Estabilidade

(C. T. Chen, Capítulo 5)

Sistemas Lineares

Introdução• Sistemas são projetados para cumprir certas tarefas ou processar

sinais. Se um sistema não é estável, ele pode queimar, desintegrar-se ou saturar quando um sinal, não importa quão pequeno, é aplicado. Portanto, um sistema instável é inútil na prática, e estabilidade é uma exigência básica para todos os sistemas. Além da estabilidade, sistemas devem atender outros requisitos, tais como rastrear sinais desejados e suprimir ruído, para ser útil na prática.

• A resposta de sistemas lineares pode sempre ser decomposta na resposta ao estado zero e na resposta à entrada zero. É costume estudar as estabilidades dessas duas respostas separadamente. Nós introduziremos a estabilidade BIBO (Bounded Input, Bounded Output) para a resposta ao estado zero e as estabilidades marginal e assintótica para a resposta à entrada zero.

Pêndulo invertido

Ver capítulo 2, para sua descrição linearizada (haste em posição bem próxima à vertical)

Sistema originalmente instável.

Efeitos da instabilidade

A ponte pênsil Tacoma Narrows, em Tacoma, Washington, USA, com 1600 m, colapsou em 7 de novembro de 1940, alguns meses depois de ser inaugurada. O colapso ocorreu após um vento de 65 km/h fazê-la vibrar e entrar em ressonância.

Acesso a vídeo: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Tacoma_Narrows_Bridge_destruction.ogg

Ponte Tacoma Narrows

Estabilidade entrada-saída (BIBO stability)

Teorema 5.1

Um sistema SISO descrito por (5.1) é estável no sentido BIBO se, e somente se, é absolutamente integrável em , ou

para alguma constante .

Provaa) suficiência: se é absolutamente integrável, toda entrada limitada excita uma saída limitada (o sistema é BIBO estável)

a) necessidade: se o sistema é BIBO estável é absolutamente integrável

Prova por contradição: se não é absolutamente integrável, alguma entrada limitada gerará uma saída ilimitada

Em geral, porém, uma função absolutamente integrável é limitada e se aproxima de zero quando

Teorema 5.2

�̂� (0 )=∫0

∞

𝑔 (𝜏 )𝑒− 0.𝜏𝑑𝜏=∫0

∞

𝑔 (𝜏 )𝑑𝜏

Caso discreto

Teorema 5.D3

Tabela de Routh

Tabela de Routh-Hurwitz

Exemplo

Estabilidade interna

(ver Capítulo 4)

Polinômio mínimo: . No caso acima, , ou seja, o polinômio mínimo é mesmo .

Caso discreto

A demonstração é similar ao caso de tempo contínuo, usando a forma de Jordan de .

Teorema de Lyapunov

Prova do teorema

Caso discreto da Equação de Lyapunov

Estabilidade de sistemas LTV