sld_1

Unidade I

MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA

Prof. Luiz Felix

Matemática financeira

A Matemática Financeira estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo.Do ponto de vista matemático, um determinado valor a qualquer época é chamado de Capital.

Juros

Juros são a remuneração de um capital aplicado a uma taxa estipulada previamente durante um determinado prazo. A incidência de juros é resultado de vários fatores, dentre os quais podemos destacar:

Inflação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo.Ri j bidRisco: os juros recebidos representam garantia contra possíveis riscos do investimento.

A soma do Capital com os Juros é chamada de Montante.

Abreviaturas

Taxa de juros

A taxa de juros, simbolizada pela letra i, pode se apresentar na forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária (exemplo: 0,11).

Taxa Transformação TaxaTaxa Percentual

Transformação Taxa Unitária

40% a.m. 40100

0,40 a.m.

4% a.a. 4 0,04 a.a.100

24,5% a.d. 24,5100

0,245 a.d.

Taxas de juros - Exercícios

Passe para a forma unitária os seguintes valores:

0,5% a.a. 0,005 a.a.2% a.s. 0,02 a.s.17 5% a d 0 175 a d17,5% a.d. 0,175 a.d.

Passe para a forma percentual os seguintes valores:

0,003 a.b. 0,3% a.b.0,04 a.m. 4% a.m.0,0 a % a0,18 a.d. 18% a.d.


Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 50 dias. Aoassinar o contrato, o devedor secomprometeu a devolver R$ 5.250,00.a) Qual o juro?

Montante = Capital + Juro ou M = C + J 5250 = 5000 + J 5250 – 5000 = JJ = 250

b) Qual a taxa unitária de juro?i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias

P 5000c) Qual a taxa percentual de juro?

i = 0,05 x 100 = 5% em 50 dias


Um bolo é vendido por R$ 35,00a) Se seu preço fosse acrescido de 15%,

quanto o bolo passaria a custar?Preço = 35 + 15 . 35 = 35 + 0,15 . 35

100100 Preço = 35 + 5,25 = R$ 40,25b) Se fosse anunciado um desconto de 30%

sobre o preço original do bolo, quanto o bolo passaria a custar?

Preço = 35 – 30 . 35 = 35 – 0,3 . 35 100

Preço = 35 – 10,5 = R$ 24,50

Juros simples

Juros de cada período incide sobre o capital inicial aplicado - Juros não rendem jurosCrescimento linear ou em Progressão AritméticaPoucas são as operações financeiras e comerciais

Juros simples

Juros simples – Taxas proporcionais

Importante: O prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempoExemplos:

36% a.a. = 36/12 = 3% ao mês36% a.a. = 36/6 = 6% ao bimestre36% a.a. = 36/4 = 9% ao trimestre36% a.a. = 36/2 = 18% ao semestre

Juros simples – Exercíciostaxas proporcionais

Qual a taxa mensal proporcional a 8% ao bimestre? Resposta: 8/2 = 4% ao mêsQual a taxa mensal proporcional a 3% ao trimestre? Resposta: 3/3 = 1% ao mêsQual a taxa mensal proporcional a 24% ao semestre? Resposta: 24/6 = 4% ao mês

Interatividade

Em juros simples, qual a taxa anual proporcional a 2% ao mês? a) 0,16% ao anob) 0,5% ao anoc) 6% ao anoc) 6% ao anod) 12% ao anoe) 24% ao ano

Juros simples - fórmulas

J = C . i . n Onde:

J = jurosC = capitali = taxa de jurosn = número de períodos

M = C + J ou M = C.(1 + i.n)Onde:

M = montante

Juros simples - exemplo

Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação?

C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?J = C.i.n M = C + JJ = 3000 . 2 . 5 M = 3000 + 30000J = 30000 M = 33000J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00 Resolução incorreta


Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juro e qual será o montante ao fim dessa aplicação?

C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?J = C.i.n M = C + JJ = 3000 . 0,02 . 5 M = 3000 + 300J = 300 M = 3300J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00


Um investidor aplicou R$ 15.000,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples?

C = 15000 n = 80 dias i = 30% a.a. J = ?J = C.i.nJ = 15000 . 0,3 . 80J = 360000J = R$ 360.000,00Resolução incorreta


Um investidor aplicou R$ 15.000,00 à taxa de 30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 dias, sob regime de juro simples?

C = 15000 n = 80 dias i = 30% a.a. = 2,5% a.m. = 0,0833% a.d.J = ?J = C.i.nJ = 15000 . 0,0000833 . 80J = 999,6J = R$ 999,60


Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a juro simples, para obter R$ 6.000,00 de juro em 4 meses.

C = ? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 mesesJ = C.i.nJ C.i.n6000 = C . 0,06 . 46000 = C . 0,24C = 6000 = 25000

0,240,C = R$ 25.000,00

Juro exato e juro comercial

Juro Exato: Utiliza o calendário do anocivil com 365 dias.Juro Comercial: Admite o mês com 30dias e o ano com 360 dias.

Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, peloExemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelocritério de juros simples, à taxa diária de:a) Juro Exato: 30% = 0,08219% ao dia

365 diasb) Juro Comercial: 30% = 0,08333% ao dia

360 dias

Fluxo de caixa

Linha Horizontal é a escala do tempoO ponto 0 indica o ponto inicialDemais pontos representam outros períodos de tempo (datas)

0 1 2 3 4 5 6 7

Entradas de Caixa ( + )

Saídas de Caixa ( - )

tempo

Interatividade

Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a uma taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias.a) R$ 150,00b) R$ 23.400,00b) R$ 23.400,00 c) R$ 702,00 d) R$ 70.200,00e) R$ 234,00

Juros compostos

Juros de cada período incide sobre o capital do início do período (saldo) -Juros rendem jurosCrescimento exponencial ou em Progressão GeométricaÉ o mais comum no sistema financeiro

Juros compostos

Suponha que R$100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:

Juros compostos - Taxas equivalentes

Importante: O prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo

iq = (1 + i)q – 1q

iq = (1 + i)1/q – 1q = número de períodos de capitalização

Lembrete: q√ 1+ i – 1 = (1 + i)1/q – 1 Sugestão: Calculadora com x^y

Juros compostos – exercíciosTaxas equivalentes

Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t. ?

Trimestre Anual iq = (1 + i)q – 1 1 trimestre 4 trimestres

i = (1 + 0 0745)4 1iq = (1 + 0,0745)4 – 1 iq = (1,0745)4 – 1iq = 1,3330 – 1 iq = 0,3330i = 33 30% a aiq = 33,30% a.a.


Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 1,8% a.m. ?

Mês Anual iq = (1 + i)q – 1 1 mês 12 meses

i = (1 + 0 018)12 1iq = (1 + 0,018)12 – 1 iq = (1,018)12 – 1iq = 1,2387 – 1 iq = 0,2387i = 23 87% a aiq = 23,87% a.a.


Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 0,14% a.d. ?

Dia Dias iq = (1 + i)q – 1 1 dia 23 dias

i = (1 + 0 0014)23 1iq = (1 + 0,0014)23 – 1 iq = (1,0014)23 – 1iq = 1,0327 – 1 iq = 0,0327i = 3 27% para 23 diasiq = 3,27% para 23 dias


Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente a 34% a.a. ?

Semestral Anual iq = (1 + i)1/q – 12 semestres 1 ano

i = (1 + 0 34) 1/2 1iq = (1 + 0,34) 1/2 – 1 iq = (1,34) 1/2 – 1iq = 1,1576 – 1 iq = 0,1576i = 15 76% a miq = 15,76% a.m.


Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 21% a.t. ?

Mensal Trimestral iq = (1 + i)1/q – 13 meses 1 trimestre

i = (1 + 0 21) 1/3 1iq = (1 + 0,21) 1/3 – 1 iq = (1,21) 1/3 – 1iq = 1,0656 – 1 iq = 0,0656i = 6 56% a tiq = 6,56% a.t.

Interatividade

Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s. ? a) 10,39% a.m.b) 5,50% a.m.c) 7% a mc) 7% a.m.d) 4,43% a.me) 15% a.m.

Juros compostos - Fórmula

M = C.(1 + i)n

Onde:M = montanteC = capitali = taxa de jurosn = número de períodos

Juros compostos - Exemplo

Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados?

C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n

M = 6000.(1+0,02)3

M = 6000.(1,02)3 = 6000.3,06 = 18360M = R$ 18.360,00Resolução incorreta


Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados?

C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M = C.(1 + i)n

M = 6000.(1+0,02)3

M = 6000.(1,02)3 = 6000.1,0612 = 6367,20M = C + J 6367,20 = 6000 + J J = 6367,20 – 6000 = 367,20

O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20


Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano?

M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 mesesM = C.(1 + i)n

3500 = C.(1+0,025)12

3500 = C.(1,025)12

3500 = C.1,3449C = 3500 = 2.602,42

1,3449O capital foi de R$ 2.602,42

Desconto simples racional ou“por dentro”

Assume os conceitos e as relações básicas de juros simplesDr é o valor do descontoVr é o valor descontado racional (ou valor atual)valor atual) N é o valor nominal (ou valor de reagate ou montante)

Dr = N – Vr

N = Vr.(1 + i.n)

Desconto simples racional ou “por dentro”

Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se

l l d t l d t dcalcular o desconto e o valor descontadoDr(valor do desconto) Vr(valor descontado)i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal =3500

N = Vr.(1 + i.n) Dr = N – Vr

3500 = V (1 + 0 04 2) D = 3500 3240 743500 = Vr.(1 + 0,04.2) Dr = 3500 – 3240,74 3500 = Vr.(1 + 0,08) Dr = 259,263500 = Vr.(1,08)Vr= 3500 / 1,08 = 3240,74

Desconto bancário ou comercial ou“por fora”

A modalidade de “desconto por fora” é amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazoDF é o valor do descontoVF é o valor descontado “por fora” N é o valor nominald é a taxa de desconto “por fora”n é o prazo definido

DF = N – VF

VF = N.(1 – d.n)

Desconto bancário ou comercial ou“por fora”

Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontado 60 dias antes do vencimento, a taxa de desconto de 0,2% a.d.?

d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 DF = ? VF = N.(1 – d.n) DF = N – VF

VF = 100.(1 – 0,002 . 60)VF = 100.(1 – 0,12)VF = 100 . 0,88 = 88

DF = 100 – 88DF = 12DF = R$ 12,00

Interatividade

Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? a) R$ 4.140,00b) R$ 5.065,90b) R$ 5.065,90c) R$ 16.240,00d) R$ 4.245,45e) R$ 5.040,65

ATÉ A PRÓXIMA!

sld_1

Documents

Transcript of sld_1