7A U L A

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Nesta aula, você vai perceber que, em diver-sas profissões e atividades, surgem problemas que podem ser resolvidos com oauxílio da álgebra. Alguns problemas são tão freqüentes que existem fórmulasprontas para sua rápida resolução. Outros, por não serem tão freqüentes, vãonecessitar de maior raciocínio e criatividade. Mas, em todos eles, você poderáperceber a força dessa nova ferramenta que é a álgebraálgebraálgebraálgebraálgebra.

A álgebra na medicina

Na medicina, os médicos utilizam muitas fórmulas matemáticas. Principal-mente para calcular as quantidades certas de remédios que devem ser dados aosdoentes e para outros cálculos. São fórmulas que não podemos entender porquenão somos médicos. Mas existem algumas que são simples e úteis para todos,como esta que vamos mostrar agora.

EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1

Como calcular a altura de uma criança?A altura de uma criança depende de sua idade e de muitos outros fatores.

Entretanto, os médicos examinaram uma quantidade muito grande de criançasbrasileiras e tiraram uma média (no exercício 1 vamos lembrar o que é isso). Essapesquisa deu origem a uma fórmula que você mesmo pode usar para verificar odesenvolvimento dos seus filhos. A fórmula - que vale para crianças de 4 a 13anos - é a seguinte:

y = 5,7 · x + 81,5y = 5,7 · x + 81,5y = 5,7 · x + 81,5y = 5,7 · x + 81,5y = 5,7 · x + 81,5

Nessa fórmula:

l xxxxx é a idade da criança (em anos)l yyyyy é a altura da criança (em centímetros)

A álgebra nasprofissões

Introdução

Nossa aula

7A U L A Por exemplo, se uma criança tem 5 anos podemos calcular sua altura,

substituindo o xxxxx da fórmula por 5.

Veja:y = 5,7 · 5 + 81,5y = 5,7 · 5 + 81,5y = 5,7 · 5 + 81,5y = 5,7 · 5 + 81,5y = 5,7 · 5 + 81,5y = 28,5 + 81,5y = 28,5 + 81,5y = 28,5 + 81,5y = 28,5 + 81,5y = 28,5 + 81,5y = 110 cmy = 110 cmy = 110 cmy = 110 cmy = 110 cm

O resultado indica que, em geral, as crianças de 5 anos devem estar medindopor volta de 110 cm de altura. Em geral, como o desenvolvimento da criançadepende de outros fatores, como a altura dos pais, a alimentação etc., sãoconsideradas crianças normais as que tiverem altura até 10 cm a mais ou a menosque o valor dado pela fórmula.

Para você saber mais

Cada criança tem seu jeito de crescer. Em geral, as meninas crescem deforma muito próxima aos valores dados pela fórmula. Já os meninos crescem umpouco menos dos 10 aos 12 anos e passam a crescer mais depois dos 12 anos.

Com a fórmula que apresentamos, você pode fazer previsões Suponha queuma menina tenha 115 cm de altura aos 5 anos. Essa criança tem, portanto, 5 cma mais que o valor dado pela fórmula. Se tudo correr normalmente, essadiferença deve se manter (ou até aumentar um pouco) ao longo dos anos. Assim,se você quiser saber que altura ela terá aos 10 anos, aplique a fórmula e acrescenteesses 5 centímetros.

A álgebra em uma pequena empresa

Mesmo em pequenas empresas surgem freqüentemente problemas relacio-nados com a produção, com os custos, com os investimentos, com a divisão doslucros etc. Vamos mostrar um deles e sua solução, com o auxílio da álgebra.

EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Como fazer uma divisão proporcional?Em uma confecção trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora.

Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50%a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamentoé colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a “caixinha doNatal”. Pois bem, no fim do ano, essa poupança tinha R$ 1.440,00. Comodeveremos fazer a distribuição dessa caixinha mantendo-se a mesma proporçãodos salários?

Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a álgebra. Como jávimos nas aulas anteriores, é preciso escolher o significado da nossa incógnitaincógnitaincógnitaincógnitaincógnita.

Vamos então representar com a letra xxxxx a quantia que cada costureira deveráreceber.

Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada umareceberá:

7A U L Ax + 25 % de x = x + x + 25 % de x = x + x + 25 % de x = x + x + 25 % de x = x + x + 25 % de x = x +

25100

· x· x· x· x· x

= x + 0,25 = x + 0,25 = x + 0,25 = x + 0,25 = x + 0,25 · x x x x x= (1 + 0,25) x= (1 + 0,25) x= (1 + 0,25) x= (1 + 0,25) x= (1 + 0,25) x= 1,25 x= 1,25 x= 1,25 x= 1,25 x= 1,25 x

A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receberá:

x + 50 % de x = x + x + 50 % de x = x + x + 50 % de x = x + x + 50 % de x = x + x + 50 % de x = x + 50100

· x · x · x · x · x

= x + 0,5 · x= x + 0,5 · x= x + 0,5 · x= x + 0,5 · x= x + 0,5 · x= (1 + 0,5) x= (1 + 0,5) x= (1 + 0,5) x= (1 + 0,5) x= (1 + 0,5) x= 1,5 x= 1,5 x= 1,5 x= 1,5 x= 1,5 x

Veja, então, o resumo no quadro abaixo.

16 costureiras16 costureiras16 costureiras16 costureiras16 costureiras ® 16 · x16 · x16 · x16 · x16 · x

000002 supervisoras2 supervisoras2 supervisoras2 supervisoras2 supervisoras ® 2 · 1,25 · x2 · 1,25 · x2 · 1,25 · x2 · 1,25 · x2 · 1,25 · x

000001 diretora1 diretora1 diretora1 diretora1 diretora ® 1,5 · x1,5 · x1,5 · x1,5 · x1,5 · x

Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupança:

16 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 144016 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 144016 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 144016 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 144016 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 1440

Para encontrar o valor de xxxxx basta, então, resolver essa equação. Observe:

16x + 2,5x + 1,5x16x + 2,5x + 1,5x16x + 2,5x + 1,5x16x + 2,5x + 1,5x16x + 2,5x + 1,5x ===== 14401440144014401440(16 + 2,5 +1,5) x(16 + 2,5 +1,5) x(16 + 2,5 +1,5) x(16 + 2,5 +1,5) x(16 + 2,5 +1,5) x ===== 14401440144014401440 (xxxxx em evidência) 20x 20x 20x 20x 20x ===== 14401440144014401440

20x20

=144020

(dividindo por 20)

x x x x x ===== 7272727272

Portanto, cada costureira deverá receber R$ 72,00. O resto é fácil.

1,25 · x = 1,25 · 72 = 901,25 · x = 1,25 · 72 = 901,25 · x = 1,25 · 72 = 901,25 · x = 1,25 · 72 = 901,25 · x = 1,25 · 72 = 901, 5 · x = 1,5 · 72 = 1081, 5 · x = 1,5 · 72 = 1081, 5 · x = 1,5 · 72 = 1081, 5 · x = 1,5 · 72 = 1081, 5 · x = 1,5 · 72 = 108

Assim, cada supervisora deverá receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foifeita então a divisão proporcionaldivisão proporcionaldivisão proporcionaldivisão proporcionaldivisão proporcional da caixinha do Natal.

A álgebra na carpintaria

Será que a álgebra tem vez em uma simples carpintaria?Tem sim. Existem problemas que o marceneiro pode resolver de forma

muito eficiente com auxílio da álgebra. Vamos ver um deles.

7A U L A EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3

O corte está no lugar certo?Certo dia, um marceneiro recebeu a seguinte tarefa: cortar os cantos de uma

mesa quadrada, que tinha 120 cm de lado, para transformá-la em uma outra com8 lados iguais8 lados iguais8 lados iguais8 lados iguais8 lados iguais.

Observe, nas figuras abaixo, o problema do marceneiro.

Repare que o problema de transformar a mesa quadrada em outra, com 8lados iguais, não é um problema fácil. Os cortes precisam ser feitos em lugarescertos. Se não, o marceneiro corre o risco de estragar a mesa. Como fazer, então,os cortes perfeitos?

Acompanhe o raciocínio do marceneiro e, mais uma vez, a utilidade daálgebra.

As partes que serão eliminadas da mesa quadrada são triângulos retânguloscom dois lados iguais. Eles se chamam catetoscatetoscatetoscatetoscatetos. O lado maior, onde será feito ocorte, chama-se hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa.

Para observar direito esse triângulo, ele fez um desenho grande de umtriângulo desse tipo, com catetos de 1 m de comprimento, e mediu a hipotenusa.

mesaantiga

novamesa

120 cm ?

hipotenusa

Catetos(iguais)

1 m

1 m

1.41 m

7A U L AO valor que ele encontrou para a hipotenusa foi 1 metro e 41 centímetros1 metro e 41 centímetros1 metro e 41 centímetros1 metro e 41 centímetros1 metro e 41 centímetros

(este valor não é exato, porém é bem aproximado).O marceneiro sabia que, para aumentar ou diminuir o tamanho de uma

figura, mantendo sua forma, basta multiplicar todostodostodostodostodos os comprimentos dessafigura por um mesmo número. Por exemplo, um triângulo 10 vezes maior queo da figura que o marceneiro fez terá lados de 10 m, 10 m e 14,1 m.

Ele, então, raciocinou corretamente colocando a letra xxxxx como a medida doscatetos dos triângulos que serão retirados. Assim, a medida da hipotenusadesses triângulos será 1,41x1,41x1,41x1,41x1,41x.

Veja como ficou o projeto da nova mesa.

Na mesa de 8 lados, todos eles devem ser iguais. Portanto, a medida de cadaum deles será 1,41x.

Agora, basta somar os comprimentos sobre um lado do quadrado antigo.

x + 1,41x + x = 120x + 1,41x + x = 120x + 1,41x + x = 120x + 1,41x + x = 120x + 1,41x + x = 120

Agora, vamos envolver essa equação.

2x + 1,41x2x + 1,41x2x + 1,41x2x + 1,41x2x + 1,41x ===== 120120120120120

3,41x 3,41x 3,41x 3,41x 3,41x ===== 120120120120120

3,41x3,41

=1203,41

x = 35,19 x = 35,19 x = 35,19 x = 35,19 x = 35,19

Concluímos, então, que cada cateto dos triângulos que serão retirados mede,aproximadamente, 35,2 cm. O problema está resolvido. A partir de cada canto damesa, o marceneiro vai medir comprimentos de 35,2 cm, e passar a serra nashipotenusas dos triângulos formados.

A mesa ficará com 8 lados iguais. E qual será a medida de cada lado da novamesa?

Cada lado da nova mesa mede 1,41x, ou seja, 1,41 · · · · · 35,2, o que dá 49,6 cm.Quase 50 cm de lado.

Como você percebeu, a álgebra foi utilizada para resolverComo você percebeu, a álgebra foi utilizada para resolverComo você percebeu, a álgebra foi utilizada para resolverComo você percebeu, a álgebra foi utilizada para resolverComo você percebeu, a álgebra foi utilizada para resolverproblemas muito diferentes. Mas não se esqueça: ela é apenas umaproblemas muito diferentes. Mas não se esqueça: ela é apenas umaproblemas muito diferentes. Mas não se esqueça: ela é apenas umaproblemas muito diferentes. Mas não se esqueça: ela é apenas umaproblemas muito diferentes. Mas não se esqueça: ela é apenas uma

ferramenta. O mais importante é sempre o raciocínio.ferramenta. O mais importante é sempre o raciocínio.ferramenta. O mais importante é sempre o raciocínio.ferramenta. O mais importante é sempre o raciocínio.ferramenta. O mais importante é sempre o raciocínio.A habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. ComA habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. ComA habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. ComA habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. ComA habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. Com

a prática. Com persistência.a prática. Com persistência.a prática. Com persistência.a prática. Com persistência.a prática. Com persistência.

7A U L A Tente resolver os exercícios desta aula. Se você não conseguir, deixe passar

alguns dias e tente de novo. Exercitar o pensamento desenvolve a nossa mentee faz com que os problemas, com o passar do tempo, pareçam mais fáceis.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Um pediatra anotou as alturas das meninas de 8 anos que foram ao seuconsultório em determinada semana:

125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm

a)a)a)a)a) Qual a altura média dessas crianças?b)b)b)b)b) Qual o valor fornecido pela fórmula das alturas das crianças?

ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação: A média de vários números é igual à soma desses númerosdividida pela quantidade de números dados.

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Uma construtora encomendou tábuas de pinho a 4 fornecedores diferentes.O primeiro entregou tábuas com 225 cm de comprimento; o segundo com236 cm, o terceiro com 230 cm e o quarto com ..... cm. O mestre de obrascalculou que a média dos comprimentos das tábuas era de 231 cm. Qual foio comprimento das tábuas entregues pelo quarto fornecedor?

SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Represente por xxxxx o comprimento das tábuas do quarto fornecedore calcule a média dos quatro comprimentos.

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Você certamente já reparou que os calçados são medidos por números: 35, 36e 37 para as mulheres e 39, 40 e 41 para a maioria dos homens. Mas, existem,é claro, pés maiores.O número do sapato depende do comprimento do pé, e a fórmula paracalcular o número do calçado é a seguinte:

N =5c + 28

4onde:NNNNN é o número do sapatoccccc é o comprimento do pé, em centímetros

a)a)a)a)a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24 cm?

b)b)b)b)b) Qual é o comprimento do pé de um jogador de basquete que calça 45?

Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Na Europa, existem empresas em que o salário mais alto é, no máximo, 4vezes o salário mais baixo. Vamos imaginar uma empresa dessas e conside-rar que ela seja formada por operários, técnicos, engenheiros e diretores.Cada técnico ganha o dobro de um operário. Cada engenheiro ganha o triplode um operário e cada diretor ganha o quádruplo de um operário.Sabe-se que nessa empresa trabalham 80 operários, 20 técnicos, 4 engenhei-ros e 2 diretores. Se a folha de pagamento dos salários é de R$ 74.200,00,pergunta-se:

Exercícios

7A U L Aa)a)a)a)a) Quanto ganha cada operário?

b)b)b)b)b) Quanto ganha cada diretor?

SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Represente o salário de cada operário por xxxxx e complete o quadroabaixo:

1 operário ganha xxxxx 80 operários ganham ..........1 técnico ganha .......... 20 técnicos ganham ..........1 engenheiro ganha .......... 04 engenheiros ganham ..........1 diretor ganha .......... 02 diretores ganham ..........

Tente descobrir a equação que resolve o problema.

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5A cantina de uma escola fez um refresco para as crianças, diluindo 1 litro desuco concentrado de laranja em 9 litros de água. Foram produzidos 10 litrosde refresco, no qual 10 % do total é de suco concentrado e 90 % é de água.Como o refresco não ficou bom, resolveu-se acrescentar mais suco concen-trado até que o total ficasse com 20 % de suco concentrado.Pergunta-se: Que quantidade de suco concentrado deve ser adicionada aorefresco?

SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Observe o quadro abaixo.

Agora escreva uma equação que represente o seguinte:

Suco concentrado = 20% do total do refrescoSuco concentrado = 20% do total do refrescoSuco concentrado = 20% do total do refrescoSuco concentrado = 20% do total do refrescoSuco concentrado = 20% do total do refresco

TOTALTOTALTOTALTOTALTOTAL DEDEDEDEDE

REFRESCOREFRESCOREFRESCOREFRESCOREFRESCO

LITROSLITROSLITROSLITROSLITROS DEDEDEDEDE SUCOSUCOSUCOSUCOSUCO

CONCENTRADOCONCENTRADOCONCENTRADOCONCENTRADOCONCENTRADO

LITROSLITROSLITROSLITROSLITROS DEDEDEDEDE

ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA

11111º REFRESCOREFRESCOREFRESCOREFRESCOREFRESCO

22222º REFRESCOREFRESCOREFRESCOREFRESCOREFRESCO

11111 99999

1 + x1 + x1 + x1 + x1 + x 99999

1010101010

10 + x10 + x10 + x10 + x10 + x