TALLER PARA REPRESENTAR FENOMENOS DE REALIMENTACIÓN NEGATIVA DE PRIMER ORDEN, REALIMENTACION NEGATIVA DE SEGUNDO ORDEN,

REALIMENTACION POSITIVA

AUTORA: MARY LUZ CARRILLO TORRES

PROFESOR: SAMUEL PRIETO MEJIA

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE SISTEMAS

ASIGNATURA DINAMICA DE SISTEMAS SANTA MARTA

2013

1) Realimentación negativa de primer orden Un sistema que representa este tipo de comportamiento es el mecanismo de llenado de un tanque de agua de un baño tradicional.

Supongamos que el Tanque tiene una capacidad de 20 litros y que en términos normales se demora 60 segundos en llenarse (1 minutos). Es de recordar que la válvula regula la entrada de agua, a medida que haya más agua en el tanque la entrada de agua es menor. Podemos hacer un programa de computador o usar la hoja electrónica para observar el comportamiento de este sistema. Así:

Tiempo (segundos)

Cantidad de agua entrante

AGUA EN EL

TANQUE

Cantidad de agua faltante

para llenar el tanque (litros)

ENTRADA DE AGUA

(litros/segundo)

0 0,00 0 20 0,33 2 0,64 0,64 19,36 0,32 4 0,64 1,28 18,08 0,31 6 0,62 1,93 18,07 0,30 8 0,60 2,54 17,46 0,29

El tiempo en que se simula el sistema es cada 2 segundos. En el inicio del llenado del tanque el tiempo es 0 segundos. La cantidad del agua en el tanque al tiempo cero es igual a 0 La cantidad de agua faltante para llenar el tanque es igual a 20 menos el agua en el tanque La cantidad de agua que entra por segundo es igual a la cantidad de agua que falta para llenar el tanque dividido por 60 segundos que es el tiempo que se tardaría normalmente en llenarse el tanque

Si representamos gráficamente el comportamiento del sistema con respecto al tiempo del agua en el tanque y el agua faltante, se puede ver el tipo de curva que se produce, que es un crecimiento hasta alcanzar un valor establecido y luego permanece en dicho valor. I) Simule en una hoja electrónica este problema y responda :

a) Si el tiempo de simulación es cada segundo cuantos segundos se requerirá para llenar el tanque

b) Si el tanque es de 25 litros cuanto tiempo se requerirá para llenar el tanque c) Si el tiempo de llenado del tanque es de 80 segundos sin restricciones,

simule el sistema teniendo en cuenta que la válvula frena la entrada de cantidad de agua y calcule cuantos segundos se demoraría en llenarse el tanque.

Solución Realimentación negativa de primer orden

Tiempo (segundos)

Cantidad de agua entrante

AGUA EN EL

TANQUE

Cantidad de agua faltante

para llenar el tanque (litros)

ENTRADA DE AGUA

(litros/segundo)

0,00 0,00 0,00 20,00 0,33

1,00 0,33 0,33 19,67 0,33

2,00 0,33 0,66 19,34 0,32

3,00 0,32 0,98 19,02 0,32

4,00 0,32 1,30 18,70 0,31

5,00 0,31 1,61 18,39 0,31

6,00 0,31 1,92 18,08 0,30

7,00 0,30 2,22 17,78 0,30

8,00 0,30 2,52 17,48 0,29

9,00 0,29 2,81 17,19 0,29

10,00 0,29 3,09 16,91 0,28

11,00 0,28 3,38 16,62 0,28

12,00 0,28 3,65 16,35 0,27

13,00 0,27 3,93 16,07 0,27

14,00 0,27 4,19 15,81 0,26

15,00 0,26 4,46 15,54 0,26

16,00 0,26 4,72 15,28 0,25

17,00 0,25 4,97 15,03 0,25

18,00 0,25 5,22 14,78 0,25

19,00 0,25 5,47 14,53 0,24

20,00 0,24 5,71 14,29 0,24

21,00 0,24 5,95 14,05 0,23

22,00 0,23 6,18 13,82 0,23

23,00 0,23 6,41 13,59 0,23

24,00 0,23 6,64 13,36 0,22

25,00 0,22 6,86 13,14 0,22

26,00 0,22 7,08 12,92 0,22

.

.

.

478,00 0,00 19,99 0,01 0,00

479,00 0,00 19,99 0,01 0,00

480,00 0,00 19,99 0,01 0,00

481,00 0,00 19,99 0,01 0,00

482,00 0,00 19,99 0,01 0,00

483,00 0,00 19,99 0,01 0,00

484,00 0,00 19,99 0,01 0,00

485,00 0,00 19,99 0,01 0,00

486,00 0,00 19,99 0,01 0,00

a) Si el tiempo de simulación es cada segundo cuantos segundos se requerirá

para llenar el tanque: 486 segundos.

b) Si el tanque es de 25 litros cuanto tiempo se requerirá para llenar el tanque:504 segundos

Tiempo (segundos)

Cantidad de agua entrante

AGUA EN EL TANQUE

Cantidad de agua faltante

para llenar el tanque (litros)

ENTRADA DE AGUA

(litros/segundo)

0,00 0,00 0,00 25,00 0,42

2,00 0,83 0,83 24,17 0,40

4,00 0,81 1,64 23,36 0,39

6,00 0,78 2,42 22,58 0,38

8,00 0,75 3,17 21,83 0,36

10,00 0,73 3,90 21,10 0,35

12,00 0,70 4,60 20,40 0,34

14,00 0,68 5,28 19,72 0,33

16,00 0,66 5,94 19,06 0,32

18,00 0,64 6,57 18,43 0,31

20,00 0,61 7,19 17,81 0,30

22,00 0,59 7,78 17,22 0,29

24,00 0,57 8,36 16,64 0,28

26,00 0,55 8,91 16,09 0,27

.

.

.

488,00 0,00 24,99 0,01 0,00

490,00 0,00 24,99 0,01 0,00

492,00 0,00 24,99 0,01 0,00

494,00 0,00 24,99 0,01 0,00

496,00 0,00 24,99 0,01 0,00

498,00 0,00 24,99 0,01 0,00

500,00 0,00 24,99 0,01 0,00

502,00 0,00 24,99 0,01 0,00

504,00 0,00 25,00 0,00 0,00

c) Si el tiempo de llenado del tanque es de 80 segundos sin restricciones, simule el sistema teniendo en cuenta que la válvula frena la entrada de cantidad de agua y calcule cuantos segundos se demoraría en llenarse el tanque. Se demoraría 1356 segundos.

Tiempo (segundos)

Cantidad de agua entrante

AGUA EN EL TANQUE

Cantidad de agua faltante para llenar el

tanque (litros)

ENTRADA DE AGUA (litros/segundo)

0,00 0,00 0,00 25,00 0,31

2,00 0,31 0,31 24,69 0,31

4,00 0,31 0,62 24,38 0,30

6,00 0,30 0,93 24,07 0,30

8,00 0,30 1,23 23,77 0,30

10,00 0,30 1,52 23,48 0,29

. . .

1348,00 0,00 24,99 0,01 0,00

1350,00 0,00 24,99 0,01 0,00

1352,00 0,00 24,99 0,01 0,00

1354,00 0,00 24,99 0,01 0,00

1356,00 0,00 25,00 0,00 0,00

Diagrama causal

2) Realimentación negativa de segundo orden Un sistema que nos sirve para explicar este comportamiento es el vuelo de un avión

Que está representado en la figura. El avión sube hasta alcanzar una altura determinada (altura de vuelo de crucero ej.: 30.000 pies) y luego intenta ir a esa altura. Debido a la demora de los mecanismos del avión (principalmente motores) en responder las órdenes del piloto, el vuelo del avión es diferente a lo mostrado en el gráfico anterior:

TIEMPO (minutos)

Total del Cambio en Altura (pies)

Altura (pies)

Corrección en la capacidad de tomar altura del avión (pies)

CAPACIDAD DE TOMAR ALTURA POR EL AVION (pies)

Altura faltante para llegar a vuelo de crucero

Altura solicitada por el piloto al accionar motores (pies)

Cambio de altura del avión ) (pies)

(pies)

(altura alcanzada por el avión entre los periodos de tiempo

la diferencia entre la altura solicitada por el piloto del avión menos el cambio de altura del avion

(basado en lo que le falta para la altura sobre tiempo necesario para la altura de crucero

( basado en la capacidad de tomar altura del avión dividido entre porcentaje Ej.: la décima parte)

0 0 15000 30000 1500 1500

2 3000 3000 0 15000 27000 1350 1500

4 3000 6000 -300 14700 24000 1200 1470

6 2940 8940 -540 14160 21060 1053 1416

En la tabla mostrada se pueden observar que: El tiempo de simulación es cada 2 minutos El tiempo de alcanzar altura de crucero lo estimamos en 20 minutos (sin tener en cuenta la demora) Las formulas aquí serian: Cambio en altura (Ca) Altura (H) Corrección en la capacidad de tomar altura del avión (Ch) Capacidad de tomar altura por el avión (Cta) Altura faltante para llegar a vuelo de crucero (Hf) Altura solicitada por el piloto al accionar motores (Ap) Cambio de altura del avión (Cha) TIEMPO PARA ALCANZAR CRUCERO = 20 Ca (i) = Cha (i -1) * 2 Debido a que se simula cada dos (2) minutos H (i) = H(i-1) + Ca(i) Ch(i) = Ap(i-1) – Cha (i-1) Cta (i) = Cta(i-1) + Ch(i) Hf(i) = 30.000 – H(i) Ap(i) =Hf(i)/TC Cha(i) = Cta(i)/10

I) Simule en una hoja electrónica este problema y responda :

a) Si el tiempo de simulación es cada minuto cuantos minutos se requerirá para que el avión alcanzara vuelo de crucero

b) Si la altura de vuelo se cambia a 20.000 pies cuanto tiempo se requerirá para alcanzarla

Solución Realimentación negativa de segundo orden:

a) Si el tiempo de simulación es cada minuto cuantos minutos se requerirá para que el avión alcanzara vuelo de crucero: 30 minutos.

TIEMPO Total del

Cambio en

Altura

Altura Corrección

en la

capacidad

de tomar

altura del

avión

CAPACIDAD

DE TOMAR

ALTURA

POR EL

AVION

Altura

faltante

para llegar

a vuelo de

crucero

Altura

solicitada

por el piloto

al accionar

motores

Cambio de

altura del

avión)

(minutos) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies)

0,00 0,00 15000,00 30000,00 1500,00 1500,00

1,00 1500,00 1500,00 0,00 15000,00 28500,00 1425,00 1500,00

2,00 1500,00 3000,00 -75,00 14925,00 27000,00 1350,00 1492,50

3,00 1492,50 4492,50 -142,50 14782,50 25507,50 1275,38 1478,25

4,00 1478,25 5970,75 -202,88 14579,63 24029,25 1201,46 1457,96

.

.

.

26,00 525,82 28342,69 -416,66 4841,53 1657,31 82,87 484,15

27,00 484,15 28826,84 -401,29 4440,24 1173,16 58,66 444,02

28,00 444,02 29270,87 -385,37 4054,87 729,13 36,46 405,49

29,00 405,49 29676,36 -369,03 3685,84 323,64 16,18 368,58

30,00 368,58 30044,94 -352,40 3333,44 -44,94 -2,25 333,34

vuelo de avion

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

vuelo de avion

b) Si la altura de vuelo se cambia a 20.000 pies cuanto tiempo se requerirá

para alcanzarla: 22 minutos. TIEMPO Total del

Cambio en Altura

Altura Corrección en la

capacidad de tomar altura del

avión

CAPACIDAD DE TOMAR

ALTURA POR EL AVION

Altura faltante

para llegar a vuelo de

crucero

Altura solicitada

por el piloto al accionar motores

Cambio de altura del

avión)

(minutos) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies) (pies)

0,00 0,00 15000,00 20000,00 1000,00 1500,00

2,00 3000,00 3000,00 -1000,00 14000,00 17000,00 850,00 1400,00

4,00 2800,00 5800,00 -1100,00 12900,00 14200,00 710,00 1290,00

6,00 2580,00 8380,00 -1160,00 11740,00 11620,00 581,00 1174,00

8,00 2348,00 10728,00 -1186,00 10554,00 9272,00 463,60 1055,40

.

.

.

22,00 829,48 20824,70 -829,00 3318,39 -824,70 -41,23 331,84

Diagrama causal

3) Realimentación Positiva Un sistema que nos permite representar este tipo de comportamiento es los préstamos que realiza una persona para sobrevivir

Tiempo (meses)

Cantidad de dinero prestado

total deuda

intereses ingresos mensuales

pago mensual

diferencia ingresos vs pagos

0 10000000 10000000 1000000 400000 416667 16667

2 33333 10033333 1003333,33 400000 418056 18056

4 36111 10069444 1006944,44 400000 419560 19560

Las formulas serian: Cantidad de dinero prestado (Cdp) Valor inicial = 10000000 Total deuda (Td) Intereses (I) INGRESOS MENSUALES (IM) = 400000 Pago mensual (Pm) Diferencia ingresos vs pagos (Dif) Td (i) = Td(i-1) + Cdp(i) I (i) = I (i) / 10 Pm (i) = Td(i)/24 Dif(i) = IM (i) – Pm(i) Cdp(i) = Dif(i)

I) Simule en una hoja electrónica este problema y responda :

a) En cuanto tiempo la persona tendrá que pagar el doble de sus ingresos mensuales

b) Aumente la tasa de interés al 15 % y verifique en cuanto tiempo estará pagando el doble de sus ingresos mensuales

PRESTAMOS

9400000

9600000

9800000

10000000

10200000

10400000

10600000

10800000

11000000

1 3 5 7 9 11 13 15

PRESTAMOS

Solución de la realimentación positiva

a) En cuanto tiempo la persona tendrá que pagar el doble de sus ingresos mensuales: 80 meses.

Tiempo (meses)

Cantidad de dinero

prestado

Total Deuda Intereses Ingresos Mensuales

Pago Mensual

Diferencia Ingresos vs

Pagos

0,00 10000000,00 10000000,00 1000000,00 400000,00 416666,67 16666,67

2,00 33333,33 10033333,33 1003333,33 400000,00 418055,56 18055,56

4,00 36111,11 10069444,44 1006944,44 400001,00 419560,19 19559,19

6,00 39118,37 10108562,81 1010856,28 400002,00 421190,12 21188,12

8,00 42376,23 10150939,05 1015093,90 400003,00 422955,79 22952,79

10,00 45905,59 10196844,64 1019684,46 400004,00 424868,53 24864,53

12,00 49729,05 10246573,69 1024657,37 400005,00 426940,57 26935,57

14,00 53871,14 10300444,83 1030044,48 400006,00 429185,20 29179,20

16,00 58358,40 10358803,23 1035880,32 400007,00 431616,80 31609,80

18,00 63219,60 10422022,84 1042202,28 400008,00 434250,95 34242,95

20,00 68485,90 10490508,74 1049050,87 400009,00 437104,53 37095,53

22,00 74191,06 10564699,80 1056469,98 400010,00 440195,83 40185,83

24,00 80371,65 10645071,45 1064507,15 400011,00 443544,64 43533,64

26,00 87067,29 10732138,74 1073213,87 400012,00 447172,45 47160,45

28,00 94320,89 10826459,63 1082645,96 400013,00 451102,48 51089,48

30,00 102178,97 10928638,60 1092863,86 400014,00 455359,94 55345,94

32,00 110691,88 11039330,49 1103933,05 400015,00 459972,10 59957,10

34,00 119914,21 11159244,69 1115924,47 400016,00 464968,53 64952,53

36,00 129905,06 11289149,75 1128914,98 400017,00 470381,24 70364,24

38,00 140728,48 11429878,23 1142987,82 400018,00 476244,93 76226,93

40,00 152453,85 11582332,08 1158233,21 400019,00 482597,17 82578,17

42,00 165156,34 11747488,42 1174748,84 400020,00 489478,68 89458,68

44,00 178917,37 11926405,79 1192640,58 400021,00 496933,57 96912,57

46,00 193825,15 12120230,94 1212023,09 400022,00 505009,62 104987,62

48,00 209975,25 12330206,19 1233020,62 400023,00 513758,59 113735,59

50,00 227471,18 12557677,37 1255767,74 400024,00 523236,56 123212,56

52,00 246425,11 12804102,48 1280410,25 400025,00 533504,27 133479,27

54,00 266958,54 13071061,02 1307106,10 400026,00 544627,54 144601,54

56,00 289203,09 13360264,11 1336026,41 400027,00 556677,67 156650,67

58,00 313301,34 13673565,45 1367356,54 400028,00 569731,89 169703,89

60,00 339407,79 14012973,24 1401297,32 400029,00 583873,88 183844,88

62,00 367689,77 14380663,01 1438066,30 400030,00 599194,29 199164,29

64,00 398328,58 14778991,59 1477899,16 400031,00 615791,32 215760,32

66,00 431520,63 15210512,22 1521051,22 400032,00 633771,34 233739,34

68,00 467478,69 15677990,91 1567799,09 400033,00 653249,62 253216,62

70,00 506433,24 16184424,15 1618442,42 400034,00 674351,01 274317,01

72,00 548634,01 16733058,16 1673305,82 400035,00 697210,76 297175,76

74,00 594351,51 17327409,68 1732740,97 400036,00 721975,40 321939,40

76,00 643878,81 17971288,48 1797128,85 400037,00 748803,69 348766,69

78,00 697533,37 18668821,86 1866882,19 400038,00 777867,58 377829,58

80,00 755659,15 19424481,01 1942448,10 400039,00 809353,38 409314,38

b) Aumente la tasa de interés al 15 % y verifique en cuanto tiempo estará pagando el doble de sus ingresos mensuales: el tiempo no cambia.

Tiempo (meses)

Cantidad de dinero prestado

total deuda intereses ingresos mensuales

pago mensual

diferencia ingresos vs pagos

0,00 10000000,00 10000000,00 1500000,00 400000,00 416666,67 16666,67

2,00 33333,33 10033333,33 1505000,00 400000,00 418055,56 18055,56

4,00 36111,11 10069444,44 1510416,67 400001,00 419560,19 19559,19

6,00 39118,37 10108562,81 1516284,42 400002,00 421190,12 21188,12

8,00 42376,23 10150939,05 1522640,86 400003,00 422955,79 22952,79

10,00 45905,59 10196844,64 1529526,70 400004,00 424868,53 24864,53

12,00 49729,05 10246573,69 1536986,05 400005,00 426940,57 26935,57

14,00 53871,14 10300444,83 1545066,72 400006,00 429185,20 29179,20

16,00 58358,40 10358803,23 1553820,48 400007,00 431616,80 31609,80

18,00 63219,60 10422022,84 1563303,43 400008,00 434250,95 34242,95

20,00 68485,90 10490508,74 1573576,31 400009,00 437104,53 37095,53

22,00 74191,06 10564699,80 1584704,97 400010,00 440195,83 40185,83

24,00 80371,65 10645071,45 1596760,72 400011,00 443544,64 43533,64

26,00 87067,29 10732138,74 1609820,81 400012,00 447172,45 47160,45

28,00 94320,89 10826459,63 1623968,94 400013,00 451102,48 51089,48

30,00 102178,97 10928638,60 1639295,79 400014,00 455359,94 55345,94

32,00 110691,88 11039330,49 1655899,57 400015,00 459972,10 59957,10

34,00 119914,21 11159244,69 1673886,70 400016,00 464968,53 64952,53

36,00 129905,06 11289149,75 1693372,46 400017,00 470381,24 70364,24

38,00 140728,48 11429878,23 1714481,73 400018,00 476244,93 76226,93

40,00 152453,85 11582332,08 1737349,81 400019,00 482597,17 82578,17

42,00 165156,34 11747488,42 1762123,26 400020,00 489478,68 89458,68

44,00 178917,37 11926405,79 1788960,87 400021,00 496933,57 96912,57

46,00 193825,15 12120230,94 1818034,64 400022,00 505009,62 104987,62

48,00 209975,25 12330206,19 1849530,93 400023,00 513758,59 113735,59

50,00 227471,18 12557677,37 1883651,61 400024,00 523236,56 123212,56

52,00 246425,11 12804102,48 1920615,37 400025,00 533504,27 133479,27

54,00 266958,54 13071061,02 1960659,15 400026,00 544627,54 144601,54

56,00 289203,09 13360264,11 2004039,62 400027,00 556677,67 156650,67

58,00 313301,34 13673565,45 2051034,82 400028,00 569731,89 169703,89

60,00 339407,79 14012973,24 2101945,99 400029,00 583873,88 183844,88

62,00 367689,77 14380663,01 2157099,45 400030,00 599194,29 199164,29

64,00 398328,58 14778991,59 2216848,74 400031,00 615791,32 215760,32

66,00 431520,63 15210512,22 2281576,83 400032,00 633771,34 233739,34

68,00 467478,69 15677990,91 2351698,64 400033,00 653249,62 253216,62

70,00 506433,24 16184424,15 2427663,62 400034,00 674351,01 274317,01

72,00 548634,01 16733058,16 2509958,72 400035,00 697210,76 297175,76

74,00 594351,51 17327409,68 2599111,45 400036,00 721975,40 321939,40

76,00 643878,81 17971288,48 2695693,27 400037,00 748803,69 348766,69

78,00 697533,37 18668821,86 2800323,28 400038,00 777867,58 377829,58

80,00 755659,15 19424481,01 2913672,15 400039,00 809353,38 409314,38

82,00 818628,75 20243109,76 3036466,46 400040,00 843462,91 443422,91

Diagrama causal