Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas

1.Introdução

2.Derivada da função senh-1 x

3.Derivada da função cosh-1 x

4.Derivada da função tgh-1 x

5.Derivada da função cotgh-1 x

6.Derivada da função sech-1 x

7.Derivada da função cossech-1 x

8.Resumo das derivadas das funções hiperbólicas inversas

9.Exemplos

3

Devemos lembrar que, para existir a derivadada função hiperbólica inversa, é necessária que elaseja biunívoca. Portanto, atenção especial deve serdada às funções cosh x e sech x, pois devemosrestringir o domínio das mesmas para que possamosderivá-las corretamente.

A seguir, mostraremos duas formas dederivação para as funções hiperbólicas inversas.

1. Introdução

4

Demonstração 1: Seja y = senh-1x

1senh

senh

y x

y x

−==

2. Derivada da função senh-1 x

5

Derivando ambos os lados da equação,obteremos:

2. Derivada da função senh-1 x

[ ] [ ]senh

cosh 1

1cosh

d dy x

dx dxdy

ydx

dydx y

=

=

=

6

Lembrando que:

Teremos:

Porém:

2 2cosh senh 1y y− =

2. Derivada da função senh-1 x

2cosh 1 senhy y= ± +

cosh 1y ≥

7

Então:

Assim sendo:

2. Derivada da função senh-1 x

2cosh 1 senhy y= +

2

1

2

1

1 senh

1senh

1 x

dydx y

dy

dx−

=+

= +

8

Demonstração 2:

( )( )

1 2

1 2

1 2

2

1

2 2

senh ln 1

senh ln 1

1senh 1

1

1 1senh 1 2

1 2 1

x x x

d dx x x

dx dxd d

x x xdx dxx x

dx x

dx x x x

−

−

−

−

= + +

= + +

= ⋅ + + + +

= ⋅ + ⋅ + + +

2. Derivada da função senh-1 x

9

1

2 2

21

2 2

1

2

1senh 1

1 1

1 1senh

1 1

1senh

1

d xx

dx x x x

d x xx

dx x x x

dx

dx x x

−

−

−

= ⋅ + + + +

+ + = ⋅ + + +

= + +

2 1x x+ +⋅2

1

2

1

1senh

1

x

dx

dx x

−

+

= +

2. Derivada da função senh-1 x

10

Demonstração 1: Seja y = cosh-1x

1cosh

cosh

y x

y x

−==

3. Derivada da função cosh-1 x

11

Derivando ambos os lados da equação,obteremos:

[ ] [ ]cosh

senh 1

1senh

d dy x

dx dxdy

ydx

dydx y

=

=

=

3. Derivada da função cosh-1 x

12

Lembrando que:

Teremos:

Porém:

2 2cosh senh 1y y− =

2senh cosh 1y y= ± −

cosh y 1 senh 0y≥ ⇒ ≥

3. Derivada da função cosh-1 x

13

Então:

Assim sendo:

2senh cosh 1y y= −

2

1

2

1

cosh 1

1cosh

x 1

dydx y

dy

dx−

=−

= −

3. Derivada da função cosh-1 x

14

Demonstração 2:

( )( )

1 2

1 2

1 2

2

1

2 2

cosh ln 1

cosh ln 1

1cosh 1

1

1 1cosh 1 2

1 2 1

x x x

d dx x x

dx dxd d

x x xdx dxx x

dx x

dx x x x

−

−

−

−

= + −

= + −

= ⋅ + − + −

= ⋅ + ⋅ + − −

3. Derivada da função cosh-1 x

15

1

2 2

21

2 2

1

2

1cosh 1

1 1

1 1cosh

1 1

1cosh

1

d xx

dx x x x

d x xx

dx x x x

dx

dx x x

−

−

−

= ⋅ + + − −

− + = ⋅ + − −

= + −

2 1x x− +⋅2

1

2

1

1cosh

1

x

dx

dx x

−

−

= −

3. Derivada da função cosh-1 x

16

Demonstração 1: Seja y = tgh-1x

1tgh

tgh

y x

y x

−==

4. Derivada da função tgh-1 x

17

Derivando ambos os lados da equação,obteremos:

[ ] [ ]2

2

tgh

sech 1

1

sech

d dy x

dx dxdy

ydx

dydx y

=

=

=

4. Derivada da função tgh-1 x

18

Lembrando que:

Teremos:

2 2sech 1 tghy y= −

2

12

1

1 tgh

1tgh

1 x

dydx y

dy

dx−

=−

= −

4. Derivada da função tgh-1 x

19

Demonstração 2:

( ) ( )

1

1

1

1

1 1tgh ln

2 1

1 1tgh ln

2 1

1tgh ln 1 ln 1

21 1 1

tgh2 1 1

xx

x

d d xx

dx dx x

d dx x x

dx dxd

xdx x x

−

−

−

−

+ = − + = −

= ⋅ + − −

= ⋅ + + −

4. Derivada da função tgh-1 x

20

1

1

12

1 1 1tgh

2 ( 1) (1 )

1 2tgh

2 (1 ) (1 )

1tgh

1

d x xx

dx x x

dx

dx x x

dx

dx x

−

−

−

− + + = ⋅ + ⋅ −

= ⋅ + ⋅ −

= −

4. Derivada da função tgh-1 x

21

Demonstração 1: Seja y = cotgh-1x

1cotgh

cotgh

y x

y x

−==

5. Derivada da funçãocotgh-1 x

22

Derivando ambos os lados da equação,obteremos:

[ ] [ ]2

2

cotgh

cossech 1

1

cossech

d dy x

dx dxdy

ydx

dydx y

=

− =

= −

5. Derivada da funçãocotgh-1 x

23

Lembrando que:

Teremos:

2 2cossech cotgh 1y y= −

2

2

12

1

cotgh 1

1

1 cotgh

1cotgh

1 x

dydx y

dydx y

dy

dx−

= −−

=−

= −

5. Derivada da funçãocotgh-1 x

24

Demonstração 2:

( ) ( )

1

1

1

1

1 1cotgh ln

2 1

1 1cotgh ln

2 1

1cotgh ln 1 ln 1

21 1 1

cotgh2 1 1

xx

x

d d xx

dx dx x

d dx x x

dx dxd

xdx x x

−

−

−

−

+ = − + = −

= ⋅ + − −

= ⋅ − + −

5. Derivada da funçãocotgh-1 x

25

1

12

12

12

1 1 1cotgh

2 ( 1) ( 1)

1 2cotgh

2 1

1cotgh

11

cotgh1

d x xx

dx x x

dx

dx x

dx

dx xd

xdx x

−

−

−

−

− − − = ⋅ + ⋅ −

− = ⋅ −

= − −

= −

5. Derivada da funçãocotgh-1 x

26

Demonstração 1: Seja y = sech-1x

1sech

sech

y x

y x

−==

6. Derivada da função sech-1 x

27

Derivando ambos os lados da equação,obteremos:

[ ] [ ]sech

sech tgh 1

1sech tgh

d dy x

dx dxdy

y ydx

dydx y y

=

− ⋅ =

= −⋅

6. Derivada da função sech-1 x

28

Lembrando que:

Teremos:

Porém:

2 21 tgh sechy y− =

2tgh 1 sechy y= ± −

y 0 tgh 0y≥ ⇒ ≥

6. Derivada da função sech-1 x

29

Então:

Assim sendo:

2tgh 1 sechy y= −

2

2

1

sech 1 sech

1

1 x

dydx y y

dydx x

= −−

= −−

6. Derivada da função sech-1 x

30

Demonstração 2:

( ) ( )( )

21

21

1 2

1 2

2

1 1sech ln

1 1sech ln

sech ln 1 1 ln

1 1sech 1 1

1 1

xx

x

d d xx

dx dx x

d dx x x

dx dxd d

x xdx dx xx

−

−

−

−

+ − =

+ − =

= + − −

= ⋅ + − − + −

6. Derivada da função sech-1 x

31

( )

( )

1

2 2

1

2 2

1

2 2

1 1 1sech 2

1 1 2 1

1 1sech

1 1 1

1sech

1 1 1

dx x

dx xx x

d xx

dx xx x

d xx

dx xx x

−

−

−

= ⋅ ⋅ − − + − −

= ⋅ − − + − −

= − − + − ⋅ −

6. Derivada da função sech-1 x

32

( )( )

( )

1

2 2

2 2 2

1

2 2

21

1sech

1 1 1

1 1 1sech

1 1 1

sech

d xx

dx xx x

x x xdx

dx x x x

d xx

dx

−

−

−

= − + + − ⋅ −

+ + − ⋅ − = −

⋅ + − ⋅ −

= − 2 21 1x x+ − + −

( )2 21 1 1x x x

⋅ + − ⋅ −

6. Derivada da função sech-1 x

33

21 1 1sech

xdx

dx− + − = −

21 1x x⋅ + − 2

1

2

1

1sech

1

x

dx

dx x x

−

⋅ −

= − −

6. Derivada da função sech-1 x

34

Demonstração 1: Seja y = cossech-1x

1cossech

cossech

y x

y x

−==

7. Derivada da funçãocossech-1 x

35

Derivando ambos os lados da equação,obteremos:

[ ] [ ]cossech

cossech cotgh 1

1cossech cotgh

d dy x

dx dxdy

y ydx

dydx y y

=

− ⋅ =

= −⋅

7. Derivada da funçãocossech-1 x

36

Lembrando que:

Teremos:

2 21 cotgh cossechy y− = −

2

2

cotgh 1 cossech

cotgh 1 x

y y

y

= ± +

= ± +

7. Derivada da funçãocossech-1 x

37

Porém:

Se 0 cotgh 0

Se 0 cotgh 0

x y

x y

> ⇒ >

< ⇒ <

7. Derivada da funçãocossech-1 x

38

Então:

Assim sendo:

2cotgh 1y x= ± +

2

2

1

cossech 1 cossech

1

x 1

dydx y y

dydx x

= −± +

= −+

7. Derivada da funçãocossech-1 x

39

Demonstração 2: Caso 1 (x > 0)

21

21

21

1 1cossech ln

1 1cossech ln

1 1cossech ln

xx

x x

xx

x x

xx

x

−

−

−

+ = +

+ = +

+ + =

7. Derivada da funçãocossech-1 x

40

( )( )

21

1 2

1 2

2

1

2

1 1cossech ln

cossech ln 1 1 ln

1 1cossech 1 1

1 11 1

cossech1 1 2

d d xx

dx dx x

d dx x x

dx dxd d

x xdx dx xxd

xdx x

−

−

−

−

+ + =

= + + −

= ⋅ + + − + +

= ⋅ + + 22

1 x⋅

+

1x

x−

7. Derivada da funçãocossech-1 x

41

( )( )

( )

1

2 2

1

2 2

2 2 2

1

2 2

1 1cossech

1 1 11

cossech1 1 1

1 1 1cossech

1 1 1

d xx

dx xx xd x

xdx xx x

x x xdx

dx x x x

−

−

−

= ⋅ − + + +

= − + + ⋅ +

− + + ⋅ + =

⋅ + + ⋅ +

7. Derivada da funçãocossech-1 x

42

21cossech

d xx

dx− =

2 21 1x x− + − −

( )

( )

2 2

21

2 2

21

1 1 1

1 1cossech

1 1 1

1 1cossech

x x x

d xx

dx x x x

xdx

dx

−

−

⋅ + + ⋅ +

− + − =

⋅ + + ⋅ +

+ + = −

21 1x x⋅ + + 21 x ⋅ +

7. Derivada da funçãocossech-1 x

43

1

2

1cossech

1

dx

dx x x

− = − ⋅ +

7. Derivada da funçãocossech-1 x

44

Demonstração 2: Caso 2 (x < 0)

21

21

21

1 1cossech ln

1 1cossech ln

1 1cossech ln

xx

x x

xx

x x

xx

x

−

−

−

+ = +

+ = −

− + =

7. Derivada da funçãocossech-1 x

45

( )( )

21

1 2

1 2

2

1

2

1 1cossech ln

cossech ln 1 1 ln

1 1cossech 1 1

1 1

1 1cossech

1 1 2

d d xx

dx dx x

d dx x x

dx dxd d

x xdx dx xx

dx

dx x

−

−

−

−

− + =

= − + −

= ⋅ − + − − +

= ⋅ − − + 22

1 x

⋅

+

1x

x−

7. Derivada da funçãocossech-1 x

46

( )( )

( )

1

2 2

1

2 2

2 2 2

1

2 2

1 1cossech

1 1 1

1cossech

1 1 1

1 1 1cossech

1 1 1

d xx

dx xx x

d xx

dx xx x

x x xdx

dx x x x

−

−

−

= ⋅ − − − + +

− = −

− + ⋅ +

− − − + ⋅ + =

⋅ − + ⋅ +

7. Derivada da funçãocossech-1 x

47

21cossech

d xx

dx− − =

2 21 1x x− + + +

( )

( )

2 2

21

2 2

21

1 1 1

1 1cossech

1 1 1

1 1cossech

x x x

d xx

dx x x x

xdx

dx

−

−

⋅ − + ⋅ +

− + =

⋅ − + ⋅ +

− + =

21 1x x⋅ − + 21 x ⋅ +

7. Derivada da funçãocossech-1 x

48

1

2

1cossech

1

dx

dx x x

− = ⋅ +

7. Derivada da funçãocossech-1 x

49

Agrupando os casos 1 e 2, teremos:

7. Derivada da funçãocossech-1 x

1

2

1cossech

1

dx

dx x x

− = − ⋅ +

50

8. Resumo das derivadas dasfunções hiperbólicas inversas

A seguir, são apresentadas as versões da Regrada Cadeia para as regras de diferenciação de todas asseis funções hiperbólicas.

1

2

1senh

1

d duu

dx dxu

− = ⋅ +

1

2

1cosh , 1

1

d duu u

dx dxu

− = ⋅ > −

12

1tgh , 1

1d du

u udx u dx

− = ⋅

51

8. Resumo das derivadas dasfunções hiperbólicas inversas

A seguir, são apresentadas as versões da Regrada Cadeia para as regras de diferenciação de todas asseis funções hiperbólicas.

[ ]2

1cossech , 0

1

d duu u

dx dxu u= − ⋅ ≠

+

12

1cotgh , 1

1d du

u udx u dx

− = ⋅ > −

1

2

1sech , 0 1

1

d duu u

dx dxu u

− = − ⋅ <

52

Exemplo 1: Determine

9. Exemplos

( )1tg sen d h xdx

−

( )( )

( )

( )

( )

12

12

12

1tg sen sen

1 sen

costg sen

1 sencos

tg sen cos

d dh x x

dx dxx

d xh x

dx xd x

h xdx x

−

−

−

= ⋅ −

= −

=

53

9. Exemplos

( )

( )

1

1

1tg sen

cos

tg sen sec

dh x

dx xd

h x xdx

−

−

=

=

54

Exemplo 2: Determine

9. Exemplos

( )1tg cos 2d h xdx

−

( )( )

( )

( ) ( )

( )

12

12

12

1tg cos 2 cos 2

1 cos 2

1tg cos 2 sen2 2

1 cos 22 sen2

tg cos 2sen 2

d dh x x

dx dxx

dh x x

dx xd x

h xdx x

−

−

−

= ⋅ −

= ⋅ − ⋅ −− ⋅

=

55

9. Exemplos

( )

( )

1

1

2tg cos 2

sen2

tg cos 2 2cossec2

dh x

dx x

dh x x

dx

−

−

− =

= −