jcabral.uac.ptjcabral.uac.pt/teseB.pdfT¶‡tulo da Tese: Estudo anal¶‡tico e simb¶olico das...

JOÃO MANUEL GONÇALVES CABRAL

ESTUDO ANAĹITICO E SIMBÓLICO

DAS BIFURCAÇÕES PARA A FAMÍLIA DAS

APLICAÇÕES RACIONAIS DE GRAU DOIS

UNIVERSIDADE DOS AÇORES

PONTA DELGADA

2009

JOÃO MANUEL GONÇALVES CABRAL

ESTUDO ANAĹITICO E SIMBÓLICO

DAS BIFURCAÇÕES PARA A FAMÍLIA DAS

APLICAÇÕES RACIONAIS DE GRAU DOIS

Dissertação apresentada na Universidade dos Açores

para obtenção do grau de Doutor no ramo de Matemática

e na especialidade de Análise, sob a orientação do Doutor

Ricardo José Mendes Severino, Professor Auxiliar do

Departamento de Matemática da Universidade do Minho

UNIVERSIDADE DOS AÇORES

PONTA DELGADA

2009

T́ıtulo da Tese: Estudo anaĺıtico e simbólico das bifurcações para a faḿılia das

aplicações racionais de grau dois

Aluno: João Manuel Gonçalves Cabral

Resumo

Neste trabalho estudamos as bifurcações das aplicações racionais de grau dois, definidas

no eixo real. Para tal desenvolvemos as técnicas da dinâmica simbólica, com as quais

mostramos a existência de cascatas de bifurcações de duplicação do peŕıodo, a que

correspondem regiões do espaço dos parâmetros de igual entropia. Por outro lado,

usando os métodos anaĺıticos tradicionais, estudamos outros tipos de bifurcações que

ocorrem para uma subfaḿılia, a-um-parâmetro, das aplicações referidas.

iii

Thesis: Analytic and symbolic study of the bifurcations for the family of rational

mappings of degree two

Student: João Manuel Gonçalves Cabral

Abstract

In this work we study the bifurcations in the family of quadratic rational maps. Using

symbolic dynamics techniques, we describe the existence of cascades of period doubling

bifurcations, with corresponding regions of the parameter space with constant topological

entropy. Then, using traditional analytic techniques, we study some other bifurcations

for a particular subfamily of those maps.

iv

Agradecimentos

Quero agradecer o apoio e dedicação, bem como a infinita paciência, que o Professor

Doutor Ricardo Severino mostrou ao longo de toda a execução desta dissertação.

Apesar de já não se encontrar no meio de nós, quero agradecer, com um recordar

bastante sentido, ao Professor Doutor José Sousa Ramos por ter sido um companheiro,

amigo e incentivador no ińıcio deste trabalho. A sua memória continua viva no seio das

pessoas que tocou ao longo da sua carreira profissional, e nestas tão humildes linhas

desta dissertação.

Por fim agradeço a todos, e são muitos, desde os amigos pelo apoio ao longo do

trabalho, à minha faḿılia pelas horas de paciência, e em especial ao meu filho Diogo

pelo seu sorriso diário, que me transformou as muitas horas de angústia em alegrias, ao

longo dos últimos anos.

v

Conteúdo

1 Introdução 1

2 Transformações racionais 6

2.1 Analiticidade e faḿılias normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Pontos periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Pontos cŕıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Pontos excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Classificação de componentes periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 As transformações de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8 Transformações racionais do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.9 Formas normais das transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.10 A faḿılia Rc(z) = (z2 + c)/(z2 − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.11 Uma restrição de Rc(z) ao eixo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 No eixo real 45

3.1 Uma restrição de Rc(z) ao eixo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 A faḿılia fr, com r < −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Dinâmica do intervalo - caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

vi

4 Dinâmica Simbólica 72

4.1 A importância da dinâmica simbólica no estudo dos sistemas dinâmicos . 72

4.2 O quadro simbólico dos invariantes de amassamento . . . . . . . . . . . 84

4.3 A combinatória das sequências de amassamento . . . . . . . . . . . . . 104

4.4 Um produto simbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5 Bifurcações 116

5.1 Bifurcações em dinâmicas do intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2 Bifurcações em dinâmicas do intervalo: parte II . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3 Bifurcações na faḿılia fλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3.1 Um primeiro intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.3.2 Um segundo intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.3.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6 Conclusões 143

Bibliografia 144

vii

Caṕıtulo 1

Introdução

Parece-nos incontestável que a Teoria dos Sistemas Dinâmicos tem sido, nas últimas

três décadas, das áreas mais activas e interessantes de toda a Matemática. Olhando

um pouco para trás, aquilo que nos deixa fascinados nesse caminho são as surpresas

que, de quando em quando, vêm questionar a nossa perspectiva de termos já alcançado

um conhecimento mais do que razoável das diferentes dinâmicas. Tal como aconteceu

com a dinâmica das aplicações quadráticas no intervalo e no plano complexo, que es-

condiam uma insuspeitada complexidade no seu seio, o estudo de uma dinâmica é uma

tarefa muit́ıssimo complicada que exige métodos pouco convencionais em Matemática.

Contudo, o facto de usarmos alguns desses métodos não significa de modo algum que

aceitemos esse tipo de resultados como objectivo final do estudo em causa. Mas também

é verdade que existe ainda na comunidade matemática alguma incompreensão relativa-

mente a certas formas de abordar certos problemas, problemas esses que, pelas suas

caracteŕısticas, de outro modo ficariam totalmente de lado de qualquer tentativa de

compreensão. No nosso entender, a utilização do computador no estudo da dinâmica

tem por objectivo primeiro levantar questões, pôr a nú complexidades em comportamen-

tos de sistemas regidos por aplicações bastante simples e, por isso, de alguma forma

desprezadas na eleição dos problemas matemáticos mais interessantes ainda em aberto.

No trabalho que agora se inicia, o computador foi usado de forma intensiva, podemos

mesmo dizer que fomos beneficiando dos avanços tecnológicos para estudar com um

detalhe cada vez maior as dinâmicas das aplicações racionais de grau dois. Em alguns

aspectos não foi posśıvel avançar muito para além das experiências computacionais, mas

1

pensamos que em alguns outros conseguimos chegar a formalizar as ideias e a estab-

elecer alguns resultados que nos parecem interessantes. No entanto, não resistimos a

deixar nesta introdução o resultado de uma questão colocada logo no ińıcio dos nossos

trabalhos e que pode, de alguma forma, ter como uma primeira resposta uma imagem.

Nos estudos das dinâmicas do intervalo com o confinamento do espaço de fases

pretende-se evitar comportamentos para infinito pouco interessantes. Por outro lado,

como todos sabemos, quando estudamos as aplicações quadráticas no plano complexo,

esses comportamentos para infinito trazem uma dicotomia às dinâmicas que o conjunto

de Mandelbrot descreve de uma forma absolutamente deslumbrante. Ora, quando pre-

tendemos estudar a dinâmica das aplicações racionais de grau dois,

fab(z) =z2 − az2 − b ,

é desde logo evidente que, de uma forma geral, vamos ter uma vez mais um confinamento

do espaço de fases, ou seja, não existem quaisquer órbitas divergentes. Assim sendo,

parece haver nesta faḿılia de dinâmicas uma diferença fundamental para as quadráticas

no plano complexo e assim se abre a questão de saber que resposta se obtém se classi-

ficarmos as dinâmicas pelo comportamento do seu ponto cŕıtico z = 0.

Para desenharmos a figura que se apresenta de seguida fixámos o segundo dos

parâmetros, neste caso escolhemos o valor b = 0.9, e deixámos o parâmetro a tomar

valores no plano complexo. Aquilo que obtemos é uma perspectiva do espaço dos

parâmetros, onde se destacam os valores de a correspondentes a dinâmicas que levam

a órbita do ponto cŕıtico z = 0 para comportamentos não periódicos1. De certa forma

pretendemos responder, numa primeira aproximação, claro está, à questão de saber que

valores do parâmetro a ∈ C correspondem a aplicações racionais com caos. E a respostanão deixa de ser surpreendente.

1Naturalmente que, computacionalmente estamos a destacar os valores dos parâmetros para os quaiso ponto cŕıtico z = 0, passado um número muito elevado de iterações, não apresenta um comportamentoperiódico de peŕıodo inferior a um determinado valor, esse já não muito grande.

2

Este gráfico, no fundo um diagrama de bifurcação ao estilo do conjunto de Mandel-

brot, onde não interessam as órbitas em si mas tão só a sua qualidade, periódica ou

não periódica, indica-nos a existência de uma região do plano onde aparentemente as

correspondentes dinâmicas serão razoavelmente complicadas2. Contudo, como de resto

seria de esperar, esta região do plano complexo/espaço dos parâmetros, não é de todo

simples, o que é desde logo notório na figura apresentada, mas que pode ser confirmado

na figura seguinte, onde se apresenta um seu detalhe.

2Apesar disso, deixamos aqui a informação que as zonas mais exteriores do plano complexo cor-respondem a valores do parâmetro para o qual a órbita do ponto cŕıtico se dirige para uma órbitaperiódica de peŕıodo dois.

3

Olhando para esta figura, é imposśıvel não ficar surpreendido com o aparecimento dos

já clássicos bolbos mandelbrotianos, um autêntico ex-libris das dinâmicas no plano com-

plexo. Com este exemplo gostaŕıamos sobretudo de mostrar de que forma a utilização

do computador pode servir para levantar questões importantes no estudo da dinâmica.

Pessoalmente, devemos confessar que estas experiências computacionais são, simultane-

amente, um est́ımulo para continuar a trabalhar nestas áreas da Matemática e sempre

uma fonte de prazer, com a sua contemplação.

Neste trabalho vamos estudar a faḿılia de aplicações racionais, apresentando primeiro

alguns dos resultados conhecidos sobre a dinâmica destas aplicações, nos Caṕıtulos 2 e 3,

4

para depois nos debruçarmos em concreto no estudo das suas bifurcações. Desse modo,

introduzimos, no Caṕıtulo 4, os métodos da dinâmica simbólica adaptados ao estudo da

dinâmica destas aplicações, para depois procurarmos definir um produto simbólico que

descreva as cascatas de bifurcações de duplicação do peŕıodo existentes. A aplicação

destes métodos a esta faḿılia de aplicações é original e, podemos dizê-lo sem falsa

modéstia, achamos que conseguimos alguns resultados bastante interessantes. Contudo,

estes métodos não conseguem (ainda) descrever todos os tipos de bifurcação presentes,

pelo que, no Caṕıtulo 5, utilizamos os tradicionais métodos anaĺıticos para estudar algu-

mas outras bifurcações. Os resultados encontrados foram descritos no artigo recemente

submetido a uma revista internacional da especialidade.

5

Caṕıtulo 2

Transformações racionais

Uma transformação racional é uma transformação do tipo

R(z) =P (z)

Q(z)=

a0zd + ... + ad

b0zd′ + ... + bd′

,

com Q(z) 6= 0, sendo uma transformação bijectiva na esfera de Riemann Ĉ nela própria.O quociente é dito irredut́ıvel se P e Q não têm factores comuns e tem uma única

representação a menos da multiplicação de numerador e denominador por uma constante

não nula. O grau de R pode ser definido como sendo o número máximo de pré-imagens

de um dado ponto z, representação mais usual, ou pelo máximo dos graus de P e de

Q. Denotando por Rk a composição k vezes de R, também podemos dizer que o grau

de R é multiplicativo, no sentido em que o grau do produto de duas transformações é

o produto de ambas as transformações, e o grau da composição de ordem k de R é a

potência de expoente k do grau de R.

Tomamos por convenção que R0 = I, com I a representar a transformação identi-

dade.

Definição 2.1. A órbita futura de um dado ponto z0 por acção de uma transformação

racional R é o conjunto de pontos

O+(z0) = {zk = Rk(z0), k = 0, 1, 2, ..., n}.

Se R(z) for invert́ıvel podemos definir a órbita total de z0 como o conjunto de pontos

zn = Rn(z0) para n ∈ Z, e a órbita passada de z0,

O−(z0) = {zk = Rk(z0), k = 0,−1,−2, ...,−n}.

6

2.1 Analiticidade e faḿılias normais

As transformações racionais são caracterizadas como transformações anaĺıticas de Ĉ em

Ĉ, sendo as únicas a possuir esta propriedade.

Uma função complexa de variável complexa f(z) pode ser decomposta nas suas partes

reais e imaginárias u(x, y) e v(x, y), respectivamente, bastando para isso decompor o

complexo em z = x + iy, com x, y valores reais, e efectuar os necessários cálculos.

Estas funções u e v são importantes na medida em que através delas podemos analisar

a diferenciabilidade de f .

Teorema 2.1. A função f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) é diferenciável num ponto z = x+ iy

de uma região no plano complexo se e só se as derivadas parciais ux, uy, vx e vy são

cont́ınuas e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann ux = vy e uy = −vx no pontoz.

Com base no Teorema 2.1, verificamos em que condições f é diferenciável num ponto

z, mas não numa vizinhança desse mesmo ponto. Ora, se acontecer que a função seja

também diferenciável numa vizinhança deste ponto dizemos que a função é anaĺıtica em

z.

Definição 2.2. Uma função f(z) é classificada de anaĺıtica num ponto z0 se f(z) for

diferenciável numa vizinhança de z0. A função é classificada de anaĺıtica numa região se

for anaĺıtica em todos os pontos desta região. Se esta for anaĺıtica em todo o plano C

é classificada como função inteira.

Para mais pormenores sobre a analiticidade de uma função e suas propriedades, bem

como a demonstração do Teorema 2.1, pode-se consultar [BV97], [AF97] e [Nee97].

Tomando por base as propriedades das funções anaĺıticas, podemos afirmar que a

transformação R, como resulta do quociente de duas funções polinomiais anaĺıticas em

C, é anaĺıtica em todo o plano complexo, com excepção, naturalmente, dos zeros de Q,

que são as singularidades de R.

Definição 2.3. Uma transformação é conforme num dado ponto z0 se for anaĺıtica neste

7

ponto, com derivada em z0 não nula, e conforme num doḿınio D se for conforme em

todos os pontos deste doḿınio.

Definição 2.4. Considere-se U, V ⊂ Ĉ. Uma função f : U −→ U diz-se conformal-mente conjugada, ou apenas conjugada, a uma função g : V −→ V se existir umatransformação conforme ϕ : U −→ V tal que g = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1.

O conceito de função conformalmente conjugada foi introduzido por E. Schroder, em

1871, no estudo da iteração de transformações racionais. A equação g(ϕ(z)) = ϕ(f(z))

e suas variantes são conhecidas como equação de Schroder. Existia na altura, como ex-

iste hoje em dia, um grande interesse no estudo da iteração das transformações racionais

com ligação aos algoritmos de aproximação de zeros de uma dada transformação, especi-

ficamente, o método de Newton. Segundo confessa Douady, foi igualmente uma questão

de um aluno sobre a convergência do método de Newton, em 1978, que despertou o

interesse de J. Hubbard e do próprio Douady no estudo da iteração de transformações

racionais.

No estudo da iteração de transformações racionais uma das ferramentas mais usadas

é a noção de faḿılias normais.

Definição 2.5. Uma faḿılia de funções anaĺıticas complexas F definidas num doḿınio

D ⊂ Ĉ é chamada de faḿılia normal se cada subconjunto infinito contém uma sub-sequência que converge uniformemente na métrica esférica, em qualquer subconjunto

compacto de D.

Carleson e Gamelin, em [CG91], destacaram o facto de que Montel, na apresentação da

sua tese, em 1907, tenha lgo explicitado os seguintes teoremas, que são uma ferramenta

básica na descrição de faḿılias normais de funções.

Teorema 2.2. A faḿılia F de funções anaĺıticas em D ⊂ Ĉ limitadas por algumaconstante é normal.

Demonstração. Ver [CG91].

Teorema 2.3 (Montel). Seja F uma faḿılia de funções anaĺıticas definidas num doḿınio

D. Se a reunião ∪f∈F f(D) omite três pontos em Ĉ, então F é uma faḿılia normal.

8


Usando a caracterização de faḿılia normal de funções podemos detectar dois tipos de

conjuntos invariantes na dinâmica de R. Um conjunto em que a transformação racional

R é estável sob iteração, onde podemos conhecer de forma bastante concreta o seu

comportamento e num outro conjunto, dito instável, onde a transformação tem um

comportamento não previśıvel sob iteração.

Definição 2.6. Um ponto z é estável sob uma transformação racional R se existir uma

vizinhança U de z tal que {Rk, k = 0, 1, ..., n} é uma faḿılia normal em U . O conjuntoΩR, formado pelos pontos z forma o conjunto estável ou conjunto normal de R. Este

conjunto também é designado de conjunto de Fatou.

Definição 2.7. O conjunto instável de R é o complementar de ΩR. Este conjunto,

também designado por conjunto de Julia, é denotado por JR.

Conhecer o conjunto de Fatou de uma dada transformação R tem as suas vantagens,

ou até mesmo conhecer apenas parte deste conjunto, uma vez que a partir de um qualquer

ponto deste podemos gerar todos os outros sob iteração de R. Isso possibilita a criação

de imagens através de cálculos computacionais que geram autênticos mapas de onde

podemos nos orientar em relação à própria dinâmica da transformação, como se pode

verificar na figura seguinte.

9

0 100 200 300 400 500

0

100

200

300

400

500

Figura 2.1 Regiões estáveis de R(z) = (z2 + 0.4− 0.8i)/(z2 − 0.9)

Proposição 2.1. Se z é um elemento de ΩR, então a sua imagem e todas as suas

pré-imagens fazem parte de ΩR.

Demonstração. Ver L. Keen em [Dev91].

O máximo que pode acontecer a uma transformação racional é ser completamente

instável nunca o sendo completamente estável. Isto quer dizer que podemos encon-

trar em todas as faḿılias de transformações racionais sempre um conjunto onde as

transformações são instáveis, dependendo apenas se esta instabilidade se limita a um

conjunto de pontos ou ao próprio conjunto Ĉ.

Proposição 2.2. O conjunto JR é não vazio.


Teorema 2.4. JR = Ĉ ou tem interior vazio.

Demonstração. Ver L. Keen em [Dev91] e também [Bea91].

10

Teorema 2.5. JR = Ĉ se e só se existe uma órbita {Rn(z) : n ≥ 1}, para algum z,que seja densa em Ĉ.

Demonstração. Ver [Bea91].

Proposição 2.3. Se w ∈ JR, então⋃n

R◦−n(w) é denso em JR.


Proposição 2.4. JR é um conjunto infinito se grau(R) ≥ 2 e é perfeito.


Teorema 2.6. Se S é um conjunto não vazio completamente invariante sob a trans-

formação racional R, com grau(R) ≥ 2, então S contém um, dois ou infinitamentemuitos pontos.


Proposição 2.5. JR não contém qualquer conjunto fechado invariante.


Teorema 2.7. O conjunto de Fatou e o conjunto de Julia são completamente invariantes

sob uma transformação racional R.


Teorema 2.8. O conjunto JR está contido no fecho do conjunto dos pontos periódicos

de R, com grau(R) ≥ 2.


Teorema 2.9. Considere-se R uma transformação racional com grau(R) ≥ 2. Seja F0um conjunto completamente invariante de F . Então:

• ∂F0 = JR;

• F0 é ou simplesmente conexo ou infinitamente conexo;

11

• todos os outros componentes de ΩR são simplesmente conexos; e

• F0 é simplesmente conexo se e só se JR é conexo.


Teorema 2.10. Se JR é desconexo, então tem um incontável número de componentes

e cada ponto de JR é um ponto de acumulação de infinitas componentes de JR.


2.2 Pontos fixos

Ao iterarmos pontos em C por R(z) observamos que alguns pontos têm uma órbita

sempre constante, estes pontos são designados de pontos fixos.

Definição 2.8. Um ponto ζ é designado de ponto fixo de R quando R(ζ) = ζ.

Os pontos fixos numa transformação racional são as soluções da equação R(z)− z = 0,e pelo Teorema Fundamental da Álgebra, esta equação terá exactamente d soluções,

não necessariamente distintas, número esse igual ao grau de P (z) − zQ(z). Logo, alocalização dos pontos fixos de R(z) torna-se num mero processo de cálculo.

Com o aux́ılio de transformações conjugadas, A. Beardon, [Bea91], conseguiu deter-

minar o número exacto de pontos fixos de uma transformação racional.

Lema 2.1. Se ζ for um ponto fixo em C de uma transformação anaĺıtica f, e ϕ uma

transformação anaĺıtica, injectiva e finita em alguma vizinhança de ζ, então ϕfϕ−1 tem

o mesmo número de pontos fixos em ϕ(ζ) que f tem em ζ.


Teorema 2.11. Se d ≥ 1, uma transformação racional de grau d tem precisamented + 1 pontos fixos em Ĉ.


12

A cada ponto fixo ζ de uma transformação racional R está associado um número com-

plexo, que designamos de multiplicador, m(R, ζ) de R em ζ. Se ζ ∈ C o multiplicadoré R′(ζ). Este multiplicador é invariante sob conjugação, o que nos permite estabelecer

m(R,∞) = m((gRg−1, g(∞))),

sendo g uma transformação de Möbius que transforma o infinito num valor de C.

De acordo com o multiplicador m(R, ζ) podemos classificar os pontos fixos, classi-

ficação essa que se aplica a qualquer função anaĺıtica, em particular às transformações

racionais e à sua inversa local, caso exista.

Definição 2.9. Supondo que ζ é um ponto fixo de uma função anaĺıtica f , com λ =

m(f, ζ) = f′(ζ), temos que ζ é:

• super-atractor, se λ = 0;

• atractor, se 0 < |λ| < 1;

• repulsor, se |λ| > 1;

• racionalmente indiferente, se λ é uma raiz da unidade;

• irracionalmente indiferente, se |λ| = 1, mas λ não é uma raiz da unidade.

Supondo que z0 é um ponto fixo atractor de f . Se |λ| < ρ < 1, então temos que

|f(z)− z0| ≤ ρ|z − z0|

em alguma vizinhança de z0. Assim sendo, |fn(z)−z0| ≤ ρn|z−z0| e, consequentemente,as iteradas fn convergem uniformemente para z0 numa sua vizinhança.

Definição 2.10. A bacia de atracção de z0, denotada por A(z0), consiste em todos os

z tal que fn(z) é definida para todos os n ≥ 1 e fn(z) −→ z0. A componente conexade A(z0) contendo z0 é designada de bacia de atracção imediata de z0 e denotada por

A∗(z0).

Para um valor ε > 0 pequeno, temos que A(z0) coincide com a união das iteradas

inversas f−n(∆(z0, ε)) e, consequentemente, podemos concluir que A(z0) é um aberto.

13

Os pontos que são mais simples de entender são os pontos fixos atractores que não

sejam super-atractores.

Teorema 2.12. Suponha-se que f tem um ponto fixo atractor em z0, com multiplicador

λ satisfazendo 0 < |λ| < 1. Então existe uma transformação conforme ζ = ϕ(z) queleva uma vizinhança de z0 numa vizinhança de 0 que conjuga f(z) numa função linear

g(ζ) = λζ. A função conjugadora é única, a menos da multiplicação por um factor não

nulo.


A conjugação ϕ é normalizável de tal forma que ϕ′(z0) = 1. A convergência uniforme

mostra que se f depende analiticamente de um parâmetro, assim acontece para a versão

normalizada de ϕ. Assim, a equação ϕ fica

ϕ(f(z)) = λϕ(z).

Esta equação permite-nos extender ϕ analiticamente a toda a bacia de atracção de

A(z0), pela fórmula

ϕ(z) = ϕ(fn(z))/λn,

onde n é escolhido grande o suficiente de tal forma que fn(z) pertença a uma vizinhança

de coordenadas de z0. Note-se que ϕ(z) = 0 se e só se fn(z) = z0 para algum n ≥ 1.

O ramo de ϕ−1 que transforma 0 em z0 pode ser extendido até que encontremos um

ponto cŕıtico de f ou que se saia do doḿınio de f . Se f é polinomial ou racional, então

o alcance de ϕ cobre todo o plano complexo.

A existência de uma transformação conjugada para um ponto fixo repulsor segue o

mesmo critério de formação de para os pontos fixos atractores. Supondo

f(z) = z0 + λ(z − z0) + ...

com |λ| > 1, teremosf−1(z) = z0 + (z − z0)/λ + ...,

ficando z0 um ponto fixo atractor. Qualquer transformação conjugando f−1(z) a ζ/λ

também conjuga f(z) a λζ.

14

Teorema 2.13. Para qualquer transformação racional R, cada órbita repulsora de R

está contida em J(R).

Demonstração. [Bea91]

L. E. Boettcher, em 1904, provou a existência da conjugação para estes casos.

Teorema 2.14. Suponha-se z0 um ponto fixo super-atractor de f , com

f(z) = z0 + ap(z − z0)p + ..., ap 6= 0, p ≥ 2.

Então existe uma transformação conforme ζ = ϕ(z) que transporta uma vizinhança de

z0 numa vizinhança de 0 que conjuga f(z) a ζp. A função conjugadora é única, a menos

da multiplicação por um (p− 1) ésima ráız da unidade.


Se f depende analiticamente do parâmetro, o mesmo acontece com a função ϕ. Neste

caso a equação funcional ϕ(f(z)) = ϕ(z)p, permite-nos extender ϕ analiticamente até

encontrarmos um ponto cŕıtico de f . No entanto, a equação funcional log |ϕ(f(z))| =p log |ϕ(z)| permite-nos extender log |ϕ(z)| a toda a bacia de atracção A(z0). A funçãoextendida é uma função harmónica negativa, excepto nos polos do logaritmo em todas

as iteradas inversas de z0.

Teorema 2.15. Seja {ζ1, ..., ζq} uma órbita super atractora de R. Então cada ζ pertencea um componente do conjunto de Fatou F (R), e à medida que n → ∞, Rnq → ζlocalmente e de forma uniforme em cada componente respectivo.


Dado um ponto super atractor ζ de R , a componente F (R) à qual pertence ζ é

designada de bacia imediata de atracção de ζ. Assim, Rn → ζ precisamente quandoz está presente em alguma imagem inversa R−m(B), m ≥ 0, da bacia imediata deatracção B, e chamamos a este conjunto de pontos z o conjunto estável para ζ.

15

Definição 2.11. A bacia imediata de atracção de um ciclo super actractor é a união dos

componentes distintos de Fatou de F (R) e o conjunto estável para a órbita é a união

das bacias imediatas de atracção e todas as suas imagens inversas.

Considere-se f(z) = λz + azp+1 + · · · , a 6= 0 e λn = 1. Então, podemos distinguirtrês casos:

1. λ = 1 e p = 1,

2. λ = 1 e p > 1,

3. λn = 1 e λ 6= 1.

Caso 1. Assuma-se f(z) = z + az2 + . . . e a 6= 0. Conjugando f com ϕ(z) = az,podemos assumir que a = 1. Através da inversão z −→ −1/z desloquemos o valor 0para o ∞. A transformação conjugada tem a expansão g(z) = z + 1 + b/z + ... numavizinhança do infinito. Existem dois métodos para provar que existe uma transformação

ϕ conjugando g a uma translação z −→ z + 1, assim como o valor a tem mesmo deser 1. Um é devido a Fatou e usa o comportamento assimptótico de gn e outro envolve

transformação quase-conformes. Ambas as demonstrações podem ser encontradas em

[CG91].

Caso 2. Assuma-se agora que z′ = f(z) = z + azp+1 + ..., com a 6= 0 e p > 1,assim como a = 1. Defina-se z = ζ1/p e z′ = ζ ′1/p para 0 < arg ζ, arg ζ ′ < 2π e z, z′

restringidas a um sector apropriado de abertura 2π/p. Então temos

ζ ′ = ζ + pζ2 + O(|ζ|2+1/p).

Renormalizando novamente para remover o valor p e mudando de variáveis ζ = −1/z eζ ′ = −1/z′ teremos

z′ = g(z) = z + 1 + O(|z|−1/p).

Tanto o método de Fatou como o da cirurgia quase-conforme funciona aqui também,

mas em [CG91] é apresentada uma terceira via usando uma mistura dos dois métodos,

simplificando bastante a compreensão do movimento de iteração que acontece nestes

pontos.

16

Caso 3. Assumindo que f(z) = λz + ..., onde λ é uma raiz primitiva de ordem n da

unidade, então fn(z) tem de pertencer quer ao Caso 1 ou ao Caso 2.

A seguir apresentamos os resultados mais significativos de órbitas racionalmente

indiferentes que acontecem em F (R).

Teorema 2.16. Se o grau(R) ≥ 2 então cada órbita racionalmente indiferente detransformação racional R está contida em J(R).


Teorema 2.17. Seja ζ um ponto fixo indiferente de uma transformação racional R.

Então R é linearizável numa vizinhança de ζ se e só se ζ pertence a F (R).


Teorema 2.18. Seja R uma função racional de grau d, com d ≥ 2, e suponha-se queζ é um ponto fixo irracionalmente indiferente pertencente a alguma componente de

Fatou F0, de F (R). Então F0 é simplesmente conexa e R : F0 → F0 é analiticamenteconjugada a uma rotação de ordem infinita do disco unitário.


A qualquer componente F0 nas condições do teorema anterior chamamos disco de Siegel,

em homenagem a C. L. Siegel que, em 1941, foi o primeiro a provar a sua existência.

Apesar da geometria e dinâmica da iteração em vizinhanças de pontos que estejam

em J(R) não seja completamente clara podem ocorrer órbitas irracionalmente diferentes

em J . Para alguns resultados podemos consultar [Bea91], [CG91] e ainda [Dev91].

Considere-se λ = e2πiθ com θ irracional. Pretende-se uma solução ϕ para a equação

ϕ(f(z)) = λϕ(z), normalizada por ϕ′(0) = 1. Para h = ϕ−1 a equação fica em

f(h(ζ)) = h(λζ), com h′(0) = 1.

Teorema 2.19. A solução h para f(h(ζ)) = h(λζ) em qualquer disco {|ζ| < r} éunivalente.


17

Teorema 2.20. A solução h para f(h(ζ)) = h(λζ) existe se e só se a sequência de

iteradas {fn} é uniformemente limitada em alguma vizinhança da origem.


Teorema 2.21 (Siegel). Se θ for diofantina, e se f tem um ponto fixo em 0 com

multiplicador e2πiθ, então existe uma solução para a equação f(h(ζ)) = h(λζ), isto é,

f pode ser conjugada numa vizinhança de 0 à multiplicação por e2πiθ.


Depois de estudarmos os pontos fixos, vejamos agora os pontos periódicos de uma

aplicação racional.

2.3 Pontos periódicos

Definição 2.12. Um ponto z0 diz-se periódico, de peŕıodo n, sob R, se Rn(z0) = z0.

Definição 2.13. Um ponto z0 é pré-periódico, ou eventualmente periódico, de periodo

n, se z0 não é periódico, mas existe um n > 0 tal que Rn+i(z0) = R

i(z0), com i > n.

Isto é, Ri(z0) é periódica para i > n.

Definição 2.14. Um ponto periódico z0 = Rn(z0) é designado de parabólico se

m(R, z0) = 1,

mas Rn não é a transformação identidade.

Um ponto periódico ζ de periodo n é classificado como um ponto fixo de Rn, mas muito

mais pode ser dito acerca disso. Por conjugação, podemos assumir que a órbita não

contém o ∞ e escreverζm = R

m(ζ), m = 0, 1, 2, · · ·

e assim ζm+n = ζm. Por n aplicações da regra da cadeia, obtemos

(Rn)′(ζm) =n−1Π

k=0R′(Rk(ζm))

=n−1Π

k=0R′(ζk),

18

sendo o segundo produto um rearranjo do primeiro. Este facto mostra que a derivada

(Rn)′ tem o mesmo valor em cada ponto ζj da órbita, e assim cada ponto ζj é classificado

exactamente da mesma maneira do que outro ζk na órbita. Como consequência disso

podemos estender a classificação dada aos pontos periódicos e falar no multiplicador da

órbita, órbitas atractoras, repulsoras, etc.

Definição 2.15. Se uma dada função f é conformalmente conjugada à sua parte linear

numa vizinhança de um ponto fixo ζ diz-se que f é linearizável, por outras palavras f é

conjugada com f0 : z −→ ζ + (z − ζ)f ′(ζ).

Teorema 2.22 (Schroder). Um ponto periódico de uma transformação racional com

multiplicador não nulo é estável se e só se é linearizável.


2.4 Pontos cŕıticos

No estudo da dinâmica da transformações racionais existem uns pontos que são muito

importantes, pois estes influenciam em muito a dinâmica da transformação, são os

pontos cŕıticos de uma transformação. Logo através deles podemos de uma forma mais

acesśıvel interpretar esta dinâmica, pois as órbitas dos pontos cŕıticos estão relacionadas

com as componentes estáveis de Fatou, ΩR. Cada ponto da órbita atractora, cada

órbita racionalmente indiferente, a fronteira de cada disco de Siegel e as fronteiras das

componentes de cada anel de Herman atraem uma infinita órbita crescente de algum

ponto cŕıtico de R.

Definição 2.16. Os pontos cŕıticos de uma transformação R são os pontos onde R

não é homeomorfismo, sendo R um homeomorfismo local, à excepção destes pontos em

número finito. Os pontos cŕıticos no plano complexo são os zeros de R′(z), e para ver

se o ∞ é ponto cŕıtico basta efectuar uma mudança de variável.

Sendo z0 um ponto cŕıtico de R, esta transformação racional não é injectiva em qualquer

vizinhança de z0, sendo o seu comportamento nesta vizinhança muito semelhante ao

comportamento que tem numa vizinhança do zero a transformação z −→ z2.

19

Definição 2.17. Um valor cŕıtico é a imagem de um ponto cŕıtico.

Os valores cŕıticos têm poucas pré-imagens e através do Teorema de Riemann-Hurwitz

podemos assegurar que uma transformação racional de grau d tem exactamente 2d− 2valores cŕıticos.

Teorema 2.23 (Relação de Riemann-Hurwitz). Sendo vR(z) a valência de R em z,

temos para qualquer transformação racional, não constante, R, que

∑[vR(z)− 1] = 2 (grau(R)− 1) .


Corolário 2.1. Uma transformação racional de grau positivo d tem no máximo 2d− 2pontos cŕıticos em C∞. Um polinómio de grau positivo d tem no máximo d− 1 pontoscŕıticos.


Convenciona-se o valor vR(z)− 1 como sendo a multiplicidade do ponto cŕıtico.

Através dos pontos cŕıticos de uma transformação R podemos localizar o conjunto

dos valores cŕıticos de Rn.

Teorema 2.24. Seja C o conjunto dos pontos cŕıticos de uma transformação racional

R. Então o conjunto dos valores cŕıticos de Rn é o conjunto

R(C) ∪R2(C) ∪ ... ∪Rn(C) = ∪nk=1Rk.


Definição 2.18. Uma transformação racional é hiperbólica se e só se a órbita de todos

os seus pontos cŕıticos convergem para alguma órbita periódica atractora.

Rees e Tan Lei mostraram que os componentes hiperbólicos de uma transformação

racional do segundo grau podem ser divididos em quatro classes distintas e Milnor,

[Mil93], em 1993, deu-lhes um nome consoante as suas propriedades.

20

Bitransitiva: Cada um dos dois pontos cŕıticos pertencem à bacia de atracção

imediata de algum ponto atractor, onde estes dois pontos periódicos são distintos mas

pertencem à mesma órbita. Evidentemente o periodo tem de ser dois ou mais.

Captura: Apenas um ponto cŕıtico pertence à bacia imediata de atracção de um

ponto periódico, mas a órbita do outro ponto cŕıtico eventualmente cai nesta bacia

imediata de atracção. Novamente o periodo tem de ser dois ou mais.

Atractores disjuntos: Os dois pontos cŕıticos pertencem a às bacias de atracção

de dois pontos atractores distintos.

Escape: Ambos os pontos cŕıticos convergem para o mesmo ponto fixo atractor.

Teorema 2.25. Seja R uma transformação racional de grau não inferior a dois. Então

a bacia de super atracção imediata de R de cada ciclo de R contém um ponto cŕıtico

de R.


Teorema 2.26. Cada bacia imediata de um ciclo racionalmente indiferente de R contém

um ponto cŕıtico de R.


Teorema 2.27. Seja {Ω1, · · · , Ωq} um ciclo de discos de Siegel ou de aneis de Hermande uma transformação racional R. Então o fecho das iterações dos pontos cŕıticos

contém ∪∂Ωj.


Teorema 2.28. Seja R uma transformação racional de grau não inferior a dois. Então

todos os ciclos irracionalmente indiferentes de R em J estão contidos no conjunto

derivado das órbitas do pontos cŕıticos de R.


Teorema 2.29. Se cada ponto cŕıtico de R é pré-periódico então J = Ĉ.


21

2.5 Pontos excepcionais

Definição 2.19. Um ponto z é designado de excepcional para R quando a classe de

equivalência [z] é finita, sendo [z] o conjunto mais pequeno e invariante que contém z.

O conjunto dos pontos excepcionais é denotado por ER.

A classe [z] só é finita em raras circunstâncias, por este facto o nome aplicado a estes

pontos z de excepcionais. Nas transformações racionais R é posśıvel verificar quantos

pontos destes iremos ter presentes.

Teorema 2.30. Uma transformação racional R de, pelo menos, grau 2 tem, quando

muito, dois pontos excepcionais. Se ER = {ζ}, então R é conjugada com um polinómioque faz corresponder ζ ao ∞. Se ER = {ζ1, ζ2}, com ζ1 6= ζ2, então R é conjugadacom alguma transformação z −→ zd, onde ζ1 e ζ2 correspondem ao zero e ao infinito.


Um dos realces que constam da prova deste último teorema é que a maioria das trans-

formações racionais não possuem pontos excepcionais.

Uma outra boa caracterização dos pontos excepcionais é dada pelo teorema seguinte,

em que identificamos os pontos excepcionais pela sua órbita passada.

Teorema 2.31. A órbita passada O−(z) de z é finita se e só se z é um ponto excepcional.


Teorema 2.32. Seja R uma transformação racional com grau(R) ≥ 2:

• se z não for um ponto excepcional, então JR está contido no fecho de O−(z);

• se z ∈ JR, então JR é o fecho de O−(z).


22

2.6 Classificação de componentes periódicos

Concentrando a nossa atenção para o conjunto de Fatou de uma transformação racional

R, com grau não inferior a dois, temos como resultado mais importante, obtido por

Sullivan, que a iteração de Ω de forma eventual irá resultar noutro componente Ω sob

R e que a imagem inversa de um componente Ω é a união disjunta de d componentes

de Ω. A dinâmica de R pode ser compreendida em parte, determinando como os vários

componentes de Ω são iterados por R.

Definição 2.20 (Componentes de F). Consideremos um componente fixo U de Ω.

1. Se R(U) = U , chamamos U uma componente de Ω.

2. Se Rn(U) = U para algum n ≥ 1, chamamos U uma componente periódica deΩ. O minimal n é o periodo da componente. Se n = 1 teremos uma componente

fixa.

3. Se Rm(U) é periódico para algum m ≥ 1, chamamos U uma componente pré-periódica de Ω.

4. Caso não aconteça nenhum dos pontos anteriores e todos os {Rn(U)} são distintosentão chamamos U um doḿınio errante.

D. Sullivan mostrou, em 1985, que as funções racionais não têm doḿınios errantes,

enquanto I.N. Baker mostrou, em 1976, que estes doḿınios existiam para certas funções

inteiras.

Em cada componente U de Ω, R é uma cobertura em ramo de U sobre R(U) com

quando muito d folhas. Em [CG91], Carleson e Gamelin têm uma afirmação muito

interessante acerca disso: uma componente de Ω é completamente invariante se e só se

R é uma cobertura em ramo em cada folha d, do componente sob ele mesmo.

Teorema 2.33. Se U é uma componente completamente invariante de Ω, então ∂U =

J , e toda as outras componentes de Ω são simplesmente conexas. Existe no máximo

duas componentes invariantes de Ω.

23

Demonstração. Ver [CG91]

Teorema 2.34. O número de componentes do conjunto de Fatou pode ser 0, 1, 2 ou

∞, e todos os casos ocorrem.


Teorema 2.35 (Sullivan). Uma transformação racional não tem doḿınios errantes.


Definição 2.21 (Doḿınios parabólicos). Uma componente periódica U de periodo n

do conjunto de Fatou Ω é chamada de parabólica se existe na sua fronteira um ponto

neutral fixo ζ de Rn com multiplicador 1, de tal forma que todos os pontos em U

convergem para ζ sobre iteração de Rn.

Os doḿınios U , R(U), ..., Rn−1(U) formam um ciclo parabólico. A sua união é a

bacia de atracção imediata associada a uma pétala atractora em ζ.

Definição 2.22 (Doḿınios de rotação). Uma componente periódica U de periodo n

do conjunto de Fatou Ω é chamada um anel de Herman se é duplamente conexa e Rn

é conjugada ou a uma rotação numa coroa circular ou a uma rotação seguida de uma

inversão.

Quando estendemos o conceito anterior para incluir os componentes periódicos de

U que são simplesmente conexos, nos quais alguma Rn é conjugada a uma rotação

obtemos os discos de Siegel.

Teorema 2.36 (Classificação de Sullivan). Suponha-se U uma componente periódica

do conjunto de Fatou Ω. Então, exactamente, uma das seguintes afirmações é válida:

1. U contém um ponto atractor periódico.

2. U é parabólico.

3. U é um disco de Siegel.

4. U é um anel de Herman.


24

2.7 As transformações de Mobius

Uma classe importante das transformações racionais, são as transformações de Mobius,

que são do tipo

M(z) =az + b

cz + d

onde a, b, c, d são constantes complexas.

Estas transformações têm muitas propriedades interessantes e podem ser encontradas

em muitas aplicações da análise complexa. Apesar da sua simplicidade estas são a alma

para algumas das mais excitantes áreas de investigação na matemática moderna. Têm

ligações directas com as geometrias não euclidianas e até com a Teoria da Relatividade de

Einstein. Para detalhes sobre as propriedades fascinantes destas transformações podemos

consultar [Nee97].

Podemos, no entanto, sintetizar algumas dessas propriedades, que nos ajudam a

perceber melhor como funciona os aspectos geométricos e algébricos das transformações

de Mobius.

Uma destas propriedades é a capacidade de preservar ćırculos, ângulos e a simetria

dos conjuntos transformados, pois M(z) é uma transformação conforme. De forma única

M(z) transforma três pontos em outros três pontos, o que possibilita a obtenção de uma

transformação de Mobius única através de três quaisquer pontos do plano complexo

através do uso do rácio cruzado. As não singulares, em que ad − bc 6= 0, formamum grupo algébrico sob a operação composição e além do mais convencionando-se que

M(∞) = a/c e M(−d/c) = ∞, com c 6= 0 e M(∞) = ∞ quando c = 0, quandosob iteração, apresentam um comportamento dependendo se têm um ou dois pontos

fixos. Caso M(z) tenha apenas um ponto fixo ζ, então para todo o z, Mn(z) −→ ζe se tiver dois pontos fixos Mn(z) ou converge para um dos pontos fixos de M , ou os

pontos movem-se ciclicamente através de um conjunto finito de pontos, ou os pontos

formam um conjunto denso de um determinado ćırculo. A afirmação anterior pode ser

verificada através da conjugação topológica de M(z) com outra função de Mobius que

faça a deslocação dos pontos fixos e do infinito, como pode ser encontrado em [Bea91].

As transformações de Mobius classificam-se em quatro grupos distintos, consoante

25

a sua dinâmica transformadora. Teremos uma transformação eĺıptica se a + d é real

e |a + d| < 2; parabólica se a + d = ±2; hiperbólica se a + d é real e |a + d| > 2;loxodrómica se a + d é um número complexo. Se imaginarmos uma esfera em que

o pólo sul representa o zero da esfera de Riemann, e o infinito sendo representado

pelo pólo norte, podemos perceber melhor esta classificação em termos geométricos.

A transformação eĺıptica conduz os complexos sempre em circunferências paralelas de

latitude da esfera e a hiperbólica em circunferências de longitude que se cruzam no pólo

sul e no pólo norte. A transformação loxodrómica conduz os complexos em espirais que se

encontram nos pólos, enquanto que a parabólica conduz os complexos em circunferências

todas tangentes num dos pólos.

2.8 Transformações racionais do segundo grau

Assumindo d = 2 em R(z), vamos ter uma transformação racional de grau 2 do tipo

R2(z) =P2(z)

Q2(z)=

az2 + bz + c

a′z2 + b′z + c′,

com P e Q polinómios complexos. A equação R2(z) − w0 = 0 é do segundo grauem z, que mostra que sob a transformação de w = R2(z) cada ponto w0 é tomado

duas vezes. Isso mostra que esta transformação transporta o plano complexo z no

duplamente coberto plano w, ou de forma equivalente, transporta o plano complexo z

numa superf́ıcie de Riemann de duas folhas, cujas cobrem todo o plano w. Os pontos

de ramificação desta superf́ıcie de Riemann são os pontos w que são comuns às duas

folhas. Estes correspondem aos pontos z tais que ou R′2(z) = 0 ou em que R2(z)

tem um polo duplo. Podemos ver que existe em R2(z) exactamente dois pontos de

ramificação, distinguindo-se dois casos:

1. R2(z) tem um polo duplo, isto é, w = ∞ é um dos pontos de ramificação.

2. R2(z) tem dois pontos finitos de ramificação. No caso (a) a transformação R2(z)

pode ser decomposta em duas sucessivas transformações, sendo uma a trans-

formação de Mobius e uma do tipo z2 + const. No caso (b) a transformação

R2(z) pode ser decomposta em três sucessivas transformações: uma linear, uma

de Mobius e uma do tipo z + 1z.

26

Consideremos o primeiro dos casos: sejam w = ∞ e w = λ os dois pontos deramificação de w = R2(z), e z = z1, z = z2 os pontos correspondentes no plano z.

As expansões em série de R2(z) numa vizinhança destes mesmo pontos são da forma

seguinte:

R2(z) =α−2

(z − z1)2 +α−1

(z − z1) + α0 + α1(z − z1) + ...,

α−2 6= 0, eR2(z)− λ = β2(z − z2)2 + β3(z − z2)3 + ..., β2 6= 0,

respectivamente. Considerando o prinćıpio da continuação anaĺıtica de funções e que a

função√

R2(z)− λ

tem apenas uma singularidade no plano z inteiro que é o ponto z = z1, podemos concluir

pelo Teorema de Liouville da análise complexa que esta função tem de estar na forma

de Mobius. Assim, temos que

R2(z) = λ +

(Az + B

Cz + D

)2

e w = λ + z21 com

z1 =Az + B

Cz + D.

Consideremos agora o segundo caso: sejam w = λ e w = µ os dois pontos finitos de

ramificação da transformação. Usando uma mudança de variável de R2(z) para g(z),

estes pontos podem ser normalizados para estarem em g(z) = ±1, e assim

R2(z) =λ− µ

2g(z) +

λ + µ

2.

Sejam z = z1, e z = z2 os pontos correspondentes no plano z dos pontos de ramificação

λ e µ, respectivamente. A expansão em série de g(z) na vizinhança destes pontos são

da forma:

g(z)− 1 = α2(z − z1)2 + α3(z − z1)3 + ..., α2 6= 0,

e

g(z) + 1 = β2(z − z1)2 + β3(z − z1)3 + ..., β2 6= 0,

respectivamente. A função R2(z) tem dois polos simples, logo a função g(z) também

tem dois polos simples, que iremos designar por z = ζ1 e z = ζ2. Usando uma mudança

27

de variáveis de g(z) para h(z), é posśıvel construir uma função que tem apenas um único

polo

g(z) =1

2

(h(z) +

1

h(z)

).

De facto, os dois polos de g(z) correspondem a

h(z) = γ(z − ζ1) [1 + c1(z − ζ1) + ...]

e a

h(z) = δ(z − ζ2)−1 [1 + d1(z − ζ2) + ...] ;

isto é, eles correspondem a um zero e a um polo de h(z). Para além disso, devido

às expansões em série g(z) ± 1, podemos concluir que a função g(z) é regular numavizinhança de z = z1 e z = z2. A única singularidade de h(z) em todo o plano complexo

z é um polo, então h(z) tem de estar na forma de Mobius. Assim, renomeando funções

e constantes vamos ter

R2(z) = w = A′ζ2 + B′,

ζ2 =1

2

(ζ1 +

1

ζ1

),

ζ1 =Az + B

Cz + D.

A importância de toda a discussão presente nesta secção resume-se ao facto de que

o estudo da transformação R2(z) se reduz ao estudo da transformação de Mobius, da

transformação w = z2 e da transformação

w =(z + z−1

)/2.

2.9 Formas normais das transformações

As transformações racionais do segundo grau podem ser escritas de três formas difer-

entes, consoante a sua aplicação e estudo.

Consideremos

f(z) = zz + µ1µ2z + 1

,

28

com µ1µ2 6= 1. Aqui a origem é um ponto fixo de multiplicidade µ1, e o infinito é umponto fixo de multiplicidade µ2. O terceiro ponto fixo é o valor

1− µ11− µ2 ,

e tem multiplicidade

µ3 =2− µ1 − µ21− µ1µ2 .

Os pontos cŕıticos desta transformação são as duas ráızes

ω =−1±√1− µ1µ2

µ2

da equação

µ2ω2 + 2ω + µ1 = 0.

Note-se que tem um ponto cŕıtico no infinito quando µ2 = 0. Assim sendo, um breve

cálculo mostra que os valores cŕıticos são dados pela equação f(ω) = −ω2.

O formato da transformação racional é o seguinte

f(z) =z + z−1

µ+ a

com pontos cŕıticos ±1 e com um ponto fixo de multiplicidade µ 6= 0 no infinito. Osvalores cŕıticos são

f(±1) = a± 2/µ.

Os dois pontos fixos finitos z1 e z2 podem ser descritos como ráızes da equação

(1− µ)z2i + aµzi + 1 = 0.

Os correspondentes multiplicadores

µi = f′(zi) = (1− z−2i )/µ

satisfazem a relação

σ1 = µ1 + µ2 + µ = µ(1− a2)− 2 + 4/µ.

A função simétrica

σ2 = µ1µ2 + µ1µ3 + µ2µ3

29

pode ser calculada através da equação

0 = µ3 − σ1µ2 + σ2µ− σ3 = µ3 − σ1µ2 + σ2µ− σ1 + 2,

assim

σ2 = (µ + µ−1)σ1 − (µ2 + 2/µ).

O parâmetro τ = µ1µ2 ao longo da linha Per1(µ) é igual a

σ3/µ = (σ1 − 2)/µ,

então

τ =

(2− µ

µ

)2− a2.

Logo, para µ 6= 0, o parâmetro τ ao longo da linha Per1(µ) coincide com −a2, a menosda translação por uma constante dependente apenas de µ.

Se colocarmos os pontos cŕıticos como sendo o zero e o infinito, de tal forma que

f(z) = f(−z), então a transformação fica no formato

f(z) =αz2 + β

γz2 + δ.

Esta forma é particularmente conveniente para cálculo dos conjuntos de Julia. As quan-

tidades

A =αδ

αδ − βγ=

1 + βγ

αδ − βγ ,

B =α3β

(αδ − βγ)2 ,

C =γδ3

(αδ − βγ)2

são invariantes sob conjugação holomórfica que fixem os dois pontos cŕıticos. Assim A

e B + C são invariantes por conjugação holomórfica.

30

2.10 A faḿılia Rc(z) = (z2 + c)/(z2 − 1)

Analisemos agora com algum detalhe a faḿılia de transformações

Rc(z) = (z2 + c)/(z2 − 1),

com c ∈ C. O estudo de Rc(z) foi o embrião desta tese de doutoramento, tendo emconta de que a construção do espaço dos parâmetros c levou a um desenho muito similar

ao conjunto de Mandelbrot, o que nos levou a questionar o porquê deste facto, e qual

era o peso da contribuição do denominador e do numerador para a construção deste

mesmo espaço.

Os pontos fixos desta transformação são três, um real e dois números complexos,

que podem ser conjugados se |c| > 1. Fazendo

∇ = −11− 27c + 3√−15 + 66c + 81c2

os três pontos são

z0 =1

3

(1− 4.2

1/3

∇1/3 −∇1/321/3

);

z1 =1

12

(4 +

8.21/3(1 + i√

3)

∇1/3 + 22/3(1− i

√3)∇1/3

)

e

z2 =1

12

(4 +

8.21/3(1− i√3)∇1/3 + 2

2/3(1 + i√

3)∇1/3)

.

Observando as expressões anteriores notamos logo que encontrar vizinhanças de c em

que |R′c(zk)| < 1, por forma a perceber onde a transformação admite pontos fixosatractores, e o mesmo para |R′c(zk)| > 1, onde a transformação admite pontos fixosrepulsores, torna-se numa tarefa hercúlea em termos de cálculo. Para termos uma ideia

de como evolui a transformação, podemos, no entanto, atribuir valores particulares a c

por região e ir verificando a natureza dos pontos fixos respectivos.

Vejamos o caso de c = 0 + 0i. A transformação Rc(z) tem os três pontos fixos

z0 = 1/2(1 −√

5); z1 = 0 e z2 = 1/2(1 +√

5). Se iterarmos valores numa vizinhança

de raio ² tão pequeno quanto queiramos, de cada um dos valores, podemos ver z0 e z2

são pontos repulsores e z1 é um ponto atractor. O especial desta dinâmica é que quando

31

os pontos estão numa vizinhança de −z0 estes afastam-se do mesmo, fazendo com que−z0 assuma um papel de ponto repulsor fantasma porque nem sequer é ponto fixo datransformação! Também pontos na vizinhança do ponto z = 1 convergem para um, e

assim assumindo este ponto um papel de atractor fantasma, mas neste caso este é uma

singularidade da função que projecta logo de seguida todos os valores para o infinito.

Para completar o quadro, também podemos dizer que o ponto infinito é um ponto

atractor já que pontos na vizinhança do infinito são também levados na vizinhança do

um e depois no infinito novamente. A novidade aqui é que um ponto não fixo influencia

grandemente a dinâmica da transformação, quando devia ser apenas mais um no rio

gerado pelas diversas iterações, divergindo de ou convergindo para os pontos fixos da

transformação. Assim sendo a dinâmica da transformação não é apenas entendida pela

dinâmica do ponto cŕıtico, de forma geral, havendo um outro ponto que apesar não

ser nenhum ponto em especial também influencia a dinâmica da função, servindo como

limitante para a zona de influencia do ponto cŕıtico.

Definição 2.23. Dizemos que um ponto não fixo w ∈ C de uma dada transformaçãoé um ponto oculto se para todos os valores de uma vizinhança de raio ² → 0 estesdivergem de/convergem para w sob iteração da transformação. O conjunto oculto é a

reunião de todos os pontos ocultos.

No geral, para |c| < 1 a presença destes pontos ocultos vão-nos facilitar a compreensão,a ńıvel geométrico, da localização das bacias de atracção de dois pontos fixos. Na figura

seguinte podemos observar a presença de dois destes pontos permitindo-nos definir os

limites das bacias de atracção de z1, z2 e do ponto z = 1.

Figura 2.2 Aspecto geométrico das bacias de atracção de z1 e z2, para |c| < 1

Para |c| > 1 teremos um ponto fixo real e dois conjugados complexos, o que vai conferir

32

um pouco de simetria ao posicionamento das bacias de atracção no plano complexo,

obtendo-se a figura que de seguida se desenha.

Figura 2.3 Aspecto geométrico das bacias de atracção de z1 e z2 para |c| > 1

Os pontos ocultos representam os valores z para os quais podemos encontrar na sua

vizinhança mais próxima pontos das bacias de atracção do infinito, do um, e dos pontos

fixos que são atractores. Funcionam como se fossem pontos de Misiurewicz, mas no

plano z.

O espaço dos parâmetros c entende-se como sendo o retrato fiel da órbita do ponto

cŕıtico subjugada a uma determinada majoração dos valores complexos z, consoante o

valor de c.

Da mesma forma como é constrúıdo o conjunto de Mandelbrot, podemos construir

o nosso próprio espaço dos parâmetros para Rc(z). Tendo em conta que o ponto cŕıtico

de Rc(z) é z = 0, e iterando a transformação vamos obter a sequência

0,−c, c−1 + c,c(1− c + c2)−1 + 2c , · · · .

Uma das grandes diferenças de lidar com transformações polinomiais e racionais é que

neste caso, nas racionais, vamos obter vários valores de c para os quais esta sequência

tem elementos no infinito. Isso significa desde logo que o espaço dos parâmetros para

este tipo de funções racionais é um plano perfurado tantas vezes quantos os valores de

c que transformam os elementos desta sequência no infinito.

33

Proposição 2.6. Considere-se Ic como sendo o conjunto dos c′s que transformam os

elementos da órbita cŕıtica Ric(0), com i = 1, 2, 3, · · · em valores no infinito. À medidaque o número de iterações i aumenta, o menor valor real de Ic vai-se aproximando de

forma decrescente de um valor positivo 0.185 < α < 0.19.

Demonstração. Os valores que c toma no eixo real são fáceis de serem observados na

figura do espaço dos parametros anteriormente desenhada. São uma série de buracos

que começam no c = 1 que depois vão convergindo gradualmente para o valor resultante

da intersecção da cúspide da linha que limita o conjunto principal com o eixo real. Este

valor situa-se no intervalo real (0.185, 0.19) depois de efectuados os devidos cálculos.

Se observamos as diversas iterações Rnc (z), n = 1, 2, ..., verificamos que todas as trans-

formações em que n é impar têm o mesmo grau em numerador e denominador logo

daqui conclue-se que para |z| → ∞ , Rnc (z) → 1 e que depois Rn+1c (z) encarrega-se delevar este valor 1 para o infinito. Algebricamente também podemos ver que se fizermos

|z| = r a transformação Rc(z) vai levar esta circunferência numa outra circunferência

r2 =|z + c||z − 1| .

Ora, se fizermos z = x + iy e c = u + iv vamos obter a equação desta circunferência

em R2:

a2 − 2r4 − 2u

r4 − 1 a + b2 − 2v

r4 − 1b =r4 + u2 + v2

r4 − 1em que se fizermos r →∞ e |c| = r2 esta torna-se gradualmente na circunferência

(a− 1)2 + b2 = 3.

Todos os valores de z em que |z| < √3 são automaticamente levados no infinito e osvalores de z em que |z| > √3 vão cair dentro de um circulo centrado em z = 1 de raio² <

√3. Note-se que no ćırculo |z−1| < √3 vão haver outros valores que também serão

levados no infinito. Mas temos a garantia de que ao menos se |c| > 3, |Rnc (z)| → ∞, oque nos permite construir o espaço dos parâmetros c de Rc(z).

Definição 2.24. O conjunto de Mandelbrot de Rc(z) é o subconjunto do plano c dado

por MR = {c : Rnc (0) 9∞}.

34

Podemos analisar em que valores de c é que Rc(z) tem uma órbita atractora de peŕıodo

1. Isso acontece quando Rc(z) = z e

| ddz

Rc(z)| < 1.

A fronteira desta região consiste nos valores c para os quais o valor do módulo da derivada

é um, isto éd

dzRc(z) = e

it,

0 ≤ t < 2π e daqui podemos extrair o valor de z e substitui-lo em Rc(z) = z e obteremosuma função do tipo c = f(it) que parametriza a desejada fronteira. Apesar de serem

necessários cálculos mais complexos e requerer mais computação dos que são precisos

para obter o conjunto de Mandelbrot, tendo por base a função quadrática, podemos ver

que o resultado geral será dado pela figura seguinte, que foi obtida usando a lista de

pontos fixos existente na função e a função densidade do programa Mathematica. Este

é o espaço dos parâmetros c onde se inclui o conjunto dos pontos onde a faḿılia de

transformações Rc(z) bifurca e em que |c| < 3.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 2.4 Espaço dos parâmetros de (z2 + c)/(z2 − 1)

A figura anterior apresenta uma simetria em relação ao eixo real, isso derivado de

Rc(−z) = Rc(z), e muitos pontos c que são designados por Devaney como sendo

35

buracos de Sierpinsky, ver, por exemplo, [DRS07], valores estes que claramente levam a

órbita do ponto cŕıtico para o infinito e regressam depois ao valor 1.

A semelhança entre esta figura e a obtida por Benoit Mandelbrot para as trans-

formações quadráticas é notável, até porque se tratam de transformações distintas. Mas,

no entanto, não seria de estranhar esta semelhança porque a transformação quadrática

Qc = z2 + c faz parte da transformação racional Rc(z) e logo dáı esta ter de herdar

algumas caracteŕısticas da dinâmica das suas componentes. Também podemos obser-

var pequenas ilhas que são cópias fieis do conjunto de Mandelbrot de Qc, veja-se, por

exemplo, a figura seguinte.

1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Figura 2.5 Secção de MR para 1.3 <

Douady e Hubbard, no seu trabalho On the dynamics of polynomial-like mappings, de

1985, estabelecem o critério para a existência de conjuntos de conjuntos de Mandelbrot

sob a forma de teorema.

Teorema 2.37 (Douady-Hubbard, 1985). Seja W ⊂ C um conjunto aberto, simples-mente conexo no espaço dos parâmetros de tal forma que a faḿılia de transformações

de um parâmetro {hµ : U ′µ −→ Uµ|µ ∈ W} são todas quase polinomiais de grau 2. Sejacµ o único ponto cŕıtico de hµ que está contido em U

′. Suponha-se que:

1. Os conjuntos U ′µ e Uµ dependem continuamente de µ;

2. Na fronteira de W , hµ(cµ) ∩ U ′µ = ∅;

3. O número de rotação de hµ(cµ) − cµ à medida que µ cobre a fronteira de W éum.

Então existe uma cópia homeomórfica do conjunto de Mandelbrot no interior de W .

Demonstração. Para além da demonstração original, podemos também ver uma versão

diferente em [DHU06].

Podemos identificar de forma bastante simples alguns valores de c para os quais Rc(z)

vai admitir valores periódicos de todas as ordens, com a excepção da ordem dois, já que

a ordem dois vai surgir apenas com a queda da órbita cŕıtica nos buracos de Sierpinsky.

Na figura seguinte destacamos os valores que produzem órbitas periódicas até peŕıodo

cinco.

37

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 2.6 Valores de c em Rc(z) que geram órbitas periódicas

Também podemos localizar os primeiros valores c para os quais a origem cai numa órbita

periódica após algumas iterações. Estes pontos são chamados pontos de Misiurewicz,

ver os pontos representados a preto na figura que se apresenta.

Figura 2.7 Os primeiros pontos de Misiurewicz

Analisando cada c espećıfico no espaço dos parâmetros, onde podemos verificar a pre-

sença de regiões de estabilidade para a transformação Rc(z) consoante o valor de c, onde

podemos verificar algumas analogias com a estrutura dos conjuntos de Julia e Fatou com

os obtidos para a tranformação quadrática. Podemos encontrar muito trabalho elabo-

38

rado na transformação quadrática nos trabalhos de Milnor, Douady, Hubard, Devaney,

Gamelin, Beardon, entre outros, ver [Bea91], [Dev91], [CG91] e [Mil93], em que a maior

parte dos problemas em aberto residem em questões topológicas acerca da estrutura dos

conjuntos de Fatou e Julia, estando a maior parte dos problemas sobre a dinâmica em

si quase completamente entendida.

A transformação Rc(z), bem como muitas outras transformações racionais de grau

dois, apresenta aspectos estruturais dos conjuntos de Julia e Fatou muito semelhantes

aos conjuntos de Julia e Fatou da transformação quadrática, embora com diferenças na

quantidade existente deste conjuntos. O conjunto de Julia, como fronteira do conjunto

de Fatou vai-se formando também a partir do quase-ćırculo inicial gerado a partir do

c = 0 + 0i. Na transformação quadrática todos os valores de c que estão no interior

do cardióide principal produzem dois conjuntos de Fatou distintos, sendo o conjunto de

Julia um quase-ćırculo e na transformação racional Rc(z) os valores de c que estão na

região maior de periodo 1 produzem mais do que dois conjuntos de Fatou, por força das

descontinuidades de Rc, mas o conjunto de Julia permanece um quase-ćırculo, mas com

lacetes. Veja-se a figura seguinte.

0 100 200 300 400 5000

100

200

300

400

500

Figura 2.7 Conjunto de Fatou para c = 0 + 0i, de Rc(z)

39

Devido ao facto de que o conjunto de Julia ser a fronteira do conjunto de Fatou, e os

pontos onde existem estes lacetes serem pontos do conjunto de Julia, e pelo Teorema

2.34 podemos concluir que existem infinitos conjuntos de Fatou.

À medida que o valor c caminha para um ponto de bifurcação, do periodo um para

o periodo três, por exemplo o conjunto vai-se deformando, veja-se a figura seguinte,

e ganhando a forma dos coelhos de Douady que existem no bolbo de periodo três do

conjunto de Mandelbrot da transformação quadrática.

0 100 200 300 400 5000

100

200

300

400

500

Figura 2.8 Conjunto de Fatou para c = 0.2 + 0.6i de Rc(z)

40

0 100 200 300 400 5000

100

200

300

400

500

Figura 2.9 Coelho de Douady para Rc(z), com c = 0.6 + 1i

O formato destes conjuntos de Julia é consistente com os resultados descobertos por

McMullen, em 1988, para as transformações do tipo zn + λ/zd, com d ≥ 2 , n > 1, eos parâmetros n e d não simultâneamente iguais a dois, em que para uma vizinhança

aberta da origem no espaço dos parâmetros, λ 6= 0, o conjunto de Julia é um conjuntode Cantor de curvas simples fechadas.

Com o valor c no exterior de MR a evolução dos conjuntos de Julia já é bastante

diferente em Rc(z), comparando com as transformações Qc(z). Enquanto que nas

transformações Qc(z) a presença de c no exterior do conjunto de Mandelbrot implica

que o conjunto de Julia seja poeira fractal, ou seja constitúıdo por muitas infinitas

componentes disjuntas, nas Rc(z) o conjunto de Julia vai ser um dos dois casos:

• vai ser uma colecção de pontos de uma linha fractal descont́ınua, ou então,

• um conjunto semelhante ao triângulo de Sierpinsky, ver Figura 2.10.

41

0 100 200 300 400 5000

100

200

300

400

500

Figura 2.10 Conjunto de Julia de Rc para c = 1 + 0i

Em relação ao segundo dos casos apontados, existem já bastantes trabalhos relaciona-

dos, efectuados por Devaney e outros, ver, por exemplo, [DJS04] e [DRS07], para as

transformações

Dc(z) = zn + c/zn,

e entre os quais a prova que as singularidades deste tipo de transformações produzem

conjuntos semelhantes ao triângulo de Sierpinsky. Como as singularidades das trans-

formações racionais comportam-se de forma semelhante, sob iteração, a relação entre o

efeito causado pelas de Dc(z) e Rc(z) é imediato.

Quanto ao primeiro caso, se c /∈ MR os conjuntos de Julia vão-se transformar empoeira fractal, mas com uma adicionante interessante pelo facto de formar uma linha

fractal descont́ınua, ver a figura seguinte.

42

0 100 200 300 400 500

0

100

200

300

400

500

Figura 2.11 Conjunto de Julia tipo para Rc(z), com |c| > 3

Aparentemente a linha parece cont́ınua, mas isso não acontece.Escolhendo um caminho

γ, ao longo do eixo real, todo este caminho é transportado por Rc(z) no infinito, e para

constatar este facto basta iterar a função para esses valores, assim γ pertence ao conjunto

de Fatou e não pode pertencer ao seu complementar. Embora a formação da poeira

fractal seja mais evidente em Qc(z), organizada numa espécie de ilhas isoladas, em Rc(z)

também existe a mesma formação, mas de uma forma mais organizada estéticamente

em forma de colar.

2.11 Uma restrição de Rc(z) ao eixo real

Como vimos nas secções anteriores, de forma sintética, o estudo da dinâmica de Rc(z)

pode ser efectuado, usando como recurso todo conhecimento já adquirido nas funções

racionais estudadas por Devaney e Milnor, entre outros. Embora possa haver algumas

diferenças que possam só por si só assinalar alguns aspectos interessantes de Rc(z) vamos

canalizar o nosso estudo a restrições desta transformação ao eixo real. Ao efectuarmos

a restrição de Rc(z) ao eixo real teremos para todo o z = x + iy , y = 0, e assim a

43

transformação reduz-se a

fr(x) =x2 + r

x2 − 1com r = 1) e outro em que a

função tem três pontos fixos (r < 1). Embora ambos os casos sejam muito interessantes

de serem estudar, as nossas atenções nesta tese centram-se na faḿılia de aplicações com

apenas um ponto fixo.

44

Caṕıtulo 3

No eixo real

Como vimos no caṕıtulo anterior, o estudo da dinâmica de Rc(z) pode ser efectuado,

usando como recurso todo o conhecimento já adquirido nas funções racionais estudadas

por Devaney e Milnor, entre outros. Embora possa haver algumas diferenças que possam,

só por si só, assinalar alguns aspectos interessantes de Rc(z) vamos canalizar o nosso

estudo a restrições desta transformação ao eixo real.

A motivação desta passagem ao estudo das transformações racionais no eixo real vem

de um teorema de Eremenko e Gabrielov em que demonstraram uma conjectura de B.

e M. Shapiro: ”Se todos os pontos cŕıticos de uma transformação racional g pertencem

ao eixo real então existe uma transformação linear fraccionária φ tal que φ ◦ g é umafunção real.”

Teorema 3.1. Se todos os pontos cŕıticos de uma transformação racional são reais

então esta é equivalente a uma função racional real.

Como a nossa transformação Rc tem o seu único ponto cŕıtico no eixo real então existe

uma função φ tal que φ ◦ Rc é real. Embora Eremenko e Gabrielov não tendo sepreocupado em descriminar a própria transformação φ, este resultado permite, através

do estudo de funções reais, encontrar propriedades do comportamento de Rc(z), usando

as noções de equivalência associadas à conjugação topológica de transformações.

Note-se que os aspectos da dinâmica de uma dada transformação não se altera

com a conjugação topológica, dáı ser leǵıtimo pensar que podemos fazer um estudo da

dinâmica dos cortes ao eixo real de Rc, e depois com uma adequada transformação de

45

Mobius chegar à função φ.

3.1 Uma restrição de Rc(z) ao eixo real

Ao efectuarmos a restrição de Rc(z) ao eixo real temos para todo o z = x + iy , y = 0,

e assim a transformação reduz-se a

fr(x) =x2 + r

x2 − 1

com r = 0, x3 > 0,com x1 < x2 < x3, sendo estes repulsor, atractor, repulsor, respectivamente. Sob

iteração de fr, os pontos ]x1 − ², x1 + ²[ são levados em ]∞− ²,∞ + ²[, havendo umvalor ² para o qual os pontos x > x1 + ² são levados na vizinhança esquerda de x2;

Para −11/27 < r < 5/27 obtemos três pontos fixos reais, x1 < 0, x2 < 0, x3 > 0,com x1 < x2 < x3, sendo estes repulsor, atractor, repulsor, respectivamente. Sob

iteração de fr, os pontos ]x1 − ², x1 + ²[ são levados em ]∞− ²,∞ + ²[, havendo umvalor ² para o qual os pontos x > x1 + ² são levados na vizinhança esquerda de x2;

Para r = −11/27 obtemos três pontos fixos reais, x1 < 0, x2 > 0, x3 > 0, comx1 < x2 < x3, sendo estes repulsor, atractor, repulsor, respectivamente.;

Para r = 5/27 obtemos dois pontos fixos reais, x1 < 0, x2 > 0, com x1 < x2, sendo

x1 de segunda ordem, com x1 neutral e x2 repulsor;

Para r > 5/27 obtemos um ponto fixo real positivo, sendo este repulsor, e dois

complexos com parte real negativa;

Para r = −1 obtemos o caso trivial da recta horizontal, de ordenada um.

46

A função fr(x) insere-se numa vasta faḿılia de funções do tipo

fa,b(x) = (x2 − a)/(x2 − b)

que graficamente têm o aspecto que se apresenta. Com a = r e b = 1, podemos verificar

a alteração que fr(x) sofre à medida que r varia.

Muito embora todos os casos sejam interessantes de estudar, a nossa atenção nesta

tese centra-se na faḿılia de apenas um ponto fixo, r < −1. Ao fazer esta restrição,embarcamos num doḿınio da dinâmica que tem poucos estudos efectuados, comparati-

vamente ao que já existe em termos de funções racionais de variável complexa, que é o

estudo da dinâmica das funções racionais reais de variável real.

Um dos pontos de partida para o estudo destes tipos de funções foi fornecido por

Milnor em [Mil92], quando este, ao descrever o espaço das funções racionais de variável

real, sintetiza os casos das funções que podem ocorrer quando estas têm dois pontos

cŕıticos. Milnor distinguiu sete casos de funções racionais quadráticas, com coeficientes

reais, e que induzem uma transformação da circunferência R ∪∞ nela própria.

Supondo que os dois pontos cŕıticos de f são números complexos conjugados, implica

em primeira mão a continuidade da função, e também que f induz uma cobertura de

dois objectos para uma imagem, de R∪∞ em R∪∞. Existe apenas a distinção, nestecaso, no sinal da derivada, em que uma derivada positiva faz com que f transforme

R ∪∞ com grau +2, e em que a derivada negativa faz com que f transforme R ∪∞com grau −2.

Por outro lado, Milnor afirma que se os dois pontos cŕıticos são ambos reais, então f

transforma toda a circunferência unitária R∪∞ num intervalo fechado I = f(R∪∞),que é limitado pelos dois pontos cŕıticos. Assim, para estudar ambas as órbitas cŕıticas,

precisamos apenas de estudar a dinâmica de f restringida ao intervalo I.

Do trabalho de Milnor podemos também retirar uma definição importante.

Definição 3.1. Uma transformação racional real quadrática com pontos cŕıticos reais

ou é monótona, ou unimodal, ou bimodal, dependendo se o interior de I = f(R ∪∞) não contém pontos cŕıticos, contém um ponto cŕıtico ou contém os dois pontoscŕıticos, respectivamente. No caso de ser monótona distingue-se quando esta é monótona

47

crescente ou decrescente. Na bimodal distingue-se por (+ − +)-bimodal se o padrãodas voltas for crescente e por (−+−)-bimodal se o padrão das voltas for decrescente.

Um dos exemplos em que Milnor descreve é a função

f(x) = (1− 2x− x2)/(1− 2x + 3x2)

com f(R ∪ ∞) = [−1, 1], em que ambas as órbitas cŕıticas convergem para o pontofixo repulsor x = 1/3. Logo, f(x), usando a definição 3.1 está na fronteira das funções

unimodais e (+−+)-bimodais do espaço real modular.

Ora, como é óbvio, a função fr(x) não tem dois pontos cŕıticos, mas sim apenas

um, logo não se insere nesta classificação, e para além do mais

fr(R ∪∞) = [−∞, 1] ∪ [−r, +∞] = I1 ∪ I2.

Georgescu, Joita, Nowell e Stanik, em [GJNS05], fazem um estudo de funções racionais

reais de variável real, tomando f(x) = P (x)/Q(x), em que P (x) e Q(x) são polinómios

em R[x]. Estes autores fazem referência a Milnor [Mil92], argumentando que o próprio

Milnor descreve com exactidão a dinâmica das funções racionais reais, com os graus

de P (x) e Q(x) superiores ou iguais a dois. Isso, segundo o nosso ponto de vista,

não corresponde inteiramente à verdade, pois como acabamos de ver com o exemplo de

fr(x) esta função foge ao âmbito do trabalho desenvolvido por Milnor, pois este dedicou-

se apenas a todas as funções de grau dois com exactamente dois pontos cŕıticos não

infinitos. Logo a seguir, no mesmo artigo, Georgescu, Joita, Nowell e Stanik referem que

o comportamento das funções racionais reais ainda constituem um problema em aberto,

estando de acordo com o trabalho que se pretende fazer nesta tese, que é contribuir

com um pouco mais de informação em relação à dinâmica destas funções. Assim, em

[GJNS05] é explorada a dinâmica de várias funções racionais reais em que o grau de P (x)

é superior ao de Q(x), não tocando sequer em nenhuma função com as caracteŕısticas

de fr(x).

Por outro lado, W. Shen, [She03], desenvolveu um trabalho sobre a mensurabilidade

da dinâmica das funções racionais reais e adopta o mesmo prinćıpio do que Milnor

adoptando apenas as funções de grau dois que têm dois pontos cŕıticos não infinitos,

mas mais uma vez a faḿılia de funções tipo fr ficou de fora.

48

No geral, todos os artigos encontrados que exploram as funções racionais reais focam

sempre as funções que têm dois pontos cŕıticos, em que nenhum deles pode ser o infinito.

Compreende-se este facto pois, com este tipo de pontos cŕıticos, toda a teoria de suporte,

vinda da Análise Complexa, previamente resumida no Caṕıtulo 2, é convert́ıvel para as

funções racionais de variável real com menor ou maior dificuldade.

3.2 A faḿılia fr, com r < −1

A faḿılia das funções

fr(x) =x2 + r

x2 − 1produz um gráfico como o da figura que se apresenta de seguida, desde que r < −1.

-3 -2 -1 1 2 3

-2

2

4

Como podemos observar, trata-se de uma faḿılia de funções que tem exactamente dois

pontos cŕıticos, o infinito e o zero. Com

∆ = −11− 27r + 3√

3√−5 + 22r + 27r2,

tem sempre um ponto fixo real negativo e repulsor em

x =1

3

(1− 4.

3√

2

∆13

− ∆13

3√

2

).

e a transformação x −→ r/x conjuga fr com fr2 e transporta o zero no infinito evice-versa.

49

Lema 3.1. Para fa,b(x) = (x2 − a)/(x2 − b) , ga,b(x) = a/(bx) e ha,b(x) = fa2/b3,a/b2temos que

g ◦ f = h ◦ g = ab

x2 − bx2 − a.

Demonstração. Com um simples cálculo podemos verificar que f = g−1 ◦ h ◦ g.

Fazendo em particular r = −2 podemos calcular algumas iteradas da função fr e ver oque acontece com esta faḿılia de funções.Da análise dos valores encontrados, podemos

concluir que, os valores de uma vizinhança, quer à esquerda, quer à direita, tão próxima

quando queiramos do ponto fixo vão-se aproximando gradualmente de x = 1 e depois

são levados no infinito. O mesmo acontece com a própria órbita cŕıtica. E o que

acontece em relação aos pontos periódicos? Com r = −2, os únicos pontos periódicossão o ponto fixo e o um. Mas será que isso vai acontecer para os todos os valores de

r? Para averiguar este facto podemos desenhar o diagrama de bifurcação desta faḿılia

de funções.Para termos uma ideia mais abrangente do que se passa com a faḿılia de

funções fa,b, podemos estudar as curvas fna,b(0) = 0 no espaço dos parâmetros (a, b),

para pequenos peŕıodos, (n ≤ 5), restrição essa que resulta das limitações do cálculocomputacional1, veja-se a figura seguinte.

Figura 3.6 curvas no espaço dos parâmetros

Todas as funções com b < a e a²[1, +∞[ são funções com o mesmo tipo de gráfico danossa função fr. Fixando o valor b e fazendo variar a ficamos desde já com a noção

1Usando o programa Mathematica podemos obter resultados fiáveis, no máximo, até ao peŕıodosete.

50

de que as funções mais interessantes de estudar, onde aparece valores periódicos que

não sejam apenas de periodo dois são de facto as funções em que b > 1 e a > 1.

Qualquer corte na horizontal b > 1 na figura anterior posiciona-nos exactamente para

que valores de a a função vai admitir valores periódicos n = 1, 2, 3, 4, 5, · · · . A diferençaentre os valores de a para as várias linhas é que estes vão-se afastando numa medida

que tem por base uma função irracional. Por forma a tornarmos o nosso estudo mais

conclusivo vamos escolher um determinado caminho neste espaço de parâmetros, por

exemplo o caminho (a,−a + 8). Fazendo λ = a− 4, e olhando às condições de a e deb, convertemos a nossa função fa,b em fλ, com

fλ(x) = 1− 2 λx2 + λ− 4 ,

com 0 < λ ≤ 3.

Os pontos fixos de fλ são os valores

x =1

3+−13 + 3λ

3∆− 1

3∆,

com

∆ = 35(18λ + 3

√3√−36 + 103λ− λ2 + λ3

) 13

para cada valor de λ.

Como f´λ(0) = 0 temos que o cŕıtico x = 0 é um atractor e que, sendo f´λ(1) =

4λ(λ−3)2

o ponto fixo x = 1 é atractor quando 0 < λ < 1, repulsor quando 1 < λ ≤ 3 e neutralse λ = 1.

Na tabela seguinte temos os valores de λ para os quais a função tem órbitas periódicas

de n < 6 para x = 0 e x = 1.

51

x = 0 Total

Periodo 1 - 0

Periodo 2 λ = 1.62772 1

Periodo 3 λ = 0.715897; λ = 1.21933; 2

Periodo 4

λ = 0.526668;

λ = 0.657526;

λ = 1.38053

λ = 1.62772

λ = 1.24428

5

Period 5

λ = 0.455652; λ = 0.665751;

λ = 0.508419;

λ = 0.659791;

λ = 1.23505;

λ =

jcabral.uac.ptjcabral.uac.pt/teseB.pdfT¶‡tulo da Tese: Estudo anal¶‡tico e simb¶olico das...

Documents

Transcript of jcabral.uac.ptjcabral.uac.pt/teseB.pdfT¶‡tulo da Tese: Estudo anal¶‡tico e simb¶olico das...