Soluções no Espaço de Estados e Realizações

(C. T. Chen, Capítulo 4)

Sistemas Lineares

Solução da descrição entrada-saída

Não há uma forma analítica simples de calcular a convolução

A forma mais simples é calcular numericamente esta equação discretizada, ou seja, calcular

Caso de Sistemas LIT• Neste caso pode-se utilizar a relação para calcular a solução ,

via transformada inversa de Laplace (solução no domínio da frequência)– Se o sistema é distribuído, não será uma função racional de s. Se for

este o caso, exceto em alguns casos especiais é mais simples computar a solução diretamente no domínio do tempo, como em (4.1)

– Se o sistema é concentrado, será uma função racional de s. Neste caso, se também for uma função racional de s, então a solução pode ser obtida tomando-se a transformada de Laplace inversa de . Tal método requer computar os polos, gerar a expansão em frações parciais e usar uma tabela de Transformadas de Laplace, para obter a transformada inversa de cada fração parcial. Em MATLAB usam-se as funções roots (cálculo dos polos) e residue (cálculo dos resíduos nos polos, para fazer a expansão em frações parciais).

• Havendo polos repetidos, a computação da solução pode tornar-se muito sensível a pequenas variações nos dados, como erros causados por arredondamento. Portanto, computar a solução via Transformada de Laplace não é um método viável em computadores digitais, pois sempre haverá erros numéricos

• Um método mais adequado é transformar funções de transferência em equações no espaço de estados, e então calcular sua solução

Solução de Equações de Estado LIT

Sejam as equações no espaço de estados lineares e invariantes no tempo

onde , , , e são matrizes constantes , , , e , respectivamente, é um vetor , é um vetor e é um vetor .

Deseja-se obter a solução excitada pelo estado inicial e a entrada . Tal solução depende da função exponencial de estudada na Seção 3.6.

A função mais importante de é a função exponencial . Dado que a série de Taylor

converge para todos e , tem-se que

Propriedades importantes de

• Para provar (3.54), toma-se (3.53) com e leva-se em conta (3.52). Para calcular , basta diferenciar termo a termo (3.51), obtendo-se

que é o resultado em (3.55).

Verificando que (4.5) é solução de (4.2)

Devemos mostrar que (4.5) satisfaz (4.2) e a condição inicial em . Para , (4.5) se reduz a

e, portanto, (4.5) satisfaz a condição inicial.

Cálculo de e

Tais valores são calculados no domínio do tempo.Para isto basta calcular

Como calcular

Opções para cálculo da inversa de

Exemplo 4.1

𝑠(𝑠+1 )2

Exemplo 4.1

𝑠(𝑠+1 )2

Exemplo 4.2𝑠

(𝑠+1 )2

Discretização

Simples, porém imprecisa

Método exato

Solução de equação no espaço de estados discreta

Solução geral para o caso discreto

Equações de estado equivalentes

Escolhemos como variáveis de estado (corrente no indutor) e (tensão no capacitor).

Equações de estados equivalentes

Autovalores e FT de sistemas equivalentes

Sistemas equivalentes ao estado zero

Exemplo 4.4

Formas canônicas

Forma canônica controlável

Forma de Jordan

Forma de Jordan com coeficientes reais

Realizações de um sistema LTI

Decomposição direta para o caso SISO

Solução de sistemas lineares variantes no tempo

Caso variante

Exemplo

Matriz fundamental

Exemplo 4.9

Prova