Tarefa: Joaninhas e folhas

Tópico: Operações com números naturais

Tempo de realização na aula: 90 min + 90 min

Principais conceitos matemáticos trabalhados na aula:

Compreender a adição nos sentidos combinar e acrescentar.

Compreender a subtracção nos sentidos retirar, comparar e completar.

Usar os sinais + e – na representação horizontal do cálculo.

Compreender e memorizar factos básicos da adição e relacioná-los com os da

subtracção.

Capacidade transversal mais saliente na aula: Comunicação matemática

Tarefa Joaninhas e folhas

A tarefa “Joaninhas e folhas” foi retirada de uma brochura “Normas - Colecção das

Adendas do NCTM/Anos de escolaridade k-6”. As tarefas aqui mencionadas têm o

propósito de levar as crianças a descobrir diferentes formas de representar um

número com a soma de duas parcelas, através da utilização de materiais

manipuláveis.

A tarefa “Joaninhas e folhas” foi descrita e trabalhada tendo como base a brochura

referida anteriormente. A adaptação da mesma foi conceptualizada em função dos

conceitos matemáticos já adquiridos, dificuldades sentidas na turma e claro está,

inserida numa tarefa que faz parte de uma cadeia. Assim, as alterações mais

significativas estiveram relacionadas com o número de feijões (de 6 para15 ) e a

modalidade de trabalho. Em alternância à construção de um quadro individual com o

número de formas de arranjar as “joaninhas”, tendo como base o número de feijões,

foi entendido que seria mais proveitoso para a turma, preencher essa tabela em

grande grupo (turma), ampliando-a e expondo-a no quadro. Também a tarefa na

primeira fase foi trabalhada individualmente, seguido de uma outra fase em que foi

trabalhada a pares no confronto/comparação do registo e em grande grupo na

exposição de conclusões visando essencialmente a compreensão do mesmo.

A estimativa também abordada na brochura, não foi trabalhada nesta tarefa, em

virtude de já estar planificada uma tarefa com uma actividade similar.

3. Gestão da aula pelo professor

A tarefa decorreu em duas aulas de 90 minutos. A primeira etapa da actividade

prendeu-se com a investigação e descoberta através da manipulação das

“joaninhas” nas “folhas” acompanhada de um registo individual. Na segunda aula,

os alunos trabalharam o registo no sentido de compreenderem os arranjos

passíveis de ser representados, explorando situações de parcelas, estabelecendo

comparações e discutindo estratégias de resolução dos problemas.

O tempo foi suficiente para trabalhar esta tarefa, dado que esta tarefa é apenas uma

modalidade entre outras, num processo que visa estabelecer estruturas conceptuais

de adição/subtracção.

(1ª aula)

Joaninhas e folhas

Rotinas: Identificam dobros e quase dobros. (15min).

Apresentação da tarefa (15 min)

Distribui-se por cada criança uma folha de papel com duas “folhas” desenhadas e 15

feijões” (joaninhas). Conta-se uma história “ Equipas às bolinhas”, de forma a levar as

crianças a investigar diferentes formas de representar o número com a soma de duas

parcelas.

Realização da tarefas (40 m)

Convidam-se as crianças a colocarem as joaninhas de diferentes formas sobre as folhas

(desenhadas).

“Quantos arranjos diferentes consegues descobrir?”

“Registem as vossas descobertas.”

“Poderá haver ainda outra possibilidade? Qual? Porquê?”

Chamar à atenção para a importância de um registo ordenado e organizado, quer numa

futura interpretação, quer na nossa própria orientação (não repetir arranjos).

Pede-se também que encontrem padrões que emergem deste trabalho (quando o

primeiro número – parcela – diminui uma unidade, o segundo número – parcela –

aumenta uma unidade. Outros poderão dizer que a soma é sempre 15.

“Como explicar, que na primeira parcela decresça o número e aumente o da segunda

parcela?”

“E se a parcela decrescesse em três, ou seja se no lugar de 8 passasse a ter 5. Qual o

número da parcela seguinte?”

(…)

Levar as crianças a compreenderem as relações na ordenação de números

Pode-se também utilizar este material para encontrar a parcela que falta e para

problemas de comparação na subtracção.

“Coloquem 9 “joaninhas” numa folha.”

“Quantas estarão na outra folha?”

(…)

“Agora tenta com 10.”

“Se há 4 “joaninhas” numa folha quantas estarão na outra?”

(…)

Discussão/ Sistematização (20 m)

As crianças vão explorando as situações de parcelas que faltam e fazem comparações

com outros números discutindo estratégias de resolução dos problemas apresentados.

(2ª aula)

Joaninhas e folhas

Rotinas : Enumeram números pares e ímpares até 20. (15min).

Apresentação da tarefa (10 min)

Cada criança retira do dossier a folha de registo da aula anterior e recebem a pares 15

“joaninhas”.

Realização da tarefas (45 m)

Convidam-se as crianças a pares, a compararem os registos.

“Que diferença há entre o teu registo e o do teu colega?”

Procurar que as crianças exponham à turma as suas conclusões ou até possam formular

questões.

“Observando o vosso registo, onde se verifica um maior número de arranjos?”

Em grupo de turma vai sendo preenchido no quadro uma tabela que representa o

número de joaninhas e o respectivo número de formas de arranjar as joaninhas.

Perguntar às crianças se serão capazes de predizer o número de arranjos possíveis para

um número de 12 joaninhas.

“Pensas que números maiores têm mais arranjos que números mais pequenos?”

“Como podemos descobrir isso?”

“Vamos tentar com 5 joaninhas.”

(…)

“De quantas maneiras consegues arranjá-las?”

“Agora tenta com 10.”

(…)

Desafiar as crianças a representarem na tabela, de forma ordenada, o número de arranjos

possíveis em relação com o número de joaninhas (1,2,3,4,5,6,7…)

“Que conclusões podemos então tirar?”

Discussão/ Sistematização (20 m)

As crianças vão efectuando o registo no quadro, de forma a poder ser orientado por nós,

ao mesmo tempo que é observada por todos os alunos, e explorando as conclusões

comunicando-as à turma.

Em conformidade com as características da turma, tentamos colmatar os excessivos

momentos de distracção de alguns alunos com tarefas que os mantenha um maior

tempo “em aula”. Daí planearmos o preenchimento da tabela no quadro, em grupo de

turma, funcionando como síntese da tarefa. Foi um momento que resultou bem,

estabeleceram uma atmosfera de aprendizagem, contribuindo para o preenchimento

de uma tabela comum.

Inicialmente verificou-se que alguns alunos não ordenaram o registo na folha,

optando por colocar as “joaninhas” de forma aleatória. Quando confrontados com o

número de arranjos, “perdiam-se” na interpretação dos resultados. A dificuldade

sentida por estes alunos na contagem de arranjos procurando um determinado

número de joaninhas, na primeira parcela, constituiu um importante momento de

aprendizagem, A dualidade verificada na precisão e rapidez com que respondiam os

alunos cujo registo estava organizado e ordenado, a par do outro grupo que procurava

recolher os dados de forma algo confusa, constituiu um momento muito rico de

interiorização das vantagens implícitas/explícitas de um registo organizado.

A capacidade transversal, comunicação Matemática, foi incentivada, e esteve sempre

presente. Contudo foi necessário moderar as exposições, de forma a que a

comunicação não se cingisse a um número limitado de alunos, que com alguma

frequência se adiantam a delinear estratégias de resolução ou descobertas,

influenciando posteriores descobertas ou resoluções.

O plano contemplava a exploração do registo individual, na primeira aula. Contudo

este só foi devidamente explorado na segunda aula e com outra dinâmica, quer pela

comparação entre pares, quer pela construção da tabela no quadro com a participação

de quase todos os alunos, que sintetizava as descobertas das duas aulas. A falta de

tempo para a exploração do registo individual, na primeira aula, deveu-se à

desorganização de alguns registos e verificação das imprecisões dos mesmos.

4. Trabalho dos alunos na tarefa

Os objectivos previstos foram parcialmente atingidos pela maioria dos alunos.

Entende-se que para estes mesmos objectivos ainda há outras tarefas a implementar.

No entanto parece-me que foi uma importante “achega” como actividade e como

domínio do saber matemático. A comunicação para a turma funcionou bem, quer em

conteúdo, quer em propósito de realçar a intervenção no preenchimento da tabela.

(registos ordenados)

Inicialmente foi notória a dificuldade de um grupo de alunos, na representação e

interpretação do registo individual dado o carácter aleatório que imprimiram na

actividade. Contudo, como já foi mencionado, esta situação inopinada trouxe uma

boa dinâmica à aula ao realçar o papel facilitador de um registo organizado. Ainda

que tenha sido alertado no início da aula para que os alunos seguissem este tipo de

registo, há um grupo de alunos que com muita frequência se distrai.

O Filipe mantém dificuldade em representar seja o que for, quer em números,

palavras ou imagens, no entanto é de salientar que pela primeira vez iniciou e

concluiu um registo.

A situação imprevista, surgiu durante a exploração dos registos, após a comparação a

pares dos mesmos, quando o João comunicou à turma, “…que a partir do meio do

registo as parcelas repetiam-se só que os números trocavam de posição”. A

descoberta do João levou a turma a “olhar de novo” o registo e acompanhar o

raciocínio do João interiorizando que o meio do registo coincidia com a metade do

número. Esta dedução ajustou se a outras quantidades, também com números pares,

obrigando a uma inflexão no percurso da aula.

O João e a Maria apontavam como “meio” 7+8 assumindo que a partir desta parcela,

os números invertiam a posição. Surgiram outros registos no quadro, para outras

grandezas, nomeadamente 16. Concluíram que a metade era 8 e relacionaram com o

dobro como sendo o “contrário de metade”.

“Juntando 8+8 é 16 e o dobro de 8 é 16” (João)

“ 7+7 é 14, porque 7 é metade de 14” (Miguel)

Desafiaram-se as crianças a pensar na razão de no registo dos arranjos de 15

“joaninhas” ser o 7+8 e a metade não envolver dois números iguais. Dispuseram

quantidades próximas, 7+7 e 8+8. Foi então pedido às crianças que dispusessem as 15

“joaninhas” em duas equipas com igual número ou seja metade em cada equipa.

Depressa concluíram que ficavam 7 em cada equipa mas sobrava uma. Foi analisada

a situação incentivando os alunos a alargarem o campo das abordagens já trabalhadas.

A predisposição para a descoberta foi ficando limitada a um número restrito de

alunos. Assim fui levantando questões a quem parecia desistir.

“Miguel se as joaninhas fossem de chocolate e tivesses que as dividir com o teu

irmão?”(o irmão gémeo faz também parte da turma)

“Tínhamos que partir aquela que ficou fora”(David)

“É parecido com os quase dobros, aqui é quase metades” (Maria)

Reconhecemos com estas intervenções que nos números ímpares a metade envolve

uma quantidade mais meio do “número que sobra”.

No decurso desta reflexão surgiu a necessidade de implementar uma tarefa específica

que desenvolvesse nos alunos o sentido da metade num número.

Uma outra situação já mencionada anteriormente, com repercussões positivas ao

nível de trabalho, esteve ligada com a dificuldade que alguns alunos sentiram ao

expor à turma o número de arranjos possíveis, para um dado número de joaninhas. Ao

identificarmos, em turma, a razão (registo desordenado), esta situação de contexto

funcionou como ponto de partida e como fonte de aprendizagem na construção de um

registo organizado e subsequente vantagens.

(registo do Higino)

O modo de trabalho, numa primeira etapa foi individual, permitindo que cada aluno

representasse as suas descobertas (compreendeu a tarefa? Regista correctamente?

Sabe interpretar os dados por ele recolhidos?). Facilmente “visionamos” as

dificuldades ou as descobertas/aprendizagens dos alunos.

Na segunda etapa, o trabalho decorreu a pares, pela comparação dos registos e em

grande grupo, através de uma exposição oral das descobertas, das conclusões em

simultâneo preencheram a tabela, e nesta envolvência, com momentos de discussão

desafiámos os mais desatentos a intervir, envolvendo-os na tarefa.

(confronto de registos)

.

Os momentos mais ricos nesta tarefa foram os que acompanharam o preenchimento

da tabela, pela forma como comunicaram as suas conclusões e o momento que

sucedeu à descoberta por parte de alguns alunos que representavam os arranjos de

forma aleatória e que, por isso mesmo, foram convidados a exporem os seus

resultados. A percepção da dificuldade veio, e em muito, ajudar a compreender, mais

uma vez a importância de um registo organizado.

Pela exploração do registo, os alunos preenchiam a tabela despertando ilações para

outras quantidades e em simultâneo comunicavam à turma as descobertas. Num

destes momentos o João afirmou:

“A partir do meio do registo as parcelas são iguais mas os números trocam”

“Observem de novo o vosso registo, o que será que o João quer dizer?”

Enquanto observavam o registo fui escrevendo os arranjos possíveis no quadro.

Um outro aspecto foi a descoberta, que a partir do meio de um registo as parcelas

apenas mudam de posição, contudo os números mantinham-se.

“Observando o vosso registo, onde se verificará um maior número de arranjos, com o

número 15 ou com o número 18?”

“Com o número 18” (David A)

“Explica melhor.”

“ Porque é um número maior” (David A)

“Se tivesses apenas 12 joaninhas quantos arranjos conseguirias fazer?”

“…” (Diana)

“ 13, porque é sempre mais um”. (Duarte)

“Explica o que estás a pensar.”

“Os números repetem-se” (Maria)

“Eu estava a pensar nos números, que a partir de um certo número é só trocar as

parcelas. A partir de do 7 + 8, é só trocar as parcelas dá sempre 15.”(Maria)

Quebrámos o fio porque parecia surgir algo a explorar.

“E com o 12?”

“É a partir do 6 + 6” (João)

“Alguém sabe a razão?”

“Porque chegámos a meio do registo. A partir do meio do registo as parcelas são iguais

mas os números trocam” (João)

“Então podemos concluir que a partir da metade do registo, repetimos a outra metade

com a mesma quantidade ainda que trocando a ordem das parcelas.

“Em vez de 7+8, temos 8+7 e depois 9+6 em vez do 6+9,…”

A descoberta do João deixou os colegas pensativos e cada um olhava para o seu registo

procurando evidências.

“É verdade” (ouvia-se)

…

“E quem me consegue explicar que basta acrescentar mais um arranjo ao anterior para

saber quantos são possíveis para a quantidade 12, tal como disse o Duarte.”

…

“Porque é mais um” (Pedro)

“Explica melhor”

…

“É o dobro, 6+6, e o zero mais o número, o número anterior mais um e um mais o

número anterior, o dois mais um número e o número mais dois até chegar ao número”

Dada alguma confusão pediu-se ao Higino que fosse ao quadro demonstrar o seu

pensamento:

O Higino demonstrou que surgiam parcelas envolvendo os números de 0 a 12 (6

parcelas mais 6 parcelas e a parcela do 0+ 12) o que perfaz 13 arranjos.

5. Avaliação global da tarefa

É uma tarefa que permite desenvolver a compreensão das relações e da ordenação de

números, podendo se desenvolvida com uma número variável de joaninhas, revelando-

se deste modo uma tarefa moldavel a diferentes universos. Neste caso a tarefa foi

desenvolvida com o numeral 15, em consonância com o trabalho que já tem vindo a ser

desenvolvido pela turma.

A exploração da actividade levou alguns alunos a compreender a dinâmica de um registo

a partir da metade do mesmo e a noção de metade, o que compõe um registo e a

importância da sua ordenação/organização.

O estudo da metade e a sua relação com o número será desenvolvido, numa outra tarefa,

explorando as possibilidades de raciocinar em termos de dobros e metades.