CRIANÇAS PEQUENAS REINVENTAM A ARITMÉTICA

IMPLICAÇÕES DA TEORIA DE PIAGET

CONSTANCE KAMIILESLIE BAKER HOUSMAN

Constance Kamii, nascida em Genebra, Suíça, é uma psicóloga nipo-americana, filha de pai japonês e mãe estadunidense, viveu no Japão até os 18 anos, transferindo-se depois para os Estados Unidos, onde em 1955 bacharelou-se em Sociologia.

Mestra em Educação e Doutora em Educação e Psicologia, pela Universidade de Michigan / EUA. Foi aluna e colaboradora de Jean Piaget, tendo feito diversos cursos de Pós-Doutorado nas universidades de Genebra e de Michigan, relacionados com a epistemologia genética e com outras áreas educacionais pertinentes tanto à teoria piagetiana como de outros pesquisadores. Atualmente é professora da Universidade do Alabama. Publicou diversos livros, entre os quais “Aritmética: Novas Perspectivas: Implicações da Teoria de Piaget”, “Conhecimento Físico na Educação O Pré-Escolar”, “A Criança e o Número”, “Crianças Pequenas Reinventando a Aritmética”, “Desvendando a Aritmética: Implicações da Teoria de Piaget”, “Jogos em Grupo na Educação Infantil”, “Piaget para a Educação Pré-Escolar” e “Reinventando a Aritmética: Implicações da Teoria de Piaget” entre diversos outros.

Questionamento - Como as crianças adquirem conceitos numéricos?

Teoria de Piaget – Explicação científica Conhecimento lógico matemático, número e

aritmética é construído ( criado) por cada criança de dentro para fora, na interação com o ambiente...

O conhecimento lógico matemático não é adquirido diretamente por internalização mas pelo contato e o estabelecimento de relações entre os conhecimentos anteriores e os construídos cotidianamente.

É o estudo da natureza e das origens do conhecimento.Empiristas ( Locke, Berkeley e Hume) – o conhecimento tem sua fonte fora do individuo e que ele é internalizado através dos sentidos. Afirmam ainda que o individuo é ao nascer uma tábula rasa, ( uma folha de papel em branco) na qual as experiências são escritas à medida que ele cresce.Racionalistas (Descartes, Spinoza e kant) -A razão é mais poderosa que a experiência sensorial ( matemática disciplina puramente dedutiva) conceitos são inatos e se desenvolvem em função do amadurecimento.

Piaget via elementos de verdade e inverdade em ambas as teorias. Mas reconhece a importância da informação sensorial e do raciocínio. Nas suas pesquisas ele mostra a inadequação do empirismo.

Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre três tipos de conhecimento considerando suas fontes básicas e seu modo de estruturação;

Físico

Social

Lógico-Matemático

Conhecimento Físico - é o conhecimento de objetos na realidade externa ( cor e peso de fichas e objetos);

Conhecimento Social - tem origem nas convenções criadas pelas pessoas ( A língua - A palavra um, dois, três , quatro são exemplos de conhecimento social. Cada idioma tem seu conjunto de palavras diferente que serve para o ato de contar. Contudo, a ideia subjacente de número pertence ao conhecimento lógico-matemático, o qual é universal. Portanto, 2+3=5 em qualquer lugar do mundo.

Feriados e o ato de dizer bom dia.

Conhecimento lógico-matemático - consiste de relações mentais, e a fonte final destas relações está em cada indivíduo.

Quando notamos a diferença entre duas fichas, uma vermelha e outra azul, esta diferença é outro exemplo de pensamento lógico-matemático. A diferença é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que relaciona os dois objetos. A diferença não está nem em uma ficha nem em outra; se a pessoa não colocasse os objetos dentro desta relação, para ela não existiria a diferença. A relação na qual uma pessoa coloca os objetos é uma decisão sua.

Outras relações poderiam criar: são parecidas, mesmo peso e duas.

Fichas são observáveis, mas a “dualidade” não. Número é uma relação criada mentalmente por cada indivíduo. Números pequenos até quatro ou cinco são perceptivos.

Piaget reconhecia fontes externas e internas de conhecimento.

O conhecimento físico e social é parcialmente externa para o indivíduo. E a fonte do conhecimento lógico-matemático é interna.

TAREFA DE CONSERVAÇÃO-DE-NÚMEROConservação de número refere-se à nossa

capacidade de deduzir, por meio de raciocínio lógico-matemático, que a quantidade de uma coleção permanece a mesma quando seu arranjo espacial e sua aparência empírica são alterados.

I - Quando as crianças não construíram a lógica do número elas utilizam o critério de fronteiras espaciais para julgar a igualdade quantitativa.II - As crianças usam a correspondência termo a termo, mas elas não conservam a igualdade.III - Crianças são conservadoras argumentam: Há tantas fichas azuis como vermelhas, pois não tirou e nem acrescentou nenhuma; Poderíamos colocar todas as azuis no lugar que elas estavam antes e terá o mesmo número. A carreira azul é mais longa porque há mais espaço entre elas.

Nível intermediário (entre dois e três): crianças hesitam ou ficam mudando de ideia. Quando as crianças dão a resposta correta mas não podem justificá-la também estão no nível intermediário. Apenas quando as crianças podem fazer relações numéricas entre as fichas é que elas podem deduzir por força da necessidade lógica que as duas carreiras têm o mesmo número.

A tarefa de conservação é um teste de conhecimento lógico-matemático de crianças. As fichas são objetos culturais (conhecimento social) e saber que elas permanecem sobre a mesa sem derreter como cubos de gelo é conhecimento físico. Entretanto, o conhecimento físico não é suficiente para deduzir que a quantidade nas duas carreiras permanece a mesma quando sua aparência empírica muda. As crianças podem fazer relações numéricas entre as fichas é que elas podem deduzir, por força da lógica, que as duas carreiras têm o mesmo número.

Abstração Empírica - Focaliza-se em uma determinada propriedade do objeto e ignora as outras. Exemplo – focalizamos a cor do objeto e ignoramos o peso e do que é feito o objeto.

Abstração Construtiva - envolve fazer relações mentais entre um ou mais objetos, como “o mesmo”, “semelhante”, “diferente” e “dois”.

A semelhança ou a diferença entre uma ficha e outra é construída, ou feita mentalmente, por cada indivíduo por abstração construtiva, conhecida também como reflexiva.

Segundo Piaget, a abstração empírica e construtiva, na realidade psicológica da criança, uma não pode ocorrer sem a outra.

Exemplo: Como poderíamos construir relação “diferente” se todos os

objetos no mundo fossem idênticos. Similarmente, a relação "dois” seria impossível de

construir se as crianças pensassem que os objetos se comportam como gotas de água ( que podem combinar-se para tornarem uma gota).

A abstração construtiva não ocorre independente da abstração empírica até aproximadamente os seis anos de idade, mas se torna possível mais tarde. Uma vez que a criança tenha elaborado o número (abstração construtiva), ela pode operar números e fazer 5+5+5 e 4x5 sem abstração empírica dos objetos. Com números maiores ( 999 e 1000) fica claro que não podem ser aprendidos por abstração empírica de conjuntos de objetos. Os números são aprendidos por abstração construtiva à medida que a criança constrói relações. Visto que essas relações são criadas pela mente – é possível entendermos números como 1000.001 mesmo que nunca tenhamos visto ou contado 1000.001

Piaget para explicar o desenvolvimento de conceitos numéricos é necessário dois tipos de relações:Inclusão Hierárquica e OrdemInclusão Hierárquica – se pedirmos para uma criança de quatro anos para contar 8 objetos arranjados em uma carreira , elas frequentemente os contam corretamente e anunciam que há oito. Se lhes pedimos então “mostre-me o oito”, elas com frequência, apontam para o oitavo objeto.

Para a criança as palavras um, dois, três e assim por diante são nomes para elementos individuais em uma série como segunda-feira...

Para essa criança, a palavra oito representa o último objeto na série e não o grupo inteiro.

Para quantificar um conjunto de objetos numericamente, a criança deve colocá-los em uma relação hierárquica.

Em crianças pequenas( 4 anos) a tarefa de inclusão hierárquica de classe é difícil de criarem uma estrutura hierárquica. Exemplos: de cachorros e gatos .

Pensar no todo e partes ao mesmo tempo, as crianças pequenas não conseguem fazer.

Aos oito anos o pensamento da criança torna-se reversível.

Reversibilidade refere-se à capacidade de realizar duas ações opostas simultaneamente – dividir o todo em partes e as partes num todo.

A tarefa de inclusão de classe ilustra a inadequação do empirismo, pois os animais permanecem na frente dos olhos da criança ( 4 anos) e mesmo assim elas não enxergam os animais.

A inclusão de classe é semelhante à estrutura hierárquica do número, mas diferente. Cães e gatos são animais, portanto da mesma classe.

No número as qualidades são irrelevantes, há apenas um elemento em cada nível hierárquico.

Ordem É comum as crianças contarem objetos espalhados, contando duas vezes o mesmo objeto ou deixando de contar algum.

A única certeza de não esquecermos nenhum ou de não contarmos o mesmo objeto duas vezes é colocá-los em uma relação de ordem.

As crianças conservam ou não conservam fazendo seu próprio raciocínio. A inclusão hierárquica e ordem pode ser vista em uma outra tarefa na qual a correspondência termo a termo é feita empiricamente. Os professores pode utilizar este tipo de tarefa para identificar a diferença entre conhecimento empírico e conhecimento lógico - matemático.

Uma tarefa envolvendo a queda de fichas.Experiência – que as crianças de cinco e seis anos

podem ter construídos números pequenos e não grandes.

A universalidade do conhecimento lógico-matemático

Com base na pesquisa de Piaget conclui por hipótese

que se as crianças constroem seus próprios conceitos numéricos, elas deveriam construir relações numéricas como ser capazes de reinventar a aritmética para elas mesmas porque todos os números são criados pela adição repetida de “um”.

A ideia de 5 por exemplo é 1+1+1+1+1 e 5+3 é,(1+1+1+1+1) + (1+1+1)

A Importância de uma Teoria Científica Explanatória

O associacionismo e o behaviorismo originaram –se do empirismo- o conhecimento é adquirido por internalização do ambiente. Ambas provaram que o exercício e o reforço aumentam a internalização de conhecimento.O behaviorismo e o construtivismo são teorias científicas comprovadas em todo o mundo. Piaget pode explicar e comprovar a tese do behaviorismo, mas o behaviorismo não pode explicar a aquisição de conhecimento em um sentido mais amplo e profundo. A construção dos conceitos numéricos pelas crianças só podem ser explicada pelo construtivismo.

Livros didáticos – pressuposição de que as crianças pequenas passam do “concreto”

( objetos) para o “semiconcreto” (figuras), e então para o “abstrato” ( numerais escritos).

De acordo com Piaget, figuras e símbolos matemáticos têm diferentes fontes, e trabalhar com figuras não é necessariamente um passo para a criança tornar-se capaz de lidar com símbolos matemáticos.

Na teoria de Piaget símbolos e figuras guardam uma semelhança com os objetos representados e podem ser inventados pelas crianças.

Em outras palavras, a fonte dos símbolos é o pensamento das crianças.

Exemplo: as crianças podem pensar em oito como se fosse 8 maçãs, 8 dedos....

Uma vez que as crianças podem inventar seus próprios símbolos, as figuras que aparecem nos livros são desnecessárias.

Se elas necessitam de uma figura para resolver um problema, elas desenharão suas próprias figuras.

Os símbolos e sinais, portanto, têm origens diferentes, e os sinais (como os numerais escritos) não se desenvolvem a partir de símbolos ( como as figuras).

Sinais ( + ) as palavras são faladas maçã, oito e o numeral escrito 8. Os sinais não lembram os objetos representados e suas fontes são convenções criadas pelas pessoas.

Abstração e Representação

Os conservadores conservam, porque eles estão em um nível mais elevado de abstração ( abstração construtiva).

Os que não conservam não o fazem porque não têm conceitos numéricos em suas mentes.

Sinclair e Siegrist – entrevista com crianças de quatro e cinco anos – pré-escola sem nenhuma instrução acadêmica.Foram colocados sobre a mesa vários objetos e pedido para que eles desenhassem o que estava sobre mesa( evitando dizer quantos e números).

Tipos de notação

Tipos de notação

Representação Global da Quantidade

Representação do tipo de objeto

Correspondência Termo a Termo

Somente Valor Cardinal

Valor Cardinal e Tipo de Objeto

Quando as crianças representam suas ideias no papel , elas internalizam suas ideias e seus respectivos níveis de abstração. Aquelas que pensam em “punhado” representam essa ideia; aquelas que podem pensar “oito” representam essa ideia, primeiro prestando atenção aos objetos individuais e posteriormente a totalidade.Nas atividades dadas as crianças como “problemas”, elas apresentaram uma variedade gráfica de desenhos - invocando imagens mentais ou ideias numéricas sem imagem, que externalizam no papel.

Fichas e materiais de contagem têm suas proprias propriedades físicas que interferem nas ideias das crianças e provavelmente é por isto que as crianças pequenas preferem não usar fichas e materiais de contagem para resolver problemas.

O uso de fichas, cartas de baralho e blocos de base 10 e os próprios dedinhos são símbolos utilizados a serviço do pensamento e sendo símbolos, a aritmética do jogo acontece na cabeça das crianças, através da abstração construtiva (envolve fazer relações mentais entre um ou mais objetos, como “o mesmo”, “semelhante”, “diferente” e “dois”.

Conclusão do capítuloAs crianças não passam do “concreto” para o “semiconcreto” e, então , para o “abstrato”.As crianças usam objetos ( como fichas ou materiais de contagem) em um nível de abstração alto ou baixo. Quando elas conseguem fazer relações de mais alto nível, desenham figuras em nível mais elevado e atribuem significados de mais alto nível e sinais matemáticos como “ = ”. Quando elas conseguem fazer apenas relações de baixo nível, usam objetos, bem como figuras, palavras escritas a um nível baixo.

A não conservação é um exemplo de egocentrismo de crianças pequenas bem como de seus pensamentos pré-lógicos. Quando elas pensam que há mais fichas na carreira maior, elas estão centradas no espaço ocupado pelas fichas, porque a lógica ainda não permite pensar numericamente. A conservação de número é geralmente alcançada por volta dos cinco a seis anos de idade entre as crianças de famílias de classe média. A conservação do líquido entre as idades de sete e oito anos.

Conservação do líquido e conhecimento lógico-matemático

Acomodação do líquido em um copo é conhecimento físico, empírico. Entretanto, a quantificação de líquido pertence ao conhecimento lógico-matemático (mesma quantidade, mais, menos) - relações criadas na mente.

Conservador – nada foi acrescentado ou removido( continua igual).Não conservador – ainda não tem esta lógica e estão convencidos que há mais suco naquele que representa o nível de suco do copo mais alto e ou mais largo, dependendo apenas do seu olhar. Tendo como base o nível da água que é visível e empiricamente reconhecível.Piaget explica a lógica dos conservadores agrupando três operações lógicas: Identidade, Compensação e Reversibilidade

•Identidade: “Tem a mesma quantidade porque não tirou nem colocou nada.”

• Reversibilidade: “Porque se voltar a colocar no mesmo copo , terá a mesma quantidade de líquido que o outro copo.”

• Compensação: “Este vaso é mais alto, mas este é mais fino.” “este é mais alto, porém este é mais baixo.” Ou: “As fichas só estão mais separadas.”

Quando a criança agrupa três relações a um todo inter relacionado, através da abstração construtiva, esse agrupamento lhe permite deduzir conservação com a força da necessidade lógica.

Interação social e desenvolvimento da lógica

Quando as crianças trocam seus pontos de vista com outras, elas não podem continuar egocêntricas e ilógicas, pois são obrigadas a comparar as relações que estão fazendo, aquelas que os outros estão fazendo.

Piaget resumiu a importância da interação social dizendo: Sem intercâmbio de pensamento e cooperação com outros, o individuo nunca agruparia suas operações(lógicas) em um todo coerente. o termo cooperação usado por Piaget – realizar junto- trabalhar junto, trocando ponto de vistas e negociando soluções.Cooperação suprime as convicções espontâneas, como não-conservação, que caracterizam o egocentrismo.A discussão e o pensamento crítico estimulam a construção da lógica.

Piaget salientava a importância da interação social mas nunca conduziu uma pesquisa empírica para provar sua teoria social.Mas, explicada através dos experimentos realizados por Perret-clermont e Doise e Mugny que estudaram os efeitos do “conflito sociocognitivo”.Conclui-se que o conflito sociocognitivo é útil para estimular a resolução de uma discordância através da coordenação de relações feitas egocentricamente.

Em outras palavras o construtivismo de Piaget afirma que a lógica é construída por abstração construtiva dentro da criança, na interação com outras pessoas, e não adquirida de outras pessoas por internalização.

Interação Social na Construção da Ciência Os cientistas constroem a ciência através de debate e conflito sociocognitivo, este é um argumento para dizer que as crianças também deveriam ser capazes de construir a matemática através de debate e sociocognitivo. Os relatos de Perret – Clermont e Doise e Mugny apoiam amplamente este argumento.

Quando as crianças se tornam conservadoras sólidas , elas não voltam para a não-conservação. Concluindo muitos professores acreditam que as crianças deveriam interagir em grupos cooperativos e que estes resultam em beneficio mútuo. No construtivismo as crianças constroem seu conhecimento lógico-matemático em vez de recebê-la.A cooperação não é simplesmente para beneficio mútuo, mas para a crítica e o controle mútuos, porque outras pessoas obrigam a descentração e a construção de uma lógica de mais alto nível, por abstração construtiva.

De acordo com Piaget, concordar e discordar de outros é indispensável não apenas para o desenvolvimento cognitivo das crianças, mas também para seu desenvolvimento sociomoral.

Autonomia significa o direito de um individuo ou grupo de governar a si mesmo.Para Piaget autonomia significa não o direito, mas a capacidade de governar a si mesmo, na esfera moral, bem como intelectual.Autonomia Moral Autonomia é o oposto de heterônomas (pessoas governadas por outra pessoa, na medida em que são incapazes de fazer julgamentos por si próprias).Exemplo: uma criança conta uma mentira e é privada da sobremesa ou fazer 50 vezes “Não vou mentir”.

A punição leva a três possíveis resultados:Cáculo de risco – podem aprender a calcular suas chances de serem apanhadas da próxima vez e o preço a pagar;Curiosidade- obediência cega. Revolta. Dizer a criança que não podemos acreditar no que ela disse e mandá-la para seu quarto, para pensar sobre isto é uma sanção por reciprocidade. Sanção e reciprociddae estão diretamente relacionadas à atitude que queremos mudar e ao ponto de vista do adulto. Com efeito de motivar a criança a construir regras de conduta de dentro para fora, através da coordenação de pontos de vista.

Exemplos de sanção por reciprocidade:Exclusão do grupo.Apelo à consequência direta e material do ato;Privar a criança da coisa que ela usou mal.Restituição.Na medida em que se tem a possibilidade de coordenar pontos de vista com outros, tem a possibilidade de tornar mais autonomos e independentes dos poderes do sistema de recompensa.

Na escola as crianças não são encorajadas a pensar autonomamente. Os professores usam a recompensa e a punição na esfera intelectual para conseguir a que as crianças deem respostas corretas. Exemplo da folhas de exercícios quando uma criança escreve 4+4=7.

Na intersecção com o círculo autonomia, colocamos coisas que não esquecemos após cada prova. Nossa capacidade de ler e escrever, de resolver exercicios de aritmética, de ler mapas e gráficos e de situar eventos na história são exemplos do que aprendemos na escola e não esquecemos após estudarmos para as provas. Quando a autonomia moral e intelectual é o objetivo, os educadores se esforçam para aumentar a àrea de sobreposição entre os dois círculos.

Lista de regras – não é necessário . Deixar acontecer e perguntar as crianças: “O que podemos fazer para resolver este problema? Portanto discutir em classe problemas comuns são muito melhores do que imposição de regras prontas. A moral outônoma pode desenvolver-se apenas de dentro da criança. Isso leva tempo, e pode desenvolver-se apenas através de discussões e descentralização no contexto de respeito mútuo.

Quando ameaçamos crianças com punição, reforçamos sua heteronomia.

5- A Adição como um Objetivo A melhor ocasião para que as crianças de hoje reinventarem a aritmética é no trato com situações da vida cotidiana, aritmetização lógica da realidade. A adição é a ação mental ( abstração construtiva) de combinar dois totais para criar um total de ordem superior dos totais anteriores( duas partes).

À inclusão de classe, as relações de parte-todo são muito difíceis para crianças pequenas e quando elas contam é possivel observar dois fenômenos:

Contar para frente – usando os dedos na soma 3+5 começam a contar a partir do três;

Na contagem do todo- inicia do um.Quando a lógica da criança está avançada,

sua resposta pode ser incorreta, mas não será igual, ou menos que, uma das parcelas 3+5=7.

A adição origina-se da própria lógica da criança e não é fato que existe no mundo exterior. O objetivo de conhecer fatos de adição, que é frequentemente defendido pelos educadores, não é portanto, um objetivo válido.

O objetivo na adição que envolve um dígito é que as crianças envolvam-se na ação mental de operar números e lembrá-los dos resultados destas ações. Por isso o objetivo maior é construir uma rede de relações numéricas.

Memória é uma reconstrução de uma construção anterior. As crianças leem diferentes fatos da realidade, porque cada criança interpreta o que é observável assimilando-o ao conhecimento que ela traz para cada situação. Um fato é sempre uma construção de um individuo em seu nível de desenvolvimento. A implicação educacional da teoria de memória de Piaget é que é importante para as crianças construirem somas através de suas próprias ações mentais. Relações como 3+3=1+2+3=1+5 são lembradas facilmente através de suas motivações intrínsecas(motivação gerada por necessidades e motivos da pessoa). As crianças constroem uma rede de relações numéricas que apoiam suas memórias de somas específicas.

Adição com parcelas acima de 10

Livro didático- recomendam que o valor posicional seja ensinado com feixes de 10 palitos e/ou blocos de base 10. As crianças ensinadas tradicionalmente, raramente constroem a ideia de uma dezena. Se as crianças não construirem a ideia de uma dezena ( através de abstração construtiva) , elas possivelmente não podem representar essa ideia que não têm.

Na pesquisa realizada ficou comprovado que as crianças que aprendem algoritmo através do agrupamento não conseguem por exemplo explicar o que representa o 1 em 16. ( Professora trabalhou com agrupamento antes da pesquisa com os alunos da 1º ano).

Como as crianças de 1º ano abordam a adição de dois dígitos não são ensinadas a usar o algoritmo convencional.Classes construtivistas as crianças usam o seguinte procedimento 29+1=30

30+15=30+10+5

Porque a subtração é mais difícil que adição

A subtração envolve dois níveis hierárquicos e requer “descender”do 9 para uma parte 5 e, simultaneamente asceder de volta para o total 9 e descender para outra parte, o número desconhecido. As relações parte-todo são muito difíceis para as crianças pequenas ( inclusão de classe).

Características do pensamento pré-operacional são percepção, ação e cognição.

Se mostrarmos duas pilhas de bloco contendo 4 e 10 – onde tem mais blocos a criança responde corretamente, mas se perguntarmos onde tem menos, elas não respondem. O “mais” é um termo positivo e o “menos” expressa a relação negativamente. Então a dificuldade da subtração é parte da dificuldade das crianças pequenas em pensar negativamente sobre objetos e ações. Problemas matemáticos de subtração consistem em problemas de “separação” , parte-parte-todo, comparação e equalização.

Você tem 7 doces. Você me dá 3 deles. Com quantos doces você ficou?

Há 6 frutas na tigela. Duas são maçãs e o resto são peras. Quantas peras há na tigela?

Você tem 7 doces. Eu tenho apenas 3 doces. Quantos doces você tem a mais que eu?

Eu tenho 3 velinhas. Eu preciso de 7 para um bolo de aniversário. Quantas mais eu preciso?

As implicações educacionais deste estudo, parece bom dar problemas de subtração ocasionalmente, mas não esperar ou exigir o uso da subtração. É necessário dar às crianças oportunidades de lógico –matematizar conteúdos como flores, velas e frutas. As crianças devem primeiro entender a lógica da pergunta antes de passarem para a precisão numérica. As crianças tem dificuldade em realizar problemas matemáticos de subtração por não entenderem a pergunta. E geralmente quando entendem a pergunta elas usam a adição para resolvê-la. O entendedimento de certas palavras e frases depende de seu desenvolvimento lógico abstração construtiva.

Se a lógica das crianças estiver em alto nível, elas podem entender palavras e frases usadas na pergunta ( representação). Se a lógica tiver em baixo nível elas podem assimilar palavras e frases apenas em sua lógica de baixo nível.

A única forma que as crianças podem fazer uma soma que não conhecem por conta própria é através da contagem. A contagem é necessária para aprender a somar, mas não é necessária para aprender subtração. O professor trabalha com jogos de adição e poucos de subtração. É necessários trabalhar com os dois tipos de jogos.

A diferença entre pensamento aditivo e multiplicativo Para a maioria dos professores a multiplicação é apenas uma forma mais rápida de fazer adições repetitivas. Entretanto a multiplicação envolve o tipo de pensamento hierárquico. Exemplo: 4x5 envolve a estrutura hierárquica como “4” em “4x5” refere-se a “4 cinco”.

Na estrutura de um problema de adição repetida como 5+5+5+5 é simples, envolve apenas unidades em um nivel de abstração.

Nos testes aplicados com as crianças do 1º ano demostraram que elas não conseguem pensar multiplicativamente, mas pensamento aditivo.

Os livros didáticos não incluem problemas de multiplicação e divisão nos níveis de pré-escola e 1º ano por terem uma visão tradicional destas operações.Entretanto as pesquisas realizadas indica que crianças pequenas são capazes de usar adição para resolver problemas matemáticos de multiplicação e divisão. Elas constroem multiplicação e divisão a partir de adição repetida e é adequado propor estes tipos de problemas matemáticos, pois elas resolvem com facilidade.

Característica de abordagem construtivista ao ensino da matemática ( Piaget) é o uso de situações fora do horário de matemático. Situações do dia a dia, relacionadas a matemática. A rotina Matinal- discutir com as crianças e fazer juntos uma lista de deveres a serem realizados .

Minha carta diária para a classe – Os alunos são responsáveis por ler a carta que escreve para eles todas as manhãs e que é fixada no quadro.

O objetivo é que todos leiam. Os que não

conseguem perguntam para o colega o conteúdo da carta.

A carta serve como meio de ensinar estratégias de leitura, ortografia(omitindo letras em palavras familiares) e ensinar horas.

Comitês, Contagem do almoço e presença – Ajudante do dia ( por ordem alfabética) – questionando com os alunos tipos de trabalhos a serem feitos. Elege comitês como por exemplo: Comitê de Limpeza, de Matemática.Comitê de matemática – responsabilidades:Contagem para almoço;Alunos ausentes;Distribuição de objetos – lanches;Divisão de objetos – quantidade de doces ganhos;

Coleta de objetos: quantidade de bilhetes de permissão dos pais para uma excursão;

Manutenção de registros. Quantidade de livros lidos na sala de aula;

Preenchimento do calendário – acontecimentos do mês;

Os comitês ajudam as crianças a criarem um sentimento de comunidade na classe de modo que o desenvolvimento da autonomia de cada criança pode ser estimulada através de um sentimento de responsabilidade compartilhada e,

participar dos comitês da sala de aula, as crianças tem oportuniddaes de discutir ideias, para tomar decisões que façam sentido para elas e de aceitar a responsabilidade para o bem comum.Votação – decidir por votação quando há divergência de opiniões( Quantos a favor/quantos contra);Lista de assinaturas;

Vocês gostaram mais? Luz Som______________ ______________Questionamentos?

Lidando com dinheiro Conhecimento social – lista de palavras de

dinheiro;Conhecimento lógico-matemático – quantidades

de moedas para pagar balas, livros...Conclusão da LeslieQuando ensinava matemática usava

problemas, aritmética mental e jogos. Supunha que meus alunos estavam pensando matematicamente nas situações cotidianas e isso não é algo que precisa despediçar tempo. A medida que comecei procurar matemática durante todo o dia

fiquei impressionada com diversas coisas. Primeiramente eu não podia acreditar em quantas situações levaram naturalmente a uma discussão. Segundo, descobri que essas discussões tomavam muito pouco tempo e fiquei maravilhada ao ver que os alunos facilmente começaram a reconhecer a matemática em suas vidas cotidianas.

O objetivo principal ao dar problemas matemáticos é a lógico-matematização da realidade pelas crianças, e o calculo origina-se desta lógico-matematização. Problemas matemáticos estendem o mundo físico e social

das crianças para além do aqui e agora. A professora apresenta a situação problema no topo de uma folha em branco: Quantos pés há em sua casa? Mostre como você sabe. A professora lê o problema em voz alta em seguida elas iniciam o trabalho individualmente. Se as crianças discutem possíveis soluções com os colegas eles não são interrompidos, pois geralmente necessitam e aprendem mais através da troca de pontos de vista. Os que terminam primeiro guardam num arquivo chamado diário de matemática e escolhem um jogo e

um parceiro até a professora dizer que é hora de discutir sobre o problema. A professora inicia a conversa pedindo para que as crianças expliquem o que fizeram. Ter que explicar o próprio raciocínio é benefício até para uma criança que produziu uma resposta correta. Quando damos explicações sobre nosso próprio pensamento, nós estamos não apenas explicitando o pensamento, mas estamos também em como o ouvinte está entendendo o que estamos dizendo. E quanto mais as crianças pensam mais elas desenvolvem sua lógica.

Ao propor problemas para a classe os professores devem propor problemas matemáticos que estejam estritamente relacionados às vidas das crianças e que envolvam uma variedade de operações, conteúdos e situações. É necessário dar problemas que envolvam números grandes, ao qual haja mais de uma resposta correta. Problemas matemáticos são, por definição, dados da linguagem, e as crianças devem representar para si mesmas suas interpretações da linguagem. Por exemplo quando as crianças ouvem ou lêem “Quantos pés há em sua casa?” As crianças evocam uma imagem mental das pessoas em suas

casas. As crianças preferem não usar material de contagem, mas sim desenhar no papel. Elas representam no papel objetos como pessoas/pernas/pés.

A medida que o raciocínio numérico torna-se mais forte, as crianças de 1º ano começam a usar numerais como sinais independentes.As crianças são capazes de escolher por si próprias as ferramentas que funcionam melhor para elas. Assim como elas deixam de gatinhar quando conseguem caminhar, elas abandonam figuras e marcas de contagem quando decidem quais numerais funcionam melhor para elas.

Jogos envolvendo figuras e objetos:Cartas, memória, animais, formar famílias, tabuleiro, jogo da velha, quarteto, pentaminós, Prenda o rei, damas e moinho o jogo da aranha e o tapatan.Jogos envolvendo números e/ou numerais pequenos( sem adição ou subtração)Cartas, Alinhamento(ou dominó de cartas), Batalha, Oito maluco e Uno, Eu duvido, O jogo do relógio, Antes e depois, Velocidade, Faça o maior número, Olimpíada de animais, Cinquenta fichas, Pulo do coelho,

Prova de corrida, Bingo e Travessia. Jogos de conhecimento físicoVaretas, Boliche, Bolas de gude, Equilíbrio e Adivinhe meu número.

Jogos envolvendo apenas adiçãoMais um, Batalha dupla e Batalha de moedas, Dinossauros e outros jogos de trilha, Cubra os números, Bingo do mais cinco, Ludo de dobro, Dominó quadrado.

Jogos envolvendo mais de duas parcelas: Faça dez, Ponha e tire, Dom pixote, o Jogo do sanduíche e Dominó dos pares. Jogos envolvendo desmembramento ( partição ) de números: Cofrinho de Poupança, 10 com nove cartas, encontre dez, tire 10, dez e dez e vinte, faça 10, bingo da soma até 10. Desmembramento ( partição) de vários números: Punta, faça o total, nickelodeon, Tic Tac Total Caixas das raposas.Jogos envolvendo adição e subtração:Cobra, apenas 7, Saudação, jogo do 24(some/subtraia).

Outras atividades para toda aa classe: As Caixas Equilibristas e Tic Tac Total.

12- Princípios Gerais de Ensino De acordo com Piaget as crianças adquirem conhecimento lógico-matemático, bem como a moralidade autônoma, construindo-os de dentro para fora, na interação com o ambiente, e não internalizando-os diretamente de fora para dentro.O desenvolvimento da autonomia não pode ser estimulado apenas durante a hora da matemática ou uma hora reservada para desenvolvimento moral. Crianças que são determinadas também podem jogar jogos sem brigar. Aqueles que têm consideração pelos outros o tempo todo, também são atenciosos quando são discutidos formas de resolver problemas.

Autonomia e relacionamento das crianças com adultos Autonomia como objetivo da educação é que as crianças devem aprender a tomar decisões discutindo fatores relevantes e tomando decisões por si mesmas. Devemos reduzir nosso poder de adulto tanto quanto possível e trocar pontos de vista com as crianças. Devemos deixar as crianças tomar o máximo de decisões possíveis e evitar usar recompensa e punição par impor a elas as nossas decisões.Quando as regras devem ser criadas

As crianças frequentemente fazem as mesmas regras que o adulto impõem, mas elas têm muito mais probabilidade de respeitar as regras que elas criaram.Quando um ato de torna excessivo Quando o barulho( crianças jogando)o ruído torna-se um problema para a professora da sala ao lado, a professora incomodada vai até a sala do barulho e conversa explicando que o ruído a impede de ser ouvida por seus alunos. ( Ter consciência de se colocar no lugar do outro). As crianças constroem regras morais de dentro para fora, de relacionamentos pessoais, positivos com pessoas específicas.

Quando decisões devem ser tomadas O sentimento de comunidade nasce à medida que problemas , decisões e sentimentos são partilhados pela classe inteira, incluindo o professor. As escolas muito frequentemente, reforçam a heteronomia das crianças impondo regras prontas como “ é proibido fazer guerra de bolas de neves”.Respeito e consideração pelos outros Um sentimento de comunidade se desenvolve quando as ideias e sentimentos de cada membro são respeitados, e o grupo se sente responsável pelo bem estar de seus membros. Crianças que são ratadas com respeito costumam tratar os outros respeitosamente.

Resolução de conflitosQuando duas crianças brigam é comum professores separá-las e dizem “parem com isso”. Esta solução pode resolver o problema no momento, mas as crianças não aprendem como lidar com um conflito da próxima vez. É melhor pedir-lhes para sair da sala por 5 minutos e conversar sobre o problema para chegar a um acordo. O ponto importante que o professor deve manter em mente é trazer à tona os sentimentos das crianças honestamente em vez de tentar varrê-los para debaixo do tapete “habilmente”. Sair da sala não leva a resolução do problema amenos que as crianças tenham tido alguma educação em resolução de problemas.

Autonomia e aprendizagem de aritmética Para o desenvolvimento da autonomia na aula de matemática é necessário que o professor aumentem a motivação intrínseca das crianças para aprender. Encorajar as crianças a terem pensamentos próprios, não mostrando a elas como resolver problemas e não dizendo que uma resposta está certa ou errada.Use motivação intrínseca Professores usam nas folhas de exercícios adesivos como carinhas risonhas. Este dispositivo fazem as crianças se sentirem bem, mas são formas brandas de suborno

que reforçam a heteronomia delas.Nenhuma destas recompensas é necessária quando situações cotidianas, problemas matemáticos e jogos são usados. As crianças escolhem envolver-se nestas atividades e tentam tornar-se cada vez melhores nelas. Quando há motivação intrínseca as crianças recebem os desafios dos problemas matemáticos com alegria e ficam orgulhosos de mostrar suas formas de resolvê-los.Não mostre como resolver problemas Tradicionalmente os professores mostram as crianças como resolver a adição,

subtração, multiplicação e divisão e então problemas semelhantes para praticar. Ao contrario disto, damos as crianças problemas de modo que elas usem o que sabem para inventar novas formas de resolvê-los. Fica claro que as crianças constroem conhecimento lógico-matemático fazendo relações a partir das relações que elas criaram antes. As relações que uma criança criou de dentro para fora não são esquecidas como as relações absorvidas do ambiente. Para promover a criação de relações pelas crianças existem três formas específicas:

Faça perguntas em vez de mostrar o que fazer;

Dê problemas no nível apropriado;Peça para cada criança resolver problemas

por conta própria;Todas as crianças realmente inventam

soluções? As invenções de algumas crianças são

verdadeiramente novas , na medida em que elas inventam soluções às quais elas nunca foram expostas. Entretanto, muitas crianças entende que os argumentos de seus colegas mais avançados e começam a imitá-los.

Achamos que mesmo assim o grupo está inventando aritmética pelas seguintes razões : crianças que não entendem a explicação de crianças mais avançadas são livres para rejeitar ideias mais avançadas. Nós nunca sabemos quando uma crianças inventará uma lógica de mais alto nível e ficamos encantados quando uma criança finalmente inventa a contagem para a frente. Não diga que uma resposta está certa ou errada No ensino tradicional, quando o professor diz que a resposta está correta, todo o pensamento pára porque não há necessidade de pensar mais.

se o professor não expressa nenhuma opinião, as crianças ficam motivadas a continuar pensando. Deixe o cálculo originar-se de situações cotidianas e problemas matemáticos.Reconheça a superioridade dos jogos sobre as folhas de exercícios. A repetição nos jogos é muito melhor que folhas de exercícios. O feedback é imediato em jogos, pois as crianças supervisionam umas as outras. As folhas de exercícios são geralmente devolvidas no dia seguinte, e as crianças não podem lembrar e se preocupar com o que fizeram ontem.

Nas folhas de exercícios, a verdade é decidida pelo professor, e as crianças recebem a mensagem de que a verdade pode vir apenas do professor. Em um jogo , os jogadores decidem se a resposta está correta. Os jogos podem ser jogados em muitos níveis e de várias formas, enquanto a folha de exercícios encorajam as crianças darem respostas mecanicamente. Ter que escrever respostas interfere na possibilidade de lembrar somas. Em um jogo as crianças tem mais probabilidades de construir uma rede de

de relações numéricas. As crianças escolhem os jogos que elas querem jogar, mas raramente podem escolher a folha de exercícios que recebem. Em último argumento as crianças não se desenvolvem sociomoralmente sentado-se sozinhas para preencher folhas de exercícios. Nos jogos as crianças tem que interagir com as outras, tomar decisões juntas e resolver conflitos. Ao darmos folhas de exercícios estamos reforçando a heteronomia das crianças e impedindo o desenvolvimento de sua autonomia.

O papel do professor é crucial para maximizar o valor dos jogos matemáticos. Se o professor corrige papeis em sua mesa, enquanto as crianças estão jogando, fica claro para as crianças que os jogos não são importantes. Se o professor joga com as crianças ou corrige constantemente seus erros, as crianças são impedidas de desenvolver confiança e iniciativa.O que você faz para não perder o controle da classe? Discutir com as crianças, em reuniões para decidir formas de resolver os problemas.

Fazer uma reunião seguinte par rever e avaliar o que aconteceu.

O ponto importante é que o professor deve evitar a dar sermões e soluções para as crianças par que elas comecem a tomar iniciativas de aparecer com as suas soluções.

Se as reuniões são frequentes sobre todos os tipos de problemas que aparecem no dia a dia, as crianças logo aprendem também a governar-se enquanto jogam.

Quando uma decisão não é considerada sensata, é hora de uma nova reunião de

classe e as crianças têm a probabilidade de tomar decisão melhor na segunda vez porque elas levarão em consideração o resultado da primeira decisão.Como você escolhe os jogos?O professor deveria sempre adaptar os jogos de acordo com os níveis das crianças por duas razões: cada classe tem uma variação de níveis de desenvolvimento; alguns jogos que parecem muito fáceis podem servir para encorajar o hábito , e a repetição é necessária para as crianças lembrarem várias combinações como 3+3=6.

O professor deveria experimentar e julgar como cada grupo de crianças está pensando e se sentindo.Como você introduz novos jogos? O professor poderá utilizar o retroprojetor para mostrar como se joga;Mostrar jogando com uma ou duas crianças;Pode também utilizar grupos onde as demais crianças observam o jogo para aprender. Mas a melhor forma de introduzir um novo jogo é fazendo as crianças jogarem o novo jogo.

Você determina jogos e parceiros? Deixar as crianças escolherem os jogos e os parceiros são parte da autonomia e as crianças precisam aprender a tomar decisões sensatas. Mas as crianças frequentemente não tomam decisões sensatas e as vezes é necessário determinar parceiros que estejam aproximadamente no mesmo nível.Na escolha dos jogos usamos um diário que é um formulário para cada semana como no exemplo:

Você deixa as crianças mudarem as regras do jogo?Algumas modificações dos jogos são introduzidos pelo professor, e outras são iniciadas pelas crianças. As regras do jogo pertencem ao conhecimento social( convencional) e cada convenção pode ser mudada por concordância entre os membros do grupo. O que você faz quando as crianças não conseguem lembrar como jogar um jogo?

As regras do jogo podem ser escritas e fixadas no quadro negro ou colocadas em caixas.

Como você lida com a competição? A possibilidade de vencer é um característica exclusivamente desejável dos jogos, visto que essa possibilidade serve para organizar a atividade do grupo pequeno. Nos jogos, cada grupo pode funcionar sem o professor porque todos sabem que há um inicio e um fim, regras sobre como chegar ao fim. Se não existisse competição, não haveria necessidade de regras, e a atividade não permaneceria organizada.

Qual é uma boa forma de guardar jogos?Um bom sistema de armazenagem facilita

a escolha e devolução de todas as peças a seus lugares determinados.

Quando peças são perdidas é necessário

fazer reunião de classe e as crianças pensam juntas para resaolver o problema.

Muitos jogos com o passar do tempo ficam fáceis demais e por isto necessitam ser substituídos por outros.

O que você faz com crianças que se tornam “dispersivas”? Mesmo com jogos atrativos às vezes crianças se dispersam e uma das soluções é tirar a turma do chão e colocar o jogo nas carteiras.

Mas a melhor solução ainda é reunião de classe onde todos podem participar com suas opiniões para resolver o problema.

Qual a melhor coisa para o professor fazer enquanto as crianças estão jogando? A atividade mais útil é jogar com as crianças e observar avaliando seus níveis raciocínio numérico: as crianças estão contanto para frente? Que somas estão na sua memória?Circular pela sala e observar também que jogos são atualmente populares, quem está jogando, qual jogo, qual nível.

Os resultados das entrevistas realizadas com crianças do 1º ano - Problemas Matemáticos - Livro Didático ( Tradicional ) e o Construtivista.

O grupo construtivista saiu melhor em todos os problemas matemáticos.

Quando solicitadas a explicar suas resapostas incorretas , as criançs do grupo construtivista frequentemente corrigiam enquanto tentavam justificar seu pensamento.

O grupo Livro Didático raramente corrigiam-se.

A capacidade de gerar uma melhor resposta é uma indicação de lógica mais avançada. Na situação problema: Se você tivesse 4 velinhas e quisesse 7 velinhas para um bolo de aniversário, quantas mais você precisaria conseguir? Este tipo de questão é geralmente respondida por apenas metade das crianças de um 2º ano – a razão para esta dificuldade é que este tipo de lógica de relações parte–todo é difícil para crianças até sete ou 8 anos de idade. 86% do grupo do construtivismo do 1º ano acertou e o grupo do Livro 46% de respostas erradas.

Em todas as situações problemas envolvendo as operações( adição, subtração, multiplicação e divisão) o grupo Construtivista provaram ser muito superior ao outro grupo o do Livro didático.Concluindo Com 60 anos de pesquisa científica Piaget e outros demonstraram que as crianças do mundo inteiro constroem conhecimento lógico –matemático de dentro para fora, em interação com o ambiente, e não o adquirem por internalização direta do ambiente. O construtivismo de Piaget nos leva a conceitualizar metas e objetivos educacionais

diferentemente do ensino tradicional. O objetivo básico é que as crianças tornem-se capazes de raciocinar logicamente, através da troca de pontos de vista com outras crianças. O ensino tradicional o objetivo é que as crianças tornem–se capazes de produzir respostas corretas rapidamente. No entanto, construtivistas desenfatizam respostas corretas, porque se as crianças puderem raciocinar, elas obterão a resposta correta.

Crianças de 1º ano e muitas de pré-escola são perfeitamente capazes de resolver problemas de multiplicação e divisão com adição repetida.

O número de educadores que são suficientemente autônomos para encorajar as crianças a fazer seu próprio raciocínio tem, no

entanto, crescido regularmente desde a década de 80. Se serão mais de 150 anos para o construtivismo de Piaget ser universalmente

aceito depende de quão autônomos os educadores se tornem, moral e

intelectualmente. Então quando é que ...

Bom Estudo

Excelente prova