UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS 2.1 – Introdução 2.2 – Fase I – Isolamento 2.3 –...

UNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS


CÁLCULO NUMÉRICOUNIDADE 2 – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS

2.1 – Introdução2.2 – Fase I – Isolamento2.3 – Fase II – Refinamento

2.3.1 – Critério da Parada2.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funções

Objetivos: Aplicar algoritmos numéricos para determinação dos zeros das

funções reais .



2.1 – IntroduçãoNa área de exatas, as mais diversas situações a resolução de equação do tipo f(x)=0.

Neste circuito há um dispositivo não linear onde a g é uma função da corrente elétrica não linear

0)( igRiE

É um polinômio de 3º grauPortanto x é uma função f(x) ou raiz da equação f(x)=0 se f(x)=0

Em alguns casos as raízes podem se complexas

Lei de Kirchhoff

R

v=g(i)E



2.1 – IntroduçãoGraficamente o zero das funções reais constitui os pontos das abcissa que intercepta o eixo x.

x1

x2

f(x)

x

x1

x2

f(x)

xx3

x1 x2

f(x)

xx3



2.1 – IntroduçãoA questão é:

Como obter as raízes reais de uma equação qualquer?

Para equações de 1º e 2º graus e equações que possam ser reduzidos a equações deste tipo, há soluções analíticas.

Para equações de maior grau e funções não lineares o problema se torna mais complexo e não há solução exata.

De qualquer forma, utilizando-se uma máquina adequada podemos encontrar as raízes aproximadas com precisão pré fixada.



2.1 – IntroduçãoDesta forma o ideal é: Obter uma aproximação inicial da raiz; Refinar essa aproximação com processos

iterativos

Portanto, o método numérico constitui-se em duas fases:

Fase I – Localização ou Isolamento das Raízes: Consiste em definir o intervalo que contém a raiz.

Fase II – Refinamento: Após a fase I, realizar uma melhora sucessiva até obter a raiz dentro de uma precisão pré fixada



2.1 – Isolamento das Raízes

Teorema I: (Cauchy-Bolzano)

Seja f(x) uma função no intervalo [a,b]

Obs1: se f(a)f(b)<0 então existe pelo menos um x=x entre a e b em que f(x)=0

Graficamente:

Faz-se a análise teórica e gráfica de f(x).

x1 x2

f(x)

xx3a b

x b

f(x)

xa

a x1

f(x)

xx2 b




No caso do teorema 1, se f’(x) existir e permanecer com o mesmo sinal de (a,b) então este intervalo contém um único zero para f(x).

x b

f(x)

xa

f’(x) > 0, x [a,b]

x

f(x)

xab

f’(x) < 0, x [a,b]



2.1 – Isolamento das RaízesForma de isolar as raízes:Tabelar f(x) para vários valores de x; Examinar o sinal de f’(x) onde houve a mudança de

sinal.

Exemplo 1:

a) f(x)=x3-9x+3

Como a função é do 3º grau pode-se afirmar que a apenas uma raiz em cada intervalo

f(x) é contínua

para x R.

+++--+++----f(x)543210-1-3-5-10-100-x

I 3 = [2, 3]

I 1 = [-5

, -3]

I 2 = [0

, 1]

Cada um dos intervalos contém pelo menos um zero.




f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2]

Análise do sinal de f’(x)

x 0 1 2 3 ...

f(x) - - + + ...

f(x) admite um único zero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo (1, 2).

Exemplo 2:

b) xexxf 5)(

0,0521)(' xex

xf x




Obs2: se f(a)f(b)>0Podemos ter várias situações como por exemplo:

b

f(x)

xa a x

f(x)

xb

f(x)

x1 x2 xa b

Neste caso é necessário a análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x)=0.




Os processos de análise gráfica são os seguintes:

i) Esboçar o gráfico de f(x) e localizar as abcissa dos pontos onde a curva intercepta o eixo x.

ii) A partir da equação f(x)=0 obter a equação equivalente g(x)=f(x) , esboçar o gráfico de ambas as funções no mesmo plano cartesiano e localizar os ponto x onde as curvas se interceptam, pois neste caso: f(x)=0 g(x)=h(x).

iii) Usar programas que esboçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.




• Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico Domínio da função Pontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e decrescimento Pontos de máximo e mínimo Concavidade Pontos de inflexão Assíntotas da função

(Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica)



2.1 – Isolamento das RaízesAnálise gráfica: Exemplo 3: Uso do método (i)

f(x) = x3 – 9x +3

x3

f(x)

x-4 1-3 -2 -1 2 3 4x2x1

x1 (-4, -3); x 2 (0, 1); x 3 (2, 3)

f’(x) = 3x2 - 9

f’(x) = 0 <=> x = 3

x f(x)-4 -25-3 3

13,3923-1 110 31 -5

-7,39232 -73 3

3

3



2.1 – Isolamento das RaízesAnálise gráfica: Exemplo 4: Uso do método (ii)f(x) = x3 – 9x +3

x 3 (2, 3)

g(x) = x3

h(x) = 9x -3

x3

g(x)

x-4 1-3 -2 -1 2 3 4x2x1

h(x)y

x1 (-4, -3)

x 2 (0, 1)



2.3 – Fase II – Refinamento

Métodos Iterativos são sequencias de instruções repetitiva em ciclos

Cada nova Iteração utiliza o resultado do ciclo anterior



INICIO

FIM

Cálculos Finais

Dados Iniciais

Cálculos Iniciais

K=1

Calcular nova Aproximação

Cálculos Intermediários

Está aproximação está próxima o

suficiente da raiz exata?

S

N

2.3 – Fase II – Refinamento



2.3.1 – Critério de Parada

Há duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levam ao mesmo resultado: é raiz aproximada com precisão e se:

e

ex

)()

)

xfii

ouxi Como efetuar o teste (i) se não conhecemos x?

• Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração.

• Ao se conseguir um intervalo [a,b] tal que

e

x

abe

ba ],[

então

],[

],,[

bax

xbax

ex

Pode ser tomado como x

x b

f(x)

xa

b – a < e



2.3.1 – Critério de Parada

Nem sempre é possível satisfazer a condição (i) e (ii).

x

f(x)

xx

xex xe)(xftem-se

masem

x

f(x)

xx

ex x e)(xfmas

x

f(x)

xx

ex x

e)(xfOs métodos numéricos são desenvolvidos para satisfazer um dos dois critérios.

Dependendo da ordem de grandeza, aconselha-se utilizar o erro relativo: )(

)(

xfLondeLxf

sex

ex

Para

x e

scol

hido

na

vi

zinha

nça

de x

.



2.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funçõesI – Método da bissecção.

•Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0.•Supor, por simplificação, a existência de uma única raiz.

Objetivo: Reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir a precisão requerida: (b-a)<e, dividindo-se sucessivamente o [a,b] ao meio.

f(x)

xx 2=a

3

a=a0=a1

b=b0x0=b1=b2=b3

x1==a2

Graficamente:

Iterações:

33

23

32

2

2

222

2

),(

0)(0)(0)(

2bbxabx

xfbfaf

baxx

01

01

00

0

0

000

0

),(

0)(0)(0)(

2xbaaxa

xfbfaf

baxx

12

12

11

1

1

111

1

),(

0)(0)(0)(

2bbxabx

xfbfaf

baxx



I – Método da bissecção.Exemplo:

Achar o zero aproximado da função f(x)=xlog(x)-1 que possui um zero no intervalo [2,3] com e=0,125.

35,2)3,5;2(

0)5,2(0)3(0)2(

5,2232

1

10

ba

fff

xx

75,25,2)75,2;5,2(

0)75,2(0)3(0)5,2(

75,2235,2

2

21

ba

fff

xx

625,25,2)625,2;5,2(

0)75,2(0)625,2(0)5,2(

625,2275,25,2

3

32

ba

fff

xx



I – Método da bissecção.Algoritmo:

Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0.

1)Dados iniciais:a) Intervalo [a,b]b) precisão e2) Se (b-a)<e, então escolha para qualquer x X [a,b].Fim.3 K=14) M=F(a)5)x=(a+b)/26)Se M.f(x)>0, faça a=x. vá para passo 8.7) b=x8) Se (b-a)<e, escolha qualquer X[a,b]. FIM.9) K=K+1. Volte para o passo 5.

x

x



Condições de parada

Se os valores fossem exatos

●f(x) = 0●(b k– ak)= 0

Caso cont´rário●|f(x)| e

●|(bk – ak)| e

I – Método da bissecção.



I – Método da bissecção.Estimativa do número de iterações

• Dada a precisão e e o intervalo [a,b] a estimativa do número de iterações é obtido como se segue:

kkk

kkababab

220011

• Deve-se obter o valor de k tal que: e kk ab

)2log(log)log(

log)log(2log

22

00

00

0000

ee

ee

abk

abk

abab kk



I – Método da bissecção.Observações finais:

• Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0 este método vai gerar uma sequência {xk} que converge para a raiz. É sempre possível obter um intervalo que contém a raiz da equação em estudo, sendo que o comprimentos deste intervalo final satisfaz a precisão requerida.

• As iterações não envolvem cálculos laboriosos. A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do intervalo anterior;

• A convergência é muito lenta pois o intervalo inicial é tal que b0-a0>>e e se e for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande como por exemplo:

O algoritmo apresentado pode incluir também o teste de parada com o módulo da função e o número máximo de iterações.

.258.2410

37

00

kk

abe

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