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8/10/2019 Sol Exe Yard

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Solues de Exerccios: EUF

De Nerdyard

Ol! Esse artigo est sendo escrito no sentido de auxiliar qualquer estudante de graduao que queira se preparar para um exame de ps-graduao. Eu tentei usar outrasferramentas baseadas no Latex, mas elas se provaram menos eficientes para o meu propsito.

Apenas para avisar: se for encontrado algum erro, notifiquem-me na pgina de discusso ou editem a correo, por favor.

Ento vamos ao que interessa.

Tabela de contedo

1 EUF - 2008/11.1 Questo 9

2 EUF - 2008/22.1 Questo 22.2 Questo 42.3 Questo 6


3.4 Questo 43.5 Questo 53.6 Questo 73.7 Questo 8

4 EUF - 2010/14.1 Questo 24.2 Questo 44.3 Questo 54.4 Questo 7


6 EUF - 2011/16.1 Questo 3

6.2 Questo 66.3 Questo 86.4 Questo 96.5 Questo 10


8 EUF 2012/18.1 Questo 18.2 Questo 4

9 Formulrio9.1 Constantes Fsicas9.2 Constantes Numricas9.3 Mecnica Clssica

9.4 Eletromagnetismo

EUF - 2008/1

Questo 9

O modelo de Einstein para a capacidade trmica de slidos equivale a um conjunto de osciladores qunticos unidimensionais localizados de mesma freqncia angular . Aspossveis energias de um oscilador so dadas por:

com

a) Compute a funo de partio e a energia interna do sistema de osciladores como funes da temperatura.

b) Calcule a entropia e a capacidade trmica do sistema como funes da temperatura.

c) Determine os limites de para baixas e altas temperaturas e esboce o grfico dessa grandeza como funo da temperatura.

Soluo:

a) A funo de partio dada por:


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Sendo a funo de partio de um nico oscilador. Assim:

Logo:

j que .

J a energia mdia, , dada por:

b) Para obtermos a entropia basta calcular:

J a capacidade trmica dada por:

c) Vou fazer primeiro o grfico para pois possui uma anlise mais simples. Depois fao o grfico para :

Para (ou ) podemos realizar a seguinte aproximao:

Para (ou ) podemos realizar a seguinte aproximao:

Para visualizar, veja o grfico ao lado.

EUF - 2008/2

Questo 2

Considere um pndulo plano formado por uma haste inexpensvel de comprimento e massa desprezvel tendo na sua extremidade uma partcula pontual de massa .

a) Escreva as equaes de movimento da partcula em coordenadas polares e .

b) Suponha que o pndulo seja lanado de com . Calcule o valor mximo que a tenso na haste atinge durante o movimento.

c) Encontre na aproximao de pequenas oscilaes supondo e .

d) Esboce um grfico mostrando como o perodo do movimento da partcula varia com a sua energia.

Soluo:

;

Logo:

Suporei que a partcula possui massa constante.

a) As equaes de movimento so:


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Como:

;

Temos a equao de movimento em relao a :

E como:

;

Temos a equao de movimento em relao a :

Como , temos:

b)

c) Utilizando os vnculos ( ; ) nas equaes de movimento, vemos que uma delas se torna familiar no caso de pequenas oscilaes:

Para vale a aproximao:

Logo:

Que a equao do oscilador harmnico, cuja freqncia dada por:

A soluo da equao diferencial:

dada por:

Com e constantes fixadas pelas condies iniciais. Para demonstrar que esta a soluo, basta testarmos:

Portanto a funo dada soluo da equao acima.

Quanto s constantes, fixemo-las a partir das condies iniciais e tomando :

;

Sic:

d) Como:

A energia total do sistema dada por - se expressar esta em termos das variveis especificadas nas condies iniciais:

Logo, como , temos como espressar o perodo como funo da energia :


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Perodo em funo da energia para o pndulo naaproximao de pequenas oscilaes entorno de .

Que nos fornece o grfico abaixo:

Questo 4

O Hamiltoniano:

oferece uma boa aproximao para descrever os estados qunticos de um sistema com momento angular colocado num gradiente de campo eltrico. Na expresso doHamiltoniano, e so as componentes e do operador momento angular orbital e uma constante real. Os autoestados , e e comautovalores , , formam uma base do espao de estados desse sistema.

a) Escreva a matriz que representa na base de citada acima.

b) Encontre os autovalores de e os correspondentes autovetores na base de , citada acima.

c) Suponha que no instante o sistema se encontre no estado

Qual a probabilidade de se encontrar numa medida de num instante de tempo posterior ?

Soluo:a) Sabemos que:

;

Portanto ;

Sabemos, tambm, que:

Logo, como para , os estados possveis so:

; e

Dessa forma:

Portanto os elementos de matriz no nulos so:

Sendo todos os outros elementos de matriz nulos, incluindo:

Dessa forma fazemos a identificao:


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Analogamente:




Logo:

E:

Portanto:

b) Para calcular os autovalores de basta efetuar:

Portanto os autovalores dessa matriz so:

; ;

Quanto aos autovetores para calcul-los basta efetuar:

Se , de forma que o autovetor dado por:




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c) Como:

autoestado de , logo sua evoluo temporal ser:

Logo, a probabilidade de se encontrar numa medida de - que na realidade obter - ser:

Questo 6

Um cilindro muito longo de raio fabricado com um material isolante cuja constante dieltrico e que possui uma densidade de carga livre cilindricamente simtrica,

mas no uniforme .

a) Determine tal que o campo eltrico dentro do cilindro seja radial apontando para fora do mesmo e com mdulo constante .

b) Para a densidade de carga determinada em a), calcule o campo eltrico fora do cilindro.c) Se o cilindro for ento envolvido por uma casca cilndrica condutora neutra, concntrica com relao ao cilindro, de raio interno - com - e raio externo - com

-, determine as densidades de carga induzidas nas superfcies da casca condutora.

d) Para a situao do item c), esboce um grfico do mdulo do campo eltrico em funo da distncia ao eixo do cilndro, em todo o espao.

Soluo:

a) Usando como superfcie um cilindro concntrico de raio - tal que este seja menor que - e altura , temos, pela lei de Gauss, ignorando o carter finito do cilindro:

Utilizando .

Logo:

Portanto:

Como desejamos que , temos:

Sabemos que:

Logo:

b) Como a carga interna :

Usando como superfcie um cilindro concntrico de raio - tal que este seja maior que - e altura , temos, pela lei de Gauss:

Logo:


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Este o grfico do campo eltrico do exerccio acima. Note que o grfico descontnuo devido smudanas de meios (dieltrico 1 - dieltrico 2 - metal - dieltrico 2). Note que o campo dentro do

metal nulo, e dentro do dieltrico 1 menor devido ao maior efeito de polarizabilidade das molculasnesta regio.

Sistema massa mola do exerccio.

Portanto, usando a simetria (adotando o sinal 'positivo' para a cargaspositivas), sendo o versor radial do cilindro, que aponta 'para fora'deste:

c) Como os metais so condutores, o campo eltrico dentro deles deveser nulo. Logo, ao efetuar uma lei de Gauss no interior do metal, sabemosque deve valer:

Para que isso ocorra s h uma alternativa: deve haver uma carga devalor na superfcie interna do metal, distribuda uniformemente aolongo da superfcie interna do cilindro. Supondo que o metal sejaeletricamente neutro, se efetuarmos outra lei de Gauss para ,notamos que a superfcie externa do metal deve possuir cargatambm uniformemente distribuda, na superfcie externa do cilindro.

As densidades de carga sero, se for a altura do cilindro, com

, e :

Se por densidade de carga entendermos densidade linear de carga,a superfcie interna possui densidade de carga e a superfcieexterna possui densidade de carga .

Se por densidade de carga entendermos densidade superficial decarga, a superfcie interna possui densidade de carga e asuperfcie externa possui densidade de carga .

d) Vide figura direita.

EUF - 2009/2

Questo 1

Um disco uniforme, de seo circular de raio , massa e momento de inrcia (com relao ao eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro),encontra-se preso a uma mola de constante , massa desprezvel e um certo comprimento de repouso, como mostrado na figura ao lado. O disco rola sobre a suprefcie semdeslizar e seu movimento est confinado ao plano da figura.

1. Escreva a equao para a energia mecnica do sistema em funo da velocidade do centro de massa e da distenso damola.2. Obtenha a equao de movimento para o centro de massa do disco.3. Determine a freqncia angular de oscilao do centro de massa do disco.

Soluo:

Note que h um vnculo: .

;

Como a densidade uniforme:

Apenas para fazer uma observao adicional, calcularei o momento de inrcia do cilindro, cujo raio e cuja distribuio de massa uniforme. A distncia do eixo do cilindro aum ponto arbitrrio ser batizada de . O eixo de rotao desse cilindro se encontra no centro deste, de forma que temos a seguinte integral:

1) V-se que:

Apenas vou utilizar o vnculo para expressar tudo em termos da coordenada :

2) Sabemos que:

A equao de Euler-Lagrange dada por:


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Grfico do potencial efetivo, , juntamente

com os grficos de e .

Logo, a equao de movimento do centro de massa :

3) Atravs da equao de movimento, vemos que a freqncia angular :

Questo 2

Uma partcula de massa move-se em umpotencial , dado por:

sendo uma constante positiva. Considere que a partcula possua momento angular diferente de zero.

1. Escreva a equao para a energia mecnica da partcula em termos da distncia origem, da sua derivada temporal , do momento angular , da massa e daconstante .

2. Considerando os termos que s dependem de na energia mecnica como um potencial efetivo , esboce o grfico de .

3. Existem rbitas circulares para essa partcula? Em caso afirmativo, determine o raio de cada uma dessas possveis rbitas e discuta a estabilidade das mesmas.4. Calcule a energia mecnica mnima, , acima da qual a partcula vinda do infinito capturada pelo potencial, ou seja, no retorna mais para o infinito.

Soluo:

A energia cintica de um potencial tipo central :

Sendo:

1) Para um potencial central vale a expresso:

2) Utilizando a sugesto do enunciado:

Veja o grfico ao lado.

3) De fato, existem rbitas circulares para a partcula, pois:

A primeira soluo no vlida (as funes no so definidas em zero).

Portanto, possvel a ocorrncia de rbita para:

Sobre a estabilidade da rbita, devemos analizar a derivada segunda:

a rbita instvel.

Essa informao poderia ser retirada do grfico, se notarmos que pequenas perturbaes do sistema nolevam-no de volta ao ponto de equilbrio.

4) Se , ocorre a 'captura' da partcula:


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Grfico da funo , com sendo

o ponto de mximo. A rea sob esta curva quando integrada de

Essa a energia mecnica mnima necessria para que uma partcula vinda do infinito seja 'capturada'.

Questo 3

a) As seguintes afirmaes se referen ao efito fotoeltrico. Responda Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justifique brevemente a sua resposta (mximo de trs linhas). Respostas semjustificativas ou com justificativas erradas no sero consideradas.

1. Incide-se luz num material fotoeltrico e no se observa a emisso de eltrons. Para que ocorra a emisso de eltrons no mesmo materi al basta que se aumentesuficientemente a intensidade da luz incidente.

2. Incide-se luz num material fotoeltrico e no se observa a emisso de eltrons. Para que ocorra a emisso de eltrons no mesmo materi al basta que se aumentesuficientemente a freqncia da luz incidente.

3. No contexto do efeito fotoeltrico, o potencial de corte a tenso necessria para deter os eltrons que escapam do metal com a menorvelocidade possvel.

4. Quando luz azul incide sobre uma placa de zinco, ela no produz efeito fotoeltrico, mas quando iluminada com luz vermelha ocorre emisso de eltrons.5. Quanto maior for a freqncia da luz incidente, maior ser a energia cintica dos eltrons emitidos.

b) Considere o efeito fotoeltrico inverso, ou seja, a emisso de ftons em conseqncia do bombardeio de um material com eltrons de alta velocidade. calcule a freqnciamxima que podem ter os ftons emitidos se a superfcie bombardeada com eltrons com velocidade , onde a velocidade da luz.

Soluo:

a)

1. F. O efeito fotoeltrico associa-se emisso de eltrons devido incidncia de ftons. A energia cintica mxima desses eltrons , sendo a funotrabalho do material que emite os eltrons. No h relao imediata entre intensidade incidente e emisso de eltrons.

2. V. O efeito fotoeltrico associa-se diretamente com a freqncia do fton incidente e s ocorre emisso eletrnica a partir de uma freqncia dada por . Assimque essa freqncia for ultrapassada, ocorre emisso eletrnica de forma significativa.

3. F. O potencialde corte a tenso necessria para deter os eltrons que escapam do metal com a maiorvelocidade (ou energia cintica) possvel.

4. F. Quando a freqncia diminui, se antes no se produzia efeito fotoeltrico, este nodeve passar a ocorrer.5. V. Sim, estatisticamente falando, de acordo com a relao .

b)

Questo 4

A energia da radiao de corpo negro, por unidade de volume e por unidade de intervalo de freqncia, dada por:

onde representa a freqncia do fton e T a temperatura da radiao.

1. Deduza a expresso para a energia total de um gs de ftons em um volume . Qual a dependncia de com a temperatura.2. Esboce grficos de para duas temperaturas e , sendo .

3. Escreva as formas assintticas de no caso de freqncias muito altas (lei de radiao de Wien) e no caso de freqncias muito baixas (lei de radiao de Rayleigh-Jeans).

4. Imagine que o universo seja uma cavidade esfrica de paredes impenetrveis e raio , contendo umgs de ftons em equilbrio trmico. Se a temperatura dentro dacavidade for de , estime a quantidade de energia contida nessa cavidade.

5. Supondo que o Universo se expanda adiabaticamente, calcule a temperatura que ele ter quando o seu volume for o dobro do valor atual (a entropia do gs de ftons ).

IMPORTANTE: originalmente eu havia feito a questo utilizando - a constante de Boltzmann, no se trata do nmero de onda(!). Infelizmente fiz meus grficos nessanotao, ento vou refaz-los assim que possvel.

Soluo:

1) Conforme informa o enunciado:

Utilizando a mudana de varivel:

Conseqentemente:

Da igualdade acima j possvel concluir que . Mas vamos continuar o problema...

Como sabemos:

De forma que:


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at .

Grfico da densidade de energia por freqncia versus a freqncia.

Note que a constante de Boltzmann , ,

.

Grfico da densidade de energia por freqncia versus a freqncia para as diversas leis de radiao (comconstante, e a constante de Boltzmann, e o numero Neperiano). Lembrando que . Note comoas leis de radiao de Rayleigh-Jeans e de Wien concordam com a lei de Planck, nos limites assintticos apropriados.

Se soubermos que:

Sendo a constante de Stefan-Boltzmann, temos:

OBS.: obviamente, nessa questo, no necessrio saber o valor da integral, basta saber que ela converge e fornece um nmero como resultado, j que este item s pede qual adependncia de com . Pela mesma razo no necessrio saber quanto vale a constante de Boltzmann.

Nota:

2) Quando , . Quando , .

(Observe que mais fcil notar que as afirmaes acima esto corretas se usarmos as aproximaes:; , com e constantes

adequadas.)

Para e , podemos concluir que:

O mximo de segue a lei de Wien:

Com a constante do deslocamento de Wien e a velocidade da luz.

Para perceber a diferena na emisso espectral, vide o grfico ao lado:

3) Para freqncias muito altas, a forma assnttica para dada por:

Essa a lei de radiao de Wien.

Para freqncias muito baixas, a forma assnttica para dada por:

Essa a lei de radiao de Rayleigh-Jeans.

4) Como:

Para uma esfera:

Assim, como:

, ,

e

Temos:

5) Numa expanso adiabtica:

Mas, se e so constantes adequadas:

Assim:


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De forma que:

.

Questo 5

Considere um sistema de tomos localizados e no interagentes. Cada tomo pode estar em um dos trs estados rotulados pelo nmero quntico , com . Umtomo tem a mesma energia no estado ou no estado . Um tomo no estado tem energia . Determine:

1. A funo de partio do sistema.2. A probabilidade de um tomo se encontrar no estado com energia . Determine o comportamento de nos limites de altas e baixas temperaturas e esboce o grfico

de versus .3. As expresses para a energia interna e para a entropia como funo da temperatura . Determine os valores assintticos da energia e da entropia nos limites de altas e

baixas temperaturas. A terceira lei da termodinmica observada?4. Esboce o grfico da entropia como funo da temperatura.

Soluo:

Estamos no ensemble cannico (temperatura definida), num caso no qual as partculas so distingveis, portanto, se a funo de partio de uma partcula, a funo departio do sistema ser:

1) Sabemos que:

Os estados so , logo:

2) Sabe-se que:

Para (ou ) .

Para (ou ) .

(sobre o limite assnttico...)

Veja os grficos ao lado.

3) Sabemos que:

Assim, se (ou ), .

Assim, se (ou ), .

4) A entropia dada por:

Assim, se (ou ), .

Assim, se (ou ), .

Questo 7

Durante uma tempestade, uma nuvem cobre a cidade de So Paulo a uma altura em relao ao solo. Vamos supor que a largura da nuvem seja bem maior que essaaltura . Um balo meteorolgico equipado com um sensor de campo eltrico ento lanado verticalemnte a partir do solo. Os dados coletados pelo sensor esto ilustrados nafigura abaixo, onde o mdulodo campo eltrico em funo da altitude ( no solo). A espessura da nuvem na direo vertical igual a e sabe-se que adensidade de carga eltrica sempre negativa no seu interior.

1. Indique, em um diagrama, a direo e sentido do campo eltrico nas regies abaixo, dentro e acima da nuvem.

2. Calcule a densidade volumtrica de carga na atmosfera em funo da altitude, , e esboce o seu grfico.

3. Para quais valores de o potencial eltrico mximo ou mnimo? Calcule o potencial eltrico nesses pontos. Tome no solo.

Questo 8


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Responda as questes abaixo o mais detalhadamente possvel. No deixe nada indicado. Conclua.

Considere um operador hermitiano e mostre que:

1) Os autovalores de so necessariamente reais;

2) Os autovalores de correspondentes a autovetores diferentes so ortogonais.

Um operador , que correspondente ao corresponde ao observvel , tem dois autoestados normalizados, e , com autovalores e , respectivamente, e. Um outro operador , que corresponde ao observvel , tem dois autoestados normalizados, e , com autovalores e , respectivamente, e

. Os dois conjuntos de autoestados (ou bases) esto relacionados por:

e .

3) Encontre a relao inversa entre as bases, ou seja, os s em termos dos s.

Sobre esse sistema, podem ser feitas medidas em seqncia. Calcule as probabilidades pedidas nos casos abaixo:

4) medido e encontrado o autovalor . Imediatamente aps, medido e encontrado o autovalor . Em seguida, medido novamente. Qual a probabilidade dese obter novamente o autovalor nessa ltima medida?

5) medido e encontrado o autovalor . Aps essa medida de , mede-se e novamente , nessa ordem. Qual a probabilidade de se obter nessa seqncia demedidas os autovalores (na medida de ) e (na medida de )?

Soluo:

1) Dado um operador hermitiano cujos autoestados constituem uma base , sendo que os autovalores de quando atua nessa base so , ou seja:

Como o operador hermitiano:

Portanto, por ser hermitiano, o operador possui a seguinte propriedade:

Observao: essa demonstrao vale inclusive no caso degenerado.

2) Dada uma situao na qual:

Com todas autovalores diferentes entre si, inclusive:

Logo:

Assim:

Mas:

Portanto:

Como, por hiptese , temos que:

so ortogonais.

Observao: essa demonstrao novale para o caso degenerado, pois nesse caso no vlido afirmar que todos os autovalores que correspondem aos autovetores sodiferentes entre si.

3) Sabemos que:

Logo:

Tambm temos que:


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4) De acordo com o enunciado:

E:

O enunciado informa que na primeira medida de encontra-se , portanto o autoestado incidente .

Aps isso, mede-se e encontra-se , portanto:

Observao: a importncia desse passo meramente a de verificar que o estado possui alguma componente do estado

Ou seja, h um autoestado de cujo autovalor corresponde a compondo o estado , portanto o autoestado incidente passa a ser .

Finalmente, mede-se novamente e encontra-se , portanto:

Observao: a importncia desse passo meramente a de verificar que o estado possui alguma componente do estado

Ou seja, h um autoestado de cujo autovalor corresponde a compondo o estado , portanto o autoestado medido passa a ser .

Logo:

5) O enunciado informa que na primeira medida de encontra-se , portanto o autoestado incidente .

Aps isso, mede-se , de forma que:


Logo:

Incidindo o estado na prxima medida, teremos:


Logo:

Assim, a probabilidade de se medir e depois medir ser:

EUF - 2010/1

Questo 2

Uma partcula de massa pode se mover sem atrito num aro de raio , como mostrado na figura abaixo. O aro gira com velocidade angular constante em torno do eixovertical, conforme mostrado na figura. Considere a acelerao da gravidade valendo .

a) Determine a energia cintica da partcula em funo de , , , e .

b) Determine a lagrangiana da partcula, adotando energia potencialnula no ponto correspondente a .


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Grfico do potencial efetivo,

versus

nos regimes de , e e . Nessegrfico reside a explicao fsica para o porqu do aparecimento da

quebra de simetria: simplesmente deve-se 'competio' entre opotencial gravitacional e o 'potencial girante'. De at

temos em umponto de equilbrio estvel. A partirde uma certa freqncia ( ), o 'potencial girante' passa a superar

o potencial gravitacional, para ngulos nas vizinhanas do ngulozero, criando um ponto de equilbrio instvel em , conforme

evidenciado na figura. Da, pequenas perturbaes no sistema oobrigam a 'optar' por um dos dois pontos de equilbrio disponveis ao

sistema: e , o

que origina a quebra de simetria.

c) Determine a equao de movimento da partcula.

d) Determine os pontos de equilbrio.

Observao: Vamos tomar .

Soluo:

Usaremos como origem do sistema de coordenadas o ponto central do aro.

a)

b) O potencial que escolhi no comeo do exerccio j cumpre a condio dada acima, logo j podemos escrever a lagrangiana:

Observao: se voc escolheu um potencial a menos de uma constante, ou seja:

Logo, para cumprir a exigncia do exerccio:

Portanto .

c) Equao do movimento pode ser obtida atravs da equao de Euler-Lagrange:

Com:

Da, a equao de movimento fica:

d) Um ponto de equilbrio se caracteriza por ser um ponto no qual a fora total que atua neste ponto sernula, ou seja, no ponto, , ou .

Antes de encontrar os pontos de equilbrio, vamos notar duas coisas:

Pelas equaes de Hamilton

Como no depende explicitamente do tempo:

Assim, v-se que uma constante do movimento. Diga-se de passagem:

Vamos definir o potencial efetivo a partir de :

Assim, os pontos de equilbrio so tais que:

Que nos fornece:


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Grfico de versus nos regimes de

, e e .

Definindo:

Vemos que s possui soluo se , sendo que ,

se .

Para obter uma informao mais visual, vide o grfico ao lado.

Apenas como informao adicional, esse um exerccio que ilustra quebra de simetria.

Questo 4

Utilizando o Modelo de Bohr:

a) Deduza a expresso para os nveis de energia do on , e calcule os valores das energias at .

Com os resultados desse item, determine:

b) a energia de ionizao do ,

c) o comprimento de onda de uma linha de emisso do na regio do espectro visvel,

d) Dois ons de no estado fundamental e com mesma energia cintica colidem frontalmente. Cada qual emite um fton de comprimento de onda de 120 nm e fica comenergia cintica final nula, no estado fundamental. Qual a velocidade dos ons antes da coliso?

Soluo:

Dados teis:

Ou, como a massa da partcula alfa:

a) O mdulo da fora exercida por uma partcula de carga sobre o eltron dada por (CGS):

Com:

J que:

Para um movimento circular uniformemente acelerado, vale a relao:

Da:

As rbitas de Bohr obedecem condio:

Com isso:


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Conseqentemente:

Para o tomo hidrogenide a energia dada por:

Sabe-se que o estado fundamental do tomo de Hidrognio possui energia:

Portanto:

b) A energia de ionizao resulta da transio entre os estados e ' ', de f orma que:

c) O espectro visvel est, aproximadamente, no intervalo de:

Como:

Como:

A energia do estado cujo nmero quntico est fora da regio do visvel.

Dessa forma apenas possui energia no intervalo do visvel.

Nota: esse exerccio depende de como se define a faixa do visvel, mas o resultado deve ser o mesmo se voc escolheu um intervalo razovelpara os comprimentos de onda. Euapenas fiz a escolha que achei mais conveniente.

d) Por conservao de energia:

Questo 5

Um gs ideal de molculas diatmicas polares, cada uma com momento de dipolo eltrico , encontra-se a uma temperatura e est sujeito a um campo eltrico . Asorientaes dos dipolos so definidas pelos ngulos e de um sistema de coordenadas esfricas cujo eixo-z paralelo ao campo eltrico. A probabilidadede encontrar uma molcula com orientao do dipolo dentro do elemento vale onde a densidade de probabilidade dada por:

e est normalizada de acordo com:

A constante um fator de normalizao, , sendo a constante de Boltzmann e a energia de interao do momento de dipolo com o campo, dada por:


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a) Determine como funo de , e .

b) O momento de dipolo mdio por molcula definido pela mdia:

Determinar como funo de e .

c) Esboce o grfico de versus para constante.

d) A susceptibilidade eltrica definida por:

Determine a campo nulo e mostre que ela inversamente proporcional temperatura . Notar que para pequennos valores de x vale a relao:

Soluo:

a) Vejamos:

Usando a mudana de varivel:

Vamos definir, tambm, .

Temos, ento:

Dessa forma:

b) Por definio:

Usando a mesma mudana de varivel anterior:

Existem duas maneiras para realizar a integral:

Mtodo 1 (integrao por partes)

Se:

Portanto:

Mtodo 2 (derivada em relao varivel )

Assim:

De forma que finalmente obtemos:

c) Basta, em princpio, plotar a funo encontrada no exerccio acima.


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Grfico do momento de dipolo eltrico mdio, e seu comportamento nos limites de

e de .

Se , e , portanto:

Observe que se :

Da, plotando , a assntota e a reta, nos d o grfico ao lado:

d) Como informa o enunciado:

muito conveniente trabalhar com , pois torna as contas mais curtas...

Como:

Agora resta calcular:

Lembrando que se :

De forma que:

Se :

De forma que a campo nulo, como , a susceptibilidade eltrica ser:

Conforme pedido pelo enunciado.

Questo 7

Um condutor esfrico macio, de raio e carregado com carga , est envolto por um material dieltrico esfrico, de constante dieltrica e raio externo -conforme a figura.

a) Determine o campo eltricoem todo o espao e esboce um grfico de seu mdulo .

b) Determine o potencial no centro das esferas, tomando-se como nulo o ptencial no infinito.

c) Encontre as distribuies de carga livre e ligada (de polarizao) nas esferas condutora e dieltrica. Faa uma figura mostrando onde as densidades de carga se localizam,indicando se so positivas ou negativas.

d) Calcule a energia eletrosttica do sistema.

Soluo:

EUF - 2010/2

Questo 1

A interao entre dois tomos de massas e , que formam uma molcula, pode ser descrita pelo potencial de Lennard-Jones, dado por:

no qual e so parmetros positivos e a separao interatmica. Trate o problema classicamente e despreze qualquer tipo de rotao da molcula.


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Um grfico do potencial de Lennard-Jones, com osparmetros e devidamente indicados.

a) Determine a posio de equilbrio em funo de e .

b) Calcule a menor energia para dissociar a molcula.

c) Mostre que o equilbrio estvel e calcule a frequncia de pequenas oscilaes em torno da posio de equilbrio.

d) Desenhe um grfico do potencial de Lennard-Jones, indicando os parmetros obtidos no item a) e b).

Soluo:

a) Temos um ponto de equilbrio quando:

Logo:

Assim, temos um ponto de equilbrio em .

Como o prximo item pergunta sobre energia de dissociao, importante saber se esse ponto de equilbrio estvel ou no - poderamos ver isso graficamente de maneiraimediata, mas faamos essa conta, apenas para tornar a resoluo mais completa.

Para que um ponto de equilbrio seja estvel, necessrio que:

Mas:

Pois e so parmetros positivos. Logo temos um ponto de mnimo, ou seja, de equlbrio estvel. Essa verificao explicitamente pedida no item c), mas j foi feita nesteitem.

b) Para que o molcula se dissocie necessrio fornecer energia suficiente para que ele v a . se olharmos o grfico do item d), vemos que para que isto ocorra necessrio dar uma energia equivalente diferena entre o potencial no ponto de mnimo e o potencial para , ou seja:

Logo, para que a molcula se dissocie necessrio fornecermos uma energia .

c) No item a) j verificou-se que trata- se de um ponto de equilbrio estvel. Resta calcularmos a freqncia parapequenas oscilaes. Nesse regime sabemos que, se chamarmos a massa reduzida de e a freqncia angular de , valea relao:

d) Vide grfico ao lado.

Questo 3

Uma fonte produz um feixe de nutrons com energia cintica mdia de e incerteza relativa na velocidade, , de . Num determinado instante, a funo de

onda unidimensional de um nutron descrita por um pacote de ondas dado por:

Nessa expresso, uma constante , a incerteza padro na posio, e o momento linear mdio

a) Estime o comprimento de onda de de Broglie do nutron e identifique a regio do espectro eletromagntico correspondente a esse comprimento de onda.

b) Estime a temperatura associada a essa fonte de nutrons.

c) Determine a constante , expressando-a em termos de nesse caso.

d) Com um pacote de ondas desse tipo, o produto das incertezas na posio e no momento o mnimo permitido pelo prncipio da incerteza. Estime neste caso.

Soluo:

NOTA: Nesse exerccio utilizei, por comodidade, a mesma notao 'implcita' - e, na minha opinio, at um pouco confusa - do exerccio, na qual:


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Apenas para estabelecer um critrio para saber se o sistema relativstico ou no, vou estabelecer que a partir de o sistema relativstico - isso significa que para apartir de aproximadamente o sistema passa a ser relativstico. Como:

Basta calcular por esse critrio e comparar com . Como , temos:

O que caracteriza um regime clssico, de acordo com nosso critrio, de forma que podemos utilizar tranqilamente.

OBSERVAO: um pouco mais prtico efetuar a conta em , que ficaria assim...

a) Como:

Como , logo:

Este comprimento de onda se encontra na faixa do infravermelho (de at ).

b) Para associarmos energia uma temperatura, podemos usar o teorema da equipartio, de forma que, para um sistema unidimensional, devemos ter a seguinte igualdade:

Assim:

c) Para determinar a constante basta utilizarmos a condio de normalizao:

d) Como o enunciado informa que o pacote de ondas desse tipo caracterizado por possuir incerteza mnima, e, como sabemos que:

Logo, nosso pacote possui a propriedade de que:

Logo, j que o enunciado informa que :

OBSERVAO: No est claro para mim se 'estimar' significa encontrar um valor numrico, ou se basta deixar tudo em funo de .

Podemos determinar utilizando a energia cintica mdia, que se expressa pelo hamiltoniano:

Logo:

Como:


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Logo:

O termo mpar possui integral nula e assim temos:

Usando a mudana de varivel abaixo:

Ficamos com:

Logo, usando os valores de e de - massa do nutron -, temos:

Finalmente, temos que, usando o valor de :

Questo 8

Uma partcula de massa encontra-se inicialmente em um poo de potencial unidimensional dado por:

a) Calcule as autofunes e as autoenergias do estado fundamental e do primeiro estado excitado.b) Considere agora que o potencial expande-se instantaneamente para:

Calcule a probabilidade da partcula realizar uma transio do estado fundamental do primeiro potencial para o primeiro estado excitado do segundo potencial.

c) Calcule a probabilidade da partcula continuar no estado fundamental aps a expanso.

d) Considere que a partcula se encontre no estado fundamental aps a expanso. Calcule a probabilidade da partcula ser encontrada fora da regio .

Soluo:

a) Como o potencial par, existem solues pares e mpares. Independentemente da paridade das solues, na regio fora do poo ( ) a f uno de onda nula. Paravale a equao de Schrdinger:

Sendo:

Cuja soluo :

Sendo e finitos, claramente.

Com as condies de contorno:


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Logo, com o sistema acima, que pode ser escrito pela matriz:

Que possui solues no triviais se:

Com .

Logo:

Logo, para mpar:

E para par:

Nota: para a funo de onda nula devido condio de contorno, portanto considere que na normalizao das funes de onda que ser feita a seguir.

Para par (com a mudana de varivel ):

Para mpar (com a mudana de varivel ):

Logo as autofunes ficam:

Cujas autoenergias so dadas por:

b) A resoluo para esse problema idntica a feita no item a), exceto que devemos realizar a troca

Logo as autofunes sero:

As autoenergias passaram a ser:

Vou denotar os estados do potencial antigo por , e os estados do potencial novo por com nos dois casos.

Logo a probabilidade de obtermos uma transio entre o estado fundamental do potencial antigo ( ) e o estado primeiro estado excitado do potencial novo ( ) dadapor:


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Logo s temos que calcular - lembre-se que a funo de onda antiga nula para e que a funo de onda nova nula para :

Por ser a integral de uma funo mpar num intervalo par.

Logo:

c) Logo a probabilidade de obtermos uma transio entre o estado fundamental do potencial antigo ( ) e o estado f undamental do potencial novo ( ) dada por:

Logo s temos que calcular - lembre-se que a funo de onda antiga nula para e que a funo de onda nova nula para :

Realizando a troca de varivel :

Logo:

d) A probabilidade de se encontrar a partcula fora da regio dada por - com a mudana de varivel :

EUF - 2011/1

Questo 3

Para os itens a), b) e c), admita que no modelo de Bohr para uma partcula de massa se movendo numa rbita circular de raio e velocidade , a fora Coulombiana fossesubstituda por uma fora central do atrativa de intensidade (sendo uma constante). Admita que os postulados de Bohr sejam vlidos para este sistema. Para esta situao:

a) Deduza a expresso para os raios das rbitas de Bohr permitidas neste modelo em funo do nmero quntico e das constantes , e . Diga quais os valorespossveis de neste caso.

b) Lembrando que para o caso desta fora central, a energia potencial correspondente , deduza a expresso para as energias das rbitas permitidas em

funo do nmero quntico e das constantes , e . Determine a freqncia irradiada quando a partcula faz uma transio de uma rbita para outra adjacente.

c) Calcule o comprimento de onda de de Broglie associado partcula em um estado de energia correspondente ao nmero quntico em funo de , e .

Para o item d), considere um feixe de raios-X, contendo radiao de dois comprimentos de onda distintos, difratados por um cristal cuja distncia interplanar (ou). A figura abaixo apresenta o espectro de intensidade na regio de pequenos ngulos (medidos em relao direo do feixe incidente).

Determine os comprimentos de onda dos raios-X presentes no feixe. Utilize .

Soluo:

Questo 6

Coloca-se uma esfera metlica descarregada, de raio , numa regio do espao inicialmente preenchida por um campo eltrico dado por . Escolha a origem do

sistema de coordenadasno centro da esfera.

a) Esboce as linhas do campo em toda a regio do espao. Justifique o esboo utilizando argumentos fsicos.

b) Determine o campo eltrico em toda a regio do espao. Em particular, encontre os campos para os pontos em que e e verifique se eles so

consistentes com o esboo do item a).

c) Ache a densidade de carga na esfera. Se e , calcule as cargas acumuladas nos hemisfrios norte e sul da esfera.

d) Suponha que a esfera metlica seja substituda por uma esfera dieltrica. Discuta qualitativamente o que ocorre neste caso e esboce as linhas de campo em toda a regio doespao.

Soluo:


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Questo 8

Considere uma partcula de massa na presena de um potencial harmnico , onde a freqncia ongular do oscilador e a coordenada da

partcula (este um problema unidimensional...).

a) So dadas as funes de onda estacionrias correspondentes ao estado fundamental e ao primeiro estado excitado :

nas quais e so constantes de normalizao. Calcule e supondo que as funes de onda sejam reais.

b) Seja a energia do estado fundamental. Sabemos que para o primeiro estado excitado, j que o quantum de energia do oscilador . Usando aequao de Schrdinger, encontre a energia .

c) Para os estados estacionrios, o valor mdio da posio sempre nulo. Construa uma funo de onda no estacionria como combinao linear de e comcoeficientes reais tais que o valor mdio seja o maior possvel. Em outras palavras, considere o estado normalizado:

com e determine o coeficiente que maximiza o valor de .

d) Suponha que a funo de onda construda no item anterior descreva o estado do oscilador harmnico no tempo . Escreva a funo de onda do estado para um tempoarbitrrio, supondo que nenhuma medio foi feita sobre o sistema. Para esse estado avalie o valor mdio da posio em funo do tempo.

Soluo:

a) Como as funes de onda so reais , logo a condio de normalizao se torna:

Logo:

Tambm temos - com :

Na resoluo dos prximos tens, vamos utilizar e por convenincia.

b) A equao de Schrdinger dada por:

Logo, ao aplic-la a , obtemos:

Que o resultado esperado se lembrarmos que a energia de um oscilador harmnico quntico dada por:

c) Por definio:

Os termos no mistos so funes mpares, logo suas respectivas integrais so nulas. Assim:

Como , , e , temos:


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Com:

Para extremalizar esse valor basta tomarmos a derivada e igualarmos a zero:

Portanto temos como razes:

Agora vamos ver que tipo de extremos as solues constituem:

Como:

Portanto constitue ponto de mximo.

Como:

Portanto constitue ponto de mnimo.

Logo o valor de que maximiza o valor mdio da posio para a funo de onda proposta

d) A funo de onda de acordo com o item anterior, dada por:

De forma que:

Logo, por definio:

Os termos no mistos so funes mpares, logo suas respectivas integrais so nulas. Assim:

Como e :

Questo 9

Seja uma partcula com momento angular .

a) Na representao onde as matrizes e so diagonais, obtenha a matriz da compoenete . Lembre que a matriz de deve representar um operador hermitiano.

Sugere-se que se utilize os operadores escada e .

b) Calcule os autovalores de .

c) Encontre o autovetor de com o maior autovalor.

d) Suponha agora que voc encontrou o maior autovalor numa medio de . Calcule as probabilidades de medir, respectivamente, , e numa medio posterior de


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.

Soluo:

a) Sabemos que:

;

Portanto .

Sabemos, tambm, que:

Logo, como para , os estados possveis so:

; e

Dessa forma:




Analogamente:




Logo:

Que claramente hermitiano.

Nota: Como , e sabemos as propriedades dos operadores e , ou seja, sabemos que a nica ao que os operadores fazem sobre a funo de onda na

base so (respectivamente) de 'adicionar' ao nmero quntico uma unidade e de 'subtrair' ao nmero quntico uma unidade; poder-se-ia utilizar tal fato para notarque ao calcular a matriz de s podemos obter termos nas diagonais imediatamente acima e imediatamente abaixo da diagonalprincipal da matriz, diminuindo o nmero de


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elementos de matriz necessrios a se calcular. possvel utilizar tal argumento para justificar o clculo de apenas elementos no-nulos de e de .

b) Para calcular os autovalores de basta efetuar:

Obteremos trs autovalores que batizaremos de , e .

Logo:

Portanto os autovalores dessa matriz so:

; ;

c) O maior autovalor de . Para calcular o autovetor correspondente a este autovalor, basta notar que, por definio, autovetor um vetor que segue apropriedade:

Sic:

Logo:

Como sabemos que a funo de onda normalizada, ou seja, temos que:

Com sendo uma fase arbitrria, que nesse caso pode ser escolhida de forma que o nmero seja real.

Assim o autovetor ser:

d) Conforme dito no enunciado, no h evoluo temporal, logo, temos inicialmente:

Sabemos que, representado por uma matriz diagonal, cujos autovalores so , , e cujos respectivos autovetores so:

; ;

Assim para calcular a probabilidade de se obter, numa determinada medio na direo , o valor , devemos efetuar:




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Note que, conforme esperado:

Observao adicional: tanto quanto , e podem ter fases arbitrrias, que no vo alterar os resultados obtidos mesmo se levadas em conta. Lembre-se queas fases de , e devem ser as mesmas, pois nossa definio de no afeta as fases.

Questo 10

Um mol de um gs ideal monoatmico se encontra a temperatura e ocupa um volume . A energia interna por mol de um gs ideal dada por , com sendo ocalor especfico molar, que considerado constante. Responda as questes abaixo:

a) Considere a situao na qual o gs se encontra a uma temperatura e sofre uma expanso quase-esttica reversvel na qual o seu volume passa de para . Calcule otrabalho realizado pelo gs durante a sua expanso.

b) Ainda com relao ao processo fsico descrito no item a), determine o calor trocado pelo gs com o reservatrio trmico.

c) Determine a variao de entropia do gs e do reservatrio trmico no processo descrito no item a).

d) Considere agora a situao em que o gs est isolado e sofre uma expanso livre na qual o seu volume passa de para . Determine as variaes de entropia do gs e douniverso durante o processo de expanso livre.

Soluo:

a) Sabemos que para o gs ideal, valem as expresses:

; ; ; sendo, para processos reversveis:

Como o gs est em constante contato com o reservatrio, sua temperatura constante durante todo processo, assim, sendo o nmero de mols do gs:

j que

Portanto, neste processo:

Logo:

b) Como , temos que:

c) Sabemos que vale a relao, j que constante:

Esta a variao de entropia do gs.

Para o reservatrio, se chamarmos de o calor cedido pelo reservatrio, temos que:

Logo, a variao de entropia do reservatrio :

Portanto, conforme esperado, para talprocesso:

J que o processo reversvel - emprocessos reversveis a entropia total, tambm chamada de entropia do Universo, nula.

d) Primeiro devo fazer um aviso: cuidado!, nesta questo no podemos utilizar que para encontrar a entropia, pois o processo no reversvel - a primeira lei

sempre vale, mas o problema que . Seria necessrio, nesse caso levar em conta a entropia decorrente do processo irreversvel para a igualdade se manter; comono exerccio no cita-se nada referente a isso, vamos proceder de outra maneira.

A expanso livre , por definio, feita num recipiente no qual parte deste 'contm' vcuo. Como no h fora contra a qual atuar, o trabalho realizado pelo gs nulo - j que,por definio, o trabalho dado pelo produto da fora pelo deslocamento, logo . Como nesse caso se realiza a expanso livre num recipiente isolado, . Devido conservao da energia, a energia interna no pode variar, assim .


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Entretanto, como funo de estado, que s depende dos estados inicial e final do sistema - sendo que, neste caso, ambos processos, tanto o do item a) quanto este, possuemestados termodinmicos iniciais e finais exatamente iguais, j que fixo e os volumes inicial e final so os mesmos em ambos casos - podemos usar umprocesso reversvelparacalcul-la. Logo, temos que:

Como o sistema est isolado:

Logo:

Que no nulo, conforme esperado para processos irreversveis.

EUF - 2011/2

Questo 8

Seja a funo de onda de uma partcula em uma dimenso dada por . A densidade de probabilidade definida por . O valor depode mudar no tempo devido ao fluxo de probabilidade saindo ou entrando na regio, que se pode expressar como uma equao de continuidade:

onde a densidade de corrente de probabilidade.

a) Dada a equao de Schrdinger:

escreva a derivada temporal de em tremos de e e suas derivadas espaciais.

b) Obtenha a forma explcita de .

c) Ache a equao relacinando a derivada do valor esperado da posio, , com o valor esperado do momento, . Dica: use integrao por partes e assuma que as

funes e sua derivada, , vo ao infinito mais rpido do que .

Soluo:

Antes de comear, vamos tomar nota de algumas coisas:

E:

;

Tambm bom j saber que:

Logo:

a) Das expresses acima segue que:

Como j explicitado (exceto pelo fator ):

Logo:

b) Notando que:


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Temos:

c) Por definio:

Fazendo integrao por partes, com:

Da:

Como o ltimo termo da integrao por partes da ordem (j que e o mesmo vale para o complexo conjugado), sua contribuio nula.

Da sobra apenas:

Vamos agora efetuar outra integrao por partes, no segundo termo:

Da, lembrando que termos do tipo :

j que o segundo termo da integral por partes imediatamente acima nulo.

Logo:

Conforme a fsica clssica!

Podemos fazer o item c) usando o teorema de Ehrenfest, que relaciona a derivada temporal do valor esperado de um operador quntico com o comutador desse operadorcom relao ao hamiltoniano do sistema:

Se o operador independente do tempo, o ltimo termo nulo.

Aplicando o teorema de Ehrenfest para o operador , temos:

J que o segundo termo nulo (pois independente do tempo), e, como j explicitado anteriormente, temos:

Novamente, o segundo termo nulo - afinal o potencial depende apenas de , de acordo com o enunciado. Logo:

J que . Note que o resultado coincide com o obtido anteriormente.


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Questo 9

Seja o seguinte hamiltoniano representativo de um sistema fsico:

Os autoestados desse hamiltoniano so denominados , so no degenerados e satisfazem a relao , onde um nmero inteiro e .

a) Assuma que os os operadores e obedeam relao de comutao . Mostre que os estados e so autoestados de , usando as relaes de

comutao. Determine os autovalores correspondentes a estes estados, e , respectivamente.

b) Dado que todos estados so no degenerados, determine a constante de proporcionalidade entre estes os estados e os estados encontrados no item a).

Dica: lembre que todos os estados so normalizados. Assuma que o valor esperado do hamiltoniano em qualqueis de seus autoestados seja positivo, , e que .

O que se pode concluir sobre o nmero de estados : ele finito ou infinito?

c) Assuma agora que os operadores e obedeam relao de anticomutao . Mostre que os estados e so autoestados de

, usando as relaes de anticomutao, e determine os valores de e correspondentes a estes estados. Dado que todos os estados so no degenerados, determine aconstante de proporcionalidade entre os estados e esses estados . Dica: lembre que todos estados so normalizados.

d) Assumindo, como no item c), que os operadores e obedeam relao de anticomutao, que o valor esperado do hamiltoniano em qualqueis de seus autoestados sejapositivo, , e que , isto implica que o nmero de estados finito. Quais so estes nicos estados no nulos nesse caso?

Soluo:

a) Como e:

Logo:

Portanto autoestado de , com autovalor .

Como:

Logo:

Portanto autoestado de , com autovalor .

b) Conforme o enunciado:

Logo:

Se escolhermos uma fase nula:

Note que como .

Tambm temos:

Logo:

Se escolhermos uma fase nula:

Note que como .

Como inteiro e no h nenhum limite superior para temos infinitos estados (um para cada ).

OBSERVAO: Obtivemos at agora os seguintes resultados:


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No sabemos qual o valor de ou de .

Mas sabemos que:

Logo:

Portanto:

Que so os chamados operadores de criao e destruio (ou operadores escada).

Note que, conforme dito no enunciado do exerccio:

Note tambm que, conforme o enunciado:

J que .

c) Conforme o enunciado . Logo:

Vamos mostrar que, nesse caso, e so autoestados de :

Logo e so autoestados de , com .

Conforme o enunciado:

Logo:

Tambm temos:

Logo:

d) Note que como .

Note que como .

Portanto .

OBSERVAO: Como nota final, sabemos apenas que:

Mas:

E:

Logo:


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Veja que, conforme o enunciado:

J que .

Como ou , temos que:

Questo 10

A lei de Stefan-Boltzmann diz que a densidade de energia total do campo eletromagntico dentro de uma cavidade em equilbrio trmico dado por:

onde uma constante.

a) Podemos derivar a lei de Stefan-Boltzmann usando argumentos termodinmicos. Sabendo que, em equilbrio termoidinmico, a densidade de energia da radiao independe domaterial que forma as paredes, podemos concluir que qualquer varivel extensiva da radiao em uma cavidadedever ser proporcional ao volume da cavidade e depender apenasda temperatura. Em particular, a energia interna e a entropia da radiao sero e , respectivamente. Podemos usar o eletromagnetismo clssico para

calcular a presso de radiao nas paredes da cavidade. Ela tem a forma de . Usando essas informaes e a primeira da termodinmica, demonstre lei de Stefan-

Boltzmann.

b) Agora obtenha esse resultado usando fsica estatstica, assumindo que a radiao eletromagntica um gs de ftons.

1. Calcule a funo de partio, , e mostre que o nmero mdio de ftons com energia e :

2. Obtenha a lei de Stefan-Boltzmann. Voc pode usar que o nmero total de ftons por unidade de volume e freqncia entre dado por:

com uma constante de unidade apropriada e a energia de umfton.

Soluo:

a) Pela primeira lei da termodinmica - supondo um processo reversvel - e como :

Como s funo de :

Logo:

Portanto:

Atravs das relaes de Maxwell, obtemos a seguinte igualdade:

Logo:

Conforme o enunciado.

b)

2. Apenas para fazer uma observao, essa questo muito parecida com uma questo mais antiga do EUF - a da prova de 2009/2(http://nerdyard.com/wiki/Solu%C3%A7%C3%B5es_de_Exerc%C3%ADcios:_EUF#Quest.C3.A3o_4_2|) . Na questo mais antiga, as constantes aparecem todas no

problema e um valor numrico dado - naquela ocasio . No fim da questo mais antiga no se obtem a lei de Stefan-Boltzmann exatamente por causa da

constante - Stefan-Boltzmann se refere distribuio de potncia de radiao numa certa rea e no distribuio de energia num certo volume (densidade de energia), comoocorre ao fimda questo da prova 2009/2.


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Logo, existemduas maneiras de se resolver a questo e abaixo vem a primeira.

Primeiro, devemos ter cincia que vamos escolher a unidade de uma segunda constante de forma tal que nosso resultado tenha unidades compatveis com uma potncia porrea ( ).

Logo, como possumos uma 'densidade de ftons' podemos multiplicar o nmero de ftons num volume pela energia de cada um deles e obter uma densidade de energia. Vamosmultiplicar tudo por , apenas para compatibilizar as unidades - portanto a unidade de deve ser de velocidade ( ):

Usando a mudana de varivel:

Logo:

Assim:

Se soubssemos os valores de e , poderamos encontrar o valor de alpha:

Logo a unidade de de velocidade, como j havamos dito.

EUF 2012/1

Questo 1

Duas esferas ocas, ambas de massa e raio , que esto girando em torno do centro de massa (CM) do sistema com perodo so mantidas a uma distnciauma da outra por um fio ideal que passa pelos respectivos centros, conforme ilustra a figura. Num dado instante um motor, colocado dentro de uma das esferas , comea a enrolaro fio lentamente, aproximando as duas esferas. Considere que o momento de inrcia do motor seja desprezvel frente o das esferas. Desconsdere os efeitos da gravidade eexpresse todos os resultados em termos de , e . Dado: o momento de inrcia da casca esfrica em relao a um eixo que passa pelo seu centro .

a) Determine o mdulo do momento angular desse sistema em relao ao seu centro de massa, antes do motor ser l igado.

b) Calcule a velocidade angular de rotao, , no instante em que a esfera encosta-se outra.

c) Calcule a variao de energia cintica do sistema at esse instante.

d) Qual foi o trabalho realizado pelo motor para fazer com que as esferas encostem?

Soluo:

a) Como (claramente) o centro de massa ser exatamente na metade da distncia entre as massas, temos que o momento de inrcia de cada uma das esferas em relao ao centrode massa ser, pelo teorema dos eixos paralelos:

Lembrando que:

Logo temos um momento angular total de:

b) Como o motor no d momento angular para as esferas (j que tal motor s atua na direo do centro de massa), o momento angular se conserva, de forma que:

O centro de massa ser exatamente na metade da distncia entre as massas, temos que o 'momento de inrcia novo' de cada uma das esferas em relao ao centro de massa ser,

pelo teorema dos eixos paralelos:

De forma que:


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Questo 4

Considere um eltron que se encontra confinado dentro de um poo de potencial unidimensional dado por:

a) Escreva a equao de Schrdinger para este eltron e as condies de contorno que devem ser satisfeitas pelas funes de onda.

b) Obtenha as funes de onda normalizadas e determine os valores das energias permitidas para este eltron.

Admita agora que este eltron se encontre no estado quntico cuja funo de onda dentro do poo dada por:

c) Determine o nmero quntico do estado ocupado por este eltrone seu comprimento de onda nesse estado.

d) Determine a probabilidade de encontrar este eltronentre e .

Soluo:

a) Como o potencial infinito fora da regio confinada (sendo a regio confinada definida por tal que ), no h funo de onda. Logo:

para e para

Para a regio confinada ( ) vale a 'equao de Schrdinger independente do tempo':

J vou definir para destacar a semelhana dessa equao com a equao do oscilador harmnico:

; com

Sendo que deve cumprir s condies de contorno e nessa regio.

b) Ansatz:

De fato:

Note que , cumprindo a primeira condio de contorno. Para cumprir a segunda condio de contorno:

os valores de devem ser tais que:

com

Assim:

Aplicando a condio de normalizao:

Logo:

Sendo

c) Como:


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Vemos que:

Por inspeo, v-se que .

d) Batizando essa probabilidade de , temos:

Formulrio

Toda prova vem com um formulrio. muitoimportante consult-lo, pois ele o melhor caminho - caso voc no se lembre de tudo - de abreviar as contas. Vou escrever oformulrio da forma na qual ele se encontra na prova - exceto pelas observaes entre chaves.

Constantes Fsicas

Velocidade da luz no vcuo:

Constante de Planck:

'h c':

Constante de Wien:

Permeabilidade Magntica do vcuo:

Permissividade Eltrica do vcuo:

Constante Eltrica:

Constante Gravitacional:

Carga Eltrica:

Massa do Eltron:

Comprimento de Onda Compton:

Massa do Prton:

Mass a do Nutron:

Massa do Deuteron:

Massa da Partcula :

Constante de Rydberg:

'Rhc':

Raio de Bohr:

Constante de Avogrado:

Constante de Boltzmann:

Constante Molar dos Gase s:

Constante de Stefan-Boltzmann:

Raio do Sol:

Massa do Sol:

Raio da Terra:

Mass a da Terra:

Distncia Sol-Terra:

Converso de Joule para erg:

Converso de eltron-volts para Joule:

Constantes Numricas

Mecnica Clssica


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Lei de Newton no sistema girante de coordenadas:

Eletromagnetismo

Obtida de "http://nerdyard.com/wiki/Solu%C3%A7%C3%B5es_de_Exerc%C3%ADcios:_EUF"

Sol Exe Yard

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Transcript of Sol Exe Yard