Nome: Matrcula: Turma:

Disciplina: Professor(a):

Avaliacao: Data: / / Valor: Nota:

Instrucoes:

- Antes de iniciar a resolucao da prova coloque seu nome, a caneta, na folha de papel almaco.

- A resolucao das questoes devera ser seita APENAS na folha de papel almaco.

Questao 1)

(a) (10 pontos) Determine a equacao do plano pi que e perpendicular ao vetor (1,-2,1) e passapelo ponto (0,1,4).

(b) (10 pontos) Seja a reta

r :

x = 2 + ty = 1 + tz = t

.

Existe interseccao entre a reta r e o plano pi? Justifique.

(c) (10 pontos) Calcule a distancia entre o ponto (2,-1,1) e a reta r.

Questao 2) Seja o sistema homogeneo:x1 + 2x2 3x4 + x5 = 0x1 + 2x2 + x3 3x4 + x5 + 2x6 = 0x1 + 2x2 3x4 + 2x5 + x6 = 03x1 + 6x2 + x3 9x4 + 4x5 + 3x6 = 0

(a) (2 pontos) Escreva a matriz aumentada do sistema.

(b) (15 pontos) Atraves de operacoes elementares por linha, escreva a matriz aumentada dosistema na forma escalonada reduzida por linhas.

(c) (4 pontos) O sistema possui quantas variaveis independentes? E quantas dependentes?

(d) (6 pontos) Encontre as solucoes do sistema homogeneo.

(e) (3 pontos) De uma base para o espaco solucao.

Questao 3) Considere a equacao

5x2 2xy + 5y2 + 4

2 x 20

2 y 24 = 0.

(a) (2 pontos) Reescreva a equacao acima na forma matricial.

(b) (20 pontos) Utilizando o processo de diagonalizacao, reescreva a equacao acima eliminandoo termo misto.

(c) (4 pontos) Classifique a equacao.

(d) (9 pontos) Determine o centro, a distancia focal, o(s) foco(s), o(s) vertice(s), a diretriz(caso exista), as assntotas (caso existam), e o eixo maior e menor (caso existam).

(e) (5 pontos) Faca o esboco da conica indicando o centro, os vertices e os focos.

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