Sumário -...
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1
Sumário SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO ..................................................................... 2
CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................................... 3
Números Naturais ................................................................................................................... 3
Múltiplos de um Natural ......................................................................................................... 3
Divisores de um Número Natural ......................................................................................... 3
Números Primos ..................................................................................................................... 4
Fatoração em Números Primos ........................................................................................... 4
Menor Múltiplo Comum ......................................................................................................... 5
Números Inteiros .................................................................................................................... 5
Números Racionais ................................................................................................................ 6
Números Irracionais ............................................................................................................... 6
Números Reais ....................................................................................................................... 6
FUNÇÕES ................................................................................................................................. 10
FUNÇÃO DE 1º GRAU ............................................................................................................ 15
FUNÇÃO DE 2º GRAU ............................................................................................................ 18
POLINÔMIOS ........................................................................................................................... 26
PORCENTAGEM ..................................................................................................................... 30
JUROS SIMPLES ..................................................................................................................... 35
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ..................................................................................... 38
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ETAPA 1
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO
O sistema de numeração indo-arábico tem esse nome devido aos hindus que o
inventaram, e devido aos árabes, que o transmitiram para a Europa Ocidental.
Na Índia encontramos colunas de pedras datadas no ano 250 a.C., com símbolos
numéricos que seriam os precursores do nosso sistema de numeração, mas nesses não
encontramos nem o zero (sinal para marcar ausência de unidade ou "o espaço vazio" de uma
unidade faltante) e nem a notação posicional. Porém, a ideia de valor posicional e zero devem
ter sido introduzida na Índia antes do ano 800 a.C., pois o matemático persa Al-Khowârizmî
descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro datado no ano 825 d.C..
Não sabemos como esses numerais chegaram na Europa, provavelmente através de
comerciantes e viajantes árabes, pelas costas do Mediterrâneo. Sabemos que foi uma tradução
latina do tratado de Al-Khowârizmî, feita no século XII, seguida de alguns trabalhos europeus
sobre o assunto, fez com que o sistema se disseminasse mais amplamente.
Um primeiro divulgador de seu uso foi Gerbert (950 - 1003). Nascido em Auvugne,
França, foi um dos primeiros cristãos a estudar nas escolas muçulmanas da Espanha, e ao
retornar de seus estudos, tentou introduzir na Europa cristã os numerais indo-arábicos (sem o
zero). Á ele, atribui-se a construção de ábacos, globos terrestres e celestes e um relógio. Ele
subiu na hierarquia da Igreja, tornando-se papa com o nome de Silvestre II no ano 999. Foi
considerado um erudito profundo, escreveu sobre astrologia, aritmética e geometria.
Na época de Gerbert, começaram a entrar na Europa Ocidental os clássicos gregos de
ciência e matemática. Houve assim um período de transição, durante o qual o saber grego,
preservado pelos muçulmanos, foi passando para os europeus ocidentais.
Posteriormente, Leonardo de Pisa defendeu e utilizou a notação indo-árabica em seus
trabalhos, colaborando para a introdução desses numerais na Europa.
No século XVI, os cálculos com numerais indo-arábicos se padronizaram. Muitos dos
campos nos quais os cálculos numéricos são importantes, como a astronomia, a navegação, o
comércio, a engenharia e a guerra, fizeram com que esses numerais fossem utilizados para
tornar os cálculos rápidos e precisos.
(http://www.matematica.br/historia/indoarabico.html - acessado em 24/12/2012 às 11h26)
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturais
É o conjunto numérico com a menor quantidade de elementos. São todos
os números utilizados numa eventual contagem.
Representa-se por N. Assim:
N = {0 , 1, 2 , 3 , ...}
N* = {1, 2 , 3 , ...} (O asterisco exclui o zero em qualquer conjunto
numérico)
Múltiplos de um Natural
São todos os valores encontrados como produto de um número natural
por outro.
Exemplos:
Múltiplos de 2: {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ...}
Múltiplos de 3: {0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , ...}
Múltiplos de 4: {0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , ...}
Múltiplos de 5: {0 , 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , ...}
Divisores de um Número Natural
São todos os números naturais que dividem outro em partes exatamente
iguais.
Exemplos:
Divisores 2: {1 , 2}
Divisores 4: {1 , 2 , 4}
Divisores 6: {1 , 2 , 3 , 6}
4
Números Primos
São todos os números que possuem apenas 2 divisores.
Exemplos: {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , ...}
Todo número natural será formado pelo produto de dois ou mais números
primos.
Fatoração em Números Primos
Fatorar em números primos significa reescrever o valor dado através de
um produto de fatores primos, assim:
Número Fator
30 2
15 3
5 5
1
Logo, 30 2 3 5
Número Fator
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Logo, 180 2 2 3 3 5 , ou ainda,
2 3180 2 3 5
5
Menor Múltiplo Comum
Dados dois, ou mais, números naturais, o menor múltiplo comum (mmc)
entre eles será o menor número múltiplo (excetuado o zero), simultâneo deles.
Exemplos:
O mmc entre 2 e 3 é 6.
O mmc entre 2 e 4 é 4.
O mmc entre 5 e 3 é 15.
mmc
(2,3)
mmc (8,12,15)
2 – 3 2 8 – 1
2
– 1
5
2
1 – 3 3 4 – 6 – 1
5
2
1 – 1 6 2 – 3 – 1
5
2
1 – 3 – 1
5
3
1 – 1 – 5 5
1 – 1 – 1 1
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Números Inteiros
Representado por Z, é o conjunto formado por todos os números naturais,
considerando também seus simétricos negativos.
Assim: Z = {... , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}.
6
Números Racionais
Representado por Q são todos os números que podem ser escritos na
forma fracionária. Por definição:
O conjunto dos números racionais é formado por todos os elementos que
assumem a forma de uma fração, na qual o numerador (a) pertence ao
conjunto dos números inteiros e, o denominador (b) pertence ao conjunto dos
números inteiros com exceção do zero.
/ *a
a bb
Q Z Z
Números Irracionais
É o conjunto de todos os números que não podem ser encontrados
através da divisão de dois números inteiros. Em outras palavras, não podem
ser escritos na forma fracionária. Representa-se por I.
São irracionais, por exemplo:
Nº Valor Nº Valor Nº Valor
3,14159... e 2,71828... 2 1,41421...
3 1,73205... 5 2,23606... 3 2 1,25992...
Números Reais
Conjunto formado pela união () de racionais e irracionais.
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Exercícios para resolução
1. Observando os números A = 0,33333..., B = 0,313113..., C =
0,424224224222..., D = 0,869738697386973... e E = 3, podemos concluir que:
A) nenhum é racional.
B) todos são racionais.
C) apenas E é racional.
D) apenas A, D e E são racionais.
E) apenas B e C são racionais.
2. A lista completa dos adjetivos natural, inteiro, positivo, negativo,
racional, irracional, e real, que se aplica ao número
2
251 é
A) Real, irracional e negativo.
B) Racional, inteiro e positivo.
C) Real, racional, inteiro e negativo.
D) Racional, inteiro, negativo e natural.
E) Real, racional, inteiro e positivo.
3. Dentre os números apresentados abaixo, qual é o único racional?
A) 2,333...
B) 0,01001000100001...
C) 2
2.
D) .
E) e.
8
4. No frio do inverno gaúcho, constatou-se na cidade de Canela que a
temperatura em uma determinada noite no mês de agosto variou entre – 3ºC e
+ 4ºC. A diferença entre a temperatura mínima e a máxima foi de
A) + 1ºC
B) – 1ºC
C) + 7ºC
D) – 7ºC
E) NDA
5. A soma de todos os múltiplos ímpares de 3 entre 6 e 18 é igual a:
A) 24
B) 36
C) 48
D) 60
E) 72
6. Fazendo uma contagem simples de 0 (zero) a 100, encontramos
quantos números que possuem o algarismo 9?
A) 9
B) 10
C) 19
D) 20
E) 21
7. João disse: "Pedro tem 45 anos. Thaís é mais velha que Pedro. As
idades de Pedro e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um
número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís". A idade de João é?
A) 24
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
9
8. O número de divisores do número 40 é:
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
E) 20
9. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:
A) 1/125
B) 1/8
C) 8
D) 12,5
E) 80
Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças a
seguir:
( ) Todo número inteiro positivo é racional.
( ) O número zero é inteiro, natural e racional.
( ) Todo número racional é inteiro.
( ) Todo número racional exato é racional.
( ) Toda dízima periódica é número racional.
( ) A razão entre dois números racionais será sempre um número inteiro.
( ) A razão entre dois números racionais poderá ser um número inteiro.
( ) A razão entre dois números racionais sempre será um número racional.
( ) A razão entre um número inteiro e um número racional será sempre um
número racional.
( ) O produto de dois números racionais poderá ser um número inteiro
negativo.
( ) Somando-se dois números inteiros não negativos distintos, podemos
encontrar como resposta 0.
( ) A expressão 3125 - 2 72
+ 3 2
, obtemos como resposta um número inteiro.
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Gabarito:
1.D
2.C
3.A
4.D
5.A
6.C
7.E
8.A
9.E
10. V – V – F – V – V – F – V – V – V –
V – F – F – V.
FUNÇÕES
Definição
Uma função é uma relação de comparação entre duas variáveis x e y
onde para cada valor associado para x teremos um único correspondente y.
Observe a figura ao lado, onde:
A → é o conjunto domínio da função,
e;
B → é o conjunto contradomínio da
função.
A B
11
Exemplo 1 Exemplo 2
Pela definição É função Pela definição NÃO É função
A B
Domínio
Imagem
Contra-Domínio
Conforme os exemplos anteriores, os elementos do primeiro conjunto
são ligados ao segundo grupo através de uma “seta”. Assim, o grupo que
envia é chamado de domínio da função enquanto que o “flechado” será o
contradomínio.
Os elementos flechados formam o conjunto imagem da função.
Exemplo:
Na figura ao lado, o conjunto X
representa o domínio da função, pois
todos os elementos {1, 2, 3} tem um
único correspondente no grupo Y.
O grupo Y é o contradomínio.
Os elementos de Y que “foram
flechados”, {a, c, d}, representam a
imagem.
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Valor Numérico
O valor numérico de uma função f, definida por y = f(x) será o valor de y,
quando x tiver valor conhecido.
Exemplos:
Seja a função 2 1f x x o
valor de f(3) é
2 1
3 2 3 1
3 6 1
3 5
f x x
f
f
f
Seja a função 3 1
2
xf x
, o
valor de f(5) é
3 1
2
3 5 15
2
15 15
2
165
2
5 8
xf x
f
f
f
f
Seja a função 2
2
xf x , o
valor de f(3) é
2
2
2
33
2
93
2
xf x
f
f
Exercícios para resolução:
1. O valor de f(– 2), na função f(x) = x² – 3x – 4, vale:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
13
2. O valor de f(3) na função f(x) = 2x – 5 é:
A) – 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
3. Na função f(x) = 4x + 1, o valor de f(1) é:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
4. Dada a f(x) = x² – ax + 5, o valor de a para que f (– 3) = 8 é:
A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
5. Seja a função f(x) = ax + b tal que f(2) = – 5 e f (–1) = 4, calcule a + b.
A) – 2
B) – 1
C) 0
D)1
E) 2
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6. O valor de f(5) na função 2 2
3
xf x
é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
7. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x – 1, o valor de f(2) + g(4) é:
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
8. Dada a função f(x) = 2x – 1, determine o valor de cada uma
proposições abaixo.
i.f(3) =
ii.f(5) =
iii.f(-3) =
iv.f() =
9. Sendo f uma função real definida por f(x) = 2x² + a, se f(-2) = 11, então
a vale:
A) 0
B) 2
C) 3
D) 9
E) 19
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10. Uma função f é dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais.
Se f(-1) = 3 e f(1) = -1, então f(3) é o número:
A) 1
B) 3
C) – 3
D) 5
E) – 5
Gabarito:
1.C
2.C
3.C
4.A
5.A
6.D
7.A
8.i= 7 ii= 9 iii= – 7 iv= 2 – 1
9.C
10.E
FUNÇÃO DE 1º GRAU
Chamamos de função polinomial de 1º grau, toda função f de R R, que
assuma a forma f(x) = ax + b, onde, necessariamente a e b são números reais.
O gráfico da função de primeiro grau será sempre uma reta.
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Coeficientes
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular da
reta e apresenta o formato da inclinação da reta. Desta forma:
a < 0 a = 0 a > 0
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Na mesma função, o número b é chamado de coeficiente linear e
representa o valor numérico do corte no eixo y.
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Raiz (ou zero da função)
A raiz da função de primeiro grau será o valor numérico do corte no eixo
x. (lembre-se que neste ponto temos y = 0). Portanto, calcular a raiz da função
de primeiro grau é o mesmo que:
y f x ax b
y ax b
0 ax b
0ax b
ax b
bx
a
Assim, a raiz da função de primeiro grau será igual a b
xa
.
Exercícios para resolução:
1. A função representada no gráfico abaixo tem como coeficientes a e b,
respectivamente:
a) 1/2 e – 2
b) 2 e – 1/2
c) – 1/2 e – 2
d) – 2 e – 1/2
e) 1/2 e – 1/2
2. A função representada pelo gráfico está na alternativa
a) y = x + 3
b) y = – x + 3
c) y = 2x+6
d) y = x – 3
e) y = – 3x + 2
-2
4
3
3
18
3. A raiz da função real, definida por f(x) = 2x + 8 é igual a
a) 4
b) – 4
c) 2
d) – 2
e) 0
4. Seja f: R R uma função definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos
pontos A(0,9) e B(3,0), então f(1) passa pelo ponto
a) 1
b) 4
c) 6
d) 7
e) 11
Gabarito:
1.A
2.B
3.B
4.C
FUNÇÃO DE 2º GRAU
Chamamos de função polinomial de 2º grau, toda função f de R R, que
assuma a forma f(x) = ax² + bx + c, onde, necessariamente a, b e c são
números reais e com o coeficiente a ≠ 0.
O gráfico da função de segundo grau será uma parábola cuja
concavidade será aberta para cima ou para baixo.
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Coeficientes
Na função f(x) = ax² + bx + c, temos:
O coeficiente a representa a abertura da concavidade da parábola. Assim:
a > 0 a < 0
O sinal do coeficiente b indica se a função é crescente ou decrescente no
momento do corte no eixo y. Assim:
b < 0 b = 0 b > 0
O coeficiente c indica o valor numérico do corte no eixo dos y.
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Raízes (ou zeros) da Função
2 4
2
b b a cx
a
O Delta (Discriminante)
2
0 .
4 0 2 .
0 2 diferentes.
Não existem raízes reais
b a c Existem raízes reais e iguais
Existem raízes reais e
Além de determinar o número de raízes da função, o discriminante
também auxilia no cálculo do vértice da função.
O Vértice da Função Quadrática
2
;
4
v
v v
v
bx
a
V x y
ya
Imagem da Função Quadrática
a < 0 a > 0
Imagem: ; vy Imagem: ; vy
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Exercícios para resolução
1.A função f(x) = x2 – 2x + 1 tem vértice no ponto em que x vale:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2.O y do vértice da função f(x) = – x2 + 2x + 2 é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
3.Considere a função f: R R, definida por f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se
afirmar corretamente que:
A) vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);
B) f possui dois zeros reais e distintos;
C) f atinge um máximo para x = 1;
D) o gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.
E) Nda
4.O maior valor que y pode de assumir na expressão y= – x2 +2x é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
22
5.Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 – 5x + 9,
então x + y é igual a:
A) 5/6
B) 31/4
C) 83/12
D) 89/18
E) 93/12
6.A imagem da função f: R R, definida por f(x) = x2 – 1 é o intervalo:
A) [–1 ; )
B) (–1 ; )
C) [0 ; )
D) (– ; – 1)
E) (– ; – 11]
7.O gráfico de f(x) = x² + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos
pontos (0,0) e (1,2). Então f(–2/3) vale
A) 2/9
B) – 2/9
C) – 1/4
D) 1/4
E) 4
8.A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² – 4x + a tem um valor
máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a
A) 4
B) 2
C) 0
D) – 1/2
E) – 2
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9.O gráfico da função definida por y = x² – mx + (m – 1), onde m R, tem
um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que
essa função associa a x = 2 é:
A) – 2.
B) – 1.
C) 0.
D) 1.
E) 2.
10.Na função quadrática representada no gráfico abaixo, temos que:
A) a > 0; > 0 e c = 0
B) a < 0; b = 0 e c = 0
C) a > 0; = 0 e c = 0
D) a = 0; b = 0 e c = 0
E) a > 0; b = 0 e c > 0
11.O valor máximo da função f(x) = – x² + 2x + 2 é
A) 2
B) 5
C) 1
D) 4
E) 3
12.O vértice da parábola y = x² + kx + m é o ponto V(– 1, – 4) . O valor de
k + m é
A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
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13.Um projétil é lançado verticalmente para cima e sua trajetória é uma
curva de equação s = – 40t² + 200t, onde s é o espaço percorrido, em metros,
em t segundos. A altura máxima atingida por esse projétil, em metros é:
A) 25
B) 50
C) 250
D) 500
E) 2500
14.Na figura temos a representação geométrica do gráfico de uma
parábola de equação y = ax² + bx + c. Para esta parábola, os sinais dos
produtos ab , ac e bc são, respectivamente,
A) negativo, negativo e positivo
B) negativo, positivo e negativo
C) negativo, negativo e negativo
D) positivo, positivo e positivo
E) positivo, negativo e negativo
15.Num terreno plano, um corpo é lançado de um ponto no solo,
descrevendo uma trajetória parabólica de equação 2x
y – 20x2
. Se x e y são
expressos em metros, a distância entre o ponto de lançamento e o ponto em
que o corpo toca o solo novamente é, em metros, igual a
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
25
16.Para testar a eficiência de um pesticida, este foi ministrado a uma
população de insetos e, a partir daí, procedeu-se um controle do crescimento
da população. Sendo o tempo (t) medido em semanas, o tamanho da
população de insetos é calculado por P(t) = – 10t² + 40t + 50. è possível afirmar
que:
A) a população de insetos cresce só na primeira semana
B) a população de insetos decresce na segunda semana
C) a população de insetos decresce só após a quinta semana
D) a população de insetos decresce a partir da terceira semana
E) o pesticida não foi eficiente
17.O gráfico da função dada por f(x) = x² + bx + 2 é uma parábola com
vértice no ponto V(4 , k). O valor de b + k é:
A) 6
B) – 6
C) – 8
D) – 14
E) – 22
18.Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma
trajetória descrita por y = – 2x² + 12x, onde y é a altura, dada em metros. A
altura máxima atingida pela bola é de
A) 36 m
B) 18 m
C) 12 m
D) 6 m
E) 3 m
26
19.Para que a parábola de equação y = ax² + bx – 1 contenha os pontos
(– 2 , 1) e (3 , 1) , os valores de a e b são, respectivamente,
A) 3 e – 3
B) 3
1 e –
3
1
C) 3 e – 3
1
D) 3
1 e – 3
E) 1 e 3
1
Gabarito:
1.B
2.A
3.A
4.A
5.B
6.A
7.B
8.E
9.D
10.C
11.E
12.B
13.C
14.D
15.D
16.D
17.D
18.B
19.B
POLINÔMIOS
Um polinômio é uma função real definida pela relação:
1 2n n nP x Ax Bx Cx Z , onde A, B, C, ..., Z s o n meros reais
n é o expoente
ã ú
n
N.
27
Grau de um Polinômio
Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui.
Exemplos:
a) P(x) = 5 ou P(x) = 5x0 é um polinômio constante de grau 0.
b) P(x) = 3x + 5 é um polinômio do 1º grau.
c) P(x) = 4x5 + 7x4 é um polinômio do 5º grau.
Valor Numérico
O valor numérico de um polinômio P(x) é o número que se obtém ao
substituir x pelo valor apresentado.
Exemplo:
p(x) = 5x – 3
p(4) = 5(4) – 3
p(4) = 20 – 3
p(4) = 17 logo, quando x = 4 temos p(4) = 17
Se p(x) = x³ + 3x² – 5x + 1, então o valor de P(– 1) é?
p(x) = x³ + 3x² – 5x + 1
p(– 1) = (– 1)³ + 3(– 1)² – 5(– 1) + 1
p(– 1) = – 1 + 3(1) + 5 + 1
p(– 1) = – 1 + 3 + 5 + 1
p(– 1) = 8
p(– 1) = 8 Logo, quando x = – 1 temos P(– 1) = 8.
Se P(a) = 0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
28
Igualdade de Polinômios
Dois polinômios são ditos iguais se todos os seus coeficientes forem
iguais.
Exemplo:
Os polinômios p(x) = 2x + 3 e q(x) = ax + b são ditos idênticos (p = q), se
a = 2 e b = 3.
Exemplos resolvidos:
1) Dado um polinômio p(x), temos que seu valor numérico é tal que x = a
é um valor que se obtém substituindo x por a, onde a pertence ao conjunto dos
números reais. Dessa forma, concluímos que o valor numérico de p(a)
corresponde a p(x) onde x = a. Por exemplo, dado o polinômio p(x) = 4x² – 9x
temos que seu valor numérico para x = 2 é calculado da seguinte maneira:
p(x) = 4x² – 9x
p(2) = 4. 2² – 9.2
p(2) = 4 . 4 – 18
p(2) = 16 – 18
p(2) = –2
Exercícios para resolução:
1. Dado o polinômio p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10, determine o valor
numérico de p(3).
F) -10.
G) 25.
H) - 30.
I) 40.
J) 41.
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2. Determine o valor numérico de p(x) = 5x4 – 2x³ + 3x² + 10x – 6,
para x = 2.
A) 100.
B) – 16.
C) – 22.
D) 85.
E) 90.
3. Calcular o valor numérico do polinômio
P(x) = x3 - 7x2 + 3x – 4, para x = 2.
A) - 18.
B) - 9.
C) 15.
D) 32.
E) 64
4. Considerando que P(x) = 2x³ – kx² + 4x – 1, para que valores de k
temos P(2) = 4?
A) 5/2.
B) 24/3.
C) 19/4.
D) 17/4.
E) 7/3.
5. Temos que a raiz do polinômio p(x) = 2x² – mx + 12 é igual a 5.
Calcule o valor de m.
A) 5/4
B) 1/2.
C) 15/4.
D) 62/5.
E) 31/5.
30
6. Em relação ao polinômio P(x)=5x⁴-3x³+bx² +3x-2 , sabe-se que
P(1)= -12. Nessas condições, o valor de b é igual a:
A) – 5
B) – 4
C) 5
D) 6
E) - 15
Gabarito:
1. E
2. E
3. A
4. C
5. D
6. E
PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções
em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.
Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15% significa que em cada R$100
houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-
se razão centesimal. Alguns exemplos:
31
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas
centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre
o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um
determinado valor.
Exemplos resolvidos:
1) Calcular 10% de 300.
2) Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
32
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor,
podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é
o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e
assim por diante. Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de
Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$
11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desco
nto
Fator de
Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
33
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$
9,00
Exemplos resolvidos:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador
fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por
R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a
porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos
R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Exercícios para resolução:
Calcule as porcentagens correspondentes:
1) 2% de 700 laranjas
2) 40% de 48 m
3) 38% de 200 Kg
4) 6% de 50 telhas
34
5) 37,6% de 200
6) 22,5% de 60
7) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?
A) 10%
B) 45%
C) 25%
D) 30%
E) 15%
8) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a
distância x?
A) x = 1100 m
B) x = 1200 m
C) x = 1600 m
D) x = 900 m
E) x = 450 m
9) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática.
Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?
A) 6 professores
B) 5 professores
C) 10 professores
D) 2 professores
E) 8 professores
10) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o
pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o
preço original?
A) 125 reais
B) 118 reais
C) 110 reais
D) 115 reais
E) 120 reais
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Gabarito:
1. 14 laranjas 5. 75,2 9. A
2. 19,2 m 6. 13,5 10. E
3. 76 kg 7. B
4. 3 telhas 8. C
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir
apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não
incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em
fórmula temos:
J = C . i . n
Onde:
J = juros
C = capital
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo resolvido: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser
paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la
em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Capital + Juros
36
Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos)
M = C . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo resolvido: Calcule o montante resultante da aplicação de
R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = C . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de
tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor
equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Exercícios para resolução:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15
dias.
A) 100
B) 132
C) 234
D) 300
E) 214
2) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa
de 36% a.a., durante 125 dias.
A) R$ 2500,00
B) R$ 3500,00
C) R$ 4000,00
D) R$ 5000,00
E) R$ 4500,00
37
3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende
R$3.500,00 de juros em 75 dias?
A) R$ 110.666,67
B) R$ 105.000,00
C) R$ 108,666,87
D) R$ 102.450,87
E) R$ 116.666,67
4) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
A) 4 meses B) 3 meses C) 5 meses D) 7 meses E) 8 meses
5) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz
um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00.
Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos
pagarei pelo empréstimo?
A) 2 anos
B) 1 ano
C) 3 anos
D) 1 ano e 6 meses
E) 4 anos
6) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei
um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa é
de 2,4% a.m. Por quantos anos pagarei por este material?
A) 2 anos
B) 1,5 anos
C) 1 ano
D) 3 anos
E) 2,5 anos
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7) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que
à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de
juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor do
juros?
A) R$ 2.080,80 e R$ 280,80 de juros
B) R$ 2.000,80 e R$ 280,80 de juros
C) R$ 2.100,00 e R$ 300,00 de juros
D) R$ 1.980,80 e R$ 150,00 de juros
E) R$ 2.180,00 e R$ 188,00 de juros
Gabarito:
1. C
2. D
3. E
4. E
5. A
6. B
7. A
Sugestão de sites para consulta:
1. www.alunosonline.com.br
2. www.somatematica.com.br
3. www.matematicadidatica.com.br
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
YOUSSEF, A. N.; SOARES, E. & FERNANDEZ, V. P. Matemática: de
olho no mundo do trabalho. Volume único. São Paulo: Editora Scipione, 2004.
DANTE, L. R. Matemática: projeto Teláris. 1ª edição. São Paulo: Editora
Ática, 2013.
