2

5 11

5 1

16

4

4

4

(V)

2 11

2 1

9

3

3

3

(F)

Note que apesar de 3 3, temos 32 = (3)2. Portanto, quando se elevou ao quadrado os membros da equao, uma das solues, x = 2, era estranha. Assim: V = {5} Para se resolver as equaes do segundo tipo, convm isolar em um dos membros duas das expresses que contm as razes. Vamos resolver as equaes E.3 e E.4. E.3)

x

7

2

9

x

Isolando-se as razes do primeiro membro, temos:

xx

77

xx2

7 ; elevando ambos os membros ao quadrado, temos:72

x + 7 + 2 (x 7)x

x

49

2 x2

7x

42 2x

40Dividindo por 2, temos:


x2

7x

21 x

Elevando ambos os membros outra vez ao quadrado, temos: x2 + 7x = (21 x)2 x2 + 7x = 441 42x = x2 49x = 441

x

441 49

9

VERIFICAO x=9

9 7

2

9

9

16

2

9 3

4 2

6

(V)

Assim: V = {9}

E.4)

2x 10

x 2

7x

4

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:2 x 10 x 22

7x 2 4x

4 x 4

2

2 x 10 2 2 x 10 x 2 2x 2 4 x 10 x 20

2

7x

4

Dividindo por 2, temos:

2x 2

6x 20

2x 2 ;

elevando ambos os membros ao quadrado, temos: 2x2 + 6x 20 = (2x 2)2 2x2 + 6x 20 = 4x2 - 8x + 4 2x2 + 14x 24 = 0 :(2) x2 7x + 12 = 0; logo, x = 4 e x = 3. VERIFICAO Na equao inicial (antes de elevarmos os dois membros ao quadrado), vamos substituir as razes x = 4 e x = 3 encontradas. x = 4 x = 3

2 . 4 102 . 3 10

4 23 2

7.4 47.3 4

1816

21

3225

3 24 1 5

2

4 2(V)

4 2

(V)

Assim: V = {3,4} E.5) Resolvamos a equao

x2

6x 9

x2

6x

1.

41SOLUO


Como vemos, esta equao do segundo tipo e, portanto, se recorrermos ao mesmo processo das anteriores, teremos que elev-la duas vezes ao quadrado para eliminar os radicais. Entretanto, chegaramos, desta forma, a uma equao do quarto grau, de difcil soluo para o nosso curso. Por outro lado, verifiquemos que na equao dois radicais. Faremos, portanto, x2 + 6x = y. Assim:

x2

6x 9

x2

6x

1 , a expresso x2 + 6x comum aos

y 9

y

1

Elevando os dois membros ao quadrado, temos: y+9=y+2 y

1

2 y

8

Dividindo a equao por 2, temos:

y

4

y 16

Voltando condio x2 + 6x = y, temos: x2 + 6x = 16 x2 + 6x - 16 = 0; logo, x = 8 e x = 2. Pode-se verificar na equao inicial que ambas as solues satisfazem. Assim: V = { 8, 2}

EXERCCIOS01. Resolva as seguintes equaes: a) x +

05. Fatore: a) b) c) d) e) x2 + 2xy + 5x + 10y x2y2 9 4x2 - 4xy2 + y4 x3 8y3 6x2y + 12xy2 x2 + 2x 15

x 2

14

06. Simplifique: b)

5x 1

3x

x 2

a) b) c)

x3

5x 2 4 x 20 x3 8 . 2 x 2 4x 4 x 3x 10

6x 2 y 7 xy 2 y 12x 2 14x 9x 2 12x 4x3 3x 2 3x 1 x 2 x 1 . x2 x x3 1

4

.

y 2 y2 4

EXERCCIOS PROPOSTOS01. Desenvolva: a) (2x 3) + (1 + 2x) . (1 2x) b) (x2 + 2x)2 (x 2)3 c) (3x + 1)3 + (x2 4x 3)2 02. Sendo x + y + z = 10 e xy + xz + yz = 30, calcule x2 + y2 + z2. 03. Sabendo que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a3 + b3.2

07. Se M

b a e N 1 1 ab M ento calcule . N ax2

ab a 2 , com ab 1 ab

-1,

08. Simplifique a expresso

5ax 6a 2 . x 2 9a 2 a 3 a 2b . 6a 4 b 3a 3 b 2

09. Simplifique a expresso 04. Calcule o valor da expresso E = x3 3x2y + 3xy2 y3 para x = 117 e y = 115.

3a 5

10. Se 2x + 22 = a, ento 8x + 8x igual a:

42a) b) c) d) e) a a2 a a3 3a a3 - a NRA3

MATEMTICA - Professor Manuel19. Na equao x2 8x + p 1 = 0, uma raiz o triplo da outra. Calcule. 20. Calcule a soma dos inversos das razes da equao 3x2 + 7x 5 = 0. 21. Sendo a e b as razes da equao 2x2 5x + m = 3, 1 1 4 ento se , qual o valor de m? a b 3 22. Se a soma das razes da equao (x 5) . (x + p) = 1 7, qual o valor do produto das razes? 23. Determine o conjunto soluo das seguintes equaes: a) (x + 3)2 = (x 1) . (x + 5) 5 2x 3 b) 1 x 4 x 4 c) 5x + 4 . (x 1) = 9x 4 d) 6 . (x + 2) 4x = 2 . (x + 1) + 4 24. Determine o conjunto soluo das seguintes inequaes:

11. A expresso 2 equivalente a:

a2 b2

b2 a2

2 , para a > 0 e b > 0

a b a.b b) a + b + 2a)

b) 2 c) ab (a b) 2 d) a 2b2 (a

12. Racionalize: a) b) c) d)

20 3 5 124

7215 5 3

2x 3 5 3x 1 3x 2 3 6 b) 4 . (x 2) (3x+2) > 5x 6 4 . (x 1) c) 6 . (x + 2) 2 . (3x + 2) > 2 .(3x 1) 3 (2x 1)a) 25. Resolva os sistemas:x 2 1 x y 3 2 y 5 1 xy

11 1 3 53

a)5,49 e6

13. Qual o maior entre os nmeros 14. Simplifique a expresso 2 2 15. Calcule o valor

20 ?

b)1 1 2 1 1 2

2 x 3y 3xx2

5 97

4yy2

. c)

da .

expresso

x . y 12

5 316. Sea b

3 1 3>b a .2

1ea

.

2 4 3bb1

26. Resolva as seguintes equaes: a) b) c)3

1> 0, a expresso

a

0

2 5 x 1x 9

31

3 ab igual a ...

x2

9

x 18 15

17. A equao 3x + bx + c = 0 tem razes 1 e 4. Os valores dos coeficientes b e c so, respectivamente: a) 5 e 4 b) 5 e 4 c) 5 e 12 d) -15 e 12 e) 15 e 12 18. Na equao do segundo grau x2 + 3mx + m 7 = 0, se as razes so opostas, calcule m.

x2

2 9

d) e)

x2 x

x 3 x 11

x2 3

x 3

GABARITO

4301. a) 10-12x b) x4 + 3x3 + 10x2 l2x + 8 c) x4 + 19x3 + 37x2 + 33x + 10 02. 40 03. 400 04. 8 05. a) (x + 5) . (x + 2y) b) (xy + 3) (xy 3) c) (2x y2)2 d) (x 2y)3 e) (x + 5) (x 3) 06. a) x2 + 2x + 4 2x 1 b) 3x 2 x 1 c) x 07. b x 2a 08. x 3a 1 09. 3a (a b) 10. C 11. C 12. a) b) c)

MATEMTICA - Professor Manuelx 12 10 x 15 15

P1. A equao x

equivalente a

xa) b) c) d) e)

a , a e b primos entre si. Ento a + b um: bnmero primo. nmero par. divisor de 7. mltiplo de 3. quadrado perfeito.

P2. Distribu R$ 570,00 entre trs pobres. Sabe-se que o 2o recebeu a tera parte do 1o, o 3o recebeu R$ 70,00 a mais que o 2o e que ainda sobraram R$ 50,00. Calcule quanto recebeu cada pobre. P3. A soma das idades de pai e filho 44 anos. H 4 anos a idade do pai era o quntuplo da idade do filho. Quais as idades atuais? P4. Eu tenho a idade que tu tinhas quando eu tinha a metade da idade que tu tens. Se a soma das nossas idades atualmente vale 35 anos, calcular as nossas idades. P5. Um co persegue uma lebre, que leva 48 saltos seus de dianteira. O co d 3 saltos enquanto a lebre d 5, e 5 saltos do co valem 11 saltos da lebre. Quantos saltos dar o co para alcanar a lebre?

4 5 3 4 2 18 5 3 3 5

2 d) 7 3 313. 9 14. Zero 15. 2 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.4

5

2 15

P6. Numa rvore tm-se galhos e passarinhos. Se pousar um passarinho em cada galho, fica um passarinho sem galho; se pousarem dois passarinhos em cada galho, fica um galho sem passarinho. Calcule o produto entre o nmero de passarinhos e o nmero de galhos. P7. Numa cesta de capacidade para trs dzias de ovos, temos ovos caipira e de granja. Foram retirados trs quartos dos ovos caipira e a cesta reduziu seu nmero de ovos tera parte. Sendo assim, a razo entre o nmero de ovos de granja e caipira que possui a cesta, inicialmente, vale:

24.

25.

26.

4 ab D m=0 p = 13 7 5 27 4 11 a) {7} b) c) R d) a) S = {x R/x > 3} b) c) R a) {(4; 9)} b) {(7; 3)} c) {(4; 3); (4; 3)} a) {24} b) {34} c) {4;4} d) {3; 2} e) {5}

1 8 1 b) 5 1 c) 2a)

5 7 7 e) 5d)

P8. O sistema de equaes lineares solues e, e s se: a) m b) m c) m d) m e) m 2 1 1 2 0

2x mx

y 1 y x

tem

3 2

EXERCCIOS PROPOSTOS

44


x

y 3z x 4

7

P9. Se x, y e z satisfazem condio ento x + y + z vale: a) b) c) d) e) 5 2 0 11 6

2y 2x

,

y z 1

P10. O conjunto de valores reais que soluciona a equao 3x 5 3 1 no universo R : 2 x 1 x 1 x 1 a) b) c) d) e) {1} R { 1} R {0} {3}

P11. Se ocorre x y = 2 e x . y = 5, ento

1 x

1 vale: y

a) b) 6 3 c) 2 d) 1 1 e) 6

2 5

P12. A equao do segundo grau (3x 1)2 + (2x 1) . (2x + 1) = 0 possui as razes x1 e x2. Determine, ento, o valor de x1 + x2. 0,4 6/13 3 5 1 e) 2 a) b) c) d)

P13. A diferena entre o quadrado da soma de um nmero com 3 e o dobro do produto desse nmero pelo seu consecutivo 13. Esse nmero : a) b) c) d) e) 1 5 2 3 6

45


P14. Qual

o2

conjunto1 em R.

soluo

da

equao

12 x x x2 9

a)

3,

7 2

b) {2} 7 c) 2 d) {5} e) P15. A soma de dois nmeros p e a soma dos recprocos (inversos) desses nmeros vale q. Logo, o produto dos nmeros : a) p . q p b) q q c) p d) pq p e) p2 q + pq2 P16. Dizer qual o conjunto soluo 2x 6 x 6x 3 em R. x 3 5( x 3) x2 9 da equao

P17. O valor absoluto da diferena entre a soma e o produto das razes da equao 2x2 + 10x 3 = 0 : a) 3 b) 5 7 c) 2 5 d) 3 e) 0 P18. A equao do segundo grau 2x2 kx + 3 = 0 possui 1 como uma de suas razes. Ento a outra raiz : a) b) c) d) e) 3/2 1 0 1/2 5/2 = 0 possui 5 como raiz

P19. Se a equao x2 2 x + dupla, ento . : a) 10 b) 125 c) 87

46d) 160 e) 25


P20. Observe a equao do segundo grau 2x2 mx + n = 0; a assero falsa : a) b) c) d) e) Se seus zeros so simtricos, ento m = 0. Se uma das razes nula, ento n = 0. Se seus zeros so recprocos, ento n = 2. Se a diferena dos seus zeros for nula, ento m2 = 8n. Se uma das razes nula, ento a outra raiz n.

P21. As razes da equao do segundo grau 3x2 15x + = 0, constante, diferem de uma unidade; sendo assim, um elemento do conjunto. a) b) c) d) e) {2, 7, 13} {0, 1, 5} {l2, 15, 20) {7, 18, 19} {11, 4, 8}

P22. Considerando a equao 2x2 + mx 8 = 0 de razes x x2 2 , as razes x1 e x2 e sabendo-se que 1 x2 x1 dessa equao formam o conjunto: a) b) c) d) e) {x/x = 0 ou x = 1} {x/x = 1/2 ou x =2} {x/x = 1 ou x = 2} {x/x = 2} {x/x = 1/2}

P23. Resolva a equao x4 x2 12 = 0, em R. P24. Resolva a equao x6 + 7x3 8 = 0. P25. Resolva a equao (x3 1)2 5(x3 1) 14 = 0.

P26. A equao do segundo grau cujas razes so 2 e 2 a) b) c) d) e)

3

3 :

2x2 + x 1 = 0 x2 + x 3 = 0 3x2 + 7x + 2 = 0 x2 4x + 1 = 0 x2 x 1 = 0

47P27. O conjunto soluo da equao possui quantos elementos? a) b) c) d) e) um dois trs quatro infinitos3


2x

1 x

1

P28. Resolva

x

3

x 39 .

P29. Quantas

solues

reais

possui

a

equao

5x 1a) b) c) d) e)

x 2

1 2x ?

zero uma duas trs mais de trs

P30. Calcule

a

soma

das

razes

da

equao

x2

3x

1

x2

3x 5 .

P31. Calcule3 3

as3

razes

da

equao

x

2

2 x3

2 x

x2

2.

P32. Sabendo-se que ento xy vale: a) b) c) d) e) 3 4 5 6 7

x

y

6 e que x + y = 32,

P33. Resolver a equao x3 x

2 x em R.

P34. O conjunto de 2 x 3x 1 2 3 a) ( ,2] 2 , b) 3 c)

nmeros

reais

x

para

que

1 forma o intervalo real:

,

2 3

d) ( ,0]

48e) (-1,+ )


P35. Resolvendo a inequao

x 2 1 2x 2 3 obtemos o conjunto S como soluo. Ento verdadeiro que:a) b) c) d) e)2 S

5 x, 4

S 13 S 1/2 S 9 S P36. O maior nmero inteiro que satisfaz condio 2x 1,5 1 x, 1 2 1 1 2 a) 1 b) 0 c) 1 d) 5 e) 7

P37. O conjunto de reais x que satisfazem condio x 2 3 1 3 2x 6 0 : 7 x 0

a) b) c) d) e)

(3,7] (7,3] (5, + ) (7, 5) [3, + ) [3,5)

P38. O sistema de inequaes

1 x 0

2x 1 3

1

tem para

soluo o conjunto: a) b) c) d) e) ( ,1] (1, 0) (1, 0] (1, 2)

P39. Calcular as razes da equao x2(x + 3) = 4(x + 3). P40. A soma dos zeros da equao x(x2 1) = 2 . (x + 1)2 : a) b) 0 2

49c) d) e)


3 5 5 3 2

P41. Resolva a equao

x 3 9x x 3das

10

0.

P42. Calcular

o

produto

razes

da

equao

x

2

2x 3 x 3

2x 2

0.

P43. Qual2

o

conjunto25 x2

soluo0?

da

equao

x 5x 6 2 x x 6

9

P44. Um dos valores de x para que

x2y x2

xy 2 xy 3

6

:

a) b) c) d) e)

3 7 11 3/2 1/2

P45. Duas pessoas empregam, juntas, RS 144.000,00 na compra de aes que rendem 6% ao ano. Anualmente, a primeira recebe R$ 1.200,00 a mais que a segunda. Qual o capital que cada uma empregou? P46. Uma mistura de 20m constituda de duas substncias, A e B, nas propores 25% e 75%, respectivamente. Sabendo que para um mesmo volume a substncia A pesa o dobro de B, que percentagem do peso total da mistura representa o peso de A? P47. Uma torneira consegue encher um tanque vazio em duas horas. Outra torneira consegue realizar o mesmo trabalho em seis horas. Estando o tanque cheio, um ralo o esvazia em x horas. Estando o tanque vazio e colocando-se as duas torneiras juntas em funcionamento com o ralo aberto, o tanque fica cheio em 12/5 horas. Quanto vale x? P48. Uma casa deve ser construda em 12 meses. Para isso, precisa-se de 24 serventes, cada um trabalhando 15h/dia. Dois meses aps o incio da obra, 25% dos serventes foram demitidos, e o restante dos serventes ficou com a incumbncia de terminar a obra no prazo determinado. Quantas horas por dia passar a trabalhar o restante dos serventes? P49. Se 2x + 2x = , calcule 8x + 8x.

50P50. Se a + b c = 0, provar que a3 + b3 c3 = 3 abc. P51. Provar a veracidade da sentena: Existe x que (x2 + x) Z. P52. Racionalize os denominadores: a) b) c) Q tal


4 52 6 3 15

1

326 2 5 .

P53. Simplificar o radical

P54. Simplificar a expresso

7 4 3

7

4 3 .

P55. Calcule o valor de x

2

2

2 ...

.

P56. Duas rodas de engrenagem tm 40 e 60 dentes, cada uma com um dente estragado. Se, num dado instante, esses dois dentes esto em contato, quantas voltas a roda pequena dar para que se repita esse encontro?

P57. Um terreno de forma triangular tem lados de medidas 18 m, 24 m e 30 m. Deve-se cercar esse terreno com estacas espaadas igualmente, mxima distncia possvel. Qual deve ser distncia entre as estacas?

P58. Determinar o maior nmero pelo qual se deve dividir 423, 796, 1585 para se obter os restos 3, 4 e 1, respectivamente.

P59. Uma senhora possui uma cesta com ovos para distribuir entre os seus 3 filhos. Ao primeiro filho ela deu metade dos ovos da cesta mais meio ovo; ao segundo filho ela deu a metade dos ovos restantes mais meio ovo, e, ao terceiro filho, ela deu metade do novo resto mais meio ovo, ficando sem nada. Quantos ovos havia na cesta?

P60. (UFBA-99) Uma herana de R$ 525.000,00 foi dividida entre duas famlias, uma com 25 pessoas e outra com 30 pessoas, de maneira tal que a quantia recebida por um dos membros da famlia menor, somada recebida por um dos membros da famlia maior, foi igual a R$ 20.000,00. Todos os membros de uma mesma famlia receberam quantias idnticas.

51Se cada pessoa da famlia menor recebeu x mil reais, calcule x.


P61. (UFBA-01) Um teatro colocou venda, ingressos para um espetculo, com trs preos diferenciados de acordo com a localizao da poltrona. Esses ingressos, a depender do preo, apresentavam cores distintas: azul, branco e vermelho. Observando-se quatro pessoas na fila da bilheteria, constatou-se o seguinte: a primeira comprou 2 ingressos azuis, 2 brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00; a segunda comprou 2 ingressos brancos e 3 vermelhos e gastou R$ 184,00, e a terceira pessoa comprou 3 ingressos brancos e 2 vermelhos, gastando R$ 176,00. Sabendo-se que a quarta pessoa comprou apenas 3 ingressos azuis, calcule, em reais, quanto ela gastou.

GABARITO 01. 02. A 1 ) R$ 270,00 2a) R$ 90,00 3a) R$ 160,00 Pai: 34 anos Filho: 10 anos 15 e 20 90 12 A B B E A B Ca

33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.

03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13.

V 0, 2, 25 2 C C B E C V = {3,2, +2} B V = {2, 5} 1/2 V = {2, 8} A V = R$ 82.000,00 R$62.000,00 40% 4

5214. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. C B V = {13} C A B E c) D D V = {2, +2} V = {1, 2} V = {1, 2} D A V = {25} A 3 2 e 1 B 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 48. 49. 50. 51. 52. 20h/dia 3 3 Demonstrao Demonstrao a)5


527 3

1

b) 2 2

5 1 4 2 3 voltas 6m 12 07 15 84

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