Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasPor: Edina L. de Morais AsenPor: Edina L. de Morais Asen

Trabalho sobre informática EducativaTrabalho sobre informática Educativa

Escola PitagóricaEscola Pitagórica

Algumas propriedades de elementos Algumas propriedades de elementos matemáticos, principalmente de figuras matemáticos, principalmente de figuras

geométricas, foram utilizadas antes mesmo geométricas, foram utilizadas antes mesmo de serem demonstradas na teoria matemáticade serem demonstradas na teoria matemática

Um exemplo é a relação entre a Um exemplo é a relação entre a hipotenusa e os catetos de um hipotenusa e os catetos de um

triângulo retângulo. Há evidências triângulo retângulo. Há evidências de que na Antiguidade já se sabia de que na Antiguidade já se sabia que o quadrado construído sobre que o quadrado construído sobre

a hipotenusa têm área igual á a hipotenusa têm área igual á soma das áreas dos quadrados soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.construídos sobre os catetos.

Uma das evidências mais antigas nos Uma das evidências mais antigas nos foi legada pelos Babilônios da época foi legada pelos Babilônios da época de Hamurabi (cerca de 2100 a.C. : de Hamurabi (cerca de 2100 a.C. :

uma tabuleta de argila, com inscrições uma tabuleta de argila, com inscrições em caracteres cuneiformes:em caracteres cuneiformes:

A tabuleta informa que se um A tabuleta informa que se um quadrado tem lado 30, então a quadrado tem lado 30, então a

diagonal mede 42,42. Isso implica diagonal mede 42,42. Isso implica o conhecimento de pelo menos o conhecimento de pelo menos

um caso especial do hoje um caso especial do hoje chamado teorema de Pitágoras, chamado teorema de Pitágoras, um milênio antes da época a que um milênio antes da época a que

se atribui o seu aparecimentose atribui o seu aparecimento

O raciocínio elaborado pelos babilônios é:O raciocínio elaborado pelos babilônios é:( diagonal)² = 2 x 30 ²( diagonal)² = 2 x 30 ²diagonal = 2 X 30 ~ 1,414 X 30 = 42,42diagonal = 2 X 30 ~ 1,414 X 30 = 42,42É digna de nota a aproximação 1,414 É digna de nota a aproximação 1,414 utilizada para raiz de 2utilizada para raiz de 2

Outra referência histórica dessa relação é Outra referência histórica dessa relação é de origem chinesa, na obra Chóu Pei Suan de origem chinesa, na obra Chóu Pei Suan Ching, datada de cerca de 1105 a.C., na Ching, datada de cerca de 1105 a.C., na qual se afirma que “ quebrando-se uma qual se afirma que “ quebrando-se uma

reta e dispondo-se de forma que a largura reta e dispondo-se de forma que a largura seja 3 e o comprimento seja 4, então a seja 3 e o comprimento seja 4, então a distância entre as pontas será 5” . As distância entre as pontas será 5” . As dimensões largura e comprimento são dimensões largura e comprimento são

tomadas como perpendiculares, de onde tomadas como perpendiculares, de onde se obtém o triângulo retângulose obtém o triângulo retângulo

Também entre os hindus da época Também entre os hindus da época de Pitágoras, na obra Sulvasutras, de Pitágoras, na obra Sulvasutras, datada de aproximadamente 500 datada de aproximadamente 500

a.C., há regras para construção de a.C., há regras para construção de ângulos retos por meio de ternos ângulos retos por meio de ternos de cordas cujos comprimentos de cordas cujos comprimentos

formam tríades pitagóricas como formam tríades pitagóricas como (3, 4, 5) ou (5, 12, 13) ou (8, 15, (3, 4, 5) ou (5, 12, 13) ou (8, 15,

17).17).

Muitos estudiosos dedicaram-se a Muitos estudiosos dedicaram-se a construir demonstrações para esse construir demonstrações para esse

teorema. Entre eles Euclides e teorema. Entre eles Euclides e Leonardo da Vince. Elisha Scott Leonardo da Vince. Elisha Scott Loomis já havia relacionado em Loomis já havia relacionado em

1907, 370 demonstrações para o 1907, 370 demonstrações para o teorema de Pitágorasteorema de Pitágoras

Não há certeza sobre qual tenha Não há certeza sobre qual tenha sido a demonstração original de sido a demonstração original de Pitágoras (ou pitagóricos). Aliás, Pitágoras (ou pitagóricos). Aliás,

não há muita certezas nem mesmo não há muita certezas nem mesmo sobre Pitágoras. Não sabe sobre Pitágoras. Não sabe

exatamente nem quando nem exatamente nem quando nem onde nasceu. Aceita-se que nasceu onde nasceu. Aceita-se que nasceu em Samos, na Grécia, ente 580 e em Samos, na Grécia, ente 580 e

568 a.C.568 a.C.

Um aspecto interessante de sua vida Um aspecto interessante de sua vida foi seu misticismo. Ele fundou uma foi seu misticismo. Ele fundou uma seita com rígidos preceitos para o seita com rígidos preceitos para o cotidiano dos membros inclusive o cotidiano dos membros inclusive o

vegetarianismo. Como viviam vegetarianismo. Como viviam segregados e acreditavam no trabalho segregados e acreditavam no trabalho comunitário,m é possível que muitas comunitário,m é possível que muitas descobertas atribuídas a Pitágoras descobertas atribuídas a Pitágoras fossem, na realidade, de outros fossem, na realidade, de outros

membros da seita.membros da seita.

Por essa razão, atualmente, fazem-se Por essa razão, atualmente, fazem-se referências aos pitagóricos em vez de referências aos pitagóricos em vez de ao personagem Pitágoras. De qualquer ao personagem Pitágoras. De qualquer forma, a Pitágoras ou aos pitagóricos forma, a Pitágoras ou aos pitagóricos

são atribuidas muitas descobertas são atribuidas muitas descobertas importantes na Matemática e em importantes na Matemática e em

outras áreas do conhecimento, como outras áreas do conhecimento, como música e astronomia.música e astronomia.

Pitágoras no detalhe do Afresco A Pitágoras no detalhe do Afresco A Escola de AtenasEscola de Atenas

oobra de Raphael, pintor renascentistabra de Raphael, pintor renascentista

Vivenciando os conhecimentosVivenciando os conhecimentos

Um Triângulo muito especialUm Triângulo muito especial

Aplicações do teoremaAplicações do teoremaO teorema de Pitágoras pode ser aplicado em O teorema de Pitágoras pode ser aplicado em

diversas figuras: Quadradodiversas figuras: Quadrado

A diagonal do A diagonal do quadradoquadrado divide-o em dois divide-o em dois triângulos retângulos triângulos retângulos congruentescongruentes. Sendo l o . Sendo l o

lado e d a diagonal, podemos definir que:lado e d a diagonal, podemos definir que:d² = l² + l²d² = l² + l²

Exemplo Exemplo a) Qual era a altura do poste?a) Qual era a altura do poste?

Resolução:Resolução: h = 4 + 5 = 9h = 4 + 5 = 9

Resposta: A altura do poste era de 9 mResposta: A altura do poste era de 9 m

ExercíciosExercícios1- Paulo está fazendo um portão no quintal para impedir que seu 1- Paulo está fazendo um portão no quintal para impedir que seu

cachorro Peri entre em casa. Para firmá-lo, pensou em um travessão. cachorro Peri entre em casa. Para firmá-lo, pensou em um travessão. Qual deve ser a medida aproximada desse travessão, sabendo que Qual deve ser a medida aproximada desse travessão, sabendo que

o portão tem 53 cm de altura e 97 cm de comprimento?o portão tem 53 cm de altura e 97 cm de comprimento?

97 cm97 cm

53 cm

2 2 – João e seus colegas queriam enfeitar o salão da escola para a – João e seus colegas queriam enfeitar o salão da escola para a festa junina. Pensaram em colocar bandeirolas em toda a volta do festa junina. Pensaram em colocar bandeirolas em toda a volta do salão e nas suas diagonais. O salão é retângulo e mede 12 por 20m.salão e nas suas diagonais. O salão é retângulo e mede 12 por 20m.

a) Quantos metros de enfeites, no mínimo, eles devem a) Quantos metros de enfeites, no mínimo, eles devem confeccionar utilizando as medidas justas? (considerar duas casas confeccionar utilizando as medidas justas? (considerar duas casas decimais)decimais)

b) E se eles considerarem uma folga de meio metro em cada lado b) E se eles considerarem uma folga de meio metro em cada lado e em cada diagonal?e em cada diagonal?

3) Que altura atinge uma escada de 3 metros, encostada a uma 3) Que altura atinge uma escada de 3 metros, encostada a uma parede, com a base distante 2 metros dessa parede?parede, com a base distante 2 metros dessa parede?

http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w&http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w&featurefeature==relatedrelated

Vídeos sobre o Teorema de PitágorasVídeos sobre o Teorema de Pitágoras

Referências bibliográficasReferências bibliográficas

http://pitagoras-upt.tripod.com/id7.htmlhttp://pitagoras-upt.tripod.com/id7.htmlhttp://www.google.com.br/http://www.google.com.br/http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#Aplica.C3.A7.C3.B5es_do_teoremahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras#Aplica.C3.A7.C3.B5es_do_teorema

http://www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html#arvorehttp://www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html#arvore http://www.ovelho.com/content/crise-na-escola-http://www.ovelho.com/content/crise-na-escola-

pitag%C3%B3ricapitag%C3%B3ricaSecretaria da Educação do Estado de São Paulo. Proposta Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Proposta

curricular para o ensino da Matemática – 1º grau . São curricular para o ensino da Matemática – 1º grau . São Paulo, SEPaulo, SE

Cenp.1998.Cenp.1998.