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Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006

Resistência dos Materiais12ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Flexão segundo os dois Eixos Principais de Inércia ou Flexão Desviada. Flexão Combinada com Esforço Axial.

Objectivos da Aula: Apreensão da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão Desviada e da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão combinada com Esforço Axial.



2

Ponte



3



4

Garagem para o Barco



5

Estrutura de Carroçaria de Veículo



6

Ponte



7

Flexão Segundo os Dois Eixos Principais ou Flexão Desviada

Momento segundo um eixo que não coincide com os eixos principais de inércia da secção.



8

Flexão Desviada

O momento aplicado, M, pode ser decomposto em dois momentos actuantes segundo as direcções principais de inércia da Secção e que são de acordo com a figura e . Uma vez que a Secção considerada tem simetria em relação aos eixos dos yy e dos zz, as formulas deduzidas para as tensões axiais em termos do Momento Flector são aplicáveis, à flexão no plano Oxy e no plano Oxz, ou seja aplicando o princípio da Sobreposição de Efeitos,

yM zM

yzx

z y

MM= - y + zσI I



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Distribuição de Tensões



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Eixo Neutro

O eixo neutro da secção que corresponde a tensões axiais nulas ocorre quando for:

yz

z y

MM y z 0I I

− + =y z

y

y M I= +Iz Mz

onde y/z representa a tangente do ângulo g, o qual representa o ângulo que a linha neutra faz com o eixo dos zz e corresponde à equação de uma recta que passa pelo centroide da Secção

y = M sen αM

z M cosM = αz

y

Itan g tan gI

γ = α



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Exemplo 12.1

Considere a viga com tramo em consola representada na figura, sendo a distância entre apoios de 4m e o tramo em consola de 1m, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de intensidade 10kN/m, cujo plano de solicitação faz um ângulo β=60º com o eixo dos yy, como se representa na referida figura. A secção da viga é rectangular de dimensões 100×200mm. Determine as tensões axiais máximas a que a viga está sujeita.

4m 1m

10kN/mSecção Recta

Direcção da Carga

β

y

z

100mm

200mm

AB C



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Exemplo 12.1- Resolução

Podem determinar-se os Esforços Transversos e Momentos Flectores e calcular o Momento Máximo instalado. Começa por calcular-se as Reacções de Apoio que são tais que A B 50R R+ =

B4 125R =

B 31.25kNR =

A 18.75kNR =

No troço AB os Esforços Transversos e os Momentos são

T 18.75 10x= − T=0 implica x=1.875m

2M 18.75x 5x= − para x=1.875m é M=17.578kN.m para x=4m é M=-5kN.m



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No Troço BC da viga os Esforços Transversos e Momentos Flectores são

T 50 10x= −2 2M 18.75x 31.25(x 4) 5 50x 5 125x x= + − − = − −

para x=4 M=-5kN.m para x=5 M=0

O momento Máximo é M=17.578kN.m e ocorre na secção que corresponde a x=1.875m, portanto num ponto entre apoios. Este momento tem componentes segundo yy e segundo zz que são

z M cos 17.578 cos 60 17.578 0.5 8.789M = β = × = × =

y Msen 17.578 sen60 17.578 3 2 15.223kN.mM = β = × = × =



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Antes de calcular as tensões há necessidade de calcular os Momentos de Inércia, que são

3 7 4z 100 /12 6.6667200 10I mm= × = ×

3 7 4y 200 /12 1.6667100 10I mm= × = ×

Os pontos onde as tensões são potencialmente mais elevadas são os quatro cantos da secção e nesses pontos as tensões axiais são

Para z=50mm e y=-100mm3 3

yz 3 3x 5 5

z y

8.789 15.223M 10 10M y z ( 100 ) (50 )10 106.6667 1.666710 10I I

− −− −

× ×= − + = − − × + × =σ

× ×58.85Mpa



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Para z=-50mm e y=-100mm3 3

yz 3 3x 5 5

z y

8.789 15.223M 10 10M y z ( 100 ) ( 50 )10 106.6667 1.666710 10I I

− −− −

× ×= − + = − − × + − × =σ

× ×-32.49MPa

Para z=-50mm e y=100mm3 3

yz 3 3x 5 5

z y

8.789 15.223M 10 10M y z (100 ) ( 50 )10 106.6667 1.666710 10I I− −

− −

× ×= − + = − × + − × =σ

× ×-58.85Mpa

Para z=50mm e y=100mm

3 3yz 3 3

x 5 5z y

8.789 15.223M 10 10M y z (100 ) (50 )10 106.6667 1.666710 10I I

− −− −

× ×= − + = − × + × =σ

× ×32.49MPa



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Exemplo 12.2-Flexão Desviada

Considere-se uma viga cuja secção tem a forma em L como se representa na figura e determine-se as tensões axiais de flexão na Secção da viga em que o Momento Flector é igual a 20kN.m segundo zz.



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Exemplo 12.2-Resolução

Começa por Determinar-se a posição do centro de Gravidade que é tal que

b

b

150 30 75 170 30 15 43.125mmz 150 30 170 30200 30 100 120 30 15 68.125mmy

200 30 120 30

× × + × ×= =

× + ×× × + × ×

= =× + ×

Seguidamente determinam-se os momentos de inércia e produto de Inércia em relação aos eixos Oy e Oz

( )

( )

32

z

32 6 4

30 170 30 170 200 68.125 85I 12150 30 150 30 68.125 15 36.526 10 mm12

×= + × × − − +

×+ + × × − = ×



18


( )

( )

32

z

32 6 4

170 30 30 170 43.125 15I 1230 150 150 30 75 43.125 17.426 10 mm12

×= + × × − +

×+ + × × − + = ×

( )( )( )( )

yz

6 4

30 170 200 68.125 85 43.125 15I150 30 68.125 15 75 43.125 14.344 10 mm

= × × − − − +

+ × × − + − + = ×



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Os momentos de Inércia Principais são

2z y z y 62 4

max 1 yzI I I I 44.208 10I I I mm22+ −⎛ ⎞= = + + = ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

2z y z y 62 4

min 2 yzI I I I 9.744 10I I I mm22+ −⎛ ⎞= = − + = ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

O ângulo q é tal queyz

z y

2Itan g2 1.5020I I

θ = =−

ou seja 28.187ºθ =



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Uma vez conhecida a posição dos momentos de Inércia Principais podem considerar-se as fórmulas de flexão anteriormente deduzidas e determinar as tensões axiais considerando a flexão em relação aos eixos principais.

3 4z´ M cos 20 cos 28.187 1.76 N.m10 10M = θ = × = ×

3 3y´ Msen 20 sen28.187 9.443 N.m10 10M = θ = × = ×

As tensões são calculadas a partir da fórmula seguinte e nos pontos críticos

y´z´x

z´ y´

MM y´ z´I I

= − +σ



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Momento Combinado com Esforço Axial



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Momento Combinado com Esforço Axial

yM = Pz A excentricidade e tem duas componentes, e , o momento resultante Pe pode decompor-se em dois momentos um segundo y que é

e um momento segundo z que é zM = P y .

As tensões axiais que se desenvolvem na viga resultam do esforço axial, P e dos dois momentos, por aplicação do princípio da sobreposição de efeitos, são

yzx

z y

P MM= - y + zσA I I



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Problemas propostos

1. Considere uma viga encastrada de secção cruciforme, como se representa na figura seguinte. A viga está sujeita a uma carga, P=100N, com a orientação relativa à secção que se representa na figura. Determine:

a) as tensões longitudinais máximas na secção que se encontra a 30cm do ponto de aplicação da carga.

b) os pontos que na referida secção correspondem a tensões longitudinais nulas.



24

Problemas Propostos

P

x

P

y

z

10mm 6mm

15mm

25mm

3m

Eixos de Simetria



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Problemas Propostos

2. Considere uma viga com vão de 4m e com uma secção rectangular de dimensões, 15×20cm, como se representa na figura. A viga está sujeita a uma carga pontual, P=6kN, no ponto médio que actua na direcção diagonal da secção, como se representa na referida figura. Determine as tensões longitudinais máximas e determine a orientação do plano neutro da secção.

2m 2m

P P=6kNy

z200mm

150mm



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Problemas Propostos

3. Considere uma viga encastrada de secção em Z, sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre e segundo o eixo dos yy. O comprimento da viga é de 2m. A intensidade da carga é P=15kN. As dimensões da secção estão representadas na figura conjuntamente com os eixos. A espessura da secção é constante e igual a 20mm. Determine as tensões axiais máximas.

z

y

200mm

100mm

Nota: Secção não simétrica



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Problemas Propostos

Resolução:

Cálculo dos Momentos de Inércia e Produtos de Inércia da Secção com vista à obtenção dos Eixos Principais de inércia e momentos de inércia principais.

Decomposição da carga segundo as direcções principais.

A partir daí a resolução segue o caminho usual.



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Problemas Propostos

4. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura, sujeita a uma carga axial segundo o eixo da viga e a uma carga uniformemente repartida com a orientação indicada em relação aos eixos principais de inércia da secção.

30kN 30kN

P=15kN/m

1.5m 1.5m 1m

y

x

P

Espessura da Secção constante e igual a 20mm

150mm

120mm

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