São sentenças que podem ser atribuídos valores verdadeiros ......Questão 1 (Gestor Fazendário...

Proposições

São sentenças que podem ser atribuídos valores verdadeiros ou falsos. Mas

nunca ambos.

Princípio do Terceiro Excluído: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa,

isto é, há de ser um desses casos e nunca um terceiro caso;

Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo

tempo verdadeira e falsa.

prof. Alessandro Ramaldes

O que não é proposição?

Sentenças abertas.

Uma sentença aberta não é considerada proposição, pois não é possível

julgá-la como verdadeira nem como falsa. Considere a sentença:

Ele marcou mais de mil gols.

É impossível dizer se essa sentença é verdadeira ou falsa sem saber quem

é a variável "Ele''


Também não são preposições.

Sentenças exclamativas!

Seja feliz!

Sentenças interrogativas

Que é isso?

Sentenças auto-referentes

porque essa se refere ao seu próprio valor verdade, exemplo: está sentença é

falsa.


Exemplos.

A terra é maior que a lua

Esta é sentença tem valor lógico verdadeiro, portanto é uma proposição

Maria é bonita.

Esta sentença tem valor lógico que pode ser verdadeiro ou falso portanto

temos uma proposição.


Exercitando. Reconheça as proposições abaixo: Renata é linda. Pele fez 10 gols pela seleção brasileira. √3 + 4 = 7. Feliz ano novo Flamengo é um time de futebol Seja feita a vontade de Deus.


Questão cespe. Na lista de frases apresentadas a seguir, há

exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” A expressão X + Y é positiva. O bb é o melhor banco do país Dunga jogou pela seleção brasileira. O que é isto?


Trabalhando com proposições Tomamos como base a seguinte proposição

composta. Te darei uma bola e um carrinho. Possibilidades. Dar a bola e o carrinho Dar a bola e não dar o carrinho Não dar a bola e dar o carrinho E não dar nenhum dos dois.


Calculando as possibilidades.

Fórmula:

2n = numero de possibilidades

Onde n é o numero de proposições.

No exemplo anterior temos duas proposições

por isso 4 possibilidades.


Montando a tabela verdade.

Se temos duas proposições sabemos que

temos 4 possibilidades, se 3 temos 8.

V V

V F

F V

F F

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F


Analisando os conectivos lógicos.

Primeiro conectivo e símbolo ^

Regra

A sentença é verdadeira quando todas as

proposições forem verdadeiras.

Ex: uma pai promete ao seu filho; te darei uma

bola e um carrinho.


1. Analisando.

2. Notamos o numero de proposições

3. Fazemos a tabela verdade.

4. Damos a sentença segundo a regra do conectivo.

5. Chamamos de A= dar a bola B= dar o carrinho


A B A ^ B

V V V

V F F

F V F

F F F


Conectivo ou exclusivo.

Ou.... Ou..... Símbolo “v”

REGRA; a sentença é verdadeira quando as proposições tiverem valores

lógicos diferentes.

Tomemos como exemplo ainda a frase; um pai promete ao seu filho ou te

darei uma bola ou uma carrinho.

Chamemos da A= dar a bola B= dar o carrinho.


1. Analisando.





A B A “V” B

V V F

V F V

F V V

F F F

Conectivo ou

......Ou..... Símbolo v

REGRA; a sentença é verdadeira quando pelo menos uma proposição for

verdadeira.

Tomemos como exemplo ainda a frase; um pai promete ao seu filho te darei

uma bola ou uma carrinho.

Chamemos da A= dar a bola B= dar o carrinho.


1. Analisando.





A B A v B

V V V

V F V

F V V

F F F

1. Exercitando.

2. De as sentenças das seguintes equações

lógicas abaixo.

3. (A v B) ^ ( A ^ B)

4. (A v B) “v” ( A ^ B)

5. (A ^ B) ^ ( A “v” B)


RESOLUÇÃO 1.


A B A v B A ^ B (A v B) ^ ( A ^ B)

V V V V V

V F V F F

F V V F F

F F F F F

RESOLUÇÃO 2.


A B A v B A ^ B (A v B) “v” ( A ^

B)

V V V V F

V F V F V

F V V F V

F F F F F

RESOLUÇÃO 3.


A B A ^ B A “v” B (A ^ B) ^ ( A “v” B)

V V V F F

V F F V F

F V F V F

F F F F F

Negação de uma proposição.

Símbolo ~ ou ⌐

Seja a proposição A

Se A = V então ~A = F

Se A = F então ~A = V


Exemplos.

Maria é bonita.

Negação = maria não é bonita.

João não é médico.

Negação = joão é médico.


(CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os

símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e

significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada

proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou

falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

1) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição

R v (¬ T) é falsa

2)Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a

proposição (P∧R)”v”(¬Q) é verdadeira.


Se a proposição T é verdadeira e a proposição

R é falsa, então a proposiçãoR v (¬ T) é falsa

RESOLUÇÃO

T= V R = F

Daí temos F v ~V F v F = F

CORRETA A QUESTÃO


2)Se as proposições P e Q são verdadeiras e a

proposição R é falsa, então a proposição

(P∧R)”v”(¬Q) é verdadeira.

RESOLUÇÃO

Substituindo os valores temos;

( V ^ F ) “v” ~V ( F ) “v” F F

QUESTÃO ERRADA.


EXERCICIOS CESPE.


23. resolução.~(AvB)v(AvB)

Temos que independente isso quer dizer que

são todas as possibilidades.

Daí temos a tabela verdade.

QUESTÃO CORRETA.


A B AvB ~(AvB) .~(AvB)v(A

vB) V V V F V

V F V F V

F V V F V

F F F V V

24. resolução.

Seja A= todos os beija-flores...

Seja B= algum beija-flor....

Negação de todos = algum

Negação de nenhum = algum

Negação de algum = todos ou nenhum.

Então temos se A=F temos B= ~A daí B= V

Correta a questão.


25. resolução

~AvB= V e sendo A=F

Sabemos que conectivo ou a sentença é

verdadeira quando ao menos uma proposição

for verdadeira daí temos.

Fv”B”=F obrigatoriamente B tem que ser falso.

Questão errada.


Conectivo condicional. Símbolo

Módulo clássico de se ver a forma condicional.

Se.... Então....

Exemplo;

Se nasci em Petrópolis então sou fluminense.

Tabela verdade. A= nascer em pet... B= ser flu...


A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

REGRA

A sentença será falsa quando a primeira

proposição for verdadeira e a segunda falsa.


a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das

seguintes maneiras: Se chove, faz frio. Faz frio, se chove. Quando chove, faz frio. Chover implica fazer frio. Chover é condição suficiente para fazer frio. Fazer frio é condição necessária para chover. Chove somente se faz frio. Toda vez que chove, faz frio.


Questão 1

(Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:

P: “A ou B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.

d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.


Questão 2

Julgue a questão abaixo.

É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de

proposições seguintes:

Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José

será aprovado no concurso.

Maria é alta.

Portanto José será aprovado no concurso.


Questão 3

Julgue a questão abaixo.

É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de

proposições seguintes:

Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um

emprego.

Ela conseguiu um emprego.

Portanto, Célia tem um bom currículo.


Questão 4


Questão 5


Questão 6


Questão 7

Julgue as questões abaixo


Questão 8


Questão 9 a) Um pai diz ao filho: Ser aprovado é condição

suficiente para você ganhar um presente. A promessa do pai só será falsa se:

b) Sendo aprovado e ganhando o presente c) Não sendo aprovado, mais ganhara o presente. d) Não sendo aprovado e não ganhando o presente e) Sendo aprovado e não ganhando o presente f) Nenhuma das opções acima



Questão 10

Questão 11

(ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai

ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul

briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo.

a. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

b. Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

c. Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

d. Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

e. Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.


Conectivo bi condicional.

Símbolo

Forma clássica de ocorrer.

.... Se somente se....

Regra a sentença é verdadeira quando as proposições tiverem

valores lógicos iguais e falsa quando são diferentes.


São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as

seguintes

expressões:

A se e só se B.

Se A então B e se B então A.

A somente se B e B somente se A.

A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A.

B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.

Todo A é B e todo B é A.

Todo A é B e reciprocamente.


Outras formas de aparecer a bicondicional.

A é condição suficiente e necessária para B

A é condição necessária e suficiente para B


Revisão geral da lógica sentencial.

Questão 1

a)Iara não fala italiano e Débora não fala dinarmaquês.

b)Ching não fala chinês e Débora fala dinarmaquês.

c) Francisco não fala Frances e Elton fala espanhol.

d) Ana não fala alemão e Lara fala italiano

e) Nenhuma alternativa esta correta


A= Lara não fala italiano

B= Ana fala alemão

C= ching fala ingles

D= Débora fala dinarmarquês

E= Elton fala espanhol

F= Francisco não fala Frances.

Equacionando. A B | ~A C “v” D | D E | E ~F

Sabe-se que F=v e ~C=v

Resolução feita em aula.

Resposta letra A


Questão 2

Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro

falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora,

não há um leão feroz nesta

sala. Logo:

A Nestor e Júlia disseram a verdade

B Nestor e Lauro mentiram

C Raul e Lauro mentiram

D Raul mentiu ou Lauro disse a verdade

E Raul e Júlia mentiram


Seja

A= nestor diz a verdade ( f )

B= julia mente (f ou v)

C= raul mente (f)

D= lauro diz a verdade (f)

E= existe um leão feroz (f)

Sabe-se que ~E=V equacionando temos.

A B ^ C | C D | D E

Resolução feita em sala. Resposta letra B


Questão 3


Seja

A= a=b+p (v)

B= a= z+r (v )

C= a= w-r (v)

D= a=0 (f)

E= a+u=5 (f)

Sabe-se que ~E=V equacionando temos.

A B | B C | A v D | D E


Questão 4

A equação proposicional ( A B ) ( ~A B ) tem:

A) nenhum valor verdade

B) 1 valor verdade

C) 2 valores verdade

D) 3 valores verdade

E) 4 valores verdade


Questão 5

Qual o número de linhas da tabela–verdade das seguintes

fórmulas ?

(X ^ (W (( P v Q) v (S T))

A) 8

B) 16

C) 32

D) 64

E) 128


Questão 6

Interprete a letra sentencial C como ‘Está chovendo.’ e a letra sentencial ‘N’ como ‘Está nevando.’

Complete a tabela ao lado e escolha a opção

1 Não está chovendo. ( ) (C ^ ~N )

2 Está chovendo ou nevando. ( ) (~C ^ ~N)

3 Não está chovendo e não está nevando. ( ) ~C

4 Está chovendo e nevando. ( ) ~(C ^ N)

5 Está chovendo, mas não nevando. ( ) (C v N)

6 Não é verdade que está chovendo e nevando. ( ) (C ^ N)

A) 634215

B)142365

C)621345

D) 641235

E) 531624


Questão 7 julgue como certo ou errada


Questão 8 julgue como certa ou errada


Questão 9


Questão 10


Diagramas lógicos.

O uso de diagramas é feito para resoluções do tipo em que

apareçam palavras lógicas do tipo; todos, alguns e nenhum.

A idéia básica para resolução das questões é o conceito básico

de lógica em que diz. Que uma coisa possível não é uma coisa

verdadeira, pois uma coisa para ser verdadeira deve ser

verdadeira em todos os casos.

Vamos a um exemplo para podemos entender melhor isso.


Exercitando.

Questão 1


Questão 2


Questão 3


Questão 4


Questão 5


Questão 6


Questão 7


Questão 8


Negação de diagramas lógicos.

Negação de todos é alguns

Negação de nenhum é alguns

Negação de alguns é nenhum ou todos.


Exercitando.

Dizer que não é verdade que, todos os artistas são felizes e alguns professores

são ricos é o mesmo que dizer que;

a) Todos os artistas não são felizes e alguns professores são ricos.

b)Todos os artistas não são felizes e alguns professores não são ricos.

c) algum artista não é feliz ou nenhum professor é rico

d) Alguns artistas não são felizes e nenhum professor é rico.

e) Nenhum das anteriores esta correta.


Exercitando.

A afirmação; não é verdade que se nenhum pobre é feliz então

algum rico é infeliz. É logicamente equivalente a;

a) Algum rico é feliz e algum pobre é infeliz

b) Algum pobre é feliz e nenhum rico é infeliz.

c) Todos os pobres são felizes ou algum rico é infeliz

d) Nenhum pobre é feliz se somente se todos os ricos são

infelizes

e) Nenhuma das alternativas anteriores.


Análise combinatória ou principio fundamental da contagem.

Toda vez que houver a necessidade de se contar, quantificar,

combinar... Usamos as técnicas de análise combinatória que

consiste em utilizar uma das três técnicas. PERMUTAÇÃO,

ARRANJO ou COMBINAÇÃO.


Fatorial.

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4).... Ate que a subtração por n seja igual

á 1.

4! = 4x3x2x1= 24

5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120

8! \ 4! = ?

9! \ 6! x 2! = ?

12! \ 8! X 4! = ?


PEMUTAÇÃO.

Só usamos a permutação quando podemos repetir

elementos do problema.

Usamos o seguinte esquema.

Pos x pos x pos x pos........

Ex; quantas senhas diferentes com quatro dígitos

podem ser formadas ?

Temos; 10 x 10 x 10 x 10 = 10000


ARRANJO.

se em um problema não podemos repetir elementos vemos se a ordem desses

elementos é importante para a solução, se for temos um problema de

ARRANJO.

formula. A n,p = n! \ (n-p)!

Ex; deseja-se formar uma comissão composta por 3 pessoas sendo um

presidente, um secretário e um vice-presidente. Escolhe-se ao acaso essas

pessoas de um grupo de 6 pessoas quantas possibilidades diferentes

temos para montar essas comissões?

Temos n= 6 p = 3 A 6,3 = 6! \ ( 6 – 3 )! 6x5x4x3!\3! = 6x5x4=120


Combinação

ao testar em um problema se o mesmo é uma permutação ou

um arranjo, e ao notar que não é podemos ver que a ordem

dos elementos se torna importante e temos um problema de

combinação.

Fórmula. C n,p = n! \ p! ( n-p )!

Ex; quantas saladas de frutas podem ser feitas utilizando 4

frutas escolhidas de uma sexta com 7 frutas?

n= 7 p = 4 temos; C 7,4 = 7! \ 4! ( 7- 4 )! 7! \ 4! x 3!

7x6x5x4 \ 3x2x1 = 35


EXERCITANDO.

Questão 1

Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem

usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do

Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de

nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada

inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes

distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de

nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.


Questão 2

Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12

funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada

agência receba 4 funcionários.


Questão 3

Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4

setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no

máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.


Questão 4


Questão 5


Questão 6


QUESTÃO 7


Questão 8


Questão 9


Questão 10

O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de seis dezenas de um conjunto de

sessenta possíveis (01, 02, 03, ..., 59, 60). A aposta mínima é feita escolhendo-se

seis dessas dezenas. José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o

maior número de apostas mínimas, combinando-as oito dezenas escolhidas de

todas as maneiras possíveis. Quantas apostas fez José?

(A) 28

(B) 48

(C) 56

(D) 98

(E) 102


Questão 11


EXERCICIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA.

QUESTÃO 1


Questão 2


Questão 3


Questão 4


Questão 7

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve

resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10

questões?

a) 3003

b) 2002

c) 4000

d) 4084

e) 2048


Probabilidade.

Em resumo podemos definir probabilidade como sendo ;

Número de casos possíveis

casos prováveis.

ou

evento .

Espaço amostral.


Exemplo:

Qual a probabilidade de jogarmos um dado ao acaso e termos

como resultado o número 4.

Qual a probabilidade de em um baralho com 52 cartas tirarmos

uma ao acaso e a mesma ser do nipe de copas.


: A probabilidade do evento impossível é nula.

Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto

vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas,

a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento

impossível, neste caso) é nula.


A probabilidade do evento certo é igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a

probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo,

neste caso) é igual a 1.


A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a

unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos

problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a

probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil

determinar a probabilidade do evento.


ex; de probabilidade complementar.

Ao lançarmos 5 moedas ao acaso qual a probabilidade de que

pelo menos uma moeda tenha na sua face voltada para cima a

cara.


Questão 1


Questão 3


Questão 4


Questão 5


Questão 6


Questão 7


Questão 8


Questão 9


Questão 10


Questão 11


Questão 12


Questão 13


Questão 14


Questão 15

Lança-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. A

probabilidade de obtermos cara e um número par é

a) 1 / 12.

b) 2 / 12.

c) 3 / 12.

d) 4 / 12.

e) 6 / 12.


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