Sobre Geoestatística e Mapas. (Paulo M. Barbosa Landim)

Everson MattosSanta Maria-RS, Julho/2013

Resumo

1 – O que é Geoestatística;2 – Variáveis Regionalizadas;3 – O Semivariograma;4 – Krigagem Ordinária;5 – Interpolação.

O que é Geoestatística?

Geoestatística é uma área da estatística aplicada que trata dos fenômenos, que podem ser estudados usando a teoria das variáveis regionalizadas.

Variáveis Regionalizadas

As variáveis regionalizadas são aquelas que apresentam duplo aspecto contraditório.

Aleatório: apresenta irregularidade e variação imprevisível de um ponto para outro.

Estrutural: apresenta relação existentes entre os pontos no espaço. (determinístico no espaço)

Embora existam correlação em todas as direções, pode-se estimar apenas em passos regularmente espaçados .

Semivariograma

h

O grau de relação entre pontos numa certa direção pode ser expresso pela covariância. Covariância é uma medida de associação (relação)

Se o fenômeno for isotrópico não dependerá da direção, dependerá apenas de .

h

)])([(),( YX YXEYXCov

Semivariograma

Espaçamento entre amostras 100 pés.

SemivariogramaPara a direção Oeste-Leste (WE)

Semivariograma

31,4]272[

])3030()3037()2833()3336()2934()3435()3235(

)3536()3537()3738()3635()3535()3437()3737(

)3338()3837()3735()3537()3839()3943()4039(

)4142()4242()3640()3940()3742()4244[(

)300(*2222222

2222222

2222222

222222

x

Semivariograma

70,6]232[

])29-35()32-30()30-38(

)29-35()32-36()33-35()28-34()34-36()35-35()36-38(

)37-35()33-35()37-37()37-37()34-38()38-37()40-42(

)41-43()38-39()39-42()36-42()37-40()40-44[(

)400(*222

2222222

2222222

222222

x

35,5]362[

])32-28()34-38()30-29()29-35()35-33()33-04(

)40-36()29-32()32-36()36-37()37-41()41-37(

)33-36()3637()37-39()39-39()30-34()34-37(

)37-38()38-39()39-40()35-35()35-35()35-42(

)42-42()35-36()37-34()43-40()37-35()35-38(

)38-37()38-36()36-35()35-37()37-42()4244[(

)100(*222222

222222

222222

222222

222222

222222

x

Para a direção Norte-Sul (NS)

Semivariograma

Semivariograma

Regra prática – número mínimos de pares entre 30 e 40;Maior distância entre pontos: (Leste – Oeste); e (Norte – Sul);

2500300 2800400

Semivariograma

Anisotropia:• Geométrica – Quando o “a” varia e o “Sill” fica constante;• Zonal – Quando “Sill” varia e o “a” permanece constante;

Efeito pepita – Erro de medida, ruído, ou amostras muito espaçadas;

Quando não se sabe se o fenômeno é isotrópico ou anisotrópico, usa-se as direções dos pontos cardeais e colaterais com ângulo de abertura de 45º.

Quando descoberta uma direção de forte anisotropia deve-se investigar essa direção ângulo de abertura pequeno.

Melhores estimativas são obtidas quando os modelos são baseados em Semivariogramas experimentais que apresentam a menor razão e maior alcance.

Semivariograma

SillCo

Semivariograma

Validação cruzada, forma de verificar as estimativas; A melhor forma é a comparação com dados de campo;

A média do erro = zero, indica apenas que o modelo escolhido é menos incorreto que outros;

Cuidado na determinação do semivariograma, determina toda a análise geoestatística.

Semivariograma

Krigagem Ordinária

“ ... O uso de semivariograma para a estimativa por kigragemnão exige que os dados tenham distribuição normal, mas a presença de distribuição assimétrica, com muitos valores anômalos, deve ser considerada, pois a krigagem é um interpolador linear.”(p. 27)

Krigagem é um processo de estimativa de valores de variáveis distribuídas no espaço e/ou tempo ... Estimativa por média móvel.

Krigagem Ordinária

nnE xxxA ...2211

ET AA

Problema: como estimar um ponto não amostrado A, conhecendo–se apenas os valores de algumas amostras (x1,...xn)?Uma forma, muito comum é usar uma combinação linear dos dados existentes, ou seja:

Toda estimação possui um erro associada a ela, nesse caso o erro é descrito como:

O estimador é dito de confiança se a média do erro de estimação for zero.

Uma forma usual de medir a confiança de um estimador é utilizar o desvio padrão ou sua variância.

Entretanto, nesse caso não se sabe o valor real, apenas a estimativa, logo não se sabe o erro e tampouco a variância.

Então com o se faz?

Krigagem Ordinária

2

Krigagem Ordinária

)(22

nnE xxxA ...2211

11

n

ii

A solução é utilizar o semivariograma para estimar a variância, logo:

Sendo que a estimativa é:

Assumindo que:

Restrição necessária para encontrar a solução do sistema de equações lineares.

Krigagem Ordinária

0)( AE

nii

,...,2,102

Considerando também que não haja tendência local dos valores, isto é:

Caso isso ocorra o estimador é ótimo e não tendencioso, pois, dado um conjunto de pesos para cada valor a ser estimado ocorre a minimização das variâncias dos erros:

Assim para estimar o valor ‘A’, é necessário resolver um sistema de equações linear para ser resolvido com n equações. Como há uma restrição, , tem-se o aumento uma variável independente.

Para resolver esse problema (Otimização com restrição), utiliza-se o multiplicador de Lagrange para que o sistema linear possa ter solução.

Krigagem Ordinária

11

n

ii

Krigagem Ordinária

O sistema pode ser escrito como: 1|)(|1|)( Aiiihi xxxx

Desejam-se os ponderadores: 1|)(1|)(| 1

Aiihii xxxx

Krigagem Ordinária

)]([][

:é variânicaa e

)(

'2Aii

AiiE

xx

xxA

EA

O ponto a ser estimado pela krigagem é:

InterpolaçãoInterpolação com o Inverse Distance Weighting (IDW)

n

j j

ii

d

d

1

1

1

Ponto X Y U3O4 Distâncias 1/Distância PesosA 4150 2340 372.803 0.000 - -1 4170 2332 400 21.541 0.0464 0.3187012 4200 2340 380 50.000 0.0200 0.1373013 4160 2370 450 31.623 0.0316 0.2170924 4150 2310 280 30.000 0.0333 0.2288355 4080 2340 320 70.000 0.0143 0.098072

InterpolaçãoO mesmo problema agora usando krigagem ordinária

Interpolação

Interpolação

Interpolação

Interpolação

)()()()()(54321

5544332211 hhhhh

ApApApApApA

55,376)320(*0901,0280*2668,09,420*3017,0

3,581*)0347,0(7,322*3760,0

A

Interpolação

],[]'[),(2AiiAiiA SSSS

E

8867,4100816,109,714*0901,05,405*2668,0

9,420*3017,03,581*)0347,0(7,322*3760,02

EA

27034,208867,410 EA

O valor estimado com o interpolador do tipo IDW e a Krigagem são muito semelhantes!

Pode-se com a krigagem avaliar o erro de estimação ou a faixa de valores, as quais o valor verdadeiro é mais provável.

Interpolação

EE AETAE AAA 96.196.1

O valor verdadeiro do ponto A deve estar, com 95% de certeza, entre:

28,41682,33627034,20*96.155,37627034,20*96.155,376

T

T

AA

Mapa

Modelo de variograma ajustado ao variograma experimental

Mapa de localização de pontos de amostragem

Mapa estimado pelo método da krigagem ordinária

Mapa de desvios-padrão da krigagem associados aos valores estimados

Mapa

Mapa

Concluindo

Entretanto, segundo Landim, não há garantia que os dados interpolados mantenham o mesmo histograma e a mesma variância e o mesmo semivariograma dos dados originais.

Pode-se estimar um valor não amostrado e vavaliar o erro dessa estimativa, conforme os mapas anteriores.

Alguns aplicativos que podem auxiliar no tratamento estatístico de dados: Surfer®, SPSS®, Estatística®

Centro Reginal Sul de Pesquisas Espaciais – CRS/INPEUniversidade Federal de Santa Maria – UFSMPós-Gradução em Geografia e Geociências

Santa Maria-RS, Out/2013

Obrigado!