Solução da prova da EsSA - 2009/2010

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Prova da EsSA – 2009/2010

01. O resto da divisão de x3 + 4x por x

2 + 1 é igual a:

(A) 3x – 1

(B) 1

(C) 5x + 1

(D) 3x + 1

(E) 5x – 1

Solução:

Utilizando o algoritmo da divisão, temos:

x3 + 4x x

2 + 1

–x3 – x x

3x

O resto da divisão é 3x. Como não há nenhuma respos-

ta, a questão será anulada.

02. Um cliente comprou um imóvel no valor de

R$ 80.000,00, tendo pago como sinal R$ 30.000,00 no

ato da compra. O restante deverá ser pago em 24 pres-

tações mensais iguais e consecutivas. Sabendo que a

primeira prestação será paga um mês após a compra e

que o juro composto é de 10% ao ano, o valor total

pago em reais pelo imóvel, incluindo o sinal, será de:

(A) R$ 90.000,00

(B) R$ 95.600,50

(C) R$ 92.500,00

(D) R$ 90.500,00

(E) R$ 85.725,30

Solução:

Valor do imóvel: R$ 80.000,00

Sinal: R$ 30.000,00

Restante: R$ 50.000,00

O restante deverá ser pago em 2 anos com juro compos-

to de 10% ao ano.

Então, no primeiro ano será pago 50.000 + 10% de

50.000, totalizando 55.000.

No segundo ano será pago 55.000 + 10% de 55.000,

totalizando 60.500.

O valor total pago pelo imóvel, incluindo o sinal, será

de 30.000 + 60.500, ou seja, R$ 90.500,00

Observação:

Poderia ser resolvido utilizando a fórmula de juros

compostos M = C(1 + i)t, onde:

M é o montante

C é o capital = 50.000,00

i é a taxa = 10% a.a.

t é o tempo = 24 meses = 2 anos

Porém, problemas que envolvem um tempo numerica-

mente pequeno (2 anos), é mais viável resolver da for-

ma apresentada anteriormente.

Resposta: Letra D

03. Uma obra necessita de vigilantes para o turno da

noite durante exatamente 36 noites. Se para cada noite

são necessários 2 vigilantes, quantos devem ser contra-

tados de modo que o mesmo par de vigilantes não se

repita?

(A) 9

(B) 16

(C) 8

(D) 14

(E) 18

Solução:

Devemos ter n vigilantes, tomados dois a dois, sem

repetição para o par de vigilantes tomados, ou seja,

temos aqui uma combinação.

Então:

Como a obra irá necessitar de vigilantes durante exata-

mente 36 noites, então:

n.(n – 1) = 72

Sabendo que “n” é um número natural, temos que “n”

vezes seu antecessor (n – 1) é igual a 72, logo, n = 9,

pois somente 9 x 8 = 72.

Resposta: Letra A

04. Numa progressão aritmética (PA) de nove termos, a

soma dos dois primeiros termos é igual a 20 e a soma

do sétimo e oitavo termos é 140. A soma de todos os

termos desta PA é:

(A) 405

(B) 435

(C) 320

(D) 395

(E) 370

Solução :

Uma PA de nove termos: (a1, a2, ..., a8, a9)

Temos que:

1) a soma dos dois primeiros termos é igual a 20:

a1 + a2 = 20, como a2 = a1 + r, então:

a1 + a1 + r = 20

2a1 + r = 20


2) a soma do sétimo e oitavo termos é 140:

a7 + a8 = 140, como a7 = a1 + 6r e

a8 = a1 + 7r, então:

a1 + 6r + a1 + 7r = 140

2a1 + 13r = 140

Resolvendo o sistema:

Trocando o sinal da primeira e somando as equações:

Encontramos: 12r = 120 r = 10

Substituindo r = 10 em 2a1 + r = 20, encontramos

a1 = 5.

A soma de todos os termos (nove termos) desta PA é

dada pela fórmula:

a9 = a1 + 8r

a9 = 5 + 8.10

a9 = 85

S9 = 45.9 = 405

Resposta: Letra A

05. Um triângulo AEU está inscrito em uma circunfe-

rência de centro O, cujo raio possui a mesma medida do

lado EU. Determine a medida do ângulo AÊU em

graus, sabendo que o lado AU é o maior lado do triân-

gulo e tem como medida o produto entre a medida do

lado EU e .

(A) 120o

(B) 60o

(C) 30o

(D) 90o

(E) 150o

Solução :

“Um triângulo AEU está inscrito em uma circunferên-

cia de centro O”: A

E

U

O

“cujo raio possui a mesma medida do lado EU”

A

E

U

O

Raio

Nota: Se o lado EU é o raio da circunferência, então o

arco formado por este lado tem 60º, logo, o ângulo Â,

que é inscrito à circunferência, tem 30º.

“Determine a medida do ângulo AÊU em graus, saben-

do que o lado AU é o maior lado do triângulo e tem

como medida o produto entre a medida do lado EU e

” A

E

U

O

Raio = RMaior lado = R . 3

30º

a

Sendo α a medida do ângulo AÊU e usando a lei dos

senos, temos que:

sen α =

Na equação o ângulo α pode assumir dois valores, 60o e

120o. No triângulo, o ângulo α não pode ser 60

o, pois o

ângulo U seria 90o, o que tornaria o lado AE o maior

lado, concluímos desta forma que o ângulo α é 120 o.

Resposta: Letra A

06. Carlos é o caixa da bilheteria do cinema da cidade.

Os ingressos custam R$ 8,00, sendo que algumas pes-

soas como estudantes, idosos e pessoas conveniadas ao

cinema pagam a metade do valor. Ontem Carlos esque-

ceu de marcar o valor que cada pessoa pagou, mas ele

sabe que 120 pessoas pagaram pela sessão e arrecadou

um total de R$ 760,00. O número de pessoas que paga-

ram meia entrada foi:

(A) 60

(B) 70

(C) 80

(D) 40

(E) 50

Solução:

Questão muito simples, envolvendo conceito de sistema

com duas equações, cada uma com duas variáveis.


Ingresso normal: R$ 8,00

Ingresso para estudantes, idosos e pessoas conveniadas

ao cinema: R$ 4,00

Total de pessoas que pagaram o ingresso normal: x

Total de pessoas que pagaram o ingresso com desconto:

y

120 pessoas pagaram pela sessão, então

x + y = 120

A sessão e arrecadou um total de R$ 760,00, então 8.x

+ 4.y = 760,00

Resolvendo o sistema:

Fazendo

4x + 4x + 4y = 760

4x + 4.(x + y) = 760

4x + 4.120 = 760

4x + 480 = 760

4x = 760 – 480

4x = 280

x = 70

Como x + y = 120, então y = 50.

Total de pessoas que pagaram o ingresso com desconto:

50

Resposta: Letra E

07. O valor da expressão 1x

1x3

2

quando x = i (unidade

imaginária) é:

(A) i + 1

(B) – (i – 1)

(C) 2

1)(i

(D) 2

1)(i

(E) 2

1)(i

Solução:

Substituindo i na expressão, temos: 1i

1i3

2

Sabendo que:

i0 = 1

i1 = i

i2 = –1

i3 = –i

Logo: 1i

11

=

1i

2

=

1i

2

=

22 1i

1)2.(i

=

11

1)2.(i

=

2

1)2.(i

= 1)1.(i

Nota: Tanto faz usar i + 1 ou 1 + i

Resposta: Letra B

08. A altura de um prisma hexagonal regular é de 5m.

Sabe-se também que sua área lateral é o dobro da área

de sua base. O volume desse prisma, em m³, é:

(A) 3200

(B) 3285

(C) 3250

(D) 3270

(E) 3220

5 m

xx

x Área lateral = 6.x.5

Área da base =

A área lateral é o dobro da área de sua base, então

6.x.5 = 2.

5x =

5 =

10 =

x =

O volume do prisma é dado pelo produto da área

da base pela altura.

A área da base é dada por

Abase = = = =

V = Abase x Altura

V = x 5

V = m3

Resposta: Letra C


09. Considere um triângulo de vértice A(1, 1), B(2, 3) e

C(5, 2). A mediatriz do lado AB encontra o eixo das

abscissas no ponto de coordenadas:

(A) (11/2, 0) (D) (–11/2, 0)

(B) (5/2, 0) (E) (0, 11/2)

(C) (1/2, 0)

Solução :

A(1, 1)

B(2, 3)

C(5, 2)

pontomédio

mediana

Considerações:

A mediatriz encontra o eixo das abscissas no ponto (x,

0).

O ponto médio, por onde passa a mediatriz, é dado pe-

las coordenadas

O coeficiente angular da reta suporte do lado AB é:

y – y0 = m.(x – x0)

3 – 1 = m.(2 – 1)

2 = m

O coeficiente angular da reta suporte da mediatriz é

dado por:

mmediatriz x mreta AB = – 1

mmediatriz = –1/2

Encontrados:

O ponto médio por onde passa a mediatriz:

O coeficiente angular da reta suporte da mediatriz: –1/2

O ponto em que a mediatriz encontra o eixo das abscis-

sas: (x, 0).

A coordenada x do eixo das abscissas por onde passa a

mediatriz é dado por:

y – y0 = m.(x – x0)

2 – 0 = .

–4 = – x

x = + 4

x =

Resposta: Letra A

10. A soma dos dois primeiros números inteiros do

domínio da função definida por

4212 39

1)(

xxxg é:

(A) 1 (B) – 1 (C) 3 (D) 5 (E) 7

Solução:

Questão fácil. O domínio da função é dado por todos os

valores de x possíveis, que possuem uma imagem. Des-

ta forma,

92x – 1

– 3–2x + 4

> 0

92x – 1

> 3–2x + 4

(32)

2x – 1 > 3

–2x + 4

34x – 2

> 3–2x + 4

4x – 2 > –2x + 4

4x + 2x > 4 + 2

6x > 6

x > 1

A soma dos dois primeiros números inteiros do domínio

é: 2 + 3 = 5

Resposta: Letra D

11. Uma matriz B, de ordem 3, é tal que, em cada li-

nha, os elementos são termos consecutivos de uma pro-

gressão aritmética de razão 2. Se as somas dos elemen-

tos da primeira, segunda e terceira linhas, valem 6, 3 e

0, respectivamente, o determinante de B é igual a

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) – 1 (E) 3

Solução :

Seja a matriz de ordem 3:

a + b + c = 6

Como “a”, “b” e “c” são elementos de uma PA cuja

soma é 6, então o termo “b” é dado por 6/3, ou seja,

b = 2. Como a razão é 2, então a = 0 e c = 4.

Da mesma forma, “d”, “e” e “f” são elementos de uma

PA cuja soma é 3, então o termo “e” é dado por 3/3, ou

seja, e = 1. Como a razão é 2, d = –1 e f = 3.

Por último, “g”, “h” e “i” são elementos de uma PA

cuja soma é 0, então o termo h é dado por 0/3, ou seja,

h = 0. Como a razão é 2, g = –2 e f = 2.

A matriz =

Cujo determinante é –12 – (–8 – 4) = 0

Resposta: Letra A

12. Um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, são

dados o ponto B(2, 1) e as retas s e t, cujas equações 4x y = 0

e 2x + y = 6, e respectivamente. Se o ponto P é a intersecção

de s e t, a distâncias entre os pontos B e P é:

(A) 26 (B) 5 (C) 8 (D) 10 (E) 18

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