Teorema de Laurent
2
Teorema de Laurent Uma série de Laurent é uma série da forma série da analítica parte principal Parte n n n Z n n z z a a z z a z z a z z a ... ) ( ... ) ( ... ) ( 0 1 0 0 1 0 0 + − + + − + + − + = − − − ∈ ∑ Obs: Toda série de potência é uma série de Laurent onde os coeficientes a -i= 0 ∀ i = 1, 2,...,n. Seja f analítica em B(z 0, R 1, R 2). Logo n Z n n z z a ) ( 0 − ∑ ∈ ∀ z em B(z 0, R 1, R 2) e ∫ + − = C n n dz z z z f i a 1 0 ) ( ) ( 2 1 π , onde C = C(z 0, r) e R 1< r < R 2. Classificação de singularidade 1. Pólos Se f(z) = n Z n n z z a ) ( 0 − ∑ ∈ na qual a parte principal tem somente um número finito de termos dada por 0 1 0 ... ) ( z z a z z a n n − + + − − − onde 0 ≠ n a , então z = a é um pólo de ordem n. Se n =1, ele é um pólo simples. Ex: 2 ) )( ( 1 z i z i z + − tem pólos simples em z = i, z = -i, pólo de ordem 2 em z = 0. 2. Singularidade Removível Se uma função f(z) não for definida em z = a, mas existe ) ( lim z f a z → , então z = a é uma singularidade removível. Neste caso, definimos f(a) = ) ( lim z f a z → . Ex: f(z)= z z ) sen( , z = 0 é singularidade removível ) ( lim z f a z → =1 =f(0) 3. Singularidades Essenciais Se f(z) é uma função, então, qualquer singularidade que não seja um pólo ou uma singu removível é uma singularidade essencial. Ex: ... ! 2 1 1 1 2 1 + + + = z z e z z = 0 é uma singularidade essencial Obs: z 0 é chamado essencial isolado se a parte principal da série de Laurent tem infini de coeficientes não nulos.
-
Upload
mariana-faria -
Category
Documents
-
view
81 -
download
0
Transcript of Teorema de Laurent
Teorema de Laurent Uma srie de Laurent uma srie da forma a n a an ( z z0 ) n = ... + + ... + 1 + a0 + a1 ( z z0 ) + ... n z z0 parte analtica da srie ( z z0 ) nZ
Parte
principal
Obs: Toda srie de potncia uma srie de Laurent onde os coeficientes a-i = 0 i = 1, 2,...,n. Seja f analtica em B(z0, R1, R2). Logo an =
nZ
a (z z )n 0
n
z em B(z0, R1, R2) e
1 f ( z) dz , onde C = C(z0, r) e R1< r < R2. 2i C ( z z0 ) n +1
Classificao de singularidade 1. Plos Se f(z) =
nZ
a (z z )n 0
n
na qual a parte principal tem somente um nmero finito de termos
a n a + ... + 1 dada por ( z z0 ) n z z0 onde an 0 , ento z = a um plo de ordem n. Se n =1, ele um plo simples. 1 Ex: ( z i )( z + i ) z 2 tem plos simples em z = i, z = -i, plo de ordem 2 em z = 0. 2. Singularidade Removvel Se uma funo f(z) no for definida em z = a, mas existe lim f ( z ) , ento z = a uma z a singularidade removvel. Neste caso, definimos f(a) = lim f ( z ) . z a Ex: f(z)=z a
sen( z) , z = 0 singularidade removvel z
lim f ( z ) =1 =f(0) 3. Singularidades Essenciais Se f(z) uma funo, ento, qualquer singularidade que no seja um plo ou uma singularidade removvel uma singularidade essencial.1
Ex: e z = 1 +
1 1 + + ... z = 0 uma singularidade essencial z 2! z 2
Obs: z0 chamado essencial isolado se a parte principal da srie de Laurent tem infinito nmero de coeficientes no nulos.
