Teorema de Cayley-Hamilton - por: André Gustavo

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1 1 1 Professor Substituto da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e Professor da UNIJORGE (Centro universitário Jorge Amado)

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1 Professor Substituto da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e Professor da UNIJORGE (Centro universitário Jorge Amado)

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Teorema de Cayley-Hamilton ProfessorProfessorProfessorProfessor ---- André GustavoAndré GustavoAndré GustavoAndré Gustavo

Cayley, Matemático inglês que descobriu a Álgebra das Matrizes, onde as mesmas surgiram ligadas as transformações lineares.

Hamilton,desenvolveu a primeira álgebra não comutativa e abriu as portas para álgebra abstrata com os quartênios.

Definição: Sejam V um R-espaço vetorial n - dimensional e T: V→V um operador linear. Então PT ������) = 0n para toda base α de V . Demonstração2:

Seja ��� � � �� �λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ� �� o polinômio característico da matriz ����� � Denotaremos por ��λ � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ� ���a matriz adjunta3 clássica da matriz �� � λ����, onde os elementos de ��λ são os cofatores desta matriz, sendo então polinômios em λ��de grau n - 1. Além disso, ����� ������ � � ��� �� � ����� Pela propriedade fundamental da adjunta clássica4

�� � λ���� � ��λ � �� �� � λ���� � �� �� � λ���� � ��λ � ���� �� �� � λ���� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� � ��� �λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � ���� �� Desenvolvendo o lado esquerdo da identidade

�� � λ���� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� � ��������λ��� � ����λ��� � �� ��λ � ��

Por identidade de polinômios temos:� ����� � �� ��

���!���� � ���� � ����� ���!���� � ���" � �����

2 Devemos demonstrar que toda matriz quadrada A é um zero do seu próprio polinômio característico p(λ) 3 A matriz B(λ) pode ser escrita como uma combinação linear de matrizes quadradas Bn-1, Bn-2,...,B2, B1 e B0 de ordem n com coeficientes escalares na variável λ. 4 Lê-se: “A matriz da transformação menos lambda vezes a matriz identidade na base α, vezes a matriz adjunta, é igual ao determinante da mesma matriz vezes a matriz identidade de ordem n.

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M ���!�� � �� � ��� ���!�� � �� � ���

���!�� � ��� Vamos multiplicar a primeira igualdade por�����!#, a segunda por �������� e assim sucessivamente, até �������

���������!# � ����!#�� �� ����!���� � ��������!#� � ����!#� ����� ����!���� � ���"����!#�$ � ����!#�$�����

M ����!�� � ������!$ � ����!$���

����!�� � �����! � ���!��� ���!������!% � ����!%���

Vamos somar membro a membro a esquerda para obter a matriz nula e repetir a operação no membro direito para obter a matriz PT = ������). Desenvolvendo a soma nos primeiros membros das equações:

���������!# � ����!���� � ��������!#� � ����!���� � ���"����!#�$ � �

�� ����!�� � ������!$ � ����!�� � �����! � ���!������!% � � ���������!# � ����!#���� � ����!#� ���� � ����!#� ���� � ����!#�$���" � �

�� ����!$�� � ����!$�� � ���!�� � ���!������!% � %� Desenvolvendo a soma nos segundos membros das equações:

����!#�� �� � ����!#� ���������!#�$������ ��������!$��� � ���!��� � ��� Logo:

%� � �� #����!# � �#� ����!#� � �#�$����!#�$ � � ���$����!$ � � ���! � �%��& ������! � %�

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1. Aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton a Inversa de uma matriz.

A maneira clássica de obter a inversa de uma matriz é por meio do polinômio característico de uma matriz invertível ���� �. Consideremos ��� � � �� �λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ� �� o polinômio característico da matriz�����

Já vimos que pelo Teorema de Cayley - Hamilton

�� �����!# � ��������!#� � ��������!#�$ � ���������!$ � �����! � ��� � %#� Multiplicando essa igualdade por �������. Resulta então �� �����!#� � ��������!#�$ � �� �� � �����!� � � %# Como a matriz ����� � é invertível, tem-se �� ' %. Dividindo a igualdade anterior por �� temos �% (�� #����!#� �#� ����!#�$ � �� � �) � ����!� � %# Isolando ������� chegamos a formula:

������ � � �% (�� #����!#� �#� ����!#�$ � �� � �)

Ex. Consideremos a matriz * � +, $-, cujo polinômio característico é

�� � λ� � .λ� � .. Então *�� � �

. ��� $*$� � .*$�$��′ � � . �* � .�� � �

. /+, $- � . + %% -0 �

� � . /+, $- � +�. %% �.-0 � � . /�$ �,0 � 1 $ .2 � .2� .2 , .2 3

Obs. Este cálculo somente será vantajoso quando a matriz for simétrica e possuir poucos autovalores, caso contrário, não há vantagem em utilizá-lo, por exemplo: Para uma matriz invertível arbitrária esse procedimento não traz vantagem com relação ao cálculo da inversa por meio da eliminação gaussiana.

′ Observe que c0 é 5 e que ele não entra junto com o polinômio P(A)

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2. Aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton

Verifique o teorema de Cayley - Hamilton: “Toda matriz quadrada é um zero do

seu polinômio característico para a matriz * � 4 $ %% % %5. Solução: Inicialmente, vamos obter o polinômio característico da matriz A.

6�λ � 789�* � λ� � : � λ $ %% � λ % �λ: � � � λ ; � λ % �λ; � ; $ % � λ ; � � � � λ� � λ��λ � $ � � � λ���λ � $ � < � $λ� λ�=��λ � $ �

�λ� $λ� � λ" � $ � �λ" � $λ� � λ� $� Substituindo a matriz A nesse polinômio obtemos 6�* � �*" � $*� � * � $� 6�* � �4 $ %% % %5

"� $4 $ %% % %5

�� 4 $ %% % %5 � $4 % %% %% % 5 � 4% % %% % %% % %5

Referências

COSTA LORETO; A. C.; SILVA, A. A.; SILVAL e LORETO JUNOR; A.P., Álgebra Linear. e suas aplicações - 2ª Edição 2009. Ed. LCTE

BOLDRINE, COSTA, FIGUEREDO e WETZLER. Álgebra Linear. 3ª Edição ampliada e revista: São Paulo - Ed. Harbra, 1986.

BUENO PRADO, HAMILTON. Álgebra Linear - Um segundo curso - Coleção Textos Universitários. Rio de Janeiro 2005 - Sociedade Brasileira de Matemática.

HOFFMANN / KUNZE, Álgebra Linear –Universidade de São Paulo / Ed. Polígono. São Paulo. 1971. STEINBRUCH, ALFREDO e WINTERLE, PAULO. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson education/ Editora Makron Books, 1987.

UERJ - http://www.ime.uerj.br/~alglin/AlgLInII/Capitulo3_PolMIn.pdf - acesso em 09/01/2010.