AULA 01- NÚMEROS INTEIROS

01. HISTÓRICO E OBJETIVOS

Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Nestas séries serão abordados assuntos tais como: Descontos, Juros Simples, Porcentagem, Regra de Sociedade, Regra de três Composta, Regra de três Simples, Grandezas Inversamente Proporcionais, Números e Proporções, Sistema Legal de Medidas, Números Inteiros, Noções de Funções de primeiro e segundo grau, mais alguns temas que são abordados quase sempre na maioria das provas em concursos que são realizados em todo o Brasil. Você aprenderá definições e terá também auxílio de exemplos práticos para melhor compreensão.

02. CONHECIMENTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA

Podemos dizer que é difícil definir em poucas palavras o que é matemática, e toda definição não conseguirá expressar o grande complexo que é o significado da matemática; porém podemos tentar dar uma noção: A principio a palavra matemática deriva da palavra grega "matemathike" que significa "ensinamentos". A matemática é uma ciência formal (suas evidências e definições são independentes das outras ciências) que se baseia em: teoremas, e etc, para chegar a conclusões teóricas e práticas. Ela também pode ser vista como um sistema formal de pensamento para reconhecer, classificar e explorar padrões. A matemática como uma expressão da mente humana, ativa os reflexos, o expressar da razão e o grande desejo pela perfeição em números, pois 2+2 = 4 e não = 5. É também chamada por muitos estudiosos de linguagem universal (a matemática é uma linguagem porque é formada por signos representativos e linguísticos que passam ideias e significados). Pode ser dividida em matemática aplicada com seus elementos básicos e a matemática pura.

A) Para que serve a matemática?

É o método mais eficiente de racionalizar a natureza e seus complexos de sentidos. Em razão da matemática, conseguimos desvendar e resolver um número bem extenso de problemas de diversas áreas da Ciência. Vamos a alguns exemplos:

1. Qual a curva que liga dois pontos fixos? 2. Qual o caminho que a luz faz ao refletir numa superfície qualquer?

3. Por que quando apertamos os pólos de um ovo não conseguimos quebrá-los?

4. Quanto é 2+2? Isto mesmo sem a matemática, nem esta simples operação você conseguiria resolver com tamanha facilidade.

É realmente interessante a Ciência Matemática e seus poderes de resoluções..

B) Qual a importância da matemática na sociedade?

Estamos cientes que, a parte mais simples e conhecida da matemática é a aritmética (operações com números). Imagine só se os números simplesmente não existissem em nosso mundo. Como seríamos? Como poderíamos receber nosso salário? Ou mesmo fazer um simples cálculo de idade. Um pouco complicado, não? Temos que admitir que estamos cercados por números! A qualquer lugar que você vá aparecerá a necessidade de quantificação, em outras palavras: números. Esta é talvez a principal teoria da matemática, mas não é a única, pois existem muitas outras as quais são também aplicáveis à sociedade. Agora que estamos cientes da importância da matemática no dia-a-dia das pessoas, na sociedade e vendo-a como um auxílio a soluções de problemas diversos nas Ciências, vamos ao estudo de alguns temas básicos.

03. CONJUNTOS NUMÉRICOS

3.1. Números Inteiros (Z)

O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos números inteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizer que os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteiros positivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos).

Assim os números inteiros são exemplos:

Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem o elemento “ 0”.

Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10}

Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através deste simples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25,26,27....}

Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são número inteiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = N Z.

3.2. Operações e propriedades

3.2.1. Adição de parcelas

Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.

1º parcela + 2º parcela = soma ou total

A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + aO zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0

3.2.2. Subtração

O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.

minuendo - subtraendo = resto ou diferença

A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b)

Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.A subtração é a operação inversa da adição:

M - S = R ↔ R + S = M

A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo.

M + S + R = 2 × M

3.2.3. Valor absoluto

O Valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.

Atenção: O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância.A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se "valor absoluto de n" ou "módulo de n".)

3.2.4. Números simétricos

Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0

Exemplos:-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 é -5.O simétrico de 6 é -6.O oposto de zero é o próprio zero.

Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo.

Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3

3.2.5. Operações com números inteiros (Z)

Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações. As divisões, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para quaisquer uma das três operações.

3.2.6. Adições e subtrações com números inteiros

Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes:

Exemplo1: Calcular o valor da seguinte expressão: 10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4

Solução: Faremos duas somas separadas,Uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29Outra só com os números negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrada: +29 - 19 = +10

Atenção: É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!

Exemplo2: Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 21º passo: Achar os totais (+) e (-):(+): +4 + 3 = +7(-): -10 - 7 - 8 - 2 = -272º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo:-27 + 7 = - 20

Multiplicação

Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é donominado produto.

1º fator x 2º fator = produto

P.1 - O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador.

P.2 - A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a x b = b x a

P.3 - O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = aSe adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator: a x b = c ↔ (a + k) x b = c + (k x b)

P.4 - Se multiplicarmos quaisquer um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k: a × b = c ↔ (a × k) × b = k × c

P.5 - Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: a × (b ± c) = (a × b) ± (a × c)

Divisão inteira

Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que:

Q × D + R = N e 0 ≤ R < R < |D| (onde |D| é o valor absoluto de D)

A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo.Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados:N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero);Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).

Exemplos:1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.

8 × 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < |7|

2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60, o divisor é 7, o quociente é -9 e o resto é 3.

-9 × 7 + 3 = -60 e 0 ≤ 3 < |7|

Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q × D = N e diremos que a divisão é exata indicando-a como N ÷ D = Q.Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N.O zero é divisível por qualquer número não nulo: D ≠ 0 → 0 ÷ D = 0.Todo número inteiro é divisível por 1: N ÷ 1 = N.Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠ 0, o quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R × k < D, ou será igual ao resto da divisão de R × k por D, se R × k ≥ D.

Multiplicação e divisões com números inteiros

Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:

Exemplos:

Sinais iguais (+) Sinais opostos (-)

(+) × (+) = + (+) × (-) = -

(-) × (-) = + (-) × (+) = -

(+) ÷ (+) = + (+) ÷ (-) = -

(-) ÷ (-) = + (-) ÷ (+) = -

3.2 Racionais (Q)

Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q).

Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária.

Um exemplo simples:

Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5, temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata. É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a divisão não é exata.

Um exemplo simples:

Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita 0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica.Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros.

Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3}

O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “ 0”.

Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)}

3.3 Números Irracionais (Q’)

Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente (dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números.

Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc. Um número irracional famoso é o PI ( ) = 3,141592...

O número de Euler = 2,71828 Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir)

3.4 Números Reais

Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e é indicado pela letra “R”.

Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número racional é real, temos a seguinte sentença:

N Z Q R

Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se o conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}.

3.5 Números Primos

Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.

Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:

1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos). 2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.

Como podemos provar que um número é primo ou não?

Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo.

Teste Rápido:

Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos melhores para os números pequenos. Porém, são extremamente demorados antes mesmo que os números atinjam 25 dígitos.

O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um número é primo.

Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.

Um exemplo simples :

Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então, vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo, pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3 |323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0

Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos.

TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS

2 3 5 7 11 13 17 19 23 2931 37 41 43 47 53 59 61 67 71

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113127 131 137 139 149 151 157 163 167 173179 181 191 193 197 199 211 223 227 229233 239 241 251 257 263 269 271 277 281283 293 307 311 313 317 331 337 347 349353 359 367 373 379 383 389 397 401 409419 421 431 433 439 443 449 457 461 463467 479 487 491 499 503 509 521 523 541

4.0 Representação Fracionária Adição, Subtração e Exercícios

* Definição

Em estudos passados já foi visto que FRAÇÃO é uma ou várias das partes em quantidades iguais em que se divide a unidade ou o todo.

Somente para relembrar:

Veremos mais neste tutorial, todas as operações com frações em um sistema passo-a-passo e como forma de fixar bem as soluções oferecidas, serão analisados e feitos vários exercícios de resolvidos, pois como norma a matemática é aprendida em sua essência por dois aspectos: teoria e MUITA PRÁTICA.

* Adição e subtração com denominadores iguais

Para se efetuar o cálculo com frações com denominadores iguais, siga os exemplos abaixo:

4/20 + 5/20 + 6/20

Neste caso, soma-se ou subtrai-se os numeradores e conserva-se os denominadores:

Resultado da fração acima:

15/20

* Adição e subtração com denominadores diferentes

Neste caso efetua-se a substituição das frações dadas por outra equivalentes, fazendo uso do cálculo do MMC dos denominadores.

1/4 + 1/2 + 2/3

MMC (4,2,3) = 12

Assim:

3/12 + 6/12 + 8/12

17/12

* Multiplicação de frações

Os passos para se efetuar uma multiplicação de frações são simples:

1) Multiplicar o numerador, dando origem a outro numerador

2) Multiplicar o denominador, dando origem a outro denominador

Exemplos:

a) 2/5 x 3/2 = 6/10

b) 4/3 x 1/5 x 1/4 = 4/60 (Neste caso podemos simplificar por 4) = 1/15

* Divisão de frações

Para dividir uma fração deve-se multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo número da equação dada, ou seja, o dividendo pelo inverso do divisor.

Exemplos:

a) 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 x 7/2 = 21/10

b) 2/3 ÷ 1/6 = 2/3 x 6/1 = 12/3 (Neste caso podemos simplificar) = 4

Observe: Nunca faça contas envolvendo dízimas periódicas (ensinado no tutorial anterior). Faça a troca de todas as dízimas periódicas por frações geratrizes (também comentado no tutorial anterior) antes de efetuar qualquer conta.

4.1 Representação Fracionária e Dizimas Periódicas

4.1.1 * Definição: Já vimos em tutoriais anteriores que denomina-se fração “representação fracionária” a expressão de um número racional do tipo:

Então, observe que dados dois números inteiros chamados de a e b com o número b sendo diferente de zero (b#0), a fração então é composta da seguinte forma:

X = a/b, tal fato que x . b = a, sendo X = a/b → a x . b = a

4.1.2. Exemplos de representação fracionária:

a) 5/3 b) 3/4 c) 1/7 d) 2/8

4.1.3 * Representação décima de um número racional

A representação decimal de um número racional poderá resultar em um dos casos abaixo:

- Fração Aparente 16/8 = 2

a/b ou

10/10 = 1

0/14 = 0

Neste caso a fração corresponde a um número inteiro, no caso (2,1,0).

- Fração Decimal Finita

5/4 = 1,25

3/8 = 0,375

¼ = 0,25

No caso acima é existente sempre uma quantidade finita de casas decimais.

4.2 * Dízimas Periódicas

Dizima periódica pode ser compreendida como uma representação decimal ou fração onde ocorre uma sequencia finita de algarismos que se repete indefinidamente.

A esta sequencia chamamos de período.

Ex.:

5/9 = 0,555 7/3 = 2,333 4/33 = 0,1212

Para se efetuar o cálculo acima basta dividir o numerador pelo denominador, então se obterá o valor da fração. O que se encontra em destaque “cor vermelha” é chamado de período.

- Classificação de dízimas periódicas

As dizimas periódicas podem ser dividas em:

Simples:

São aquelas em que o período se apresenta logo depois da vírgula.

Observe:

35/37 = 0,94594594594594525/27 = 0,9259259259259254/33 = 0,1212121212121212Nas frações acima, temos:Períodos: 945945945945945 / 925925925925925 / 1212121212121212, respectivamente

Parte não periódica: 0

Compostas:

São consideradas dízimas periódicas compostas todas que entre o período e a vírgula existe uma parte que são seja periódicas.

Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.Exemplos:0,73333333330,72444444440,5166666666Parte não periódica: 7, 72 e 51 respectivamente.Período: 3333333, 4444444, 666666 respectivamente.

QUESTÕES DE CONCURSOS

01. Das correspondências que deveria entregar, o carteiro Carlos passou 7/10 delas para o carteiro Jorge; dessas, Jorge repassou 3/5 para o carteiro Marcos. Nesse caso, com relação à quantidade de correspondências que Carlos deveria entregar, a quantidade que coube a Marcos é igual a

a) b) c) d) e) 1/10

02. Sejam x e y números Se inteiros e positivos tais que a fração x/y é

irredutível, ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. então x + y é igual a

a) 53. b) 35. c) 26. d) 17. e) 8.

03. Considere as sequencias que representam cada uma das sequencias a seguir:I. A soma de 64,24 com o quadrado de um numero é igual a 70.II. A multiplicação de um número subtraído de 7 pelo mesmo número somado de 7 é igual a 576.III. O triplo de um número somado a 1/3 é igual a 2/3.Julgue os itens em certo ou errado:

04. Simplificando-se a expressão obtem-se um número:

a) quadrado perfeito.

b) divisível por 5.

c) múltiplo de 6.

d) primo.

e) ímpar.

05. Sabe-se que N é o menor número inteiro positivo que multiplicado por 7 resulta em um número inteiro cujos algarismos são todos iguais a 2. Nessas condições, é correto afirmar que

a) N < 30 000. b) N é múltiplo de 11. c) o produto dos algarismos que compõem N é 514. d) a soma dos algarismos que compõem N é 20. e) N > 40 000.

06. Considere o número inteiro e positivo X1Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 31 692 : (X1Y) = 76, então a soma X + Y é um número:

a) quadrado perfeito.

b) menor que 10.

c) primo.

d) divisível por 6.

e) múltiplo de 4.

07. Considere que (x1, x2, x3, x4, x5) sejam os números de filhos de cada um desses agentes de saúde. Nesse caso, se, (x1 + 1).(x2 + 2).(x3 + 1).(x4 + 1).(x5 + 1) = 12, então, no máximo, quatro desses agentes têm filhos.

Julgar certo ou errado

08. Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, das dezenas e das centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a

a) 6 480. b) 6 686. c) 6 840. d) 5 584. e) 5 960.

09. Seja N um número inteiro positivo, no qual x é o algarismo das centenas, y o das dezenas e z o das unidades. Se y > 5, z < 6 e 36x + 9y + z = 347, então

a) N < 500

b) 500 < N < 600

c) 500 < N < 700

d) 700 < N < 800

e) N > 800

10. Uma loja vende certo artigo por 15 reais. Em uma promoção, o preço de venda desse artigo foi baixado para x reais e isso fez que todas as n unidades em estoque, que não eram mais do que 30, fossem vendidas. Se com a venda das n unidades foi arrecadado o total de 253 reais e sendo x um número inteiro, então n ? x é igual a

a) 6 b) 8 c) 9 d) 12 e) 14

11.

O esquema abaixo apresenta a subtração de dois números inteiros e maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras.

Se a diferença indicada é a correta, os valores de A, B, C e D são tais que

a) A < B < C < D

b) B < A < D < C

c) B < D < A < C

d) D < A < C < B

e) D < A < B < C

12. Uma pessoa leu um livro em três etapas, sendo que, na primeira etapa, leu 45 páginas; na segunda, leu a metade do número de páginas não lidas na primeira etapa e mais 10 páginas; na terceira, leu a etade do número de páginas não lidas nas duas primeiras etapas e mais 10 páginas, concluindo a leitura de todas as páginas. Nessas condições, pode-se afirmar que o número total de páginas lidas está compreendido entre 100 e 110.

Julgar certo ou errado

13. Uma loja vende, por semana, 250 unidades de determinado modelo de televisor a R$1 500,00 cada um. Segundo uma pesquisa de mercado, para cada abatimento de R$100,00 oferecido ao comprador, o número de aparelhos vendidos aumenta em 50 unidades semanais. Desse modo, o faturamento máximo com a venda semanal desses aparelhos é de R$420 000,00.

Julgar certo ou errado

15. Considere que sejam cobrados R$ 5,00 para o envio de uma carta comercial simples e uma carta comercial registrada, ambas de até 20 g, e R$ 11,10 para o envio de 3 cartas comerciais simples e 2 registradas, todas de até 20 g. Nessa situação, a diferença entre o preço cobrado para o envio de uma carta comercial registrada e o cobrado para o envio de uma carta comercial simples, ambas de até 20 g, é de

a) R$ 2,60. b) R$ 2,70. c) R$ 2,80. d) R$ 2,90. e) R$ 2,50.

16. Dividir certo número por 0,00125 equivale a multiplicá-lo por um número inteiro

a) menor que 100.

b) compreendido entre 100 e 400.

c) compreendido entre 400 e 1 000.

d) compreendido entre 1 000 e 5 000.

e) maior que 5 000.

17. Sabe-se que, no ano de 2004 o mês de fevereiro teve 5 domingos. Isso acontecerá novamente no ano de

a) 2018. b) 2020. c) 2024. d) 2032. e) 2036.

RAZÃO E PROPORÇÃO

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente b deve ser diferente de zero. 32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2.

Você só poderá obter a razão entre o comprimento de duas avenidas, se as duas medidas estiverem, por exemplo, em quilômetros, mas não poderá obtê-la caso uma das medidas esteja em metros e a outra

em quilômetros ou qualquer outra unidade de medida que não seja o metro. Neste caso seria necessário que fosse eleita uma unidade de medida e se convertesse para ela, a grandeza que estivesse em desacordo.

Na razão, o número a é chamado de antecedente e o b tem o nome de consequente. Uma razão pode ser representada também da seguinte forma → a:b

Porcentagem ou razão centesimal são as razões cujo termo consequente é igual a 100. Representamos a porcentagem através do símbolo "%".

10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos).

Proporção nada mais é que a igualdade entre razões. Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75.

A proporção dos números a, b, c, d, sendo b ≠ 0 e d ≠ 0, só é formada quando a razão entre a e b for

a mesma razão entre c e d.

Simbolizando:

Lê-se: a está para b, bem como c está para d.

Onde:

Exemplo: Os números 9, 3, 12, 4, formam ordenadamente uma progressão, pois e .

Representando:

Lê-se: 9 está para 3, bem como 12 está para 4.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

Considerando que os números a, b, c e d, formam ordenadamente uma proporção, temos:

A razão entre dois números quaisquer a e b ( b ≠0), representa-se através do quociente ou a:b

Na definição acima os termos são:a = chamado de antecedenteb = chamado de consequente

a e d – são denominados extremosb e c – são denominados meios

Lê-se: o produto dos extremos é igual ao produto dos produtos do meio.

Lê-se: a soma dos dois primeiros está para o segundo, bem como a soma dos dois últimos está para o

último.

Lê-se: a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes bem como cada antecedente está

para o correspondente consequente.

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

A representação A = (a1, a2, a3, …) indica que a1, a2, a3, … são valores assumidos pela grandeza A. Quando escrevemos num determinado problema que A = (a1, a2, a3, …) e B = (a1, a2, a3, …), significa que quando a grandeza A assumir o valor a1, a grandeza B também assumirá o valor b1. Portanto, significa que a1 e b1 são valores correspondentes das grandezas A e B. Podemos dizer que a2 e b2 são valores correspondentes, bem como a3 e b3, e assim por diante.

a) Grandezas diretamente proporcionais (GDP) Considere duas grandezas A e B. A será diretamente proporcional a grandeza B somente quando os valores A e os correspondentes valores de B forem iguais. Sendo assim, quando A = (a1, a2, a3, …) e B = (a1, a2, a3, …) forem grandezas diretamente proporcionais, temos:

Onde k é a constante da proporcionalidade.

Exemplo: Um ônibus percorre: 90 km em 1 hora, 180 km em 2 horas, 270 km em 3 horas, Portanto, este caso, a distância e o tempo são grandezas diretamente proporcionais.

b) Grandezas inversamente proporcionais (GIP) Considere duas grandezas A e B. A será inversamente proporcional a grandeza B somente quando os produtos entre os valores A e os correspondentes de B forem iguais. Sendo assim, quando A = (a 1, a2, a3, …) e B = (a1, a2, a3, …) forem grandezas inversamente proporcionais, temos:

Onde k é a constante da proporcionalidade.

Exemplo: Um ônibus percorre: 120 km em 1 hora, 60 km em 2 horas, 40 km em 3 horas. Portanto, neste caso, a distância e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

DIVISÃO PROPORCIONAL

Fazer a divisão de um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b e c é o mesmo que determinar os números x, y e z, de maneira que:

a) as sequencias (x, y, z) e (a, b, c) sejam diretamente proporcionais b) x + y + z = N

Neste caso, através da definição de GDP e das propriedades das proporções, podemos usar a técnica operatória abaixo:

Divisão em partes inversamente proporcionais é fazer a divisão de um número M em partes inversamente proporcionais aos números m, n, p, significa fazer a divisão de M em partes diretamente proporcionais aos inversos de m, n e p, sendo m . n . p ≠ 0.

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

Regra de três é um método de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais. "Um automóvel viajando a 80km faz determinado percurso em 2 horas. Se a viagem fosse realizada à velocidade de 120km, qual seria o tempo gasto?". Este é um exemplo de problema que pode ser resolvido via regra de três, no caso uma regra de três simples inversa. A solução dos problemas de regra de três tem como base a utilização da "propriedade fundamental das proporções" e a "quarta proporcional".

PROCEDIMENTO PARA RESOLUÇÃO DE UMA REGRA DE TRÊS

1. O procedimento matemático conhecido como “regra de três” serve para resolver problemas práticos, o qual se tem três grandezas que fornecem as informações para a descoberta de uma quarta grandeza pela regra de três simples, com grandezas diretamente ou inversamente proporcionais – ou ainda, com o fornecimento de quatro grandezas, para que se descubra outras duas grandezas – procedimento que ficou conhecido como regra de três composta. Para que tal procedimento se torne efetivo, é necessário que se observe a existência de proporção entre as grandezas fornecidas, para então descobrir a proporção em relação à incógnita do problema. Para a realização da regra de três simples em um caso prático, serão fornecidos três dados: duas grandezas que guardam uma relação de proporcionalidade entre si e uma terceira grandeza que deverá se relacionar com a incógnita a ser descoberta pela regra de três, através do procedimento conhecido como “Regra de três”.

2. Na regra de três simples devemos inicialmente montar uma tabela com quatro casas. Nas duas casas da coluna da esquerda ficam, respectivamente, as duas grandezas de mesma espécie e, na outra coluna em suas linhas correspondentes, a outra grandeza, juntamente com a incógnita.

Exemplo:

GRANDEZA 1 GRANDEZA 2

M 1 A 1

M 2 X

3. Elaborada a tabela agora resta definir se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais para utilizar o procedimento adequado. Se identificar que as grandezas são diretamente proporcionais, isto é, se aumentam ou decrescem juntas e proporcionalmente com base em um mesmo fator, o procedimento a seguir é o de divisão de cada grandeza pela sua correspondente, seguindo as linhas da tabela de cima para baixo, isto é: M1/M2 = A1/ X (continue o procedimento matemático, passando para a multiplicação em formato de “x”). M1. X = M2. A1 (isole a incógnita para obter o resultado final).

X = (M2. A1) / M1

4. Na prática, temos: A cada 6 dias, João constrói 72 metros de muro. Quantos metros João consegue construir em 18 dias?Sendo os metros de muro a incógnita a ser descoberta, devemos estruturar o problema da seguinte forma:Se 6 (dias) está para 72 (metros),Assim como 18 dias está para X (metros)6/18 = 72/X6.X = 72.18X = (72.18)/6X = 216

5. Já para o caso das grandezas serem inversamente proporcionais, isto é, a medida que uma aumenta a outra diminui proporcionalmente com base no mesmo fator, retornando à tabela inicialmente estabelecida, faça o seguinte procedimento: Inverta a ordem dos termos da coluna da esquerda e siga o restante do problema.

M2/M1 = A1/X (Multiplique em “x”) → M2. X = M1. A1 → X = (M1.A1)/M2

6. Para a resolução de uns problemas com grandezas inversamente proporcionais, temos como exemplo de solução por regra de três os seguintes passos a serem seguidos: Se João faz um percurso de bicicleta com velocidade média de 15 Km/h em 1 hora em quanto tempo ele fará o mesmo percurso com a velocidade de 20 km/h.

Monte a tabela:

GRANDEZA 1 GRANDEZA 2

15 km 1h

20 km X

Assim como 20 (Km/h) está para X20/15 = 1/X20.X = 15.1X = 15/20X = 0,75 de hora, isto é, 45 minutos

7. Há ainda os casos de regra de três composta, isto é, caso fique identificado na prática que há duas ou mais grandezas e o problema apresenta mais informações. O método de solução que deverá ser seguido é muito semelhante à regra de três simples, respeitando se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais – sendo que em muitos casos ambos estarão presentes.·.

GRANDEZA 1 GRANDEZA 2 GRANDEZA 3

M 1 A1 R 1

M 2 X R 2

Montando a tabela, temos:

M1 - A1 - R1M2 - X - R2

8. Comparando as grandezas e relação à incógnita, temos eventualmente que as grandezas da primeira coluna são inversamente proporcionais (a ordem da tabela será invertida na conta), enquanto as da terceira coluna são diretamente proporcionais. Além disto, iguale o x, para isolar a incógnita. Então teremos:

(lembre-se: como a primeira coluna é inversamente proporcional, os termos se alternam de posição)

A1/X = (M2.R2).(M1.R1)

X = [(M2.R2).(M1.R1)]/A1

9. Para tornar mais claro, a título de exemplo temos: São precisos 50 pedreiros para construir 10 metros de muro em 5 dias. Para construir a mesma quantidade em somente 2 dias, quantos pedreiros são necessários?Tabela:

PEDREIROS COMPRIM. (METROS) TEMPO (DIAS)

50 10 5

X 10 2

Assim como 10 (metros) está para X (pedreiros) e 2 (dias)Temos a seguinte equação:

50/X = 10/10. 2/5 (lembrando que se invertem os dias porque estes são inversamente proporcionais, isto é, quanto mais pedreiros, menos dias)50/X = 2/5X = (50.5)/2X = 125

QUESTÕES PROPOSTAS | SALA

1. Divida 24 em três partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3.

2. Divida 45 em partes diretamente proporcionais a 5 e 10.

3. Reparta 28 em duas pares diretamente proporcionais a 1/2 e 3.

4. Divida 450 em partes diretamente proporcionais a 5, 8 e 12.

5. Divida 102 em partes inversamente proporcionais a 6, 8 e 20.

6. Divida 112 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 9.

7. Divida 780 reais em partes diretamente proporcionais a 1/2, 1/3 e 1/4.

8. Reparta 28 moedas entre dois amigos, de modo que as partes recebidas sejam diretamente proporcionais a 5 e 9.

9. Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 6. Tendo a primeira recebido 600 reais, quais são as partes das outras duas?

10. Divida 36 balas entre duas crianças de 4 e 5 anos, de modo que o número de balas que receberá cada criança seja diretamente proporcional à sua idade. Quantas balas receberá cada criança?

11. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 9 e 12.

12. Repartir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.

13. Decompor 1090 em partes inversamente proporcionais a 2/3, 4/5 e 7/8.

14. Dividir 380 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4.

15. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2. 16. Repartir 108 em partes diretamente proporcionais a 1/2 e 3/4, e, inversamente proporcionais a 5 e 6.

17. Se x + y = 60 e x e y são diretamente proporcionais a 5 e 3, determine o valor de x e y.

18. Três amigos formaram uma sociedade. O primeiro entrou com 60.000 reais, o segundo, com 75.000 reais e o terceiro, com 45.000. No balanço anual houve um lucro de 30.000 reais. Quanto coube do lucro para cada sócio?

19. Repartir uma herança de 460.000 reais entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. As três pessoas têm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivas são 24, 32 e 45 anos.

20. Uma herança de 2.400.000 deve ser repartida ente três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. Quanto caberá ao mais velho?

QUESTÕES CONCURSOS