T E M A GEOMETRIA AXIOMÁTICA,

SEGMENTOS DE RETA

CONTEÚDOS

• Axiomática; • As Partes de uma Reta;

[ Um pouco de história ]

Geometria significa "medida da

terra". Mas o que se tem de mais

interessante ao se estudar a história,

é que os primeiros passos no estudo

da geometria foram dados com base

numa hipótese falsa.

[ Um pouco de história ]

Acreditava-se que a Terra era plana,

portanto, todas as pesquisas foram

feitas segundo essa crença, mas isso

não impediu o desenvolvimento da

geometria. Foi no período grego,

entre 600 e 300 a.C., que a geometria

se firmou como um sistema

organizado, e muito disso se deve a

Euclides.

[ O Método Axiomático ]

Na matemática, existem conceitos que determinam o modo de organizar o pensamento. São eles:

Conceitos Primitivos

Axiomas

Corolários

Teoremas/Lemas

[ Conceitos Primitivos ]

Um conceito é dito primitivo quando não necessita de definição, simplesmente é tido como verdade. Um exemplo é o “ponto”.O conceito primitivo deve ser representado por uma palavra (ou um conjunto de palavras) que possa ser de fácil aceitação e intuitivo .

[ Axiomas ]

Os axiomas (ou postulados) são

regras simples (ou conjunto de

regras) que determinam como os

conceitos primitivos devem se

comportar, suas propriedades e, além

disso, são fatos não demonstráveis.

[ Teoremas ]

Todas as proposições obtidas devem

ser demonstradas, caso sejam

verdadeiras, desde que sejam aceitos

os axiomas como verdadeiros.

Chamaremos estas proposições de

teoremas.

[ Lemas ]

Quando é preciso utilizar uma

proposição auxiliar em uma

demonstração de um teorema,

chamamos esta proposição de lema.

[ Corolários ]

As conseqüências imediatas dos

teoremas são os corolários.

[ Geometria Euclidiana ]

A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ela é chamada de Geometria Euclidiana, e descreve o mundo real.

[ Geometria Não-Euclidiana ]

Na tentativa de demonstrar o

(famoso) quinto postulado de

Euclides, surgiram as Geometrias

não-Euclidianas, como, por exemplo,

a Geometria Hiperbólica.

[ Quinto Postulado de Euclides ]

“Por um ponto P exterior a uma reta

m, consideradas em um mesmo

plano, existe uma única reta s

paralela à reta m.

.m

P s

[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]

Uma definição é um conceito

elaborado em função de elementos

conhecidos. Por exemplo, a definição

de segmento de reta:

“parte ou porção da reta limitada por

dois pontos”.

[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]

Um teorema é aceito como uma

verdade se ele for provado.

O enunciado de um teorema se

divide em:

•Hipótese

•Tese

[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]

•Hipótese: conjunto de todas as

informações iniciais

•Tese: resultado ao qual se pretende

chegar

•Demonstração: conjunto de

raciocínios que permite chegar à

tese.

[ Noções Primitivas em Geometria Plana ]

As noções primitivas da geometria plana são:•Ponto

•Reta

•Plano

A

r

[ Axiomas de Existência ]

1. Numa reta, bem como fora dela,

existem infinitos pontos.

2. Dados dois pontos distintos, existe

uma única reta que os contém.

3. Num plano há infinitos pontos.

[ Definições ]

1. Pontos colineares são pontos que

pertencem a uma mesma reta.

2. Duas retas contidas num mesmo

plano são paralelas quando não

possuem ponto em comum.

A B

r

s

[ Definições ]

3. Dados dois pontos distintos A e B,

a reunião do conjunto desses dois

pontos com o conjunto dos pontos

que estão entre eles é um

segmento de reta. Representa-se

por .A B

AB

[ Definições ]

4. Dados dois pontos distintos A e B,

a reunião do segmento de reta

com o conjunto dos pontos X tais

que B está entre A e X é a semi-reta

AB (indicada por ) . O ponto A é a

origem da semi-reta.

AB

ABKKKKKKKKKKKKKK

A B X

[ Observação ]

Se A está entre B e C, as semi-retas

e são ditas semi-retas opostas.

A CB

ABKKKKKKKKKKKKKK

ACKKKKKKKKKKKKKK

[ Definições ]

5. Pontos coplanares são pontos

pertencentes a um mesmo plano.

BA

[ Axiomas de Determinação ]

4. Dados dois pontos distintos, existe

uma única reta que passa por eles.

5. Dados três pontos não colineares,

existe um único plano que passa

por eles.

[ Axiomas de Determinação ]

6. Se uma reta possui dois pontos

que pertencem a um plano, então a

reta está contida nesse plano.

A Geometria Plana estuda figuras

planas, ou seja, figuras cujos pontos

estão todos num mesmo plano.

[ Classificação de Segmentos de

Reta ]

Dois segmentos de reta podem ser

classificados em:

• Consecutivos

• Colineares

• Adjacentes

[Segmentos Consecutivos]

Dois segmentos de reta são

consecutivos se uma extremidade de

um deles é também extremidade do

outro:

C

B

P RQ

A

[Segmentos Colineares]

Dois segmentos de reta são

colineares se estão numa mesma

reta.

P RQA CB D

[Segmentos Adjacentes]

Dois segmentos de reta são

adjacentes se são consecutivos e

colineares, e não possuem pontos

internos em comum.

TR SPNM

] [Adição de Segmentos

Dados dois segmentos e ,

tomando-se numa semi-reta qualquer

de origem R os segmentos e

tais que e

, dizemos que o segmento

é a soma de com

AB CD

PTRP

RP AB PT CD

RT AB

CD

A

TPR

D

CB

RP ABPT CDRT AB CD RP PT

[Ponto Médio de Um Segmento]

Dado um segmento , dizemos que

M é ponto médio deste segmento se,

e somente se, M está entre A e B e .

AB

AM MB

BMA

[Distância entre Dois Pontos]

Dados dois pontos A e B, a distância

entre eles é o comprimento do

segmento , que será

representado por m( ).

AB

AB

A B

Por exemplo, se um segmento

tem comprimento igual a três

unidades de comprimento, então:

PQ

1 u.c.1 u.c.1 u.c.

[Exemplo]

Observe a figura abaixo e determine

sabendo que M é o ponto

médio de .AB

MA B

x + 82x - 5

m(AB)

[Resolução]

Como M é o ponto médio de ,

temos que , logo,

AB

m(AM) = m(MB)

2 5 8x x

2 5 8x x

13x

[Resolução]

Mas

m(AB) (2x -5) (x 8) 3x 3 3 13 3 42

[Proposição]

Se em uma semi-reta

considerarmos

um segmento , com

,

então o ponto C estará entre A e B

(o ponto C é chamado de ponto

interno de

).

ABKKKKKKKKKKKKKK

AC m(AC) < m(AB)

BA C

ABKKKKKKKKKKKKKK

[Demonstração]

Hipótese:

Tese: C está entre A e B

Observemos que, como B e C estão

na mesma semi-reta de origem A,

então A não pode estar entre B e C.

m(AC) < m(AB)

BCA BCA

[Demonstração]

Não pode acontecer também de

termos B entre A e C, pois, caso fosse

possível,

teríamos que e,

consequentemente, .

Isto contraria a hipótese. Sendo

assim, resta apenas a alternativa

onde o ponto C está entre os pontos

A e B.

AB+BC=AC

m(AB) < m(AC)

[Razão da Secção Interna]

Consideremos o segmento de reta

e C um ponto interno deste

segmento. A razão

é chamada razão da seção interna.

AB

m( )k

m( )

AC

CB

A C B

Se C for o ponto médio de , qual

será a razão da seção interna?

AB

A C B

Certamente todos encontraram a

resposta correta:

k = 1.

[Exemplo]

Um segmento de medida 9 cm

foi

dividido internamente por um ponto

C na razão 2. Encontre a medida dos

segmentos , e

e esboce o segmento com seu

respectivo ponto interno.

AB

CBAC

[Resolução]

Inicialmente chamemos a medida do

segmento de x. Ainda não

sabemos exatamente a que distância

de A encontra-se o ponto C.

Suponhamos que ele esteja na

seguinte posição:

AC

A C B

x

[Resolução]

Como o segmento mede 9 cm

e o segmento mede x cm,

então temos que .

AB

AC

m(BC) 9 x

A C B

x 9 - x

[Resolução]

Sabemos ainda que k = 2, portanto

Resolvendo a proporção acima,

encontramos x = 6 cm. Desse modo,

concluímos que e

.

m( )k

m( )

AC

CB x

29 x

AC 6 cm CB 3 cm

[Resolução]

Agora podemos ter uma precisão

quanto à posição do ponto C:

A C B

9cm 3cm

[Razão da Seção Externa]

Consideremos o segmento de reta

e C um ponto fora deste segmento. A

razão

é chamada razão da seção externa.

Qual é a diferença entre esta razão e

a razão interna?

AB

m( )k

m( )

AC

CB

[Razão da Seção Externa]

No primeiro caso, C é um ponto

interno ao segmento, e no último, é

externo:A C B

C A B

Ponto interno

Ponto externo

[Exercício]

Um segmento de 9 cm foi

dividido externamente por um ponto

C de tal forma que a razão entre as

medida de e

é 2. Encontre a medida dos

segmentos envolvidos e esboce o

segmento com seu respectivo ponto

externo.

AB

AC CB

Resposta:

m( ) 9cm

m( ) 18cm

BC

AC

CBA

9 cm 9 cm

[ Referências ]

• Iezzi, Gelson. Matemática:

Ciência e aplicações. São Paulo:

Editora Atual, 2004.

• Dolce, O., Pompeo, J.Niicolau.

Fundamentos de Matemática

Elementar, vol.9. São Paulo:

Atual,1993.