TEOREMA DA IMPOSSIBILIDADE DE ARROW

INTRODUO

Indivduos como tambm grupos de indivduos precisam tomar decises em muitos

diferentes contextos. Como indivduos, temos de tomar decises sobre como dividir nossa

renda familiar entre diferentes objetivos. Uma firma tem de decidir entre vrias diferentes

coisas que ela necessita fazer a fim de competir efetivamente no mercado. Os governos

necessitam tomar decises sobre sua poltica externa, poltica domstica, poltica fiscal e

poltica monetria. Estudantes necessitam escolher os cursos que faro todo semestre. A

lista de situaes em que os indivduos tem de tomar decises de escolha realmente

bastante ampla.

Num problema tpico de escolha individual, um indivduo se depara com a situao

de decidir o que escolher dentre um conjunto de escolhas alternativas disponveis para ele.

O seu ganho, recompensa ou payoff uma conseqncia exclusiva da escolha que fizer.

Diante das mesmas alternativas, dois indivduos podem escolher bem diferentemente. Teria

um indivduo feito uma boa deciso e o outro uma m deciso? Obviamente, a resposta a

essa pergunta reside no critrio usado pelos indivduos para avaliar decises. Como bem

sabido, indivduos tm diferentes objetivos e diversos interesses que podem afetar suas

escolhas. Podemos predizer que um indivduo racional tenha algum critrio de escolha

entre as alternativas, de acordo com o qual ele escolher aquela que mais prefere, isto ,

uma alternativa que no lhe confere menor utilidade ou satisfao que qualquer outra

escolha. Assim, por exemplo, poderia ser que ele preferisse trabalhar na firma b a

trabalhar em qualquer outra firma porque o salrio oferecido por b maior do que o

salrio oferecido pelas outras firmas.

Num problema de escolha social o ganho de um indivduo depende, em geral, no

somente do que ele faz, mas tambm das decises de outros indivduos. Essas so situaes

tratadas na Teoria dos jogos. Existem vrios indivduos, cada um escolhendo uma ao do

seu conjunto disponvel de aes. As regras do jogo ento determinam um payoff (uma

recompensa, um ganho ou uma conseqncia) para cada indivduo, que depende das aes

escolhidas por todos os indivduos. Portanto, dadas as regras do jogo, cada indivduo

racional querer escolher a ao que lhe dar o maior ganho possvel. Porm cada um tem

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de levar em conta que os outros estaro tambm tentando maximizar os seus ganhos. Cada

indivduo tambm tem crenas sobre as escolhas dos outros indivduos. O equilbrio

ocorre quando todos os jogadores jogam racionalmente e as crenas de todos eles sobre o

que os demais esto fazendo esto corretas. s vezes este procedimento leva a uma

competio entre os participantes, onde a alternativa escolhida por um indivduo nem

sempre corresponde quela que ele prefere. Em outras situaes isto leva a uma cooperao

de benefcio mtuo e, em geral, a uma combinao desses dois comportamentos extremos.

Em qualquer caso, as decises tomadas por grupos de indivduos diferem

fundamentalmente das decises tomadas por um nico indivduo. nesse sentido que a

Teoria da Escolha Individual difere da Teoria dos Jogos. justamente na natureza dessa

diferena que se baseia a Teoria da Escolha Social que teve origem com o livro seminal de

Keneth Arrow (1951, 1963). Por sua contribuio Teoria Econmica, Arrow recebeu o

prmio Nobel de Economia em 1972, juntamente com Sir John Hicks.

2. RELAO DE PREFERNCIAS

Num problema de escolha individual existem um indivduo j e um conjunto de

alternativas X. O critrio de escolha entre as alternativas estabelecido por uma relao

de preferncia j (ou Rj) sobre o conjunto X. Isto , Rj uma relao binria sobre X completa e transitiva. Assim, x j y (ou xRjy) significa que o indivduo j acha a opo x pelo menos to boa quanto a opo y; l-se x fracamente melhor que y para j.

A partir da relao de preferncia definimos duas outras relaes binrias, > e . Dizemos que x >j y (l-se j prefere x a y ou x estritamente melhor que y para j) se xjy e no verdade que yjx; dizemos que xjy (l-se j indiferente entre x e y ou x pelo menos to bom quanto y para j) se xjy e yjx.

Por Rj ser completa, queremos dizer que dadas quaisquer alternativas a e b em

X, o indivduo j sempre capaz de dizer se prefere a a b ou b a a ou se indiferente

entre ambas alternativas. Dizer que j transitiva significa que se j prefere fracamente a a b e b a c ento j prefere fracamente a a c, para quaisquer alternativas a, b e c

em X. Vale observar que a transitividade de j implica na transitividade de >j e j.

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natural supor que o critrio de escolha do indivduo j seja consistente com a

relao de preferncias j: se ele tem de escolher, por ex., entre x e y, e escolhe x ento ele prefere x a y. Isto dizer que o critrio de esclha individual racional.

Exigir que cada j seja completa razovel. No entanto, a transitividade uma exigncia forte como sugere o exemplo a seguir.

Considere o conjunto de alternativas X={x0,x1,x2,,x100}, onde x0 uma xcara

de ch com uma colher de acar; x1 uma xcara de ch com menos 99/100 da colher de

acar; ; x99 uma xcara de ch com menos 1/100 da colher de acar; x100 uma

xcara de ch sem acar. natural de se esperar que o indivduo j seja indiferente entre

x0 e x1; entre x1 e x2;; entre x99 e x100. Entretanto ele dificilmente ser indiferente

entre x0 e x100.

Por outro lado, o exemplo a seguir mostra que a intransitividade, ou seja um

critrio de escolha baseado em preferncias no transitivas, pode ser considerada

irracional. Considere o conjunto de alternativas X={x,y,z}. Suponha que o indivduo j

prefere x a y, y a z, mas prefere z a x. Suponha que j tenha z. Como ele prefere y a

z, estar disposto a pagar uma certa quantia, digamos, $0,10, para trocar z por y;

novamente, como prefere x a y, estar disposto a pagar, digamos, $0,10, para trocar y

por x. Finalmente, como prefere z a x, ele estar disposto a pagar uma certa quantia, seja

$0,10, para trocar x por z. Assim, com uma preferncia intransitiva, ele termina com a

mesma alternativa que possua, mas $0,30 mais pobre.

3. FUNO DO BEM ESTAR SOCIAL

Considere a seguinte situao de escolha. Um grupo de indivduos (uma sociedade)

deseja ir a um restaurante para comer uma pizza, que ser repartida entre eles e dever ser

de um nico sabor, para poupar dinheiro. Os tipos de pizza aceitveis para qualquer um do

grupo so: x, y e z. Suponhamos que o restaurante escolhido altera com freqncia o seu

cardpio de pizzas e ningum do grupo tem informao sobre que tipos de pizza estaro

disponveis. Portanto, para efetuar suas escolhas, a sociedade deve definir suas preferncias

sobre x, y e z. Assim, pedido a cada indivduo que entregue ao representante do grupo

suas opes sobre os trs tipos de pizza. Isto , suas preferncias sobre x, y e z.

A questo que surge naturalmente :

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Como efetuar as escolhas coletivas, racionalmente, levando em conta as

escolhas individuais? Isto , como definir uma relao de preferncias para a

sociedade, que expresse de forma racional as relaes de preferncias individuais? Este o assunto tratado no livro de Kenneth Arrow. Podemos interpretar que esta

relao de preferncias uma pr-ordenao de todas as alternativas, de acordo com a qual

a sociedade se compromete a agir. desejvel que um critrio de escolha social seja

consistente com coma relao binria e transitiva. Assim, um modelo de escolha social

consiste de um conjunto de indivduos (sociedade) N={1,,n}; um conjunto de

alternativas X; para cada indivduo j, um conjunto de preferncias j e o conjunto das relaes de preferncias (completas e transitivas) da sociedade sobre X, .

Uma funo do bem estar social (FBS) agrega n pr-ordenaes individuais (um

perfil de preferncias) de X numa nica pr-ordenao (social) de X. Isto ,

F: 1x2xxn R=(R1,R2,,Rn) Rs Assim, x F(R) y significa que o bem estar social no mais baixo em x do que

em y.

O exemplo abaixo ilustra que uma das regras mais populares, a regra da maioria no

uma funo do bem estar social.

Exemplo 1. (A regra da maioria no uma FBS - Paradoxo de Condorcet - 1743 -

1794).

Considere o problema de escolha da pizza formulado anteriormente para uma

sociedade formada pela unio disjunta de trs conjuntos de indivduos A, B e C, com o

mesmo nmero de elementos. As preferncias dos agentes sobre o conjunto das pizzas

X={x, y, z} so estritas e dadas por:

A B C

x y z

y z x

z x y

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De acordo com a regra da maioria aplicada a este exemplo, a alternativa w

preferida alternativa w pela sociedade se o nmero de indivduos que prefere w a w

maior do que o nmero de pessoas que prefere o oposto. Esta regra no uma FBS, pois

aplicada ao perfil de preferncias acima no produz uma relao binria transitiva. De fato,

x s y s z mas z s x. g

desejvel que uma FBS induza critrios de escolha racionais. Como observado

por Arrow, para se obter essa racionalidade, no basta consistncia com uma relao de

preferncias. De fato, a regra da pluralidade uma FBS. Porm no podemos considerar

racional o critrio de escolha induzido por esta regra. Vejamos:

Exemplo 2. (Regra da pluralidade dos votos). De acordo com esta regra, x preferido a

y pela sociedade se tem mais votos que y. Considere o problema de escolha da pizza

formulado anteriormente. A sociedade formada pela unio disjunta de trs conjuntos de

indivduos A, B e C, onde |A|=3, |B|=|C|=2. As preferncias dos agentes sobre o

conjunto de pizzas X={x, y, z} so dadas por:

A B C

x y z

y z x

z x y

Ento x s [y,z]. A pizza x preferida a y e a z pela sociedade. Considere agora a seguinte cena no restaurante: O garom informa que o

restaurante oferece as pizzas x, y e z. O representante do grupo pede a pizza x, a mais

votada pelo grupo. O garom vai at a cozinha e volta com a seguinte informao:

_ Queiram desculpar-nos, mas a pizza y no est boa hoje.

Os indivduos de B, desencantados com y, mudam suas preferncias para : B ()

z

x

y

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Com as novas preferncias de B a preferncia do grupo muda para s: z s x s y. Dessa forma, o representante do grupo informa ao garom:

_ Pedimos a pizza x porque acreditvamos que y estava boa. Como y no est boa,

desconsidere o pedido anterior e traga-nos a pizza z. g

O princpio que a regra da pluralidade viola foi chamado por Arrow de:

A.1 - Independncia das alternativas irrelevantes: Para todo par de alternativas x e y,

as preferncias entre x e y devem depender apenas de como as pessoas ordenam x em

relao a y, e no de como ordenam as outras alternativas. Assim, se o conjunto de

pessoas que preferem x a y num perfil de preferncias R for igual ao conjunto de

pessoas que preferem x a y num outro perfil de preferncias R, ento x F(R) y se e

somente se x F(R) y.

Arrow listou mais trs axiomas que considerou que uma boa FBS deve

satisfazer:

A.2 - Unanimidade (ou princpio de Pareto): Para todo par de alternativas x e y, se x j y para todo j=1,,n, ento x s y.

A.3- Domnio irrestrito: F definida para qualquer conjunto (1,,n) de preferncias.

A.4- F deve ser no ditatorial: F ditatorial se existe um indivduo j (ditador) tal que

para todo x e y em X, e para todo perfil de preferncias (1,,n)1x...xn, se xj y ento x F(1,,n) y.

4. TEOREMA DA IMPOSSIBILIDADE DE ARROW

Nesta seo usaremos a seguinte notao: xTy significa que xjy para todo jT.

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Definio 1: Dados x e y em X, e TN, dizemos que T determina x contra y se para todo perfil de preferncias em que xT y e yN\T x ento xs y, onde s=F(T, N\T).

Observao: 1. Suponha que F satisfaz ao critrio da unanimidade (A.2). Ento, N determina x contra y, para todo x e y e no determina x contra y para nenhum par (x,y).

2. Suponha que F satisfaz A.1 e existe um perfil de preferncias (,...,) tal que: T N\T

... ...

x y

... ...

y x

e x s y, onde F(,...,)=s. Ento T determina x contra y.

Lema 1: Seja F uma FBS satisfazendo A-1,,A-3. Suponha que X>2. Ento existem x* e y* em X e j*N tal que j* determina x* contra y*. Demonstrao: Seja D={TN; x,yX tal que T dermina x contra y}. Temos que D, pois ND por A.2 (unanimidade). Logo D tem um elemento minimal (conjunto parcialmente ordenado pela incluso, finito e no vazio). Seja T* tal elemento e x* e y*

duas alternativas tais que T* determina x* contra y*. Temos que D pois seno existiriam x e y tal que se y N x implicaria que x s y, contrariando A.2. Logo T*1. Ento existe j*N tal que j*T*. Vamos mostrar que T*={j*}. Suponhamos por absurdo que T*2. Ento T*={j*}T**, onde j*T** e T**1. Como X3 podemos tomar zx*,y*. Por A-3 (domnio irrestrito) podemos considerar as seguintes preferncias:

j* T*\j*=T** N\T*

x* z y*

y* x* z

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z y* x*

Temos que x* s y* pois T* determina x* contra y*. Se z s y* teramos por A.1(independencia das alternativas irrelevantes) que T**D, o que contraria a minimalidade de T*. Como s completa implica que y* s z. Portanto x* s y* s z* e por transitividade x* s z*. Por A.1 (independncia das alternativas irrelevantes) segue que j* determina x* contra z, donde {j*}D, contradio pois {j*}T*, T* minimal e T*>1.

Lema 2: Seja F uma FBS satisfazendo A-1,,A-3. Suponha que X>2. Ento {j*} determinante.

Demonstrao: Pelo Lema 1 existem x* e y* tal que j* determina x* contra y*.

Queremos mostrar que j* determina w contra z para quaisquer z e w, com zw. Seja zx*,y*. ( z, pois X3). Por A-3 (domnio irrestrito) podemos considerar as preferncias:

j* N\j*

x* y*

y* z

z x*

x* s y* pois j* determina x* contra y*; y* s z, por A.2; x* s z, por transitividade. Ento, por A.1 (independncia das alternativas irrelevantes),

j* determina x* contra z. (1)

Tome, agora, wz,x*. Considere as preferncias: j* N\j*

w z

x* w

z x*

w s x* por A.2 (unanimidade); x* s z, pois j determina x* contra z por (1); w s z por transitividade. Ento, por A.1 (independncia das alternativas irrelevantes), j

determina w contra z. Como w e z so arbitrrios o lema est demonstrado.

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Lema 3: Seja F uma FBS satisfazendo A-1,,A-3. Suponha que X>2. Se j determinante ento j um ditador.

Demonstrao: Se j determinante ento j faz prevalecer sua opinio sempre que os

outros esto contra. Temos que mostrar que j sempre faz prevalecer sua opinio. Ento,

dados x, y, zX, considere: j N\j

x z z

z x y

y

Por A-3 (domnio irrestrito) estas preferncias esto no domnio de F. Ento x s z, pois j determinante; z s y, por A.2 (unanimidade); x s y, por transitividade; x s y para toda (1,, n) que mantm as preferncias entre x e y. Logo j um ditador.

Arrow provou que se o nmero de alternativas for maior do que dois, ento

impossvel definir uma FBS que induza um critrio de escolha racional.

Teorema 1 (Teorema da impossibilidade de Arrow): Se X>2 ento no existe nenhuma FBS que satisfaz A-1,,A-4.

Demonstrao: Assumamos que F uma FBS satisfazendo A-1,,A-4. Pelos Lemas 1

e 2 existe j* determinante. Pelo Lema 3, j* ditador e portanto a funo F no satisfaz

A-4, contradio.

5. OBSERVAES FINAIS

O cerne da Teoria da Escolha Social trata de problemas de escolha, melhor descritos

como uma situao de votao: um nico candidato escolhido de um conjunto de

candidatos elegveis, tendo-se em conta como dados somente as preferncias ordinais dos

votantes. No final da dcada de 60 cresceu o interesse pelas propriedades estratgicas das

regras de votao, e a existncia ou no de uma regra de votao prova de estratgia

(notadamente uma regra em que votar no candidato preferido a melhor resposta para todo

votante, independentemente do que os outros jogadores votem) que no desse inteiro poder

de deciso a um votante ditador, passou, da em diante, a ser alvo de investigao entre os

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autores. Essa questo foi respondida negativamente por Gibbard (1973) e Satterthwaite

(1975) em dois artigos quase simultneos. Este teorema teve profunda influncia sobre a

ento emergente literatura sobre compatibilidade de incentivos e desenho de mecanismos.

A teoria estratgica de votao tambm inspirou a teoria de implementao.

REFERNCIAS

Arrow, Kenneth J., Social Choice and Individual Values. New Haven, Yale University

Press, 1951, 1963.

Este o trabalho original: um dos raros exemplos de uma pea de um trabalho realmente

seminal, que entretanto de fcil leitura.

Sen, Amartya K., Collective Choice and Social Welfare, San Francisco, Holden-Day, 1970.

Este livro oferece um bom tratamento da teoria de escolha social at 1970.

Kelley, Jerry S., Arrow Impossibility Theorems, New York, Academic Press, 1978.

Este livro inclui alguns importantes desenvolvimentos no includos no livro de Sen. Porm

o tratamento no de leitura fcil.

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