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Tania Fernández Serna N1 Algoritmo de la división. Divisibilidad en Z __________________________________________________________ Algoritmo de la división Relación de divisibilidad en Z

, con 0a bq r r b= + ≤ < Si 0a ≠ es divisor de b, existe un c tal que b ac= y se escribe a|b. Máximo común divisor ___________________________________________________________________________ Definición El máximo común divisor de a y b, que se escribe mcd(a,b), es el mayor número entero que divide a ambos. I.   Si mcd(a,b)=1, se dice que a y b son primos relativos.

II.   Si mcd(a,b)=d, entonces , 1a bmcdd d⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

. III.   Si mcd(a,b)=d, entonces d cumple que: i.   d|a y d|b. ii.   Si c Z∈ y c|a y c|b, entonces c d≤ .

Propiedades

1.   mcd(a,0)=|a|, mcd(a,a)=|a|, mcd(1,a)=1

2.   mcd(a,b)=(a,-b)=mcd(-a,b)=mcd(-a,-b)

3.   mcd(a+kb,b)=mcd(a,b) para todo k Z∈

4.   mcd(ka,kb)=|k|mcd(a,b) para todo , 0k Z k∈ ≠

5.   2 2 2( , ) [ ( , )]mcd a b mcd a b=

6.   Si mcd(a,b)=1 y mcd(a,c)=1, entonces mcd(a,bc)=1 Identidad de Bezout

( , )mcd a b ax by= + Dos números a y b son primos relativos si 1 ax by= + Mínimo común múltiplo __________________________________________________________________________ Definición El mínimo común múltiplo de a y b, enteros no nulos, que se escribe mcm(a,b), es el número entero positivo tal que: I.   a|m y b|m II.   Si c N∈ tal que a|c y b|c, entonces m c≤ Propiedades

1.   mcm(1,a)=mcm(a,a)=|a|

2.   mcm(a,b)=(a,-b)=mcm(-a,b)=mcm(-a,-b)

3.   mcm(a,b)=mcd(a,b) si y sólo si a b= ±

4.   mcm(ka,kb)=|k|mcm(a,b) para todo , 0k Z k∈ ≠

5.   2 2 2( , ) [ ( , )]mcm a b mcm a b=

6.   mcm(a,b)=|ab| si y sólo si mcd(a,b)=1 Teorema

( , )· ( , )mcd a b mcm a b ab= 𝑚𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 𝑚𝑐𝑑(𝑎 + 𝑏,𝑚𝑐𝑚 𝑎, 𝑏 )

Números primos. Teorema fundamental de la aritmética _______________________________________________ Un número entero p>1 se dice primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Un número entero mayor que 1 que no es primo,

se llama compuesto. Si p es un número primo y p|ab, entonces p|a o p|b. El conjunto de los números primos es infinito.

Factorización canónica de un número entero positivo

Cualquier número entero positivo n>1, puede escribirse de modo único en su “forma canónica”: 1 21 2

rk k krn p p p= , donde cada

ik es un número entero positivo, cada ip es primo y 1 rp p< .

Divisores y múltiplos de un número natural 1 21 2

rk k krn p p p= _________________________________________

Los divisores de n son los números:1 2

1 2 ,0 1,2,

ra a ar

i i

d p p pa k i r

=

≤ ≤ ∀ =

El número de divisores positivos de n es: 1 2( ) ( 1)( 1) ( 1)rn k k kτ = + + … +

La suma de los divisores positivos de n es: 1

1

1 11

1 11

1 1( ) (1 ) (1 )1 1

rr

k kk k r

r rr

p pn p p p pp p

σ+ +− −

= + +… … + +… = …− −

El producto de los divisores positivos de n es: ( )/2nnτ

Sea 1 21 2

rk k krn p p p= la factorización canónica del entero positivo n>1.

Un número entero N es múltiplo de n si y sólo si N es múltiplo de ikip .

Número natural perfecto n = 𝜎 n − n ⟹ 2n = 𝜎 n

Funciones multiplicativas: 𝛾 m · n = 𝛾 m 𝛾 n

Cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Sean 1 21 2

rj j jrm p p p= y 1 2

1 2rk k k

rn p p p= , donde , 0 1, ,i ij k i r≥ ∀ = . Entonces:

1 21 2( , ) ru u u

rmcd m n p p p= y 1 21 2( , ) rv v v

rmcm m n p p p= , donde { } { }min , y v max ,i i i i i iu j k j k= = .

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Tania Fernández Serna N1 Congruencias ___________________________________________________________________________________ Dos números enteros a y b son congruentes módulo n, y se escribe (mod )a b n≡ , si n es divisor de a-b, es decir, a b kn= + .

(mod ) dan el mismo resto al dividirlos por na b n≡ ⇔

La congruencia módulo n es una relación de equivalencia.

1.   Si (mod )a b n≡ y (mod )c d n≡ , entonces:

(mod ) y (mod )a c b d n ac bd n+ ≡ + ≡ .

2.   Si (mod )a b n≡ y 0( ) mmp x c c x= + + ,

entonces: (a) (b)(mod )p p n≡ .

3.   Si (mod ) (mod ),d mcd(c,n)nca cb n a bd

≡ ⇒ ≡ =

4.   Si (mod ) y mcd(c,n) 1 (mod )ca cb n a b n≡ = ⇒ ≡

5.   Si (mod ) y no divide a (mod )ca cb p p c a b p≡ ⇒ ≡

Restos potenciales

Sean b y n dos enteros positivos. Para i=1,2,…, se llama i-ésimo resto potencial de b módulo n al resto ir que se obtiene al dividir

entre n, siendo ir el único número entero { }0,1, 1ir n∈ − tal que para ii i ib nq r q N= + ∈ .

0 1r = 1(mod )i ir br n−≡ Si 0 0i jr r j i= ⇒ = ∀ ≥ Si con j>i i j i k j kr r r r+ += ⇒ =

Teorema de Fermat Teorema de Wilson 1 1(mod )pa p− ≡ (mod )pa a p≡ ( 1)! 1(mod )p p− ≡ −

Factorización canónica de n! ______________________________________________________________________ Sea n un entero positivo y p un número primo, entonces:

1.   p es divisor de n! si

y sólo si p n≤ .

2.   Si p n≤ , el exponente de p en la factorización canónica de n! es: 1

kk

np

∞

=∑ , que es

una suma finita porque desde cierto k en adelante es kp n> , luego 0k

np

= .

Cuadrados perfectos _____________________________________________________________________________

n=A·B, 𝐴 = 𝑎4, 𝐵 = 𝑏4 ⟹ 𝑚𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 1.    𝑛  𝑒𝑠  𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜  𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜  𝑠𝑖  𝑛 = 𝑎𝑏,𝑚𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 1  𝑦   𝑛D = 𝑎E𝑏ED

Si N es una potencia perfecta de orden n, 𝑁 = 𝑐E = 𝑎GH𝑏GI ⟹ 𝑘K  𝑦  𝑘L  𝑠𝑜𝑛  𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠  𝑑𝑒  𝑛  𝑦  𝑚𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 1.

Son congruentes con 0 ó 1 módulo 4.

TRUCOS _______________________________________________________________________________________ -   Poner los números en su forma canónica y luego agrupar según conveniencia o por misma base.

-   Colocar en orden natural, ejemplo: (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).

-   Cuando aparecen potencias de exponente n o elementos de subíndice n, empleamos inducción: n=1, suponemos cierto para

𝑛 ≥ 1 y demostramos n+1.

-   Cuando aparecen polinomios normales, empleamos factorización del polinomio.

-   En congruencias módulo m, vamos desglosando cada factor o término hasta ir encontrando número congruentes con 0 o la

cifra que nos convenga módulo m.

-   En los problemas de PTF, intentaremos siempre tener la potencia p-1.

𝑛 − 1 1 + 𝑛 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛G = 𝑛GQR − 1

Divisores de 𝑛 = 𝑑R, … , 𝑑G = 𝑑RT , … , 𝑑GT  𝑐𝑜𝑛  𝑑UT =EVW  𝑦, 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠, 𝑑R + ⋯+ 𝑑G = 𝑑RT + ⋯+ 𝑑GT

Para todo primo 𝑝 > 2 ⟹ 𝑝 = 4𝑚 + 3  ó  𝑝 = 4𝑚 + 1