Subset Sum Algoritmos e Estruturas de Dados – IF672
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Soma de subconjuntosDado um conjunto de inteiros, existe algum subconjunto dele tal que a soma dos seus elementos seja um valor v’ ?
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Soma de subconjuntosDado um conjunto de inteiros, existe algum subconjunto dele tal que a soma dos seus elementos seja um valor v’ ?
• Exemplo: Dado o seguinte conjunto de inteiros, pergunta-se se existe algum subconjunto tal que sua soma seja 15.
• { 1, 3, 7, 6, 8}
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Soma de subconjuntosDado um conjunto de inteiros, existe algum subconjunto dele tal que a soma dos seus elementos seja um valor v’ ?
• Exemplo: Dado o seguinte conjunto de inteiros, pergunta-se se existe algum subconjunto tal que sua soma seja 15.
• { 1, 3, 7, 6, 8}• Sim, o subconjunto {1, 6, 8} :)
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Solução• Mas como fazer isto ?• Poderíamos montar todos os subconjuntos possíveis
do conjunto e testar se sua soma é o valor esperado. Mas essa solução tem complexidade O(2N), já que precisamos gerar todos os subconjuntos possíveis.
:(
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Solução• Mas como fazer isto ?• Poderíamos montar todos os subconjuntos possíveis
do conjunto e testar se sua soma é o valor esperado. Mas essa solução tem complexidade O(2N), já que precisamos gerar todos os subconjuntos possíveis.
:(• Ou poderíamos usar programação dinâmica para
resolver este problema.
:)
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Programação Dinâmica• Partindo do princípio que resolver o problema para
um conjunto de tamanho N-1 é mais fácil do que para um de tamanho N e de que resolver o problema para um valor v’-1 é mais fácil do que resolver para um valor v’ (Subproblemas), então podemos usar a idéia de:
• Resolver a versão mais simples do problema.• Expandir até resolver o problema inicial
:P
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Programação Dinâmica• Conjunto { 1, 3, 7, 2, 6} e valor procurado 5.• Vamos criar um array bidimensional sum, tal que:
sum[i][j] me diz se eu posso gerar o valor j usando os i primeiros elementos do conjunto.
Inicialmente, vamos usar os 0 primeiros elementos do conjunto para gerar o valor 0.
sum[0][0] = true; //Já que usando 0 elementos, a soma deles é 0. [trivial]
Agora, vamos usar os 0 primeiros elementos para gerar o valor 1.
sum[0][1] = false; //Já que a soma de 0 elementos é 0.
Para todos os outros valores, sum[0][i] será false.
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Programação Dinâmica• Tabela para os 0 primeiros elementos
Note que não precisamos representar “valores” maiores que o nosso “valor objetivo”.
0 1 2 3 4 5
0 true false false false false false
1
2
345
Quantidade de
elementos
Valores
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Programação Dinâmica• Conjunto { 1, 3, 7, 2, 6} e valor procurado 5.• Agora, vamos fazer o mesmo processo feito antes, mas agora para os
1-primeiros caras:• Para todo valor v’’ do array, faremos:• Se eu já conseguia gerar este valor usando os 0 primeiros elementos,
então eu ainda posso gerar este valor com os 1 primeiros elementos. E como eu já conseguia gerar este valor v’’, então, agora eu posso gerar este valor v’’ somado ao valor do primeiro elemento do conjunto.
• Ou seja, usando os 1 primeiros elementos, eu poderei gerar o 0 e o 1.
* Usar não significa necessariamente que eu estou somando ele. Significa que eu já analisei a possibilidade de usá-lo e não usá-lo.
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Programação Dinâmica• Tabela para os 1 primeiros elementos
0 1 2 3 4 5
0 true false false false false false
1 true true false false false false
2
345
Quantidade de
elementos
Valores
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Programação Dinâmica• Conjunto { 1, 3, 7, 2, 6} e valor procurado 5.• Semelhantemente, faremos para todos os k primeiros caras, até
usarmos todos os elementos do conjunto. • Para todo valor v’’ do array, faremos:• Se eu já conseguia gerar este valor usando os k-1 primeiros
elementos, então eu ainda posso gerar este valor com os k primeiros elementos. E como eu já conseguia gerar este valor v’’, então, agora eu posso gerar este valor v’’ somado ao valor do k-ésimo elemento do conjunto.
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Programação Dinâmica• Tabela para os 2 primeiros elementos
0 1 2 3 4 5
0 true false false false false false
1 true true false false false false
2 true true false true true false
345
Quantidade de
elementos
Valores
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Programação Dinâmica• Tabela para os 3 primeiros elementos
0 1 2 3 4 5
0 true false false false false false
1 true true false false false false
2 true true false true true false
3 true true false true true false45
Quantidade de
elementos
Valores
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Programação Dinâmica• Tabela para os 4 primeiros elementos
0 1 2 3 4 5
0 true false false false false false
1 true true false false false false
2 true true false true true false
3 true true false true true false4 true true true true true true5
Quantidade de
elementos
Valores
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Programação Dinâmica• Tabela para os 5 primeiros elementos
0 1 2 3 4 5
0 true false false false false false
1 true true false false false false
2 true true false true true false
3 true true false true true false4 true true true true true true5 true true true true true true
Quantidade de
elementos
Valores
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Programação Dinâmica• Pela resultado final da tabela, podemos ver que há um subconjunto
do conjunto inicial, tal que, sua soma é igual ao valor procurado 5.
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Programação Dinâmica• Pela resultado final da tabela, podemos ver que há um subconjunto
do conjunto inicial, tal que, sua soma é igual ao valor procurado 5.
• Analisando um pouco mais a tabela, podemos ver que o valor 5 já poderia ser gerado usando os 4 primeiros elementos da tabela.
:)
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Programação Dinâmica• Qual seria a complexidade deste algoritmo? N elementos Valor procurado V O ( N*V) => O (N) ?
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Programação Dinâmica• Qual seria a complexidade deste algoritmo? N elementos Valor procurado V O ( N*V) => O (N) ? Não exatamente. Pois V não é uma constante, pois mudando a entrada o seu valor
muda. Mas V está atrelado ao valor então dizemos que o algoritmo é
pseudo-polinomial.
