Sumário

Prefácio

Introdução 1

1 Números 131.1 Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Sequências Crescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Comparação de Cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3 Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Operações e Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Potências, Identidades e Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . 56Expansão Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.4 Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Raízes de Reais Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Números Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Não Enumerabilidade de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

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SUMÁRIO

1.5 Funções Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Funções Transcendentes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . 101Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2 Sequências 1112.1 Sequências Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Sequências Recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Sequências Limitadas e Sequências Monótonas . . . . . . . . . . 123Subsequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.2 Sequências Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Comparação de Sequências Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Propriedades de Sequências Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Exemplos de Sequências Nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.3 Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Propriedades de Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . 156O Teorema da Convergência Monótona . . . . . . . . . . . . . . 161O Teorema de Bolzano–Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 165Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

2.4 Divergência e Mais Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Comportamento Assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Sequências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Topologia da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3 Funções 1973.1 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201A Propriedade do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . 203Máximos e Mínimos Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

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SUMÁRIO

3.2 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Propriedades Operacionais da Derivada . . . . . . . . . . . . . . 232Derivada e Monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Máximos e Mínimos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242O Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.3 Primitivas e Integral de Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . 261A Integral de uma Função Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . 264O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . 267Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

3.4 Extensão Contínua de uma Função e Limites . . . . . . . . . . . 284Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Divergência a Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298A Regra de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

4 Séries 3194.1 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Propriedades Elementares de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . 324A Comparação de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328O Teste da Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

4.2 Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Associatividade e Comutatividade da Soma . . . . . . . . . . . . 343Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Convergência Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Estimativa do resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

4.3 Sequências e Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Convergência Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

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SUMÁRIO

Convergência Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Funções Contínuas Sem Derivada em Ponto Algum . . . . . . . 383Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

4.4 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395Propriedades da Função Soma de uma Série de Potências . . . . 400Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404A Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406As Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

Apêndice 423A.1 Lógica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428A.2 Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Definição Recursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Axioma da Escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

A.3 Corpos Ordenados, Arquimedianos e Completos . . . . . . . . . 453Corpos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456Os Completamentos de um Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Completamentos de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

A.4 Sugestões, Respostas e Resoluções de Exercícios . . . . . . . . . 479

Referências 535

Índice Remissivo 539

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