Tatiana Laiz Freitas da Fonseca de Oliveira

HISTORIA DO SISTEMA DE NUMERA<;:AO

Monografia apresentada ao Curso de Pos Gradua91io noEnsino da Matermitica da Faculdade de Ciencias Exatusda Universidade Tuiuti do Parana, como requisitoparcial para a obtcn((3.o do grau de Espccialista.

Orientador: Carlos Pctronzclli.

Curitiba2004

SUMA.RlO

LISTA DE FIGURAS

INTRODUGAO ...

1 IMPORTANCIA ....

................................... . 4

. _ _..... . 5

. 6

2 OBJETlVOS . . 7

2.1 OBJETlVO GERAL . 7

2.2 OBJETlVOS ESPECiFICOS 7

3 FUNDAMENTAGAOTE6RICA 8

3.1

3.2

3.33.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

A DESCOBERTA DOS NUMEROS 8

o SISTEMA DENUMERAGAONAASIA . ................ 12

........ 14CONSTRUINDO 0 CONCEITO DE NUMERO .

DEFINI<;:AO DE NUMEROS 15

o SISTEMA DE NUMERA<;:AO EGiPICIO. .............. 16

............................. 18DESCOBRINDO A FRA<;:AO .

AS COMPLICADAS FRA<;:OESEGiPCIAS 19

o SISTEMA DE NUMERA<;:AO ROMANO .. . 20

o SISTEMA DE NUMERA<;:AO INDO-ARABICO 23

3.10 A DNULGA<;:AO DOS NUMEROS HINDUS PELOS ARABES

3.11 OS NUMEROS RACIONAIS

4.1 DELIMIT A<;:AOGEOGAAFICA E TEMPORAL

....... 25

........ 26

........................... 28

4.2 OBTENGAO DE DADOS

5 RESULTADOS 29

CONCLUSAO ....

............................................................. 28

REFERENCIAS ... 30

. 31

INTRODU<;AO

Estudando anti gas civiliza~ocs verificamos que com 0 desenvolvimento de

suas atividades, vinculadas a sua sobrevivencia, 0 homem desenvolveu a linguagem.

Como resultado surgiram, assim, as primeiras formas de registro, como

tambem, os primeiros calendarios para 0 plantio, vindo assim a aparecer as primeiras

formas de correspondencia entre quantidade e numero.

Desta forma, para que uma sociedade possa criar uma escrita, e preciso que

haja nccessidades materia is, principaimente em materia de contabilidadc.

Assim em cada regiao confonne suas necessidades, religi30 e costumes, foram

surgindo as primeiras fonnas de contagem sendo utilizadas ate hoje varios processos

como podemos verifiear com 0 passar dos tempos de nossa hist6ria.

IMPORT ANCIA

Muitas vezes paramos para pensar nos mimeros, mas sera que pensamos em

como surgiram os numeros au como foram as primeiras formas de contagem, como 0$

mlmeros foram criados ou sera que eles scmprc existiram?

Para descobrir a origem dos numeros, precisamos estudar um pOlleD da hist6ria

humana e cntender os motivos reais ou materia is desse processo de constrw;ao. Na

verdade desconhecemos quaJquer Dutro motive que tcuha gerado os mimeros.

Os bistoriadores sao auxiliados por diversas descobertas, como 0 estudo das

ruinas de antigas civilizaryoes, estudo de f6sseis, 0 estudo da linguagcm escrita e a

avaliary8.ode diversos grupos etnicos desde 0 principio dos tempos. No cntanta, quanta

mais voltamos no passado, veremos que menor e a presen'Ya dos numeros em sua

forma simb6lica.

2 OBJETIVOS

2.1 OBJETlVOGERAL

Verificar a importancia do aparecimento do sistema Indo Anibico.

2.2 OBJETIVOS ESPECiFICOS

a) Demonstrar 0 inicio do processo de contagem.

b) Apresentar curiosidades historicas sobre a representac;ao numerica e seus

sLmbolos.

3 FUNDAMENT A<;AO TEO RICA

Tendo em vista 0 objcto de estudo, faz-se necessaria por urn lado, realizar

uma analise bistorica sabre 0 surgimento dos proccdimentos de contagem. E por Dutro

lado, as necessidades que lcvaram 0 homem a dcscoberta dos numeros, bem como dos

variados sistemas de numerait30 que surgiram em fUDC;:30destas necessidades.

3.1 A DESCOBERTA DOS NUMEROS

No inicio as homens primitivQs DaD tinham necessidade de contar, pais 0 que

necessitavam para a sua sobrevivencia era retirado da propria natureza. A necessidade

de contar comcc;:oucom 0 desenvolvimento das atividades humanas, quando 0 homem

[oi dcixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo. 0 homem

comcc;ou a plantar, produzir alimentos, construir casas, prote90es, fortifica90eS e

domesticar anima is, usando os mesmos para obter a la e 0 leite, tornando-se criador de

animais domesticos, 0 que trouxe profunda modifica90es na vida humana.

As primeiras fonnas de agricultura de que se tem noticia, foram criadas ha

cerca de dez mil anos na regiao que hoje e denominada Oriente Medio.

A agricultura passou eomo a exigir 0 conhecimento do tempo, das esta90es do

ano e das fases da lua e assim comc9aram a surgir as primeiras fOfmas de calendario.

No pastoreio, 0 pastor usava varias formas para controlar 0 seu rebanbo. Pela

manha, cle soltava seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha side

roubado au se teria fugido, ou pcrdeu-se do rcbanho, au queria saber se havia side

acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondencia um a

um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em urn saco.

No saeo das pedrinhas, cada animal que saia para 0 pasto de manha

correspondia a urna pedra que era guardada em urn saco de couro. No fmal do dia,

quando os animais voltavam do pasto era feita a correspondencia inversa, onde para

cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse

alguma pedra, c porque faltava algum dos animais, e se algum fosse acreseentado ao

rebanho, era s6 acrescentar mais uma pedra. A prop6sito a palavra que usamos hoje,

calculo, e derivada da palavra latina "calculus", que significa, pedrinha.

A correspondencia a unidade nao era feita somente com pedras, mas cram

usados tambcm: n6s em cordas nas paredes, talhos em ossos, desenhos nas cavemas e

outros tipos de marCa9aO. as talhes nas barras de madeira, que cram usados para

marcar quantidades, continuaram a scr usados ate 0 seculo XVIII na Inglaterra. A

palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondencia unidadc a

unidadc.

Com 0 passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressoes

gestos, palavras c simbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de

representa9aO.

Contudo e preciso esclarecer que a faculdade humana natural de

reconheeimento imcdiato de quantidades se resume a, no maximo, quatro elementos.

Este senso numerico que e a faculdade que pennite reconhecer que alguma coisa

mudou em uma pequena co1e9ao quando, sem conhecimento direto, urn objeto foi

tirado ou adicionado a cole93o. 0 senso numerico nao pade scr confundido com

10

contagem, que e tim atributo exclusivamente humane que nccessita de tim proccsso

mental.

Temas, tambem, alguns animais ditos irracionais, como os rouxin6is e as

carvos que possuem este sensa numerico oode reconheccm quantidades concretas que

vao de um ate tras au quatro unidades.

Existe urn excmplo celebre sabre lima especie de corvo que tem essa

capacidade de rcconhecer quantidades.

Cabe aqui, uma reflexao com a fmalidade de cornprccnder essa capacidade de

reconhccer quantidades. Vejamos: urn fazendeiro estava disposto a malar um corvo

que fez seu nioho oa torre de observay8o de sua mansao. Par diversas vezes, tentotl

surpreender 0 passaro, mas em vaa: a aproximay80 do homem 0 corvo sai,a do nioho.

De uma arvore distante ele esperava atcntamente ate que 0 homem salsse da torre e 56

entao voltava ao ninho. Um dia, 0 fazcndeiro telltou urn ardil: do is homens entraram

na torre um ficou dentro e a outro saiu e se afastou. Mas a passaro nao foi enganado:

manteve-se afastado ate que 0 outro homem safssc da torre. A cxperiencia foi repetida

nos dias subseqilentes com dais, tres e quatro homens, ainda scm succsso, Finalmente.

forcm utilizados cinco hOIncns como antes, todos entraram na torre e urn permaneccu

la dcntro enquanto as outros quatro saiam e se afastavam. Desta vez 0 corvo perdeu a

conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco voltou imediatamente ao ninho.

Assim, ratificamos que no comeC;o da hist6ria da escrita de algumas

civilizac;oes como a egipcia, a babil6nica e outras, os primeiros nove numeros inteiros

cram anotados pcla rcpetic;ao de trac;os verticais, Depois este metoda foi mudado,

dovido a dificuldado de so can tar mais do que quntro termos.

11

FIGURA 1: Primeira fanna de numera~ao.

Urn dos sistemas de numera9ao mais antigos que se tern noticia e 0 egipcio. :E

urn sistema de numera9ao de base dez e composto pelos seguintes simbolos

numericos:

11111111111 1111111 111I 111111nI1I1 III III 1111 III@16r~°lt

100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

FIGURA 2: Sistema de numera'Yao egfpcio.

Outro sistema de numera9ao muito importantc foi 0 da Babilonia, criado a

aproxirnadarnente 4 mil arras.

Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do

carpo humana, sendo que em algumas aldeias os individuos chegavam a contar ate 0

numcro 33.

o abaca, em sua fanna geral, e uma moldura retangular com fileiras de arame,

cude cada fileira representa uma classe decimal diferente, nas quais correm pequenas

bolas. Como as sistemas de numcra9ao nao facilitavam os calcuios, logo, urn dos

12

instrumentos que passou a ser mais utilizado para facilitar os calculos roi 0 ahaca,

muito usado por diversas civiliza90es orientais C ocidentais. No 1ap80, 0 abaca e

chamado de soroban e na China de suimpan. que significa bandeja de calcular.

o primeiro numero inventado fai ole etc significava 0 homem e sua

unicidade , 0 segundo numcro 2 significava a mulher da familia a dualidade e 0

nurnero 3 (tres) significava muitos •multidao. A curiosidade sabre os nomes do 3 , naD

deve ter ocorrido por aeaso.

3.2 0 SISTEMADENUMERA<;:AONA ASlA

o sistema de nUmera93.0surgiu oa Asia, hamuitos seculos atras, no vale do rio

Indo, oode hoje e 0 Paquistiio. 0 surgimento de civiliz390es caracterizadas pclo usa de

rnetais teve lugar prirneiro em vales de rios, como 0 Egito e Mesopotamia, india e

China. Designaremos a parte mais antiga do pcriodo hist6rico pelo nome de «esmgio

potamico". as registros cronol6gicos das civiliza~oes nos vales dos rios Indo e Yang-

tse nao merecem confianya.

La os primitivos registros pictograficos, por um processo gradual

convencionalizado, evolufram para uma ordem linear de simbolos mais simples. Na

Mesopotamia, onde 0 barro era abundante, marcas em forma de cunha cram feitas com

urn estilete sobre tabletes moles que depois eram cozidas ern fomos ou ao calor do sol.

Esse tipo de escrita era charnada de cuneiforrne (em latim "cuneus", cunha) por causa

da fonna dos sinais.

Enquanto isso, os escritos egipcios tinham tide melbor sorte do que os

babil6nios num particular: a "Pedra de Rosetta", trilingiie, desempenbando papel

Alexandria, continha uma mensagem em tres escritas: Grega, Demotica e Hieroglifica.

A numera930 Hieroglifica egipcia foi facilmente decifrada. 0 sistema tao antigo

quanta as piramides datando de cerca de 5.000 anos atnis, baseava-se na escala de dez.

Usando um esquema interativo simples e simbolos diferentes para a prirneira meia

duzia de potencias de dez, numeros maiores que um milhao foram incisos em pedra,

madeira e outros materia is.

Um tra~o vertical representava uma unidade, urn osso de ca1canhar invertido

indicava 10, um la90 como uma lctra C maiuscula valia 100, uma flor de lotus 1.000,

um dedo dobrado 10.000, um peixc era usado para indicar 100.000, e uma figura

ajoelhada (talvez Deus do Sem Fim) 1.000.000. Por repeti9ao desses simbolos 0

nomcra 12.345, por excmplo, se escrevia como:

FIGURA 3: 0 numero 12.345 no sistema denumeraviio egipcio.

E importante ainda salientar, que em algumas vezes os digitos menores cram

colocados a esqucrda, e as vezcs os digitos cram dispostos verticalmente. Os pr6prios

simbolos ocasionalll1cnte cram colocados com orienta980 invcrtida, dc modo que 0

la90 tanto podia ser convexo para a direita como para a esquerda.

Hci urn limite para a quantidade de infonnac;oes matelmlticas que se podem

retirar de calendarios e pedras tumuiares, e nossa ideias sobre a contribuic;ao egipcia

14

seriam muite imprccisas so dcpendessemos somente de material de origem cerimonial

c astron6mic8. Ista demonstra que a matematica C muito mais do que contar e medir as

aspectos que sao tratados em inscri90es hieroglfficas. Alem disso, tomas ainda outras

fantes de infanna,aa.

Urn certa numero de papiros egipcias de algum mada resistiu aa desgaste da

tempo por mais de tres milenios e meio. 0 documento mais extenso de natureza

matematica e urn rolo de papiro com cerca de 0,30 metros de altura e cinco metros de

comprimento, que csta agora no British Museum, (exccto uns poucos fragmentos. que

estaa na Broaklin Museum). Fai camprada ern 1858 nurna cidade a beira da Nila, par

urn antiquario escaces, Henry Rhind; por isso e conhecido como Papiro Rhind, au,

Inenos freqiientcmcnte, chamado Papiro Ahmes em honra do escriba que 0 copicll por

valta de 1650 A. C.[4] 0 escriba canta que a material provem de urn prototipa da

Reina da Meia de cerca de 2.000 a 1.800 A.C., e e passivel que parte desse

conhecimento tenha provinda de lmhotep, 0 quase Icndario arquitcto e medico do

Farae Zoser , que superintendeu a construyao de sua piramide ha ccrca de 5.000 anos.

De qualquer modo a matematica egipcia parece ter ficado estagnada por ccrca

de 2.000 anos, apes um inicio bastantc auspicioso.

3.3 CONSTRUfNDO 0 CONCErTO DENUMERO

As pedras faram as primeiras abjetas que a humanidade came,au a utilizar

para construir 0 canceito de mimero. Para 0 homem primitivQ 0 numcro cinco, por

exemplo, scmpre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedas, cinco peixes,

cinco basales, cinco anima is, e assim por diantc.

15

A ideia de contagem estava relacionada com as dedos da mao. Assim. ao

con tar as ovelhas, 0 pastor separava as pedras em grupos de cinco.

FIGURA 4; Primeira forma de conlagem.

Do mesma modo os c3yadorcs contavam as animais abatidos, trayando riscos

na madeira ou fazendo nos em uma corda, tambem de cinco em cinco.

Para nos, haje, 0 numero cinco representa a propriedade comum de infmitas

colcyoes de objetos: represcnta a quantidadc de elementos de urn conjunto, nao

importando se 0 conjunto se refere a cinco bolas, cinco skates, cinco discos Oll cinco

aparelhos de som.

E por isso que esse numera, que surgiu quando 0 bomam contava objetos

usanda outros objetos, e urn numero concreto.

3.4 DEFINIC;AO DE NUMEROS

A pergunta "Que e Numero?" tern side com freqiiencia feita, mas s6 roi

corretamcntc respond ida rccentemcnte. A resposta foi dada por Frege em 1884, em

seus Grundlagen der Aribmetik. Ao buscarmos uma definifYaode mhneros, a primeira

coisa a esclarecer e aquilo que podemos chamar a gr81mitica de nossa indagac;:ao.

16

Muitos fil6sofos, ao tentar defmir mimero, dcdicam-se, oa rcalidade, ao trabalho de

definir pluralidade, que e eoisa muito diferente.

Nt'imero, 6 0 que e caracterfstico de homens, uma pluralidade naa e uma

instincia de numera, mais de algum numero determinado. Urn trio de homens, por

exemplo, e uma instancia do ntimero 3, e 0 numero 3 e uma instancia de mimero; mas

o trio naD e uma instancia de mirnero. Esse ponto podcra parccer clementar e

dificilmente digno de seT rnencionado; no cotanto, provau seT por demais stitil para as

fil6sofos, com pOlleas excc'toes.

Urn determinado numcro naD e tao identico a qualquer cole~ao de termos que

o contenha: 0 Dilmere 3 nao e identico ao trio consistindo de Brown, Jones c Robinson.

o mimero 3 e a1go que todes os trios tcm em comum c que os distingue de outras

cole~oes. Urn numcro e algo quc caracteriza certas cole~6es isto e, aquelas que tern

aquele numero.

3.5 0 SISTEMADE NUMERAC;:AOEoiPICIO

Por volta do ana 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a

usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas as margens de rios

transformaram-se em cidades.

A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo,

gra9as, sobretudo, ao desenvolvimento do comercio. as agricultores passaram a

produzir ahmentos em quantidades superiores as suas necessidades. Com isso algumas

pessoas pudcram se dedicar a outras atividades, tornando-se artesaos, comerciantes,

sacerdotes, administradores.

17

Como cODsequencia desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era 0 fim da Pre-

Hist6ria e a comec;o da Hist6ria.

Os grandes progressos que marcaram 0 firn da Pre-Hist6ria verificaram-se

com muita intensidade e rapidez no Egito.

Voce certamente ja ouviu falar nas piramides egipcias. Pais e, para fazer os

projetos de constru<;:ao das piramides e dos templos, 0 numcro concreto miD era nada

pnitico. Elc tambem naD ajudava muite oa resoiU(;ao dos dificeis problemas criados

pelo desenvolvimento da industria c do comercio.

Como efetuar calculos fapidos e precisos com pedras, nos au Tiscos em urn

osso?

Foi partindo dessa necessidade imcdiata que estudiosos do Antigo Egito

passaram a representar a quantidade de objetos de uma colec;ao atraves de desenhos -

os simbolos. A cria~ao dos simbolos foi um passo muito importante para 0

desenvolvimento da Matematica.

Na Pre-Hist6ria, 0 homem juntava 3 bastoes com 5 bastoes para obter 8

bastoes. Hoje sabemos rcprcsentar esta opera<;:aopor meio de simbolos: 3 + 5 = 8.

Muitas vezes nao sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso nao

importa: a opera~ao pode ser feita da mesma maneira.

Mas como cram os simbolos que os egipcios criaram para representar os

numeros?

H:i rnais ou menos 3.600 anos, 0 farao do Egito tinha urn sudito chamado

Aahmesu, cujo nomc significa "Filho da Lua". Aahmesu ocupava na sociedadc

cgfpcia uma pOSiy80 muito mais humilde que a do fara6: provavelmente era urn

18

escriba. Hoje Aahmcsu e mais conhecido do que muitos faraDs e rcis do Antigo Egito.

Entre as cientistas, cle c chamado de Ahmes. Foi cle quem escreveu 0 Papiro Ahmes.

o Papiro Ahmes e urn antigo manual de Matcmatica. Contem 80 problemas,

todos resolvidos. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como 0 prc<;:odo pac, a

annazenagem de graos de trigo, a alimenta9ao do gado.

Observando e estudando como eram efetuados os ca1culos no Papiro Abmes,

DaO foi dificil aos cientistas compreender 0 sistema de numerac;ao egfpcio. Alem disso,

a decifra9ao dos hicr6glifos (inscri90es sagradas das tumbas e monumentos do Egito)

no seculo XVlll tambem foi muito "til.

Na escrita dos numeros que llS3mos atualmente, a ordern dos algarismos e

muito importante. Mas os egipcios DaD se preocupavam com a ordem dos simbolos.

3.6 DESCOBRlNDO A FRA<;:Ao

Par volta do ano 3.000 a.c., um antigo farao de nome Ses6stris .. " ... repartiu 0

solo do Egito as mar gens do rio Nila cntre seus habitantes. Se a rio Icvava qualquer

parte do lote de um homem, 0 farao mandava funciomirios examinarem e

detenninarem por medida a extensao exata da perda". Estas palavras foram escritas

pelo historiador gregG Herodoto, hi cerea de 2.300 anos. 0 rio Nilo atravessa uma

vasta planicie. Sesostris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores

privilegiados.

Todos os anos, durante 0 mes de junho, 0 nivel das aguas do Nilo comeyava a

subir. Era 0 inicio da inundayao, que durava ate setembro.

19

Ao ayan~ar sabre as margens, 0 rio derrubava as cercas de pedra que cada

agricultor usava par marcar as limites do terreno de cada agricultor. Usavam cordas

para fazer a medi~ao.

Havia uma unidade de medida assinada na propria corda. As pessoas

encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aqueJa unidade

de medida estava contida nos ladas do terreno. Daf, serem conhecidas como

estiradores de cordas.

No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de rnedida escolbida,

dificilmente cabia urn numero intciro de vezes no ladas do terreno.

Foi por essa razao que os egipcios criaram urn novo tipo de numero: 0 numero

fracionario. Para representar as numeros fracionirios, usavam fra~6es.

3.7 ASCOMPLlCADAS FRACOESEGIPCIAS

Os egipcios interpretavam a fra9ao somente como uma parte da unidade. Por

isso, utilizavam apenas as fra90es unitarias, isto e, com numerador igual a I. Para

escrever as fra90es unitarias, colocavam um sinal oval alongado sobre 0 denominador.

As outras fra90es eram expressas atraves de uma soma de fra90es de numerador I.

Os egipcios nao colocavam 0 sinal de adi9ao - + - entre as fra90es, porque os

sfmbolos das opera90es ainda nao tinham side inventados.

No sistema de numera9ao egipcio, os simbolos repetiam-se com muita

freqiil~ncia. Por isso, tanto os calculos com numeros inteiros quanto aqueles que

envolviam numeros fracionarios eram muito complicados.

20

Assim como os cgipcios, Qutros povos tambcm criaram 0 seu proprio sistema

de numerac;ao. Porem, na hora de efetuar os caicuios, em quaJqucr um dos sistemas

empregados, as pessoas scmprc esbarravarn em aJguma dificuldade.

Apenas por volta do seculo I1f a.C. comcr;ou a se fonnar um sistema de

numerac;ao bern mais pnitico e eficiente do que os outros criados ate entao: 0 sistema

de numerar;ao romano.

3.8 0 SISTEMA DENUMERA\:AO ROMANO

De tadas as civiliz8r;oes da Antigiiidade, ados rornanos foi scm duvida a mais

importante.

Seu centro era a cidade de Rorua. Desde sua fundac;ao, em 753 a.C., ate ser

ocupada por povos estrangeiros ern 476 d.C., seus habitantes enfrcntaram urn numero

incalcuhivel de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques

de povos vizinhos; mais tarde nas carnpanhas de conquistas de novos territorios.

Foi assim que, poueo a pouco, os romanos foram conquistando a peninsula

IHilica e 0 restante da Europa, alem de uma parte da Asia e 0 norte de Africa.

(?IGUR,\ 5: Desenho ilustrativo do Imperio Romano.

21

Apesar de a maioria da populay3.o vivcr na miseria, em Rorna havia luxe e

muita riqueza, usufrufdas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxllDsas, comidas

finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite ramana.

Foi nesta Rama de miseria e luxe que se desenvolveu e se aperfeir;oou 0

mimero concreto, que vinha sendo usado desde a epoca das cavernas. Como foi que os

romanos conseguiram isso?

Os rornanos foram espertos. Eles nao inventaram simbolos novos para

representar os numeros; usaram as proprias letras do alfabeto:

I-V-X-L-C-D-M

Como sera que eles combinaram estes simbolos para formar 0 seu sistema de

nUmeray30?

o sistema de nUmeray80 romano baseava-se em sete numeros-chave:

I Imba 0 valor 1.

V valia 5 unidades.

X representava 10 unidades.

L indicava 50 unidades.

C valia 100 unidades.

D valia 500 unidades.

M valia 1.000 unidades.

Quando apareciam varios numeros iguais juntos, as remanos somavam os seus

valores.

11=1+1=2.

XX=10+10=20.

xxx = 10+ 10+ 10=30.

22

Quando dais nthneros diferentes vinham juntos, e 0 menor vinha antes do

maior, subtraiam os seus valores.

IV = 4 porque 5 - 1 = 4.

IX=9 porque 10-1=9.

XC = 90 porque 100 -10 = 90.

Mas se 0 numero maior vinha antes do menor, cles somavam os sellS valores.

VI = 6 porque 5 + 1 = 6.

XXV = 25 porque 20 + 5 = 25.

XXXVI = 36 porquc 30 + 5 + 1 = 36.

LX = 60 porque 50 + 10 = 60.

Ao lermos 0 cartaz, a seguir, ficamos sabendo que 0 exercito de Roma fez

numa certa epoca MCDV prisioneiros de guerra. Para ler urn numero como MCDV,

veja os calculos que os romanos faziam:

FIGURA 6: l1ustra~ao do sistema de numera.;:ao romano.

Ern prirneiro lugar buscavam a letra de maior valor:

M = 1.000.

23

Como antes de M nao tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior

valor:

D = 500.

Dcpais tiravam de D 0 valor da letra que vem antes:

D - C = 500 -100 = 400.

Somavam 400 ao valor de M, porque CD esta depois e M:

M + CD = 1.000 + 400 = 1.400.

Sobrava apenas 0 V. Entao:

MCDV = 1.400 + 5= 1.405.

Como voce acabou de ver, a mimero 1.000 era representado pela letra M.

Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E as mirneros maiores que

3.000?

Para escrever 4.000 ou numeros maiores que cle, as romanos usavam urn trac;:o

horizontal sabre as letras que representavam esses numeros. Urn trac;:o llluitiplicava 0

numero representado abaixo dele par 1.000. Dais tra,os sabre a M davam-Ihe a valor

de I milliao.

o sistema de numera980 romano fai adotado por muitos pavos. Mas ainda era

dificil efetuar calculos com este sistema

3.9 0 SISTEMA DE NUMERA<;:AO INDO-AMBleO

Tendo em vista as dificuldades encontradas para se efetuar calculos utilizando

o sistema de numerac;:ao romano, os matcmaticos de todD 0 mundo continuaram a

24

procurar intensamente simbolos mais simples e mais apropriados para representar os

numeros.

E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na india uma das mais notaveis

inven90es de toda a hist6ria da Matematica: 0 sistema de numera9ao decimal.

No seculo VI foram fundados na Siria alguns centros de cultura grega.

Consistiam numa especic de clube Dllde os socias sc fcuniam para discutir

cxclusivamente a arte e a cultura vindas da Orceia.

Ao participar de uma conferencia num destes ciubes, em 662, 0 bispo sirio Severus

Sebokt, profundamente irritado com 0 fato de as pessoas eiogiarem qualquer coisa

vinda dos gregos, explodiu dizendo: "Existem Qutros povos que tambem sabcm

alguma coisa! as hindus, por exemplo, tern valiosos metodos de cakulos. Sao

metodos fantasticos! E imaginem que os calculos sao feitos por apenas nove sinais!".

A referencia a nove e nao dez simboios, significa que 0 passo mais importante

dado pelos hindus para fonnar 0 seu sistema de nurnerayao - a invenyao do zero -

ainda nao tinha chegado ao Ocidente.

A ideia dos hindus de introduzir uma notayao para uma posiryao vazia - urn

ovo de ganso, redondo - ocorreu na india, no tim do seculo VI. Mas foram necessarios

muitos seculos para que esse simbolo chegasse a Europa.

Com a introduryao do decimo sinal- 0 zero - 0 sistema de numeray30 tal

qual 0 conhecemos hoje estava completo.

Ate chegar aos mimeros que voce aprendeu a ler e escrcvcr, os simbolos

criados pelos hindus mudaram bastante.

Hoje, estes simbolos sao chamados de algarismos indo-arabicos.

25

Se foram 0$ matematicos hindus que inventaram 0 nossa sistema de

numerac;ao, 0 que as arabes tern a ver com isso?

E por que os simbolos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sao cbamados de algarismos?

3.10 A DlVULGA<;:AO DOS NUMEROS HINDUS PELOS ARABES

Simbad, 0 marujo, Aladim e sua llimpada maravilhosa, Harum al-Raschid sao

nomes familiares para quem conhece os contos de '"As mil e tlma noites". Mas,

Simbad e Aladim sao apenas personagens do livro, Harum al-Rascbid realmente

existiu. Foi 0 califa de Bagda, do ano 786 ate 809.

Durante 0 seu reinado os povos arabes travaram uma scria de guerras de

conquista. E como prcmios de guerra, livros de diversos centres cientificos foram

levados para Bagda e traduzidos para a lingua arabe.

FIGURA 7: Meio de locom~ao nos paises Arabes.

Em 809, 0 califa de Bagda passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-

Rahchid. AI-Marnum era !TIuito vaidoso. Dizia com teda a convicc;ao: "Nao ha

oinguem mais culto em todos os ramos do saber do que eu",

Como era urn apaixonado da cicncia, 0 califa procurou tornar Bagda 0 maior

centro cientifico do mundo, contratando os grandes sabios mU9u!manos da epoca.

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Entre eles estava 0 mais brilhante matematico arabe de todos os tempos: a1-

Khowarizmi.

Estudando as livros de Matematica vindos da India e traduzidos para a lingua

arahe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a principia com aquclcs estranhos simbolos que

incluiam urn ovo de gansa!

Logo, al-Khowarizrni compreendcu 0 tesouro que as matematicos hindus

haviam descobertos. Com aqueJe sistema de numera98o, todos as calculos seriam

fcitos de um modo mais nipido e scguro. Era impassivel imaginar a cnorme

importancia que essa descoberta teria para 0 desenvolvimento da Matematic3.

Assim, al-Khowarizmi decidiu contar 80 mundo as boas novas. Escreveu um

livro chamado "Sabre a artc hindu de calcular", explicando com detalhes como

funcionavam os dez simbolos hindus.

Com 0 livro de al-Khowarizmi, matematicos do mundo todo tomaram

conhecimento do sistema de nurneray:ao hindu.

Os simbolos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - ficaram conhecidos como a nota9ao de al-

Khowarizmi, de oude se originou 0 tenTIOlatino "algorismus It. Daf 0 nome algarismo.

Sao estes numeros criados pelos matematicos da india e divulgados para

outros povos pelo arabe al-Khowarizrni que constihlern 0 nosso sistema de nUmera9aO

decimal, conhecidos como algarismos indo-anibicos.

3.11 OSNUMEROS RACIONAIS

Com 0 sistema de numera9ao hindu ficou raeil eserever qualquer numero, por

maior que ele fosse: 0 - 13 - 35 - 98 - 1.024 - 3.645.872.

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Como estes numcros foram criados pola necessidade pnitica de contar as

caisas da natureza, cles sao chamados de numcros natura is.

Os numeros naturais simplificaram muita 0 tTabalha com numcros

fracionarios.

Nao havia mais necessidade de escrever urn numcro fraciomirio por meio de

uma adic;ao de dais fracionarios, como faziam os matematicos egipcios. 0 numero

fracionario pas sou a ser escrito como uma razao de dais numeros naturais.

A palavra razao em matematica significa divisao. Portanto, os numeros

inteiros e as numeros fraciomirios podem ser expressos como uma razao de dais

numeros natura is. Por isso, sao chamados de numeros racionais.

Desta forma, a descoberta dos numeros racionais foi urn grande passo para 0

desenvolvimento da Matematica.

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4 METODOLOGIA

4.1 DELIMITAC;Ao GEOGRAFICA E TEMPORAL

Ao analisarmos 0 decorrer dos tempos e necessidade de cada regiao como no

tim da pre-historia e a historia, verificou-se que por volta de 4.000 anos a.C. surgiram

as primeiras formas de numera<;3o no Egito atraves de marcas e tallios vindo assim a

ser 0 sistema de numerac;:ao egfpcio.

Em 753 a.C. ate 476 d.C., mas ja desde a cpoca das cavernas veio se

aperfci<;oando as mimeros em Rama, surgindo assim 0 sistema de numerac;:ao romano.

Ja no seculo VI os numeros hindus foram divulgados pelos arabes em 786 ate

809, surgindo a numera9ao indo-arabico, a qual e usada ate hoje em todas regioes do

planeta.

4.2 OBTENC;Ao DE DADOS

Os dados foram coletados atraves de pesquisa, junto a biblioteca da

Universidade Tuiuti do Parana c atraves da internet, cnde foram colctado dados e

infonna<;oes de livros e artigos necessarios no desenvolvimento deste trabalho.

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5 RESULTADOS

Pade sc verificar que com 0 passar dos tempos e de maneira a se atendcr as

necessidades humanas, as fannas de numerac;:ao que aparecerarn fcram de grande

ajuda para as civilizac;:oes.

Mas podemos verificar que algumas fannas de numerac;:ao utilizadas,

confonne a regiao onde foram criadas, nao foram de facil utiliz3c;:ao para outras que

vieram a utiliza-las. Deste modo, 0 sistema de numerac;:ao indo-arabico roi 0 que mais

se ajustou e facilitou os calculos em nosso entendimento.

Assim a numeraC;:3ode base dez vcio a ajudar 0 dcsenvolvimento humane oa

matematica, na tecnologia e em todas as ciencias que a utiiizam.

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CONCLUSAO

Segundo 0 matcmatico italiano Leonardo Fibonacci e 0 decorrer dos tempos, 0

aparecimcnto do sistema indo-ambieo facilitou os calculos resultando como pOT

exemplo 0 avan<;o da algebra e por conseqiiencia 0 avanvo da tecnoiogia.

A matematica originalmente surgiu como parte da vida di8ri3 do homem, e se

ha validade no principia biol6gico, a persistencia da rayu bumana provavelmente tem

relac;:ao com 0 desenvolvimento. 0 conceito de nurnero foi lim processo longo e

gradual entre urn e do is e mais de dais, ao passo que a maior parte das tinguas atuais

56 [azem a distinc;:ao de numero entre singular e pluraL

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REFERENCIAS

BOYER, Carl. Histaria da Matematica. Sao Paulo: EDGARD BLUCHER, 1974.

COlltalldo a Histaria da Matenuitica.Disponivel em: http://vitoria.upf.tche.Br.Acessoem 2510312004.

LINTZ, Rubens G., Histaria do Matematica. Blumenau: FURB, 1999.

Origem dos Nllmeros.Disponivel em: http://pessoal.sercomtel.com.br.Acesso em20102/2004.

RUSSELL,Bertrand. Il11rodllr;iio a Filosofia Matematica.Rio de Janeiro: ZAHAREDiTORES,1974.